Математика (профиль)

Математика: Все о векторах

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
18 октября 2023

Что называют вектором? Если брать чисто геометрическое понятие, то тогда ответ будет: направленный отрезок прямой, на котором указана точка начала и конца. Так как в школе рассматривается именно это объяснение, то давай остановимся на нем.

Все о векторе

Для векторов характерно наличие величины и направления. Обозначается обычно несколькими способами: если вектору дали начало и конец, например, точки A и B, то обозначается таким образом.

IMG_20230926_005417_134_edit_59213680273608.png

Иногда эту стрелку заменяют на черточку, кому-то так удобнее писать, — оба варианта подходят. Если же у отрезка ничего нет, то вектору дается в название малая латинская буква, например, альфа:

IMG_20230926_005416_910_edit_59176480682477.png

Схема со стрелочкой-черточкой такая же.

Давай еще раз посмотрим определение вектора: направленный отрезок, построенный по двум точкам. Так как всегда есть координаты, то и у векторов они тоже есть. Найти их достаточно просто — берем координаты конца и вычитаем из них начало:

IMG_20230926_005410_654_edit_59058745181063.png

Так как мы знаем теперь координаты, то можем и узнать длину вектора:

IMG_20230926_005410_605_edit_59052842179503.png

Эти формулы обязательно стоит знать идеально, так как в любых задачках о векторе сто процентов пригодится либо одна из них, либо обе. Они достаточно простые для запоминания, но обязательно прорешай бездну упражнений по векторам, чтобы никогда не забыть такие формулы, так как дальше все будет усложняться.

О нулевом векторе

Просто и быстро — он существует, у него нет направления. Почему его затрагивают? Потому что знать, что он существует — важно.

О проекции векторов

Тоже важная часть теории и практики — что такое проекция? Смотри, у тебя есть отрезок, допустим, а. Тебя просят опустить проекцию на какую-то прямую. Что ты будешь делать? Если коротко, то проекция — это длина отрезка, образованного точками начала и конца вектора. Так выглядит чертеж:

IMG_20230926_005410_842_edit_59075993733140.png

Если посмотреть внимательнее, можно заметить отмеченный угол. По другому проекцию можно приравнять к длине вектора, которую умножили на косинус угла между вектором и осью, куда направлена проекция.

Отношения векторов

Есть несколько видов отношения между векторами, так что давай их быстренько разберем:

  • Коллинеарные — если два вектора лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
  • Вектора сонаправленные — они обязательно должны быть коллинеарными, плюс, направлены в одну сторону.

Вектора противоположно направленные — если есть сонаправленные, то им должен быть противовес у векторов. Опять-таки, обязательно коллинеарные, но направление в разные стороны.

Компланарные — лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

IMG_20230926_005411_206_edit_59103400211359.png

Этим векторам можно приписать, что они компланарны — оба лежат в одной плоскости.

О базисном векторе

Приветствуем декартовую систему координат!

IMG_20230926_005410_546_edit_59046528725287.png

Выглядит она таким образом, сто процентов у тебя с ней уже была встреча и ни раз. Разложение по базисным векторам не так и сильно поможет тебе в школе — хотя знать об этом сто процентов надо, — но в ВУЗе тебя ждет новое знакомство с этими моментами. Само разложение выглядит примерно таким образом:

Где

  • а — это вектор,
  • i, j, k — базисные вектора по x, y, z соответственно.

Если ты скоро сдаешь ЕГЭ, а у тебя не получается номер по стереометрии, почитай побольше о таком разложении и о векторе в целом. Если все остальные номера у тебя натренированы в идеале, то можешь попробовать новый способ решения стереометрии — немного долгий, но если будут хорошие скиллы — простой и надёжный.

О векторе: операции

Модуль вектора — длина отрезка:

IMG_20230926_005410_670_edit_59064800830384.png

Это формула, если нужно посчитать длину у трехмерного вектора. Если же двумерный, то просто убери последнюю а из выражения. Можно заметить, что эта формула практически копия той, о которой мы говорили в начале статьи. Так и есть — это та же самая.

Сложение векторов

Как это происходит в координатном виде:

IMG_20230926_005411_183_edit_59094619445789.png

Легко, просто, логично. Ничего сложного нет, пару раз прорешаешь упражнение на эту тему — никогда не забудешь. А вот геометрическое построение векторов суммы — немного непонятно в начале.

Есть два способа:

По правилу треугольника:

IMG_20230926_005411_214_edit_59113918476876.png

Смотрим на треугольник. У тебя есть пара векторов: a, b. Допустим, они расположены таким образом:

IMG_20230926_005410_913_edit_59087784788188.png

Как их сложить треугольником? Нужно взять один из векторов, например, a, и к его стрелке перенести b, чтобы получился уголок, как на первой картинке, где треугольник уже есть. Сумма векторов, таким образом, будет представлена, если мы проведем еще один из векторов — новый, на картинке — c, — так, чтобы его начало было началом a, и он шел к другой стрелке. По рисунку достаточно легко понять, как эта схема работает с треугольником.

По правилу параллелограмма:

IMG_20230926_005423_124_edit_59307751705239.png

Опять у нас есть такие же названия наших любимых векторов. В этом способе отличие от правила с треугольником в том, что мы переносим начало к началу, достраиваем параллелограмм — отсюда и название, — и строим диагональ от той точки, где пересекаются части векторов.

По правилу многоугольника:

Его используют, если нужно сложить множество векторов, а не просто два. Схема такая: конец к началу и так раз за разом. Потом дочерчиваем, как мы сделали с треугольником, и вуаля — вот и ответ.

Модуль суммы двух векторов

IMG_20230926_005423_158_edit_59315573562215.png

Важно запомнить, прорешать несколько раз, чтобы понять, как работает.

Где встречается?

Бездна упражнений в школе, потом в ВУЗе, колледже по векторам, так что лучше с первого раза попытаться понять, как они работают. В ЕГЭ тоже встречаются, но не так часто и не так много, но подготовиться все-таки стоит — не забрасывай тему просто потому, что ее нет в КИМах, иначе много потеряешь в знаниях матеши.

Как запомнить?

Решай, как можно больше номеров. Большинство упражнений по векторам скорее муторные, нежели сложные, — чем быстрее и лучше наработаешь скилл, тем легче будет дальше изучать тему. Как говорилось ранее, с помощью векторов можно решить стереометрию на экзамене — как доказательство, так и сам номер полностью. Но чтобы это было продуктивно, а не пустой тратой времени, скилл и скорость должны быть действительно на уровне, поэтому куча бота, изучения теории тебя ждут. Даже планиметрию можно решать таким способом, но это совсем не рекомендуют препы.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 94 балла.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Встретимся на вебинарах!❤️

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты