Таблица производных функций

Что такое производная функции

Производная – это отношение прироста функции к приросту аргумента, когда этот прирост аргумента стремится к нулю:

Зачем нужна производная функции

В физике производная описывает законы движения. Скорость v(t) – это производная пути s(t) по времени, а ускорение a(t) – производная скорости. Иными словами, ускорение показывает, как быстро меняется скорость движения. Благодаря производным можно вычислять, с какой скоростью и как далеко доедет объект через заданное время, проанализировать, разгоняется он или замедляется. 

В геометрии производная позволяет найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке. Этот коэффициент равен значению производной и показывает наклон касательной – фактически скорость роста функции в конкретной точке. По нему можно определить, где график функции идет вверх (возрастает), а где – вниз (убывает). Так, производная возрастающей функции везде больше либо равна нулю, а производная убывающей – меньше либо равна нулю. Кроме того, точки, в которых производная обращается в ноль, используются для поиска экстремумов (локальных максимумов и минимумов) на графике.

Производные основных элементарных функций

Для быстрого вычисления производных используют справочные материалы – таблицу производных, в которой собраны производные наиболее распространенных элементарных функций. С помощью этой “шпаргалки” вы сразу получите результат, не выводя формулу заново каждый раз. Ниже представлена сводная таблица формул производных для некоторых элементарных функций:

Сводная таблица формул производных для некоторых элементарных функций. 

В левой колонке указана исходная функция y=fx, в правой – ее производная y'=f'x. Например, производная постоянной функции y=C равна 0. Для линейной функции y=x производная равна 1. Для степени y=xn формула дает y'=n⋅xn-1. В строках таблицы также указаны правила для тригонометрических функций, экспоненты, логарифма и других элементарных функций.

Рассмотрим несколько примеров из таблицы и их смысл. Возьмем нелинейный пример: y=x2. Тогда y'=2x. В отличие от линейного случая, производная 2x зависит от x: при увеличении x она растет, то есть по мере роста аргумента функция y=x2 увеличивается все быстрее. Мы видим, как меняется скорость изменения функции: при x=1 производная равна 2, а при x=5 – уже 10. Таким образом, чем больше x, тем круче поднимается парабола y=x2. В целом производная возрастающей функции сама может возрастать или убывать – это отражает ускорение или замедление роста исходной величины (то есть изменение скорости увеличения исходной величины).

Как пользоваться таблицей

При решении задач воспользуйтесь таблицей производных следующим образом:

1. Определите тип функции. Сначала выясните, к какому виду относится заданная функция. Это может быть многочлен, тригонометрическая функция (например, sin x), показательная ax, логарифм ln x и т. д. Если функция прямо соответствует одному из стандартных видов в таблице, сразу запишите ее производную по готовой формуле.
2. Примените нужную формулу из таблицы. Если функция содержит числовой коэффициент или сумму слагаемых, действуйте по основным правилам. Например, если дана y=3x4, то сначала используйте формулу для степени x4 (получится 4x3), а затем учтите коэффициент 3, умножив на него: выйдет y'=34x3=12x3. Если же нужно дифференцировать сумму или разность (скажем, y=x2+sinx), находите производную каждого слагаемого отдельно и складывайте результаты.
3. Сложные функции. Если аргумент функции сам является выражением [например, y=sin2x или y=ln5x2+2], то перед использованием таблицы необходимо применить специальное правило дифференцирования сложных функций (правило цепочки). Сначала берется производная внешней функции по таблице, а затем результат умножается на производную внутренней функции.

Общие правила дифференцирования

Эти правила дифференцирования значительно упрощают вычисления, позволяя разбивать сложную функцию на части. Рассмотрим основные из них:

1. Вынесение константы. Если функция умножается на постоянный коэффициент, этот коэффициент выносится за знак производной:

cfx'=cf'x.

Пример: y=5x3. Здесь 5 – константа. Согласно правилу, y'=5x3'=53x2=15x2.

2. Производная суммы (или разности) функций. Производная суммы двух функций равна сумме их производных, а при вычитании производная всегда равна их разности:

ux+vx'=u'x+v'x,

ux-vx'=u'x-v'x.

Пример: y=x2+sinx. Тогда y'=x2'+sinx'=2x+cosx.

Другими словами, для суммы двух функций результат находится сложением производных каждого слагаемого.

3. Производная произведения функций. Для произведения двух функций используется формула:

uxvx'=u'xvx+uxv'x.

Пример: y=x3⋅cosx. Применяем формулу произведения:

y'=x3'⋅cosx+x3cosx'=3x2⋅cosx-x3⋅sinx.

4. Производная частного двух функций. Если функция представляет собой отношение (частное) двух функций ux/vx, то ее производная вычисляется по правилу:

uxvx'=u'xvx-v'xuxvx2, vx0.

Пример: y=x2sinx. Используем формулу частного:

y'=x2'⋅sinx-sinx'⋅x2sin2x=2x⋅sinx-cosxx2sin2x.

5. Производная сложной функции (правило цепочки). Если функция имеет следующий вид композиции: y=fgx, то ее производная находится по правилу:

fgx'=f'gxg'x.

Иначе говоря, сначала дифференцируем внешнюю функцию f [оставляя в ней вместо аргумента выражение gx], а затем умножаем на производную внутренней функции g(x).

Правила дифференцирования сложных функций

Сложной называется функция, чей аргумент сам является другой функцией (или составным выражением). Проще говоря, если одна функция «вложена» в другую, то мы имеем дело со сложной функцией. Для нахождения ее производной применяется описанное выше правило цепочки. Рассмотрим, как это работает на практике.

1. Определяем внешнюю и внутреннюю функцию. Например, дана функция y=cos3x+5. Здесь внешняя функция fu=cosu, а внутренняя функция ux=3x+5.
2. Находим производные обеих функций. Производная внешней функции: f'u=cosu'=-sinu. Производная внутренней функции: u'x=3x+5'=3.
3. Перемножаем результаты. Подставляем u=3x+5 обратно: y'=f'uu'x=-sinu3=-3sin3x+5.

В результате получили производную исходной сложной функции: y'=-3sin3x+5. Правило цепочки можно применять последовательно, если вложенность функций многоуровневая – дифференцируя каждый уровень по очереди.

Решение примеров

Найдите производную функции y=2x+34.

Решение. Здесь функция задана как степень от линейного выражения, то есть является сложной. Внешняя часть – u4, внутренняя – u=2x+3. Найдем производные: внешняя u4'=4u3, внутренняя 2x+3'=2. Перемножаем: y'=4u32=8u3. Подставляя u=2x+3, получаем y'=82x+33. 

Мы рассмотрели, как понимать и быстро находить производные функций разных типов: от простых до составных. Зная таблицу типовых формул и основные правила дифференцирования, можно уверенно решать задачи на нахождение производной функции любой сложности. Помните: производная возрастающей функции всегда неотрицательна, а убывающей – не положительна; этот принцип поможет проверять результаты и качественно анализировать построенные графики.