Математика (профиль)

Арифметическая прогрессия

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
19 сентября 2023

Быстро нужно вспомнить формулу арифметической прогрессии? Держи:

IMG_20230903_225537_311_edit_54937905482896.png

Если хочешь подробнее разобраться, что является арифметической прогрессией, то продолжай читать!

Что это такое?

Если учишься в школе, то сто процентов учителя говорили про геометрическую и арифметическую прогрессии. Но у многих школьников возникает легкое непонимание этой темы «Арифметическая прогрессия» — не потому что она сложная, а потому что обычно ее слишком мало дают по программе. А обе эти прогрессии есть даже в ЕГЭ, так что обязательно запомни и осознай их различия.

Начнем с определения, что такое последовательность. Это бесконечный набор чисел, который обязательно подчиняется какому-то правилу. А теперь к прогрессиям — они есть не только в математике, но, например, и в музыке тоже. Прогрессиями в музыке называют последовательность аккордов в композиции. Зачем тебе эта информация? Просто интересный мини-факт. Разобрались с этим, тогда вернемся назад.

Раз уж заговорили не только об арифметических, но и геометрических прогрессиях, — давай быстренько разберем разницу. На самом деле, очень легко запомнить, чем они отличаются: арифметическая прогрессия — сложение, геометрическая — умножение. Это, конечно, не совсем корректно, зато помогает быстро запомнить отличие на поверхностном уровне. Давай вернемся к арифметической прогрессии.

Так что эта формула делает? Смотри, у тебя есть числовая последовательность. Как она появилась? Тебе захотелось к единице прибавить двойку, а потом еще раз прибавить двойку — и так как тебе было скучно, это дело затянулось, и у тебя есть огромная числовая последовательность, у которой шаг будет равняться двум. Почему? Потому что по условию у тебя была идея добавлять двойки — то число, которые ты добавляешь, и является шагом. Ты не знаешь точно, сколько раз добавилась цифра 2, но очень хочешь узнать. Как мы это сделаем? Если мы начали добавлять 2 к единице, а мы хотим узнать, сколько раз мы добавили двойку, то стоит сначала убрать из итогового числа эту первую единицу. Тогда у нас остается только двойка, умноженная на какое-то число. Делим на два — получаем, искомое. А если другой запрос — тебе очень лень прибавлять в ручную, теперь уже, тройку, но тебе интересно, сколько получится, если прибавить ее, допустим, 11 раз к четверке. Так, по прошлой логике, мы берем четверку и прибавляем к ней тройку, умноженную на одиннадцать. Получается тридцать семь. Если посмотреть на формулу для арифметических прогрессий в начале статьи, а именно:

IMG_20230903_225537_311_edit_54937905482896.png

То можно легко заметить, что все четко получается и по формуле. n — означает номер члена арифметической прогрессии, то есть из примера берем: a1 = 4. Тогда наш ответ — 37 — будет под номером 12, так как у нас появилось еще одиннадцать членов.

Если разбираться в самой формуле «Арифметическая прогрессия», то получается так:

Чтобы получить член прогрессии с номером n, мы должны к первому члену добавить (n-1) раз шаг прогрессии d. Если снова вернуться к примеру, то d = 3.

О свойствах

Кроме поиска n-ого члена арифметических прогрессий, можно кучу других вещей искать с помощью арифметической прогрессии. Начнем с самого простого. Если ты знаешь шаг, но не знаешь a1 — тоже есть формула для поиска an:

IMG_20230903_225538_039_edit_54880339404324.png

Тут все логично, но схема будет такой же, как мы использовали выше. Сначала мы ищем разницу между номерами членов. Зачем? Чтобы понять, сколько раз добавляли d. Как только находим, то сразу считаем дальше, сколько всего добавили, или вычли, из нашего исходного числа. И в конце, просто вычитаем эту разницу. Все довольно просто, не так ли?

А что делать, если не знаешь, чему равняется шаг? Не проблема, ведь есть такая формула:

IMG_20230903_225537_736_edit_54917298123268.png

Возможно, она покажется немного странной, но достаточно часто в задачках могут поставить похожее условие, чтобы запутать учеников, которые знают только основную формулу прогрессий. Также это — характеристическое свойство арифметической прогрессии — так сказать, условие, при выполнении которого прогрессию, или последовательность чисел, можно отнести к арифметическим.

А если тебе нужно узнать, чему равен шаг, то просто вычти из одного члена другой, который обязательно следует после него.

Что часто попадается в задачках на прогрессию, так это сумма арифметических прогрессий. Это встречается на ЕГЭ практически в каждом варианте КИМа, так что обязательно запомни!

IMG_20230903_225537_893_edit_54904371077596.png

Тут тоже все довольно понятно — чтобы получить сумму, нужно просто взять первый и последний член, которые относятся к одной из арифметических прогрессий, разделить на два, и умножить на номер последнего. Такая формула тебе очень поможет в разных задачках на арифметическую, поэтому обязательно либо выпиши себе, либо запомни.

О геометрических прогрессиях

Даже если тема статьи «Арифметическая прогрессия», все равно стоит поговорить и о других важных прогрессиях.

IMG_20230903_225538_016_edit_54893809184371.png

Пойдем по такому же пути: у тебя есть пятерка, и от скуки ты умножаешь ее много раз на шестерку. Ответ будет большим, но давай рассмотрим формулу еще раз:

  • bn, b1 и n — думаю, вполне понятно, что означают
  • q — это знаменатель прогрессий. Смотри, если мы решили много раз прибавлять одну и ту же цифру, то это получается умножение. А если мы умножаем одну и ту же цифру, то возводим в степень — если есть сомнения, скорее открывай свойства степеней. Поэтому в данном примере q = 6.

Есть один момент, если q равняется единице, то все равно подобные виды прогрессий существуют, просто называются «стационарными», так как не изменяется.

Свойства

IMG_20230903_225537_221_edit_54950896548933.png

Если хочешь найти знаменатель, вот тебе прекрасный вариант. В целом, его легко вывести самостоятельно, если помнишь либо основную формулу, либо идею.

Связь между арифметическими прогрессиями и геометрическими прогрессиями

У тебя есть последовательность чисел, — назовем арифметической прогрессией, — у которой а больше нуля, тогда вид у прогрессий:

IMG_20230903_230525_019_edit_55293074480208.png

будет геометрической прогрессией со знаменателем ad.

Что называют гармонической прогрессией?

Есть такая интересная штука, которую называют гармонической прогрессией. Что это? На самом деле, ее образовали обратными элементами арифметических прогрессий. У формулы вид такой:

IMG_20230903_225537_345_edit_54929451168472.png

Сумму для гармонических прогрессий найти невозможно, если тебе нужно целое число.

Где встречается?

Арифметическая прогрессия — часть школьной программы, поэтому, конечно, она будет тебя ждать в школе. На ЕГЭ, ОГЭ по математике без них нее обойтись — как минимум одно задание будет решаться арифметическими прогрессиями, или геометрическими, — номера в тестовой части, возможно задание на финансы, если говорить про ЕГЭ. В колледже, ВУЗе тоже встретится скорее всего. Если не обращать внимание на математику, то арифметическую прогрессию можешь ждать в физике, химии и информатике — это как минимум.

Как запомнить?

Главное в арифметических прогрессиях — это понять, как она работает. Со второй прогрессией такая же схема. Запоминание формул, работа с ними — на это уходит достаточно много времени, и если ты просто запомнил, но не понял суть, то все эти часы пропадут. Наработка скилла, конечно, важна для работы с прогрессиями, но понимание базы, доказательства — не менее важный аспект.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 94 балла.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Встретимся на вебинарах!❤️

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты