Что говорит теорема Пифагора
Формулировка выглядит просто: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Гипотенуза — это наиболее длинная сторона, она лежит напротив прямого угла. Катеты — две остальные стороны, которые этот угол образуют. Если обозначить их как a, b и c, то формула будет такой:
c² = a² + b²
Важно: теорема работает только для прямоугольных треугольников. Если угол не 90°, эта формула уже не подходит — там нужна теорема косинусов.
Почему теорема Пифагора так важна
Теорема Пифагора входит в базовый набор фактов, без которых дальше в математике тяжело. Она используется:
- в геометрии — когда считаем стороны треугольников, диагонали прямоугольников и квадратов;
- в алгебре и тригонометрии — при выводе формул для синуса и косинуса;
- в физике — когда нужно найти равнодействующую сил или скорость по двум взаимно перпендикулярным направлениям;
- в жизни — при разметке участка, строительстве лестниц и рам, в черчении, навигации, компьютерной графике.
Немного истории
Соотношение между частями прямоугольного треугольника люди заметили задолго до Пифагора. Вавилоняне и египтяне пользовались так называемыми пифагоровыми тройками — наборами целых чисел, которые удовлетворяют равенству: a² + b² = c².
Классический пример — тройка 3, 4 и 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
Такой треугольник называют «египетским».
Тем не менее именно Пифагору (или его школе) приписывают первое строгое доказательство теоремы, поэтому результат и носит его имя. С тех пор придумано несколько сотен доказательств: через подобие треугольников, через площади, через координаты, векторы и даже с элементами алгебры.
Школьное доказательство теоремы
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.
Шаг 1. Построим большой квадрат
Построим квадрат со стороной a + b. Его площадь равна: (a+b)2
Шаг 2. Разместим внутри треугольники
Внутри квадрата разместим четыре одинаковых прямоугольных треугольника, равных исходному. Возможны два способа их размещения:
- В первом случае в центре остается квадрат со стороной с.
- Во втором — остаются два квадрата со сторонами a и b.
Шаг 3. Сравним площади
Площадь большого квадрата в первом случае: 4⋅2ab+c2=2ab+c2.
Во втором случае: 4⋅2ab+a2+b2=2ab+a2+b2.
Так как это один и тот же квадрат, его площадь одинакова: 2ab+c2=2ab+a2+b2.
Сокращая 2ab, получаем: c2=a2+b2.
Есть еще один способ доказательства — через подобие треугольников. Схема такая:
- В прямоугольном треугольнике ABC проводят из прямого угла C высоту CH к гипотенузе.
- Получаются три треугольника: исходный ABC и два меньших — ACH и BCH.
- Эти три треугольника попарно подобны: у них одинаковые углы.
- Из подобия выписывают отношения сторон и в итоге получают формулу c² = a² + b².
Полезно не просто прочитать доказательство в учебнике, а один раз аккуратно проделать его самому: нарисовать чертеж, подписать стороны, прописать отношения. Тогда теорема в голове превращается не в голую фразу, а в логичную цепочку шагов.
Обратная теорема Пифагора
Есть и обратное утверждение: если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c² = a² + b², то угол между сторонами a и b — прямой.
Этой обратной теоремой удобно пользоваться, когда по условию даны только длины сторон, а нужно понять, прямоугольный ли треугольник.
Где теорема встречается в задачах
На уроках и экзаменах теорему Пифагора используют в типичных ситуациях:
- найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника;
- посчитать диагональ прямоугольника или квадрата;
- найти расстояние между точками на клетчатой или координатной плоскости;
- проверить, является ли треугольник прямоугольным;
Отдельно стоит запомнить формулу расстояния между точками на координатной плоскости. Если точки имеют координаты (x₁; y₁) и (x₂; y₂), то расстояние между ними равно:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Это та же самая теорема Пифагора, только записанная на языке координат.
Чуть более продвинутые задачи опираются на пифагоровы тройки. Например, если катеты 5 и 12, можно сразу вспомнить, что гипотенуза 13, не возводя числа в квадрат и не считая корень.
Как тренировать и запоминать теорему
Несколько рабочих приемов:
- Повесь формулу над столом или сделай закладку в тетради — чтобы она постоянно попадалась на глаза.
- Реши серию задач с разными типами чисел: маленькие, большие, дроби, корни.
- Разбери хотя бы одно доказательство теоремы до конца, не перепрыгивая шаги.
- Выучи наизусть несколько пифагоровых троек: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и т. п.
- При решении задач проговаривай вслух: «это — гипотенуза, это — катет, подставляю сюда», чтобы закрепить логику.
Чем чаще ты используешь теорему Пифагора, тем естественнее она становится. В какой-то момент формула начнет всплывать в голове так же легко, как таблица умножения.
Вопрос–Ответ
Можно ли применять теорему Пифагора в любом треугольнике?
Нет. Теорема работает только в прямоугольных треугольниках — там, где один угол равен 90°. В остальных случаях используют теорему косинусов или другие методы.
Что такое пифагоровы тройки и зачем они нужны?
Это наборы из трех целых чисел a, b, c, для которых выполняется равенство a² + b² = c². Такие тройки удобны в задачах, где длины сторон целые: зная несколько готовых наборов, можно быстро находить стороны треугольника без громоздких вычислений.
Как связана теорема Пифагора с тригонометрией?
Из нее выводится важная формула: sin²α + cos²α = 1
Если взять прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и обозначить прилежащий катет через cosα, а противолежащий — через sinα, то обычная теорема Пифагора сразу даст это равенство.
Что такое обратная теорема Пифагора и где ее используют?
Обратная теорема утверждает: если для сторон треугольника выполнено c² = a² + b², то треугольник прямоугольный. Ее применяют, когда нужно по трем сторонам понять тип треугольника: остроугольный, тупоугольный или прямоугольный.
Какие типичные ошибки бывают при использовании теоремы?
- Путают катет и гипотенузу и подставляют в формулу не ту сторону.
- Неправильно подписывают стороны на чертеже.
- Забывают возводить числа в квадрат.
- Пытаются извлечь корень из отрицательного числа из-за ошибок в вычислениях.
Хорошая привычка — каждый раз проверять: самая длинная сторона треугольника должна играть роль гипотенузы.
Используемые источники
Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев [и др.]. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2014.
Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7–11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 1993.
Киселёв, А. П. Геометрия: планиметрия, стереометрия / А. П. Киселев; под ред. Н. А. Глаголева. — М.: Физматлит, 2023. — 328 с.
Математическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977–1985.
