Математика (профиль)

Теорема косинусов треугольника

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
18 октября

Если тебе нужен быстрый ответ, так как ты в панике пытаешься вспомнить на или перед контрольной, то смотри ниже:

IMG_20230926_001831_552.png

А если у тебя есть больше времени, чтобы не гуглить в панике больше ответы, а сразу знать ответ, то оставайся с нами!

Про математику: о теореме косинусов треугольника

Так, давай для начала вспомним, что такое косинусы. Это — одна из тригонометрических функций. Чтобы найти функцию косинуса, нужно будет прилежащий катет угла разделить на гипотенузу. Если посмотреть на картинку:

IMG_20230926_001831_734_edit_57505037227437.png

Допустим, тебя спросят о косинусе угла ABC, какие тебе тогда придется взять стороны? Прилежащий — BC, и гипотенузу — AB. Просто считаешь, и вуаля — у тебя найдена функция косинуса. Если хочешь найти синус, — вдруг, — то тогда тебе понадобиться противолежащий, то есть AC разделить на AB.

Раз теперь вспомнили, то вернёмся назад к теме.

Давай снова посмотрим на формулу с косинусом:

IMG_20230926_001831_552.png

Что перед собой видишь? У треугольника есть три стороны — a, b, c. Мы ищем одну из этих сторон — c. Остальные две у нас уже есть — скорее всего по условию, или мы нашли это раньше в задачке. И у нас должен быть угол, который лежит напротив искомой стороны — c. Но не просто угол, а его косинус. Если у тебя есть синус, то просто с помощью тригонометрических тождеств разыщи его. Картинка, которая возможно поможет тебе понять, что происходит выше:

IMG_20230926_125410_821_edit_86437379666140.png

Перечитай текст еще раз, но теперь еще и смотри на чертеж, чтобы понимать, как это корректно выглядит.

О теореме: доказательство

О такой теореме не так часто говорят в школьных материалах — контрольных, ЕГЭ, — но все-таки её знать необходимо, так как иногда бывают случаи, когда решение с её помощью будет не быстрее или проще, а просто существовать. Для большего понимания лучше изучить, как её доказывают, — и не просто изучить, а прорешать самостоятельно, чтобы потом было проще вспоминать. Приступим?

IMG_20230926_125410_722_edit_86457792533424.png

Смотри, берёшь треугольник, например, ABC, — если мы уж говорим о стандартах. Из угла C опусти на противоположную сторону высоту — пусть будет точка D.

Высота — это отрезок, который опускают из вершины фигуры, например, пирамиды, на основание этой фигуры, — или его продолжение. Важное свойство: это перпендикуляр. Поэтому, если опускаешь высоту в треугольник, то у тебя получаются два прямоугольных, что очень удобно для решения бездны задач.

Теперь у нас есть 2 треугольника — поздравляем! А главное — оба прямоугольные — двойное поздравление! Находим стороны AD и DB.

Теперь ищем по Пифагору высоту — общий катет.

Приравниваем по этому катету — все-таки это один и тот же объект.

И смотрим, что у нас получилось — формула теоремы косинусов треугольника — ровно то, что мы и искали!

Где встречается?

Геометрические номера на контрольной, ЕГЭ, госах. С такой теоремой нужно обязательно хорошо знать теорию, чтобы не застрять на ровном месте в задачке. Она очень облегчает жизнь — попадается достаточно часто во второй части ЕГЭ по матеше. Но если ты не будешь ее знать, то решение найти будет невероятно сложно, — иногда даже невозможно, поэтому внимательно изучи материал по этой теме, чтобы не потерять важные баллы!

Как запомнить?

Лучший способ запоминания формул и теорем — нарешивание! Открываешь учебник, задачник, — если у тебя нет ни того, ни другого, или тебе просто лень за ними идти, то гуглишь номера по разделу, — и сидишь, решаешь. Просмотри как можно больше различных формулировок задач, — где-то надо будет найти сначала косинус, чтобы решить задачу, где-то стороны, — чтобы не пугаться, когда увидишь незнакомую формулировку на экзамене.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 90 баллов.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Жду тебя на курсе!❤️

Подробнее о курсе

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты