Математика (профиль)

Теорема синусов для треугольника

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
18 октября 2023

Тебе нужен быстрый ответ? Сидишь на контрольной или в панике вспоминаешь все, что можно перед ней? Тогда лови сразу:

unnamed-23.png

Если же у тебя есть время или ты не хочешь потом в панике вспоминать информацию перед классом, то читай дальше!

Что такое в математике: о теореме синусов для треугольника

Так как это часть тригонометрии, то стоит сначала вспомнить основные термины оттуда, чтобы было проще разбираться в материале.

Тригонометрия — это раздел математики, который отвечает за изучение тригонометрических функций. Что это такое? Косинусы, синусы, тангенсы, котангенсы и так далее. Так как нам нужна только функция из представленных выше, то давай быстренько вспомним, что такое синус в целом. Берем треугольник, — прямоугольный, — берем угол, — любой, но не прямой, — смотрим на него. Теперь видим противолежащий катет. Что дальше? Просто делим этот катет на гипотенузу — сторону, которая лежит напротив прямого угла. Вот тебе и синус.

Все понятно? Тогда возвращаемся.

Что делает эту теорему синусов популярной, зачем она существует? Она устанавливает связь между длинами сторон и противолежащими углами — это можно прекрасно увидеть в формуле:

Достаточно легко понять, что она делает и как ей пользоваться: знаешь сторону и противолежащий угол, плюс еще одну сторону или еще один угол? Подставляй и решай пропорцию. Легко, просто, удобно — класс! Но кроме такого вида формулы, есть еще один:

IMG_20230926_001821_881_edit_57448984044386.png

Здесь важное отличие в том, что это все равняется удвоенному радиусу окружности, которая описана около треугольника. Выглядит этот чертеж таким образом:

IMG_20230926_001821_964_edit_57465516690838.png

Такой треугольник встречается во второй части ЕГЭ невероятно часто, поэтому не забывай о существовании такого факта!

Доказательство

Есть несколько способов доказать эту теорему синусов, но давай разберем только один. Но! Обязательно, если не сейчас, то в ближайшее время, прорешай самостоятельно. Это поможет тебе как запомнить, так и понять материал в разы лучше. А так как эта теорема достаточно часто встречается в ЕГЭ — вторая часть по геометрии передаёт привет, — то хорошо её знать и осознавать поможет тебе быстро решать КИМ.

Это доказательство работает через разные формулы площади треугольников:

IMG_20230926_001821_231_edit_57407068217423.png
IMG_20230926_001821_481_edit_57425136409707.png

Это не самые известные варианты для нахождения площадей треугольников, но знать их все-таки стоит, так как они действительно могут помочь в трудной ситуации на экзамене — как в тесте, так и в письменной. Так вот, доказываем — что мы с ними сейчас будем делать? Правильно, приравнивать — это самое логичное действие, которое можно предложить в данной ситуации. По итогу у нас получается, если мы сделаем приравнивание три раза, — с разными углами для синуса, — что двойной радиус будет равен противолежащей стороне на синус. Достаточно легко, даже писать много не придется!

Где встречается?

Во многих геометрических номерах ты не сможешь найти решение, если не знаешь эту формулу. Ладно, не во многих, но достаточно часто, чтобы сто процентов знать об этой формуле. Если тебе скоро придётся сдавать ЕГЭ, то тебе точно придётся её выучить и много раз нарешать. Она попадается как в первой части, тестовой, так и во второй — письменной. Если хочешь получить большой балл, или даже максимум, то тебе придётся решать геометрию в КИМе.

Как запомнить?

Главный способ — нарешивать. Практически всегда в математике лучший способ, чтобы понять, или запомнить, материал это — нарешивание. Чем больше решаешь, тем лучше запоминаешь структуру самой теоремы, плюс, — условий задачи, к которой она подходит. Именно поэтому, когда наработаешь хороший скилл, подобные задачки не будут занимать много времени.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 94 балла.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Встретимся на вебинарах!❤️

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты