Что это за тема такая: «Область определения функции»? В школьной программе ее сто процентов изучают, но достаточно быстро и поверхностно, как часть материалов по теме «Функции», из-за чего возникают проблемы с пониманием материала как в школе, так и в ВУЗе. Если тебя сюда привел нелегкий вопрос в контрольной: «Найти область определения», то давай быстро восстановим и упорядочим знания по этой теме.
Что такое область определения функции?
Для начала хорошо бы разобраться, что есть функция. Официальное определение: это явление, которое зависит от другого и изменяется по мере изменения другого явления. Достаточно сложно и муторно для такого понятия, как «функция», не находишь? Стоит немного попроще разобрать значение:
Рассмотрим формулу выше: что она из себя представляет? Смотри, у тебя есть y, который зависит от x. Но эта величина — x — следует определенному закону, или правилу, для которого есть буковка f. По другому функции можно называть взаимосвязью.
Раз уж мы определили, что есть функция, то теперь вернемся к значению главной идеи статьи.
Область определения — это множество, на котором задается функция. Или еще можно сказать — это множество, у которого в каждой точке значение функции обязательно определено. Что такое значение функции? Это y. То есть, области определения — это те промежутки, или промежуток, на которых у тебя будет ответ сто процентов. А значит — у тебя будет блок иксов, для которых существует значение y — функция.
Как найти область определения функции?
Сначала давай поймем, как правильно ее обозначать — не писать же каждый раз огромное словосочетание — область определения функций. Корректным способом будет написать:
Потом уже ставится равно и указывается промежуток — значение. Запоминать значки в математике очень важно — это конкретный язык. Не будешь же ты продуктивно общаться с человеком, который говорит на другом языке, если хотя бы азов не знаешь. Так работает и с математикой — понимать значение символа равняется иметь минимальное понимание языка.
Самый простой и гениальный способ нахождения области определения функции — начертить график: смотришь, как он выглядит, переписываешь значение. Но это работает в случае, когда ты уже умеешь чертить графики функций, так что не теряй такой скилл, если он у тебя развит! Но есть несколько быстрых аналитических способов, чтобы найти значение функции.
Смотрим на функцию — что мы видим? Что она постоянная. Что это значит? Обычно это означает, что у тебя выражение — функция — выглядит примерно так: y = 3 — или любое другое число. Это значит, что неважно, какой икс у тебя будет, все равно игрек существует — функция.
Дальше — видим степень в функции. Что мы сразу понимаем? Степень больше нуля — подходят все иксы. Меньше — убираем нуль из прямой. Нецелое число? Больше нуля — от него и до бесконечности в положительную сторону. Меньше — не включая 0, в бесконечность.
Так, теперь функции с корнем. Тут все просто: если корень четный, — пример, квадратный, — то от 0 до конца. Если наоборот — то вся бесконечность.
Видим логарифм в функции — выдыхаем: всегда
.
Затронем еще раз популярные примеры: функции и их области определения для линейной, квадратичной, кубической функций — все действительные числа — обозначаются буквой R, если нет каких-либо дополнительных ограничений в выражении. То же самое для функций синуса, косинуса, экспоненты и многочленов.
Математика: об области значения функции
Как только говорят об области определения функции, сразу идет следующее понятие — значение. Да, идея статьи не про эти области функции, но затронуть все-таки их надо, так как они идут практически всегда вместе. Но главное — их очень часто путают, а из-за этого можно много дров наломать и потерять хорошую оценку. Если для области определения функции у нас был блок иксов, то для области значения функции — блок игреков. Достаточно просто и логично, но не забывай термины!
Где встречается?
Вопросов по типу: «Определите область определения данной функции»; — пока в ЕГЭ профиля нет, но это не значит, что знать эту информацию про функции необязательно. Это одна из базовых структур для понимания графиков функций, — а это точно пригодится тебе на экзамене, поэтому не пропускай информацию про функции мимо себя. Если не считать школу, то в ВУЗе преподы будут рассчитывать, что ты уже знаешь этот материал в идеале, и не будут много времени ему уделять, — а это важная часть математического анализа. Сто процентов на одном из семинаров у тебя будет задание: «Найти область функции» . Так что, если не хочешь в панике на первом курсе пытаться понять этот материал, то учи ее заранее, чтобы больше не беспокоиться о ней.
Как запомнить?
Наибольшую сложность вызывает именно отличие области определений функций от значений и всех маленьких деталей, которые на самом деле очень важны для понимания. Чтобы научиться их разделять, несколько раз объясни теорию по теме «Функции» кому угодно — своим друзьям, родителям, коту. Главное произноси вслух и пытайся осознать, что ты говоришь. Это не особо можно нарешать, так как теория, — но и без нарешивания как-то информацию усваивать есть возможность же. Но все равно придется открывать задачник, решать такие примерчики сразу после того, как у тебя перестали возникать большие вопросы к этому материалу. Нарешивание поможет быстро вычислять области, даже если просто один раз взгляд упал на выражение.
