Математика (профиль)

Математика: область определения функции

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
18 октября 2023

Что это за тема такая: «Область определения функции»? В школьной программе ее сто процентов изучают, но достаточно быстро и поверхностно, как часть материалов по теме «Функции», из-за чего возникают проблемы с пониманием материала как в школе, так и в ВУЗе. Если тебя сюда привел нелегкий вопрос в контрольной: «Найти область определения», то давай быстро восстановим и упорядочим знания по этой теме.

Что такое область определения функции?

Для начала хорошо бы разобраться, что есть функция. Официальное определение: это явление, которое зависит от другого и изменяется по мере изменения другого явления. Достаточно сложно и муторно для такого понятия, как «функция», не находишь? Стоит немного попроще разобрать значение:

IMG_20230926_001842_211_edit_57609892679949.png

Рассмотрим формулу выше: что она из себя представляет? Смотри, у тебя есть y, который зависит от x. Но эта величина — x — следует определенному закону, или правилу, для которого есть буковка f. По другому функции можно называть взаимосвязью.

Раз уж мы определили, что есть функция, то теперь вернемся к значению главной идеи статьи.

Область определения — это множество, на котором задается функция. Или еще можно сказать — это множество, у которого в каждой точке значение функции обязательно определено. Что такое значение функции? Это y. То есть, области определения — это те промежутки, или промежуток, на которых у тебя будет ответ сто процентов. А значит — у тебя будет блок иксов, для которых существует значение y — функция.

Как найти область определения функции?

Сначала давай поймем, как правильно ее обозначать — не писать же каждый раз огромное словосочетание — область определения функций. Корректным способом будет написать:

IMG_20230926_001842_370_edit_57623010898694.png

Потом уже ставится равно и указывается промежуток — значение. Запоминать значки в математике очень важно — это конкретный язык. Не будешь же ты продуктивно общаться с человеком, который говорит на другом языке, если хотя бы азов не знаешь. Так работает и с математикой — понимать значение символа равняется иметь минимальное понимание языка.

Самый простой и гениальный способ нахождения области определения функции — начертить график: смотришь, как он выглядит, переписываешь значение. Но это работает в случае, когда ты уже умеешь чертить графики функций, так что не теряй такой скилл, если он у тебя развит! Но есть несколько быстрых аналитических способов, чтобы найти значение функции.

Смотрим на функцию — что мы видим? Что она постоянная. Что это значит? Обычно это означает, что у тебя выражение — функция — выглядит примерно так: y = 3 — или любое другое число. Это значит, что неважно, какой икс у тебя будет, все равно игрек существует — функция.

Дальше — видим степень в функции. Что мы сразу понимаем? Степень больше нуля — подходят все иксы. Меньше — убираем нуль из прямой. Нецелое число? Больше нуля — от него и до бесконечности в положительную сторону. Меньше — не включая 0, в бесконечность.

Так, теперь функции с корнем. Тут все просто: если корень четный, — пример, квадратный, — то от 0 до конца. Если наоборот — то вся бесконечность. Видим логарифм в функции — выдыхаем: всегда IMG_20230926_001842_204_edit_57582739617616.png .

Затронем еще раз популярные примеры: функции и их области определения для линейной, квадратичной, кубической функций — все действительные числа — обозначаются буквой R, если нет каких-либо дополнительных ограничений в выражении. То же самое для функций синуса, косинуса, экспоненты и многочленов.

Математика: об области значения функции

Как только говорят об области определения функции, сразу идет следующее понятие — значение. Да, идея статьи не про эти области функции, но затронуть все-таки их надо, так как они идут практически всегда вместе. Но главное — их очень часто путают, а из-за этого можно много дров наломать и потерять хорошую оценку. Если для области определения функции у нас был блок иксов, то для области значения функции — блок игреков. Достаточно просто и логично, но не забывай термины!

Где встречается?

Вопросов по типу: «Определите область определения данной функции»; — пока в ЕГЭ профиля нет, но это не значит, что знать эту информацию про функции необязательно. Это одна из базовых структур для понимания графиков функций, — а это точно пригодится тебе на экзамене, поэтому не пропускай информацию про функции мимо себя. Если не считать школу, то в ВУЗе преподы будут рассчитывать, что ты уже знаешь этот материал в идеале, и не будут много времени ему уделять, — а это важная часть математического анализа. Сто процентов на одном из семинаров у тебя будет задание: «Найти область функции» . Так что, если не хочешь в панике на первом курсе пытаться понять этот материал, то учи ее заранее, чтобы больше не беспокоиться о ней.

Как запомнить?

Наибольшую сложность вызывает именно отличие области определений функций от значений и всех маленьких деталей, которые на самом деле очень важны для понимания. Чтобы научиться их разделять, несколько раз объясни теорию по теме «Функции» кому угодно — своим друзьям, родителям, коту. Главное произноси вслух и пытайся осознать, что ты говоришь. Это не особо можно нарешать, так как теория, — но и без нарешивания как-то информацию усваивать есть возможность же. Но все равно придется открывать задачник, решать такие примерчики сразу после того, как у тебя перестали возникать большие вопросы к этому материалу. Нарешивание поможет быстро вычислять области, даже если просто один раз взгляд упал на выражение.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 94 балла.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Встретимся на вебинарах!❤️

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты