Математика (профиль)

Что такое аксиома?

Автор статьи:
Владислав Смирнов
Преподаватель Турбоподготовки к ЕГЭ
18 октября 2023

Тебе нужен быстрый ответ? Лови: Аксиома — это истина без доказательств. Если это был вопрос в тесте, который сейчас решаешь, то можешь дальше не читать. Если же у тебя есть время, то оставайся, чтобы узнать больше об аксиомах.

Почему существуют аксиомы?

Представь, что ты смотришь в задание на контрольной по геометрии, а в условии требуется доказать что-то. Таких задачек бездна в геометрии — от них не сбежать. Какой у тебя план действий? Посмотреть на условие, проделать какие-то дополнительные действия возможно — найти, начертить; и, вспомнив теорию, написать ответ. Иногда бывает, что сделать придется всего одно действие, например, вычесть угол, чтобы доказать равносторонний треугольник. В другом случае доказательство может растянуться на несколько страниц, обязательно вместе с чертежами. Но в какой момент можно перестать доказывать — в какой момент остановиться? Чтобы любую задачу не расписывать на всю тетрадь, или бесконечно писать без возможности выхода, используют аксиомы — утверждения, которые не требуют доказательства, на которых можно остановиться.

Аксиома встречается не только в математике, в геометрии — во многих науках есть свои аксиомы, которые обязательно нужно знать. Это — основы, без которых понять науку будет невозможно. Вот представь, если бы тебе сказали, что ты можешь жить без дыхания. Как такое возможно? Для большинства живущих существ необходим кислород — без него мы просто перестаём существовать. Мы не задаёмся вопросом «Как дышать?», мы делаем это автоматически. В науках аксиомы — это то, что делается, выполняется автоматически. Если ты хочешь хорошо разбираться в, например, геометрии, тебе придётся знать её аксиомы в такой степени, в какой ты знаешь, как дышать.

Аксиоматизация

Аксиоматизация теории — другими словами, формализация, — это указание конечного набора аксиом. То есть случай, который описывался выше в статье, где не было конца доказательствам, не может произойти, так как существует аксиоматизация теории — наличие конечной аксиомы, одной или нескольких.

Теорема

Раз уж мы разобрали, что такое аксиома, то стоит и поговорить про теорему. Если для предыдущего термина — аксиомы — доказательства не нужны, то теорема работает наоборот — это утверждение, истинность которого должны доказать. Как это сделать? Основываясь на аксиомах и ранее доказанных теоремах.

Достаточно часто в геометрических задачках доказательство теорем — это один из шагов на пути к ответу, то есть, чтобы дать его, тебе придется проделать кучу других действий, в число которых входит доказательство. Это вполне муторные примеры, поэтому на экзаменах, например, ЕГЭ, многие ученики стараются избегать стереометрические и планиметрические номера, так как они занимают бездну времени. Например, стереометрическую задачу на ЕГЭ не любят, как раз из-за большого количества времени, которое уходит на ее решение, особенно, если у ученика нет превосходного скилла для их решения. Чертеж, доказывание, решение задачки — все вместе это занимает действительно кучу времени, поэтому многие считают, что такой номер не стоит делать — не тратить важные минуты.

Вспомогательные термины

Гипотеза
Мы идем немного не по порядку, но давай посмотрим, что такое гипотеза. Это — непроверенное утверждение, которое считается верным. Вот смотри, у тебя есть аксиомы, про которые мы говорили в начале статьи, потом идет гипотеза — какая-то идея, но у тебя еще нет ее доказательств; и после этого идет теорема. То есть, когда берут гипотезу, защищают ее с помощью аксиомы, получается теорема.
Лемма
Лемма — это вспомогательная теорема. В целом, объяснение говорит само за себя, так что пояснять, думаю, не стоит. Встречается в школе этот термин довольно часто.

Зачем это знать?

Знание определенной базы математики — это обязательный фактор понимания науки. Некоторые представляют математику, как язык, — вот представь, ты пытаешься поговорить с другим человеком, но у вас нет общего языка для общения — какой диалог тогда получится? Да, можно попытаться пообщаться с помощью жестов, но математический язык работает только с помощью бумаги — значки, символы, определенные буквы, которые обозначают конкретные идеи. Учить матешу и так не просто, а если ты не понимаешь язык, на котором она представляется, то можно попрощаться с идеей понять этот предмет. Знать значки и символы это одно, но также есть и вот такие термины, как аксиомы, гипотезы, которые тоже обязательны к изучению, а то будешь на экзамен сидеть пытаться доказать теорему Пифагора, не понимая, когда уже можно остановиться.

Знание основ предмета — обязательный этап для хорошего понимания всего предмета, в особенности действительно сложных тем. Если после школы идешь в ВУЗ или колледж, то сбежать от матеши у тебя не получится, — проще сразу стараться изучать материал, чтобы потом не нагонять со стрессом и недосыпом.

Где встречается?

Вряд ли на экзаменах в старшей школе будет вопрос в тесте: «Объясните, что такое аксиомы.» Но понимание таких терминов необходимо для хорошей работы с задачниками, учебниками, на уроках в школе. Если у тебя прекрасно получается решать трудные задачи, но проблемы с терминологией, то займись теорией как следует — потерять важные баллы только из-за одного неправильного слова в решение планиметрической задачи на ЕГЭ будет невероятно печально.


Владислав Смирнов

🏆 Результаты выпускников Турбо на ЕГЭ по профилю:

  • Выпустили более 40 стобалльников
  • 187 человек получили на ЕГЭ 90+ баллов, 1703 ученика сдали экзамен на 80+ баллов
  • +53 балла к стартовому результату учеников годового курса
  • Средний результат учеников, прошедших курс, на 13 баллов выше, чем средний по России.
  • Наши ученики поступают в МГУ, ВШЭ, МГИМО, СПбГУ, РАНХиГС, КФУ, РЭУ Плеханова и другие топовые универы."

Обо мне:

  • Окончил физмат Лицей, далее экономический факультет Санкт-Петербургского государственного экономического университета.
  • Возглавлял Молодёжный Экономический Клуб в СПбГЭУ, основал всероссийскую Молодёжную Ассоциацию Клубов Управленческой Борьбы. Проводил занятия во десятках ВУЗов различных городов.
  • Регулярно сдаю ЕГЭ, последний раз сдал на 94 балла.
  • Подготовка должна быть комфортной, поэтому я лично общаюсь с каждым учеником и создаю уютную атмосферу на вебинарах!
  • Чтобы лучше понять материал на вебинарах мы открываем киндеры, смешиваем колу с молоком и едим пиццу.

Встретимся на вебинарах!❤️

Подробнее о курсе
Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной): разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты