Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной плоскости с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ).

Четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадраты, так как: 1. $AB=BC=CD=DA$ и диагонали $BD$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и равны (см. рис. ). 2. $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1$ и диагонали $B_1D_1$ и $A_1C_1$ взаимно перпендикулярны и равны. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей квадратов со сторонами $AB=√ {9+9}=√ {18}$ и $A_1B_1=√ {1+1}=√ {2}$. $S=S_{1}-S_2=AB^2-A_1B_1^2=(√ {18})^2-(√ {2})^2=18-2=16$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {10}$ см $×$ $√ {10}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△ABM$ $AB = √{MB^2 + AM^2} = √{(3√10)^2 + (√10)^2} = √{9 · 10 + 10} = 10; AB = CD = 13$. Из $△ADE : AD = √{AE^2 + DE^2} = √{(6√10)^2 + (2√10)^2} = √{36 · 10 + 4 · 10} = 20, BC = AD$. Итак, периметр $P = 2(AB + AD) = 2 · (10 + 20) = 60$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, $∠CAB = 90°$. Тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(1;4)$, $(10;4)$ (см. рис. ).

$S_{AOB} = {1}/{2}·OK·AB = {1}/{2}·4·9=18$

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(3;8)$, $(9;5)$ (см. рис. ).

$S_{AOB} = S_{OKCD} - (S_{OKA} + S_{ACB} + S_{OBD}) = 9·8-({1}/{2}·8·3+{1}/{2}·6·3+ {1}/{2}·9·5) = 72-(12+9+22.5) = 72-43.5 = 28.5$

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён прямоугольник (см. рис. ). Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

$ABCD$ по условию прямоугольник (см. рис. ), центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, то есть диагональ $AC$ является её диаметром, равным $6$, значит, радиус этой окружности равен $3$.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{8}$ дуги окружности. Вычислим $18 · 360° = 45°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис.). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $▵ ABC$, равен $10$, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен $5$.

На клетчатой бумаге изображены два круга (см. рис. ). Площадь внутреннего круга равна $27$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов радиусов $R = 5a$ и $r = 3a$, где $a$ — длина стороны клетки, тогда $S = πR^2 - πr^2 = π · (5a)^2 - π · (3a)^2 = 25πa^2 - 9πa^2 = 16πa^2$; но по условию площадь малого круга равна $27$, то есть $9πa^2 = 27, πa^2 = 3$. Подставим $πa^2 = 3$ в $S = 16πa^2 = 16 · 3 = 48$.

На клетчатой бумаге изображён круг (см. рис. ). Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна $18$?

По условию площадь заштрихованной части круга равна 18, тогда площадь круга можно найти из формулы: $S{сектора} = S_{круга}360° · 90°; S_{круга} = {360 · S}/{90} = 4 ·S = 4·18=72$.

На клетчатой бумаге изображён круг (см. рис. ). Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна $12$?

По условию площадь заштрихованной части круга равна 12, тогда площадь круга можно найти из формулы: $S{сектора} = S_{круга}360° · 135°; S_{круга} = {360 · S_{сектора}}/{135} = {360 · 12}/{135} = 32$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис. ). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $△ABC$ равен 8, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 4.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{4}$ дуги окружности. Вычислим ${1}/{4} · 360° = 90°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √{AM^2 + MB^2} = √{(2√13)^2 + (3√13)^2} = √{4 · 13 + 9 · 13} = 13; AB = CD = 13$. Из $△BNC : AD = BC = √{BN^2 + NC^2} = √{(4√13)^2 + (6√13)^2} = √{16 · 13 + 36 · 13} = √{13 · 13 · 4} = 26, BC = AD = 26$. Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной плоскости с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ).

Четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадраты, так как: 1. $AB=BC=CD=DA$ и диагонали $BD$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и равны (см. рис. ). 2. $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1$ и диагонали $B_1D_1$ и $A_1C_1$ взаимно перпендикулярны и равны. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей квадратов со сторонами $AB=√ {9+9}=√ {18}$ и $A_1B_1=√ {1+1}=√ {2}$. $S=S_{1}-S_2=AB^2-A_1B_1^2=(√ {18})^2-(√ {2})^2=18-2=16$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {10}$ см $×$ $√ {10}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△ABM$ $AB = √{MB^2 + AM^2} = √{(3√10)^2 + (√10)^2} = √{9 · 10 + 10} = 10; AB = CD = 13$. Из $△ADE : AD = √{AE^2 + DE^2} = √{(6√10)^2 + (2√10)^2} = √{36 · 10 + 4 · 10} = 20, BC = AD$. Итак, периметр $P = 2(AB + AD) = 2 · (10 + 20) = 60$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, $∠CAB = 90°$. Тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(1;4)$, $(10;4)$ (см. рис. ).

$S_{AOB} = {1}/{2}·OK·AB = {1}/{2}·4·9=18$

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(3;8)$, $(9;5)$ (см. рис. ).

$S_{AOB} = S_{OKCD} - (S_{OKA} + S_{ACB} + S_{OBD}) = 9·8-({1}/{2}·8·3+{1}/{2}·6·3+ {1}/{2}·9·5) = 72-(12+9+22.5) = 72-43.5 = 28.5$

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён прямоугольник (см. рис. ). Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

$ABCD$ по условию прямоугольник (см. рис. ), центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, то есть диагональ $AC$ является её диаметром, равным $6$, значит, радиус этой окружности равен $3$.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{8}$ дуги окружности. Вычислим $18 · 360° = 45°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис.). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $▵ ABC$, равен $10$, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен $5$.

На клетчатой бумаге изображены два круга (см. рис. ). Площадь внутреннего круга равна $27$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов радиусов $R = 5a$ и $r = 3a$, где $a$ — длина стороны клетки, тогда $S = πR^2 - πr^2 = π · (5a)^2 - π · (3a)^2 = 25πa^2 - 9πa^2 = 16πa^2$; но по условию площадь малого круга равна $27$, то есть $9πa^2 = 27, πa^2 = 3$. Подставим $πa^2 = 3$ в $S = 16πa^2 = 16 · 3 = 48$.

На клетчатой бумаге изображён круг (см. рис. ). Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна $18$?

По условию площадь заштрихованной части круга равна 18, тогда площадь круга можно найти из формулы: $S{сектора} = S_{круга}360° · 90°; S_{круга} = {360 · S}/{90} = 4 ·S = 4·18=72$.

На клетчатой бумаге изображён круг (см. рис. ). Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна $12$?

По условию площадь заштрихованной части круга равна 12, тогда площадь круга можно найти из формулы: $S{сектора} = S_{круга}360° · 135°; S_{круга} = {360 · S_{сектора}}/{135} = {360 · 12}/{135} = 32$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис. ). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $△ABC$ равен 8, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 4.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{4}$ дуги окружности. Вычислим ${1}/{4} · 360° = 90°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √{AM^2 + MB^2} = √{(2√13)^2 + (3√13)^2} = √{4 · 13 + 9 · 13} = 13; AB = CD = 13$. Из $△BNC : AD = BC = √{BN^2 + NC^2} = √{(4√13)^2 + (6√13)^2} = √{16 · 13 + 36 · 13} = √{13 · 13 · 4} = 26, BC = AD = 26$. Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Задание 9. Задачи на квадратной решетке. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл.

Задачи для практики

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от точки $A$ до прямой $BC$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён квадрат (см. рис. ) Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(2;2)$, $(8;3)$, $(9;6)$, $(6;5)$ (см. рис. ).

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Найдите площадь $S$ закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ). В ответе запишите ${S} / {π}$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины $A$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:

Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
Научишься быстро анализировать графики функций
Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 9. Задачи на квадратной решетке. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (базовой)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)