На клетчатой бумаге изображены два круга (см. рис. ). Площадь внутреннего круга равна $12$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры (см. рис. ) равна разности площадей кругов радиусов $R=5a$ и $r=2a$, где $a$ — длина стороны клетки, тогда $S=π R^2-π r^2=π⋅ (5a)^2-π⋅ (2a)^2=25π a^2-4π a^2=21π a^2$; но по условию площадь малого круга равна $12$, то есть $4π a^2=12$, $π a^2=3$. Подставим $π a^2=3$ в $S=21π a^2=21⋅ 3=63$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, $∠CAB = 90°$. Тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от от точки $A$ до прямой $BC$.

Найдём стороны $△ABC$. Из $△AСM : AC = √{AM^2 + MC^2} = √{9+16} = √{25}=5$; Из $△BDC : BC = √{BD^2 + DC^2} = √{16+64} = √{80}=4√$. $AB=5$. Итак, $△ABC$ — равнобедренный, значит высота $AK$ является и медианой. Точка $K$ делит $BC$ пополам, $BK = {BC}/{2}=2√5$. Из $△AKB : AK^2 = AB^2 - KB^2 = 25 - 4·5 = 5. AK^2 = 5$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от точки $A$ до прямой $BC$.

Найдём стороны $△ABC$. Из $△ABM : AB = √{AM^2 + MB^2} = √{25 + 9} = √34$; Из $△ADC : AC = √{AD^2 + DC^2} = √{9 + 25} = √34$. Из $△BF C : BC = √{BF^2 + FC^2} = √{4 + 64} = √{68} = 2√17$. Итак, $△ABC$ — равнобедренный, значит высота $AK$ является и медианой. Точка $K$ делит $BC$ пополам, $BK = {BC}/{2}$. $BK = √17$. Из $△ABK : AK^2 = AB^2 - BK^2 = 34 - 17 = 17. AK^2 = 17$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён прямоугольник (см. рис. ). Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

$ABCD$ по условию прямоугольник (см. рис. ), центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, то есть диагональ $AC$ является её диаметром, равным $6$, значит, радиус этой окружности равен $3$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √{AM^2 + MB^2} = √{(2√13)^2 + (3√13)^2} = √{4 · 13 + 9 · 13} = 13; AB = CD = 13$. Из $△BNC : AD = BC = √{BN^2 + NC^2} = √{(4√13)^2 + (6√13)^2} = √{16 · 13 + 36 · 13} = √{13 · 13 · 4} = 26, BC = AD = 26$. Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{4}$ дуги окружности. Вычислим ${1}/{4} · 360° = 90°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображена трапеция (см. рис. ). Найдите длину средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN = {BC + AD}/{2} = {4 + 8}/{2} = 6$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что $△ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2, △ABC$ — равнобедренный, $∠C AB = 90°$, тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(2;2)$, $(8;3)$, $(9;6)$, $(6;5)$ (см. рис. ).

Рассмотрим рисунок. $S_{ABCD}=S_{AMCN}-(S_{AKD}+S_{KDCN}+ $ $+S_{CMEB}+S_{ABE})=7⋅ 4-({1} / {2}⋅ 3⋅ 4+{4+7} / {2}⋅ 1+{1+4} / {2}⋅ 1+{1} / {2}⋅ 6⋅ 1)=$ $=28-(6+5{,}5+2{,}5+3)=28-17=11$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис.). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $▵ ABC$, равен $10$, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен $5$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины $A$.

$BC = 8, BO = OC$, значит, $AO$ — медиана и высота, $△ABC$ — равнобедренный и $AO$ является биссектрисой. $AO = 7$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его медианы, проведённой из вершины $B$ (в сантиметрах).

Длина медианы проведённой из $B$, равна половине длины гипотенузы в $△ABC, ∠B = 90°. AC^2 = AB^2 + BC^2; AC^2 = 144 + 25 = 169, AC = 13. m_B = {AC}/{2}= {13}/{2}=6.5$.

Найдите площадь $S$ закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ). В ответе запишите ${S} / {π}$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

$S = {S_{круга}}/{360°}·135° = {π·4^2·3}/{8} = 6π$. ${S}/{π} = {6π}/{π} = 6$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис. ). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $△ABC$ равен 8, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 4.

На клетчатой бумаге изображены два круга (см. рис. ). Площадь внутреннего круга равна $12$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры (см. рис. ) равна разности площадей кругов радиусов $R=5a$ и $r=2a$, где $a$ — длина стороны клетки, тогда $S=π R^2-π r^2=π⋅ (5a)^2-π⋅ (2a)^2=25π a^2-4π a^2=21π a^2$; но по условию площадь малого круга равна $12$, то есть $4π a^2=12$, $π a^2=3$. Подставим $π a^2=3$ в $S=21π a^2=21⋅ 3=63$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, $∠CAB = 90°$. Тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от от точки $A$ до прямой $BC$.

Найдём стороны $△ABC$. Из $△AСM : AC = √{AM^2 + MC^2} = √{9+16} = √{25}=5$; Из $△BDC : BC = √{BD^2 + DC^2} = √{16+64} = √{80}=4√$. $AB=5$. Итак, $△ABC$ — равнобедренный, значит высота $AK$ является и медианой. Точка $K$ делит $BC$ пополам, $BK = {BC}/{2}=2√5$. Из $△AKB : AK^2 = AB^2 - KB^2 = 25 - 4·5 = 5. AK^2 = 5$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от точки $A$ до прямой $BC$.

Найдём стороны $△ABC$. Из $△ABM : AB = √{AM^2 + MB^2} = √{25 + 9} = √34$; Из $△ADC : AC = √{AD^2 + DC^2} = √{9 + 25} = √34$. Из $△BF C : BC = √{BF^2 + FC^2} = √{4 + 64} = √{68} = 2√17$. Итак, $△ABC$ — равнобедренный, значит высота $AK$ является и медианой. Точка $K$ делит $BC$ пополам, $BK = {BC}/{2}$. $BK = √17$. Из $△ABK : AK^2 = AB^2 - BK^2 = 34 - 17 = 17. AK^2 = 17$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён прямоугольник (см. рис. ). Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

$ABCD$ по условию прямоугольник (см. рис. ), центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, то есть диагональ $AC$ является её диаметром, равным $6$, значит, радиус этой окружности равен $3$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √{AM^2 + MB^2} = √{(2√13)^2 + (3√13)^2} = √{4 · 13 + 9 · 13} = 13; AB = CD = 13$. Из $△BNC : AD = BC = √{BN^2 + NC^2} = √{(4√13)^2 + (6√13)^2} = √{16 · 13 + 36 · 13} = √{13 · 13 · 4} = 26, BC = AD = 26$. Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{4}$ дуги окружности. Вычислим ${1}/{4} · 360° = 90°$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображена трапеция (см. рис. ). Найдите длину средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN = {BC + AD}/{2} = {4 + 8}/{2} = 6$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону $BC$.

Найдём стороны треугольника $ABC, AB = √{26} · √{13} = 13√2, AC = √{26} · √{13} = 13√2, BC = √{52} · √{13} = 2 · 13 = 26$. Получаем, что $△ABC$ — прямоугольный, так как $BC^2 = AB^2 + AC^2, △ABC$ — равнобедренный, $∠C AB = 90°$, тогда высота, опущенная на сторону $BC$ будет равна половине $BC$, то есть $13$.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(2;2)$, $(8;3)$, $(9;6)$, $(6;5)$ (см. рис. ).

Рассмотрим рисунок. $S_{ABCD}=S_{AMCN}-(S_{AKD}+S_{KDCN}+ $ $+S_{CMEB}+S_{ABE})=7⋅ 4-({1} / {2}⋅ 3⋅ 4+{4+7} / {2}⋅ 1+{1+4} / {2}⋅ 1+{1} / {2}⋅ 6⋅ 1)=$ $=28-(6+5{,}5+2{,}5+3)=28-17=11$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис.). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $▵ ABC$, равен $10$, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен $5$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины $A$.

$BC = 8, BO = OC$, значит, $AO$ — медиана и высота, $△ABC$ — равнобедренный и $AO$ является биссектрисой. $AO = 7$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его медианы, проведённой из вершины $B$ (в сантиметрах).

Длина медианы проведённой из $B$, равна половине длины гипотенузы в $△ABC, ∠B = 90°. AC^2 = AB^2 + BC^2; AC^2 = 144 + 25 = 169, AC = 13. m_B = {AC}/{2}= {13}/{2}=6.5$.

Найдите площадь $S$ закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ). В ответе запишите ${S} / {π}$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

$S = {S_{круга}}/{360°}·135° = {π·4^2·3}/{8} = 6π$. ${S}/{π} = {6π}/{π} = 6$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник (см. рис. ). Найдите радиус описанной окружности.

Из рисунка видно, что диаметр окружности, описанной около $△ABC$ равен 8, следовательно, радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 4.

Задание 9. Задачи на квадратной решетке. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 6 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 96.3%

Алгоритм решения задания 9:

Определите, какие геометрические фигуры и элементы описаны в условии задачи.

Установите, какие свойства, признаки или теоремы планиметрии применимы в данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Выполните необходимые вычисления, соблюдая единицы измерения.

Оцените, соответствует ли полученный результат реальным размерам описанного объекта.

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:

Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
Научишься быстро анализировать графики функций
Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 9. Задачи на квадратной решетке. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

Алгоритм решения задания 9:

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (базовой)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)