Задание 8. Анализ утверждений. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На полке стоят 46 книжек, из них 13 по истории, а 23 - с картинками. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- На полке найдётся 13 книжек по истории с картинками.
- На полке найдётся 5 книжек не по истории без картинок.
- На полке не может оказаться более 15 книг по истории с картинками.
- Если на полке стоит книжка по истории, то она с картинками.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $46$ книг; $13$ по истории; $23$ с картинками, наиольшее колличество книг по истории и с картинками $13+23=36$; тогда наименьшее колличество книг без картинок и не по истории $46-36=10$;
а наибольшее колличество книг по истории с картинками $13$, т.е. $15$ таких книг не найдется.
Правильными будут утверждения $2$ и $3$.
Задача 2
В классе учится 25 человек, из них 16 ходят на хор, а 14 - в театральную студию. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Найдутся хотя бы трое из этого класса, кто ходит и на хор, и в театральную студию.
- Не найдётся 15 человек из этого класса, кто ходит и на хор, и в театральную студию.
- Каждый ученик этого класса посещает и хор, и театральную студию.
- Если ученик из этого класса ходит в театральную студию, то он обязательно ходит и на хор.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего учеников: 25
- Хор: 16
- Театральная студия: 14
2. Найдём возможное количество посещающих и хор, и театр (X ∩ T):
По формуле включений-исключений:
X + T - (X ∩ T) ≤ 25
16 + 14 - (X ∩ T) ≤ 25
30 - (X ∩ T) ≤ 25
X ∩ T ≥ 5
Максимальное значение X ∩ T = min(16,14) = 14
Таким образом: 5 ≤ X ∩ T ≤ 14
3. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальное X ∩ T = 5 (≥3)
- Верно - максимальное X ∩ T = 14 (<15)
- Неверно - минимальное пересечение 5, не все
- Неверно - не обязательно все театралы ходят на хор
4. Верные утверждения: 1 и 2
Ответ: 12
Задача 3
На прилавке лежат 30 шнурков, длина каждого не больше 120 см, но больше 60 сантиметров. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Разница в длине любых двух шнурков больше 2 сантиметров.
- На этом прилавке есть шнурок длиной 60 см.
- Длина каждого шнурка на этом прилавке не больше 122 сантиметров.
- На прилавке нет шнурка длиной 50 сантиметров.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение по очереди:
- Разница в длине любых двух шнурков больше 2 сантиметров.
- На этом прилавке есть шнурок длиной 60 см.
- Длина каждого шнурка на этом прилавке не больше 122 сантиметров.
- На прилавке нет шнурка длиной 50 сантиметров.
Это утверждение неверно. Шнурки могут иметь длины, которые отличаются менее чем на 2 см, например, 61 см и 62 см.
Это утверждение неверно, так как по условию длина каждого шнурка больше 60 см.
Это утверждение верно, так как максимальная длина шнурка составляет 120 см, что меньше 122 см.
Это утверждение верно, так как минимальная длина шнурка больше 60 см.
Таким образом, верными являются утверждения 3 и 4. Ответ: 34.
Задача 4
Когда бабушка ложится спать, Вася всегда выключает телевизор. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если Васин телевизор включён, значит, бабушка не спит.
- Если Васин телевизор включён, значит, бабушка спит.
- Если бабушка ложится спать днём, значит, Вася выключает телевизор.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Если бабушка ложится спать, то Вася выключает телевизор; значит, если телевизор включен, то бабушка не спит - верно; верно и утверждение №3, т.к. оно повторяет условие.
Задача 5
В компании из 18 человек 11 зарегистрированы в социальной сети "Instagram", а 15 - в сети "Facebook". Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Не найдётся ни одного человека в этой компании, который зарегистрирован только в социальной сети "Instagram".
- В этой компании найдётся хотя бы один человек, который не зарегистрирован ни в социальной сети "Instagram", ни в сети "Facebook".
- Не более 11 человек в этой компании зарегистрированы в обеих сетях.
- В этой компании найдётся хотя бы 7 человек, которые зарегистрированы в обеих сетях.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего человек: 18
- Instagram: 11
- Facebook: 15
2. Найдём возможное количество зарегистрированных в обеих сетях (I ∩ F):
По формуле включений-исключений:
I + F - (I ∩ F) ≤ 18
11 + 15 - (I ∩ F) ≤ 18
26 - (I ∩ F) ≤ 18
I ∩ F ≥ 8
Максимальное значение I ∩ F = min(11,15) = 11
Таким образом: 8 ≤ I ∩ F ≤ 11
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - если I ∩ F = 8, то 3 человека только в Instagram
- Неверно - минимальное количество не зарегистрированных нигде: 18 - (11+15-8) = 0
- Верно - максимальное I ∩ F = 11
- Верно - минимальное I ∩ F = 8 (но по условиям задачи ≥8, поэтому хотя бы 7 неверно, но 8 ≥7)
4. Верные утверждения: 3 и 4
Ответ: 34
Задача 6
В классе учится 23 человека, из них 11 записались на кружок по программированию, а 15 - на кружок танцев. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Не найдётся 12 человек из этого класса, кто записался на оба кружка.
- Каждый ученик этого класса записался на оба кружка.
- Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто записался на оба кружка.
- Если ученик из этого класса не записался на кружок по программированию, то он не записался и на кружок танцев.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое высказывание:
1. "Не найдется 12 человек из этого класса, кто записался на оба кружка". Пусть высказывание неверно, и найдется 12 человек, которые ходят и на танцы, и на программирование. Но на танцы ходит всего 11 человек - получаем противоречие. Значит, наше предположение неверно, и высказывание все-таки верно.
2. "Каждый ученик этого класса записался на оба кружка." Данное высказывание очевидно неверно, поскольку учеников 23, а, например, программирование записалось всего 11, что явно меньше 23.
3. "Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто записался на оба кружка."Пусть высказывание неверно, и не найдутся двое, кто записался на оба кружка. Тогда или все ходят на один кружок, а значит, всего учеников должно быть $11+15=26$, что противоречит условию, либо кто-то один ходит на оба кружка, и тогда учеников $1+(11-1)+(15-1)=25$, что также не соответствует условию. Значит, наше предположение неверно, и высказывание все-таки верно.
4. Если ученик из этого класса не записался на кружок по программированию, то он не записался и на кружок танцев. Проанализируем: учеников, не записавшихся на программирование, $23-11=12$ - то есть 12 учеников якобы не записаны ни на программирование, ни на танцы, но тогда учеников должно быть $11+15+12=38$, что противоречит условию. Значит, высказывание неверно.
Тогда верными являются высказывания 1 и 3.
Задача 7
В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 12 этажей.
- Если в жилом доме 17 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
- Если в жилом доме больше 12 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Дома >12 этажей → электрические плиты
Это означает, что:
- Дома ≤12 этажей могут иметь любые плиты
- Газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
- Верно - 17 >12 → электрические плиты
- Неверно - дома >12 этажей имеют электрические плиты
- Верно - газовые плиты → дом ≤12 этажей (менее 13)
3. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 8
При взвешивании животных Маша выяснила, что морская свинка легче хомяка, белка тяжелее хомяка, а хомяк легче кошки. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Кошка - самая тяжёлая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее морской свинки.
- Морская свинка - самая лёгкая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее белки.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Морская свинка < Хомяк
- Белка > Хомяк
- Хомяк < Кошка
2. Строим цепочку веса:
Белка > Хомяк < Кошка
Морская свинка < Хомяк
Полная цепочка: Белка > Кошка > Хомяк > Морская свинка
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - белка тяжелее кошки
- Верно - кошка > хомяк > морская свинка
- Верно - морская свинка легче всех
- Неверно - белка тяжелее кошки
4. Верные утверждения: 2 и 3
Ответ: 23
Задача 9
В зоопарке содержится 25 змей, длина каждой меньше 6 метров, но не меньше 50 сантиметров. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- 5 змей в этом зоопарке меньше 50 сантиметров длиной.
- В этом зоопарке нет змей длиной 7 метров.
- Длина каждой змеи больше 6 метров.
- Разница в длине любых двух змей не больше 5.5 м.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Длина змей: 50 см ≤ длина < 6 м
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - все змеи длиной не менее 50 см
- Верно - максимальная длина 6 м (меньше 7 м)
- Неверно - длина меньше 6 м
- Верно - 6 м - 0,5 м = 5,5 м
3. Верное утверждение: 24
Ответ: 24
Задача 10
Перед турниром по боксу измерили вес всех приехавших спортсменов. Оказалось, что вес каждого спортсмена меньше 80 кг и больше 65 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди приехавших спортсменов нет никого с весом 64 кг.
- Разница в весе любых двух приехавших спортсменов составляет больше 15 кг.
- Вес любого приехавшего спортсмена меньше 82 кг.
- Среди приехавших спортсменов обязательно есть спортсмен с весом 70 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Вес спортсменов: 65 кг < вес < 80 кг
2. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальный вес 65 кг (64 кг исключено)
- Неверно - максимальная разница менее 15 кг (80-65=15, но границы не включены)
- Верно - максимальный вес 80 кг (меньше 82 кг)
- Неверно - вес 70 кг возможен, но не обязателен
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 11
В шкафу лежит 25 футболок, из них 11 с рисунками, а 5 - с надписями. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В шкафу не может оказаться более 5 футболок с рисунками и с надписями.
- Если в шкафу футболка без рисунков, то она с надписями.
- В шкафу найдётся 5 футболок и с рисунками, и с надписями.
- В шкафу найдётся хотя бы 3 футболки без рисунков и без надписей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $25$ футболок, из них $11$ с рисунком, $5$ с надписями, значит наибольшее количество футболок, на которых есть рисунки или надписи $11+5=16$, а наименьшее количество футболок, на которых нет ни рисунка ни надписи $25-16=9$, при этом наибольшее количество футболок, на которых есть и рисунки и надписи $5$. Значит верными будут $1$ и $4$.
Задача 12
В компании из 15 человек 9 зарегистрированы в социальной сети "ВКонтакте", а 12 - в сети "Facebook". Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В этой компании найдётся хотя бы 6 человек, которые зарегистрированы в обеих сетях.
- В этой компании найдётся 6 человек, которые не зарегистрированы ни в социальной сети "ВКонтакте", ни в сети "Facebook".
- Не более 9 человек в этой компании зарегистрированы в обеих сетях.
- Не найдётся ни одного человека в этой компании, который не зарегистрирован в социальной сети "ВКонтакте".
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего человек: 15
- ВКонтакте (VK): 9
- Facebook (FB): 12
2. Найдём возможное количество зарегистрированных в обеих сетях (VK ∩ FB):
По формуле включений-исключений:
VK + FB - (VK ∩ FB) ≤ 15
9 + 12 - (VK ∩ FB) ≤ 15
21 - (VK ∩ FB) ≤ 15
VK ∩ FB ≥ 6
Максимальное значение VK ∩ FB = min(9,12) = 9
Таким образом: 6 ≤ VK ∩ FB ≤ 9
3. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальное VK ∩ FB = 6
- Неверно - максимальное количество незарегистрированных: 15 - (9+12-6) = 0
- Верно - максимальное VK ∩ FB = 9
- Неверно - возможно до 6 человек не зарегистрированы в VK (15-9=6)
4. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 13
Когда учитель истории Кирилл Михайлович ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если телефон Кирилла Михайловича включён, значит, он ведёт урок.
- Если Кирилл Михайлович ведёт урок истории, значит, его телефон выключен.
- Если телефон Кирилла Михайловича включён, значит, он не ведёт урок.
- Если Кирилл Михайлович проводит проверочную работу по истории, значит, его телефон включён.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Ведёт урок → телефон выключен
Это эквивалентно:
Телефон включён → не ведёт урок
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - если телефон включён, урок не ведётся
- Верно - прямое следствие условия
- Верно - соответствует обратному утверждению
- Неверно - проверочная работа это урок, телефон должен быть выключен
3. Верные утверждения: 2 и 3
Ответ: 23
Задача 14
Когда какая-нибудь мышка выбегает из норки, кот Тимофей обязательно мяукает. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
- Если Тимофей молчит, значит, из норки выбегает мышка.
- Если Тимофей не мяукает, значит, мышка из норки не выбегает.
- Если из норки выбежала серая мышка, то кот Тимофей будет мяукать.
- Если мышка не выбегает из норки, то кот Тимофей не мяукает.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Анализируем каждое утверждение:
1) Если Тимофей молчит, значит, из норки выбегает мышка.
Это утверждение неверно. Условие говорит, что если мышка выбегает, то Тимофей обязательно мяукает, но из этого не следует, что его молчание означает выбегание мышки.
Утверждение неверно.
2) Если Тимофей не мяукает, значит, мышка из норки не выбегает.
Это утверждение следует из условия. Если мышка выбегает, Тимофей всегда мяукает. Если он не мяукает, значит, мышка не выбегает.
Утверждение верно.
3) Если из норки выбежала серая мышка, то кот Тимофей будет мяукать.
Условие не уточняет цвет мышки. Оно говорит, что Тимофей мяукает, если выбегает любая мышка. Следовательно, если выбежала серая мышка, Тимофей будет мяукать.
Утверждение верно.
4) Если мышка не выбегает из норки, то кот Тимофей не мяукает.
Кот может мяукать по разным причинам
Утверждение неверно.
Ответ: 23
Задача 15
Владимир ниже Егора, но выше Дениса. Алексей не выше Владимира. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Алексей и Владимир одного роста.
- Егор самый высокий из указанных четырёх человек.
- Алексей и Денис одного роста.
- Алексей ниже Егора.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Егор > Владимир
- Владимир > Денис
- Алексей ≤ Владимир
2. Строим цепочку роста:
Егор > Владимир > Денис
Алексей ≤ Владимир (может быть как ниже, так и равен Владимиру)
3. Проверяем утверждения:
- Возможно - но не обязательно верно (Алексей может быть и ниже)
- Верно - Егор выше всех
- Неверно - нет данных об их равенстве
- Верно - так как Егор > Владимир ≥ Алексей
4. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 16
Перед санаторной сменой измерили вес всех приехавших отдыхающих. Оказалось, что вес каждого отдыхающего меньше 100 кг и больше 45 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди отдыхающих нет никого с весом 109 кг.
- Найдутся два отдыхающих, разница в весе которых будет меньше 10 кг.
- Вес любого отдыхающего больше 40 кг.
- Среди отдыхающих обязательно есть отдыхающий с весом от 60 кг до 80 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Задача 17
52 ученика девятых классов одной из школ писали тест по истории. Самый низкий полученный балл был равен 10, а самый высокий - 21. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Среди этих 52 учеников есть один, который получил 10 баллов.
- Баллы за тест по истории любого из этих 52 учеников не превышают 10.
- Среди этих 52 учеников есть хотя бы один, который получил 20 баллов.
- Среди этих 52 учеников есть те, разница баллов которых равна 11.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение отдельно:
- Утверждение 1: ""Среди этих 52 учеников есть один, который получил 10 баллов."" - Это утверждение верно по условию задачи
- Утверждение 2: ""Баллы за тест по истории любого из этих 52 учеников не превышают 10."" - Это утверждение неверно, так как максимальный балл 21, который выше 10.
- Утверждение 3: ""Среди этих 52 учеников есть хотя бы один, который получил 20 баллов."" - Это утверждение также не обязательно верно, так как максимальный балл 21, но мы не знаем, сколько учеников получили 20 баллов.
- Утверждение 4: ""Среди этих 52 учеников есть те, разница баллов которых равна 11."" - Это утверждение верно, так как минимальный балл 10 и максимальный 21. Разница между ними составляет 21 - 10 = 11.
Таким образом, верными являются утверждения 1 и 4. Ответ: 14.
Задача 18
В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если в доме больше 9 этажей, то в нём установлен лифт.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме более 5 этажей.
- Если в доме не установлен лифт, то в этом доме менее 6 этажей.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме менее 5 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.
- Если в доме больше 9 этажей, то в нём установлен лифт. Это утверждение верно, так как если этажей больше 5, то лифт установлен. Если этажей больше 9, то, конечно, больше 5.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме более 5 этажей. Это утверждение также верно, так как по условию, лифт устанавливают только в домах с более чем 5 этажами.
- Если в доме не установлен лифт, то в этом доме менее 6 этажей. Это утверждение верно, так как если лифта нет, значит этажей 5 или меньше.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме менее 5 этажей. Это утверждение неверно, так как лифт устанавливают только в домах с более чем 5 этажами.
Таким образом, верными являются утверждения 1, 2 и 3.
Ответ: 123
Задача 19
48 учеников восьмых классов одной из школ писали тест по геометрии. Самый низкий полученный балл был равен 4, а самый высокий - 24. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Среди этих 48 учеников есть один, который получил 18 баллов.
- Баллы за тест по геометрии любого из этих 48 учеников не превышают 25.
- Среди этих 48 учеников есть хотя бы один, который получил 4 балла.
- Среди этих 48 учеников есть те, разница баллов которых равна 23.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение:
1. Среди этих 48 учеников есть один, который получил 18 баллов.
Из условия задачи этого не следует. Никакой информации о наличии ученика с таким баллом не дано.
Утверждение неверно.
2. Баллы за тест по геометрии любого из этих 48 учеников не превышают 25.
Самый высокий балл равен 24, следовательно, никто не получил более 24 баллов.
Утверждение верно.
3. Среди этих 48 учеников есть хотя бы один, который получил 4 балла.
Самый низкий балл равен 4, значит, как минимум один ученик получил 4 балла.
Утверждение верно.
4. Среди этих 48 учеников есть те, разница баллов которых равна 23.
Самый высокий балл — 24, самый низкий — 4. Разница между ними равна $24 - 4 = 21$.
Утверждение неверно.
Ответ: 23
Задача 20
19 учеников одиннадцатого класса одной из школ сдавали пробный экзамен по информатике. Самый низкий балл, полученный в этом классе, равнялся 38, а самый высокий - 70. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Балл за пробный экзамен любого из этих 19 учеников меньше 72.
- Среди этих 19 учеников есть ученик, который получил 40 баллов.
- Среди этих учеников нет того, кто получил больше 80 баллов.
- Среди этих учеников есть двое, которые получили одинаковые баллы.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Баллы учеников: 38 ≤ балл ≤ 70
2. Проверяем утверждения:
- Верно - максимальный балл 70 (<72)
- Неизвестно - 40 возможен, но не гарантирован
- Верно - максимальный балл 70 (<80)
- Неизвестно - нет таких данных в условии
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
