Задание 8. Анализ утверждений. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 94.8%
Алгоритм решения задания 8:
Внимательно прочитайте все утверждения или рассуждения, приведённые в задании.
Определите, какие из них являются исходными, а какие — следствиями.
Проверьте логическую связь между утверждениями, используя известные математические факты.
Выявите рассуждения, которые не следуют из предыдущих или противоречат условиям.
Сделайте вывод о корректности каждого утверждения на основе логической проверки.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Владимир ниже Егора, но выше Дениса. Алексей не выше Владимира. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Алексей и Владимир одного роста.
- Егор самый высокий из указанных четырёх человек.
- Алексей и Денис одного роста.
- Алексей ниже Егора.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Егор > Владимир
- Владимир > Денис
- Алексей ≤ Владимир
2. Строим цепочку роста:
Егор > Владимир > Денис
Алексей ≤ Владимир (может быть как ниже, так и равен Владимиру)
3. Проверяем утверждения:
- Возможно - но не обязательно верно (Алексей может быть и ниже)
- Верно - Егор выше всех
- Неверно - нет данных об их равенстве
- Верно - так как Егор > Владимир ≥ Алексей
4. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 2
При взвешивании животных Маша выяснила, что морская свинка легче хомяка, белка тяжелее хомяка, а хомяк легче кошки. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Кошка - самая тяжёлая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее морской свинки.
- Морская свинка - самая лёгкая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее белки.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Морская свинка < Хомяк
- Белка > Хомяк
- Хомяк < Кошка
2. Строим цепочку веса:
Белка > Хомяк < Кошка
Морская свинка < Хомяк
Полная цепочка: Белка > Кошка > Хомяк > Морская свинка
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - белка тяжелее кошки
- Верно - кошка > хомяк > морская свинка
- Верно - морская свинка легче всех
- Неверно - белка тяжелее кошки
4. Верные утверждения: 2 и 3
Ответ: 23
Задача 3
Во дворе растут четыре дерева. Вяз ниже ели, но выше ивы, а клён ниже вяза. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
- Клён выше ели.
- Ель - самое высокое дерево.
- Ива ниже вяза.
- Клён равен по высоте иве.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
- Клён выше ели.
- Ель - самое высокое дерево.
- Ива ниже вяза.
- Клён равен по высоте иве.
Это неверно, так как клён ниже вяза, а вяз ниже ели: K < V < E.
Это верно, так как: E > V и E > I, и K < V.
Это верно, так как: I < V.
Это неверно, так как клён ниже вяза: K < V, и не указано, что K = I.
Верные утверждения:
23
Задача 4
52 ученика девятых классов одной из школ писали тест по истории. Самый низкий полученный балл был равен 10, а самый высокий - 21. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Среди этих 52 учеников есть один, который получил 10 баллов.
- Баллы за тест по истории любого из этих 52 учеников не превышают 10.
- Среди этих 52 учеников есть хотя бы один, который получил 20 баллов.
- Среди этих 52 учеников есть те, разница баллов которых равна 11.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение отдельно:
- Утверждение 1: ""Среди этих 52 учеников есть один, который получил 10 баллов."" - Это утверждение верно по условию задачи
- Утверждение 2: ""Баллы за тест по истории любого из этих 52 учеников не превышают 10."" - Это утверждение неверно, так как максимальный балл 21, который выше 10.
- Утверждение 3: ""Среди этих 52 учеников есть хотя бы один, который получил 20 баллов."" - Это утверждение также не обязательно верно, так как максимальный балл 21, но мы не знаем, сколько учеников получили 20 баллов.
- Утверждение 4: ""Среди этих 52 учеников есть те, разница баллов которых равна 11."" - Это утверждение верно, так как минимальный балл 10 и максимальный 21. Разница между ними составляет 21 - 10 = 11.
Таким образом, верными являются утверждения 1 и 4. Ответ: 14.
Задача 5
48 учеников восьмых классов одной из школ писали тест по геометрии. Самый низкий полученный балл был равен 4, а самый высокий - 24. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Среди этих 48 учеников есть один, который получил 18 баллов.
- Баллы за тест по геометрии любого из этих 48 учеников не превышают 25.
- Среди этих 48 учеников есть хотя бы один, который получил 4 балла.
- Среди этих 48 учеников есть те, разница баллов которых равна 23.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение:
1. Среди этих 48 учеников есть один, который получил 18 баллов.
Из условия задачи этого не следует. Никакой информации о наличии ученика с таким баллом не дано.
Утверждение неверно.
2. Баллы за тест по геометрии любого из этих 48 учеников не превышают 25.
Самый высокий балл равен 24, следовательно, никто не получил более 24 баллов.
Утверждение верно.
3. Среди этих 48 учеников есть хотя бы один, который получил 4 балла.
Самый низкий балл равен 4, значит, как минимум один ученик получил 4 балла.
Утверждение верно.
4. Среди этих 48 учеников есть те, разница баллов которых равна 23.
Самый высокий балл — 24, самый низкий — 4. Разница между ними равна $24 - 4 = 21$.
Утверждение неверно.
Ответ: 23
Задача 6
Перед турниром по боксу измерили вес всех приехавших спортсменов. Оказалось, что вес каждого спортсмена меньше 80 кг и больше 65 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди приехавших спортсменов нет никого с весом 64 кг.
- Разница в весе любых двух приехавших спортсменов составляет больше 15 кг.
- Вес любого приехавшего спортсмена меньше 82 кг.
- Среди приехавших спортсменов обязательно есть спортсмен с весом 70 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Вес спортсменов: 65 кг < вес < 80 кг
2. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальный вес 65 кг (64 кг исключено)
- Неверно - максимальная разница менее 15 кг (80-65=15, но границы не включены)
- Верно - максимальный вес 80 кг (меньше 82 кг)
- Неверно - вес 70 кг возможен, но не обязателен
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 7
Перед санаторной сменой измерили вес всех приехавших отдыхающих. Оказалось, что вес каждого отдыхающего меньше 100 кг и больше 45 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди отдыхающих нет никого с весом 109 кг.
- Найдутся два отдыхающих, разница в весе которых будет меньше 10 кг.
- Вес любого отдыхающего больше 40 кг.
- Среди отдыхающих обязательно есть отдыхающий с весом от 60 кг до 80 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Задача 8
Если к Татьяне кто-нибудь идёт в гости, Татьяна обязательно делает уборку. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если Татьяна не делает уборку, значит, кто-то идёт к ней в гости.
- Если к Татьяне идёт в гости Павел, Татьяна делает уборку.
- Если к Татьяне идёт в гости мама, Татьяна не делает уборку.
- Если Татьяна не делает уборку, значит, никто не идёт к ней в гости.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение:
1. Если Татьяна не делает уборку, значит, кто-то идёт к ней в гости — утверждение ровно противоположное условию, значит, оно неверно.
2. Если к Татьяне идёт в гости Павел, Татьяна делает уборку — Татьяна делает уборку, если кто-то идет в гости. Павел - гость, значит, Татьяна уберется, утверждение верно.
3. Если к Татьяне идёт в гости мама, Татьяна не делает уборку — Татьяна делает уборку, если кто-то идет в гости. Мама - гость, значит, Татьяна уберется, утверждение неверно.
4. Если Татьяна не делает уборку, значит, никто не идёт к ней в гости — Татьяна делает уборку, если кто-то идет в гости. В гости никто не идет, значит, можно и не убираться, утверждение верно.
Таким образом, верные утверждения 2 и 4
Задача 9
Когда бабушка ложится спать, Вася всегда выключает телевизор. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если Васин телевизор включён, значит, бабушка не спит.
- Если Васин телевизор включён, значит, бабушка спит.
- Если бабушка ложится спать днём, значит, Вася выключает телевизор.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Если бабушка ложится спать, то Вася выключает телевизор; значит, если телевизор включен, то бабушка не спит - верно; верно и утверждение №3, т.к. оно повторяет условие.
Задача 10
В шкафу лежит 25 футболок, из них 11 с рисунками, а 5 - с надписями. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В шкафу не может оказаться более 5 футболок с рисунками и с надписями.
- Если в шкафу футболка без рисунков, то она с надписями.
- В шкафу найдётся 5 футболок и с рисунками, и с надписями.
- В шкафу найдётся хотя бы 3 футболки без рисунков и без надписей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $25$ футболок, из них $11$ с рисунком, $5$ с надписями, значит наибольшее количество футболок, на которых есть рисунки или надписи $11+5=16$, а наименьшее количество футболок, на которых нет ни рисунка ни надписи $25-16=9$, при этом наибольшее количество футболок, на которых есть и рисунки и надписи $5$. Значит верными будут $1$ и $4$.
Задача 11
На полке стоят 46 книжек, из них 13 по истории, а 23 - с картинками. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- На полке найдётся 13 книжек по истории с картинками.
- На полке найдётся 5 книжек не по истории без картинок.
- На полке не может оказаться более 15 книг по истории с картинками.
- Если на полке стоит книжка по истории, то она с картинками.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $46$ книг; $13$ по истории; $23$ с картинками, наиольшее колличество книг по истории и с картинками $13+23=36$; тогда наименьшее колличество книг без картинок и не по истории $46-36=10$;
а наибольшее колличество книг по истории с картинками $13$, т.е. $15$ таких книг не найдется.
Правильными будут утверждения $2$ и $3$.
Задача 12
Повар приготовил 40 салатов, в 15 из них он добавил капусту, а в 10 - свёклу. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Найдётся 10 салатов, в которых нет ни капусты, ни свёклы.
- Найдётся 10 салатов, в которых есть и капуста, и свёкла.
- Если в салате есть капуста, то в нём есть и свёкла.
- Не может оказаться больше 12 салатов, в которых есть и свёкла, и капуста.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего салатов $40$, в $15$ есть капуста; в $10$ есть свёкла, значит наибольшее количество салатов, где есть или капуста или свекла $15+10=25$, а наименьшее количество салатов без капусты и без свеклы $40-25=15$, значит точно найдутся $10$, в которых нет ни капусты ни свеклы; значит $№1$- верно. Верным будет и утверждение №$4$, так как наибольшее количество салатов, в которых есть и свекла и капуста $10$, значит $12$ быть не может.
Задача 13
В компании из 15 человек 9 зарегистрированы в социальной сети "ВКонтакте", а 12 - в сети "Facebook". Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В этой компании найдётся хотя бы 6 человек, которые зарегистрированы в обеих сетях.
- В этой компании найдётся 6 человек, которые не зарегистрированы ни в социальной сети "ВКонтакте", ни в сети "Facebook".
- Не более 9 человек в этой компании зарегистрированы в обеих сетях.
- Не найдётся ни одного человека в этой компании, который не зарегистрирован в социальной сети "ВКонтакте".
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего человек: 15
- ВКонтакте (VK): 9
- Facebook (FB): 12
2. Найдём возможное количество зарегистрированных в обеих сетях (VK ∩ FB):
По формуле включений-исключений:
VK + FB - (VK ∩ FB) ≤ 15
9 + 12 - (VK ∩ FB) ≤ 15
21 - (VK ∩ FB) ≤ 15
VK ∩ FB ≥ 6
Максимальное значение VK ∩ FB = min(9,12) = 9
Таким образом: 6 ≤ VK ∩ FB ≤ 9
3. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальное VK ∩ FB = 6
- Неверно - максимальное количество незарегистрированных: 15 - (9+12-6) = 0
- Верно - максимальное VK ∩ FB = 9
- Неверно - возможно до 6 человек не зарегистрированы в VK (15-9=6)
4. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 14
Когда учитель истории Кирилл Михайлович ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если телефон Кирилла Михайловича включён, значит, он ведёт урок.
- Если Кирилл Михайлович ведёт урок истории, значит, его телефон выключен.
- Если телефон Кирилла Михайловича включён, значит, он не ведёт урок.
- Если Кирилл Михайлович проводит проверочную работу по истории, значит, его телефон включён.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Ведёт урок → телефон выключен
Это эквивалентно:
Телефон включён → не ведёт урок
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - если телефон включён, урок не ведётся
- Верно - прямое следствие условия
- Верно - соответствует обратному утверждению
- Неверно - проверочная работа это урок, телефон должен быть выключен
3. Верные утверждения: 2 и 3
Ответ: 23
Задача 15
Когда кто-нибудь принёс рыбу, кошка Мушка обязательно бежит на кухню. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
- Если мальчик принёс рыбу, то кошка Мушка бежит на кухню.
- Если папа принёс окуня, то кошка Мушка не бежит на кухню.
- Если кошка Мушка бежит на кухню, значит, кто-то принёс рыбу.
- Если кошка Мушка не бежит на кухню, значит, никто не принёс рыбу.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
- Утверждение 1: Верно. Если кто-то (в данном случае мальчик) принёс рыбу, то кошка Мушка обязательно бежит на кухню.
- Утверждение 2: Неверно. Мы не знаем, что принесёт папа; он может также принести рыбу.
- Утверждение 3: Неверно. Кошка может бегать по другим причинам; это утверждение не следует из данных.
- Утверждение 4: Верно. Если никто не принёс рыбу, то согласно условию кошка не будет бежать на кухню.
Вывод:
На основе анализа верными являются утверждения 1 и 4.
Задача 16
19 учеников одиннадцатого класса одной из школ сдавали пробный экзамен по информатике. Самый низкий балл, полученный в этом классе, равнялся 38, а самый высокий - 70. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Балл за пробный экзамен любого из этих 19 учеников меньше 72.
- Среди этих 19 учеников есть ученик, который получил 40 баллов.
- Среди этих учеников нет того, кто получил больше 80 баллов.
- Среди этих учеников есть двое, которые получили одинаковые баллы.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Баллы учеников: 38 ≤ балл ≤ 70
2. Проверяем утверждения:
- Верно - максимальный балл 70 (<72)
- Неизвестно - 40 возможен, но не гарантирован
- Верно - максимальный балл 70 (<80)
- Неизвестно - нет таких данных в условии
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 17
23 ученика одиннадцатого класса одной из школ сдавали пробный экзамен по физике. Самый низкий балл, полученный в этом классе, равнялся 18, а самый высокий - 64. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Балл за пробный экзамен любого из этих 23 учеников больше 17.
- Среди этих 23 учеников есть ученик, который получил 64 балла.
- Среди этих учеников есть 5, которые получили одинаковые баллы.
- Среди этих учеников есть тот, кто получил 87 баллов.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
- Утверждение 1: Верно. Поскольку самый низкий балл равен 18, все ученики получили баллы выше 17.
- Утверждение 2: Верно. Самый высокий балл равен 64, значит, среди учеников есть хотя бы один, кто получил этот балл.
- Утверждение 3: Не обязательно верно. У нас нет информации о распределении баллов; возможно, все ученики получили разные баллы.
- Утверждение 4: Неверно. Самый высокий балл равен 64, поэтому никто не мог получить 87 баллов.
Вывод:
Верными являются утверждения: 1 и 2.
Задача 18
В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 12 этажей.
- Если в жилом доме 17 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
- Если в жилом доме больше 12 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Дома >12 этажей → электрические плиты
Это означает, что:
- Дома ≤12 этажей могут иметь любые плиты
- Газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
- Верно - 17 >12 → электрические плиты
- Неверно - дома >12 этажей имеют электрические плиты
- Верно - газовые плиты → дом ≤12 этажей (менее 13)
3. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 19
При взвешивании птиц выяснили, что утка легче индюка, гусь тяжелее индюка, а курица легче индюка. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Гусь - самая тяжёлая птица.
- Утка - самая лёгкая птица.
- Курица тяжелее гуся.
- Утка легче гуся.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Утка < Индюк
- Гусь > Индюк
- Курица < Индюк
2. Строим цепочку веса:
Гусь > Индюк > Утка
Гусь > Индюк > Курица
(отношение между уткой и курицей не определено)
3. Проверяем утверждения:
- Верно - гусь тяжелее всех
- Неизвестно - курица может быть легче утки
- Неверно - гусь тяжелее курицы
- Верно - гусь > индюк > утка
4. Верные утверждения: 1 и 4
Ответ: 14
Задача 20
Елена выше Марии, но ниже Дарьи. Ольга не ниже Елены. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Ольга и Елена одного роста.
- Мария - самая низкая из указанных четырёх человек.
- Дарья и Ольга одного роста.
- Мария ниже Ольги.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Елена > Мария
- Дарья > Елена
- Ольга ≥ Елена
2. Строим цепочку роста:
Дарья > Елена > Мария
Ольга ≥ Елена (может быть как выше, так и равна Елене)
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - Ольга может быть выше Елены
- Верно - Мария ниже всех
- Неверно - нет данных об их равенстве
- Верно - так как Ольга ≥ Елена > Мария
4. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
