Задание 8. Анализ утверждений. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 94.8%
Алгоритм решения задания 8:
Внимательно прочитайте все утверждения или рассуждения, приведённые в задании.
Определите, какие из них являются исходными, а какие — следствиями.
Проверьте логическую связь между утверждениями, используя известные математические факты.
Выявите рассуждения, которые не следуют из предыдущих или противоречат условиям.
Сделайте вывод о корректности каждого утверждения на основе логической проверки.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
При взвешивании птиц выяснили, что утка легче индюка, гусь тяжелее индюка, а курица легче индюка. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Гусь - самая тяжёлая птица.
- Утка - самая лёгкая птица.
- Курица тяжелее гуся.
- Утка легче гуся.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Утка < Индюк
- Гусь > Индюк
- Курица < Индюк
2. Строим цепочку веса:
Гусь > Индюк > Утка
Гусь > Индюк > Курица
(отношение между уткой и курицей не определено)
3. Проверяем утверждения:
- Верно - гусь тяжелее всех
- Неизвестно - курица может быть легче утки
- Неверно - гусь тяжелее курицы
- Верно - гусь > индюк > утка
4. Верные утверждения: 1 и 4
Ответ: 14
Задача 2
На прилавке лежат 30 шнурков, длина каждого не больше 120 см, но больше 60 сантиметров. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Разница в длине любых двух шнурков больше 2 сантиметров.
- На этом прилавке есть шнурок длиной 60 см.
- Длина каждого шнурка на этом прилавке не больше 122 сантиметров.
- На прилавке нет шнурка длиной 50 сантиметров.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение по очереди:
- Разница в длине любых двух шнурков больше 2 сантиметров.
- На этом прилавке есть шнурок длиной 60 см.
- Длина каждого шнурка на этом прилавке не больше 122 сантиметров.
- На прилавке нет шнурка длиной 50 сантиметров.
Это утверждение неверно. Шнурки могут иметь длины, которые отличаются менее чем на 2 см, например, 61 см и 62 см.
Это утверждение неверно, так как по условию длина каждого шнурка больше 60 см.
Это утверждение верно, так как максимальная длина шнурка составляет 120 см, что меньше 122 см.
Это утверждение верно, так как минимальная длина шнурка больше 60 см.
Таким образом, верными являются утверждения 3 и 4. Ответ: 34.
Задача 3
В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 12 этажей.
- Если в жилом доме 17 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
- Если в жилом доме больше 12 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
- Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Дома >12 этажей → электрические плиты
Это означает, что:
- Дома ≤12 этажей могут иметь любые плиты
- Газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - газовые плиты могут быть только в домах ≤12 этажей
- Верно - 17 >12 → электрические плиты
- Неверно - дома >12 этажей имеют электрические плиты
- Верно - газовые плиты → дом ≤12 этажей (менее 13)
3. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 4
Повар приготовил 50 фруктовых десертов, в 12 из них он добавил бананы, а в 20 - ананасы. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Найдётся 10 фруктовых десертов, в которых есть и бананы, и ананасы.
- Не может оказаться больше 16 фруктовых десертов, в которых есть и бананы, и ананасы.
- Если в салате есть бананы, то в нём нет ананасов.
- Найдётся 15 фруктовых десертов, в которых нет ни бананов, ни ананасов.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $50$ десертов, в $12$ есть банан; в $20$ - ананс. Значит наибольшее колличество десертов ,в которых есть банан и ананас $12$; наибольшее колличество десертов, в которых есть банан или ананас $12+20=32$, значит наименьшее колличество десертов, в которых нет ни банана ни ананаса $18$. Верными будут утверждения $2$ и $4$.
Задача 5
19 учеников одиннадцатого класса одной из школ сдавали пробный экзамен по информатике. Самый низкий балл, полученный в этом классе, равнялся 38, а самый высокий - 70. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- Балл за пробный экзамен любого из этих 19 учеников меньше 72.
- Среди этих 19 учеников есть ученик, который получил 40 баллов.
- Среди этих учеников нет того, кто получил больше 80 баллов.
- Среди этих учеников есть двое, которые получили одинаковые баллы.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Баллы учеников: 38 ≤ балл ≤ 70
2. Проверяем утверждения:
- Верно - максимальный балл 70 (<72)
- Неизвестно - 40 возможен, но не гарантирован
- Верно - максимальный балл 70 (<80)
- Неизвестно - нет таких данных в условии
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 6
Когда кто-нибудь принёс рыбу, кошка Мушка обязательно бежит на кухню. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
- Если мальчик принёс рыбу, то кошка Мушка бежит на кухню.
- Если папа принёс окуня, то кошка Мушка не бежит на кухню.
- Если кошка Мушка бежит на кухню, значит, кто-то принёс рыбу.
- Если кошка Мушка не бежит на кухню, значит, никто не принёс рыбу.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
- Утверждение 1: Верно. Если кто-то (в данном случае мальчик) принёс рыбу, то кошка Мушка обязательно бежит на кухню.
- Утверждение 2: Неверно. Мы не знаем, что принесёт папа; он может также принести рыбу.
- Утверждение 3: Неверно. Кошка может бегать по другим причинам; это утверждение не следует из данных.
- Утверждение 4: Верно. Если никто не принёс рыбу, то согласно условию кошка не будет бежать на кухню.
Вывод:
На основе анализа верными являются утверждения 1 и 4.
Задача 7
Когда какая-нибудь мышка выбегает из норки, кот Тимофей обязательно мяукает. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
- Если Тимофей молчит, значит, из норки выбегает мышка.
- Если Тимофей не мяукает, значит, мышка из норки не выбегает.
- Если из норки выбежала серая мышка, то кот Тимофей будет мяукать.
- Если мышка не выбегает из норки, то кот Тимофей не мяукает.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Анализируем каждое утверждение:
1) Если Тимофей молчит, значит, из норки выбегает мышка.
Это утверждение неверно. Условие говорит, что если мышка выбегает, то Тимофей обязательно мяукает, но из этого не следует, что его молчание означает выбегание мышки.
Утверждение неверно.
2) Если Тимофей не мяукает, значит, мышка из норки не выбегает.
Это утверждение следует из условия. Если мышка выбегает, Тимофей всегда мяукает. Если он не мяукает, значит, мышка не выбегает.
Утверждение верно.
3) Если из норки выбежала серая мышка, то кот Тимофей будет мяукать.
Условие не уточняет цвет мышки. Оно говорит, что Тимофей мяукает, если выбегает любая мышка. Следовательно, если выбежала серая мышка, Тимофей будет мяукать.
Утверждение верно.
4) Если мышка не выбегает из норки, то кот Тимофей не мяукает.
Кот может мяукать по разным причинам
Утверждение неверно.
Ответ: 23
Задача 8
Во дворе растут четыре дерева. Вяз ниже ели, но выше ивы, а клён ниже вяза. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
- Клён выше ели.
- Ель - самое высокое дерево.
- Ива ниже вяза.
- Клён равен по высоте иве.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
- Клён выше ели.
- Ель - самое высокое дерево.
- Ива ниже вяза.
- Клён равен по высоте иве.
Это неверно, так как клён ниже вяза, а вяз ниже ели: K < V < E.
Это верно, так как: E > V и E > I, и K < V.
Это верно, так как: I < V.
Это неверно, так как клён ниже вяза: K < V, и не указано, что K = I.
Верные утверждения:
23
Задача 9
Во дворе растут четыре дерева. Дуб выше сосны, а липа ниже сосны и ниже берёзы. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
- Сосна ниже липы.
- Липа - самое низкое дерево.
- Берёза равна по высоте сосне.
- Дуб выше липы.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Дуб > Сосна
- Липа < Сосна
- Липа < Берёза
2. Строим цепочку высот:
Дуб > Сосна > Липа
Берёза > Липа
(точное положение берёзы относительно дуба и сосны не указано)
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - сосна выше липы
- Верно - липа ниже всех (так как сосна > липа и берёза > липа)
- Неизвестно - нет данных о высоте берёзы относительно сосны
- Верно - дуб > сосна > липа
4. Верные утверждения: 2 и 4
Ответ: 24
Задача 10
В зоопарке содержится 25 змей, длина каждой меньше 6 метров, но не меньше 50 сантиметров. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- 5 змей в этом зоопарке меньше 50 сантиметров длиной.
- В этом зоопарке нет змей длиной 7 метров.
- Длина каждой змеи больше 6 метров.
- Разница в длине любых двух змей не больше 5.5 м.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Длина змей: 50 см ≤ длина < 6 м
2. Проверяем утверждения:
- Неверно - все змеи длиной не менее 50 см
- Верно - максимальная длина 6 м (меньше 7 м)
- Неверно - длина меньше 6 м
- Верно - 6 м - 0,5 м = 5,5 м
3. Верное утверждение: 24
Ответ: 24
Задача 11
Перед санаторной сменой измерили вес всех приехавших отдыхающих. Оказалось, что вес каждого отдыхающего меньше 100 кг и больше 45 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди отдыхающих нет никого с весом 109 кг.
- Найдутся два отдыхающих, разница в весе которых будет меньше 10 кг.
- Вес любого отдыхающего больше 40 кг.
- Среди отдыхающих обязательно есть отдыхающий с весом от 60 кг до 80 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Задача 12
В шкафу лежит 25 футболок, из них 11 с рисунками, а 5 - с надписями. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В шкафу не может оказаться более 5 футболок с рисунками и с надписями.
- Если в шкафу футболка без рисунков, то она с надписями.
- В шкафу найдётся 5 футболок и с рисунками, и с надписями.
- В шкафу найдётся хотя бы 3 футболки без рисунков и без надписей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $25$ футболок, из них $11$ с рисунком, $5$ с надписями, значит наибольшее количество футболок, на которых есть рисунки или надписи $11+5=16$, а наименьшее количество футболок, на которых нет ни рисунка ни надписи $25-16=9$, при этом наибольшее количество футболок, на которых есть и рисунки и надписи $5$. Значит верными будут $1$ и $4$.
Задача 13
Повар приготовил 40 салатов, в 15 из них он добавил капусту, а в 10 - свёклу. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Найдётся 10 салатов, в которых нет ни капусты, ни свёклы.
- Найдётся 10 салатов, в которых есть и капуста, и свёкла.
- Если в салате есть капуста, то в нём есть и свёкла.
- Не может оказаться больше 12 салатов, в которых есть и свёкла, и капуста.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего салатов $40$, в $15$ есть капуста; в $10$ есть свёкла, значит наибольшее количество салатов, где есть или капуста или свекла $15+10=25$, а наименьшее количество салатов без капусты и без свеклы $40-25=15$, значит точно найдутся $10$, в которых нет ни капусты ни свеклы; значит $№1$- верно. Верным будет и утверждение №$4$, так как наибольшее количество салатов, в которых есть и свекла и капуста $10$, значит $12$ быть не может.
Задача 14
В компании из 18 человек 11 зарегистрированы в социальной сети "Instagram", а 15 - в сети "Facebook". Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Не найдётся ни одного человека в этой компании, который зарегистрирован только в социальной сети "Instagram".
- В этой компании найдётся хотя бы один человек, который не зарегистрирован ни в социальной сети "Instagram", ни в сети "Facebook".
- Не более 11 человек в этой компании зарегистрированы в обеих сетях.
- В этой компании найдётся хотя бы 7 человек, которые зарегистрированы в обеих сетях.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего человек: 18
- Instagram: 11
- Facebook: 15
2. Найдём возможное количество зарегистрированных в обеих сетях (I ∩ F):
По формуле включений-исключений:
I + F - (I ∩ F) ≤ 18
11 + 15 - (I ∩ F) ≤ 18
26 - (I ∩ F) ≤ 18
I ∩ F ≥ 8
Максимальное значение I ∩ F = min(11,15) = 11
Таким образом: 8 ≤ I ∩ F ≤ 11
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - если I ∩ F = 8, то 3 человека только в Instagram
- Неверно - минимальное количество не зарегистрированных нигде: 18 - (11+15-8) = 0
- Верно - максимальное I ∩ F = 11
- Верно - минимальное I ∩ F = 8 (но по условиям задачи ≥8, поэтому хотя бы 7 неверно, но 8 ≥7)
4. Верные утверждения: 3 и 4
Ответ: 34
Задача 15
В компании из 15 человек 9 зарегистрированы в социальной сети "ВКонтакте", а 12 - в сети "Facebook". Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- В этой компании найдётся хотя бы 6 человек, которые зарегистрированы в обеих сетях.
- В этой компании найдётся 6 человек, которые не зарегистрированы ни в социальной сети "ВКонтакте", ни в сети "Facebook".
- Не более 9 человек в этой компании зарегистрированы в обеих сетях.
- Не найдётся ни одного человека в этой компании, который не зарегистрирован в социальной сети "ВКонтакте".
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего человек: 15
- ВКонтакте (VK): 9
- Facebook (FB): 12
2. Найдём возможное количество зарегистрированных в обеих сетях (VK ∩ FB):
По формуле включений-исключений:
VK + FB - (VK ∩ FB) ≤ 15
9 + 12 - (VK ∩ FB) ≤ 15
21 - (VK ∩ FB) ≤ 15
VK ∩ FB ≥ 6
Максимальное значение VK ∩ FB = min(9,12) = 9
Таким образом: 6 ≤ VK ∩ FB ≤ 9
3. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальное VK ∩ FB = 6
- Неверно - максимальное количество незарегистрированных: 15 - (9+12-6) = 0
- Верно - максимальное VK ∩ FB = 9
- Неверно - возможно до 6 человек не зарегистрированы в VK (15-9=6)
4. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Задача 16
В классе учится 25 человек, из них 16 ходят на хор, а 14 - в театральную студию. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Найдутся хотя бы трое из этого класса, кто ходит и на хор, и в театральную студию.
- Не найдётся 15 человек из этого класса, кто ходит и на хор, и в театральную студию.
- Каждый ученик этого класса посещает и хор, и театральную студию.
- Если ученик из этого класса ходит в театральную студию, то он обязательно ходит и на хор.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Дано:
- Всего учеников: 25
- Хор: 16
- Театральная студия: 14
2. Найдём возможное количество посещающих и хор, и театр (X ∩ T):
По формуле включений-исключений:
X + T - (X ∩ T) ≤ 25
16 + 14 - (X ∩ T) ≤ 25
30 - (X ∩ T) ≤ 25
X ∩ T ≥ 5
Максимальное значение X ∩ T = min(16,14) = 14
Таким образом: 5 ≤ X ∩ T ≤ 14
3. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальное X ∩ T = 5 (≥3)
- Верно - максимальное X ∩ T = 14 (<15)
- Неверно - минимальное пересечение 5, не все
- Неверно - не обязательно все театралы ходят на хор
4. Верные утверждения: 1 и 2
Ответ: 12
Задача 17
При взвешивании животных Маша выяснила, что морская свинка легче хомяка, белка тяжелее хомяка, а хомяк легче кошки. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Кошка - самая тяжёлая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее морской свинки.
- Морская свинка - самая лёгкая из взвешенных животных.
- Кошка тяжелее белки.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условия:
- Морская свинка < Хомяк
- Белка > Хомяк
- Хомяк < Кошка
2. Строим цепочку веса:
Белка > Хомяк < Кошка
Морская свинка < Хомяк
Полная цепочка: Белка > Кошка > Хомяк > Морская свинка
3. Проверяем утверждения:
- Неверно - белка тяжелее кошки
- Верно - кошка > хомяк > морская свинка
- Верно - морская свинка легче всех
- Неверно - белка тяжелее кошки
4. Верные утверждения: 2 и 3
Ответ: 23
Задача 18
На полке стоят 46 книжек, из них 13 по истории, а 23 - с картинками. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- На полке найдётся 13 книжек по истории с картинками.
- На полке найдётся 5 книжек не по истории без картинок.
- На полке не может оказаться более 15 книг по истории с картинками.
- Если на полке стоит книжка по истории, то она с картинками.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Всего $46$ книг; $13$ по истории; $23$ с картинками, наиольшее колличество книг по истории и с картинками $13+23=36$; тогда наименьшее колличество книг без картинок и не по истории $46-36=10$;
а наибольшее колличество книг по истории с картинками $13$, т.е. $15$ таких книг не найдется.
Правильными будут утверждения $2$ и $3$.
Задача 19
В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
- Если в доме больше 9 этажей, то в нём установлен лифт.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме более 5 этажей.
- Если в доме не установлен лифт, то в этом доме менее 6 этажей.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме менее 5 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.
- Если в доме больше 9 этажей, то в нём установлен лифт. Это утверждение верно, так как если этажей больше 5, то лифт установлен. Если этажей больше 9, то, конечно, больше 5.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме более 5 этажей. Это утверждение также верно, так как по условию, лифт устанавливают только в домах с более чем 5 этажами.
- Если в доме не установлен лифт, то в этом доме менее 6 этажей. Это утверждение верно, так как если лифта нет, значит этажей 5 или меньше.
- Если в доме установлен лифт, то в этом доме менее 5 этажей. Это утверждение неверно, так как лифт устанавливают только в домах с более чем 5 этажами.
Таким образом, верными являются утверждения 1, 2 и 3.
Ответ: 123
Задача 20
Перед турниром по боксу измерили вес всех приехавших спортсменов. Оказалось, что вес каждого спортсмена меньше 80 кг и больше 65 кг. Выберите утверждения, которые следуют из указанных данных.
- Среди приехавших спортсменов нет никого с весом 64 кг.
- Разница в весе любых двух приехавших спортсменов составляет больше 15 кг.
- Вес любого приехавшего спортсмена меньше 82 кг.
- Среди приехавших спортсменов обязательно есть спортсмен с весом 70 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1. Анализируем условие:
Вес спортсменов: 65 кг < вес < 80 кг
2. Проверяем утверждения:
- Верно - минимальный вес 65 кг (64 кг исключено)
- Неверно - максимальная разница менее 15 кг (80-65=15, но границы не включены)
- Верно - максимальный вес 80 кг (меньше 82 кг)
- Неверно - вес 70 кг возможен, но не обязателен
3. Верные утверждения: 1 и 3
Ответ: 13
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
