Задание 4. Действия с формулами. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 83.5%
Алгоритм решения задания 4:
Определите, является ли задание вычислением числового выражения или текстовой задачей.
Если дано выражение, установите порядок действий с учётом скобок, умножения и деления.
Если дана текстовая задача, выделите известные величины и установите связь между ними.
Составьте арифметическое выражение, отражающее условие задачи, и выполните необходимые вычисления.
Проверьте логику полученного результата, сопоставив его с условием.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = {absinα}/{2}$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, $α$ - угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите величину $sin α$, если $a = 15, b = 11$ и $S = 49.5$.
Решение
Решение задачи на нахождение sin α:
Исходная формула площади треугольника:
Подставляем известные значения:
Умножаем обе части уравнения на 2:
Вычисляем произведение сторон:
Находим sin α:
Задача 2
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = {absinα}/{2}$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, $α$ - угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите длину стороны $a$, если $b = 18, S = 240$ и $sin α = {8}/{15}$.
Решение
Решение задачи на нахождение стороны a:
Исходная формула площади треугольника:
Подставляем известные значения:
Упрощаем уравнение:
240 = (144a) / 30
Умножаем обе части на 30:
Находим a:
Задача 3
Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ - сила (в ньютонах), с которой сжимают пружину, $k$ - коэффициент упругости, $x$ - абсолютное удлинение (сжатие) пружины (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите $x$ (в метрах), если $F = 340$ Н и $k = 17$ Н/м.
Решение
Решение задачи по закону Гука:
Исходная формула закона Гука:
Выражаем абсолютное удлинение x:
Подставляем известные значения:
Вычисляем значение:
Задача 4
Потенциальная энергия тела $E$ (в джоулях) в поле тяготения Луны вблизи поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $g$ - гравитационная постоянная, $m$ - масса тела (в килограммах), $h$ - высота (в метрах), на которой находится это тело, относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите $h$ (в метрах), если $g = 1.6$ м/с2, $m = 18$ м, $E = 72$ Дж.
Решение
Подставим все данные значения в формулу: $E=mgh -> 72=18⋅1,6⋅h->72=28,8⋅h$
Получили линейное уравнение. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
$h=72/28,8=2,5$
Задача 5
Длину биссектрисы $l_a$, проведённой к стороне $a$ треугольника, можно вычислить по формуле $l_a = {1}/{b + c} √{bc((b + c)^2 - a^2)}$. Найдите биссектрису $l_a$, если $a = 5√{10}, b = 8$ и $c = 12$.
Решение
Решение задачи на нахождение длины биссектрисы треугольника:
Исходная формула для вычисления биссектрисы:
Подставляем известные значения a = 5√10, b = 8, c = 12:
Вычисляем сумму b + c:
Вычисляем (b + c)²:
Вычисляем a²:
Вычисляем выражение в скобках:
Вычисляем произведение bc:
Вычисляем подкоренное выражение:
Извлекаем квадратный корень:
Вычисляем окончательное значение:
Задача 6
Площадь четырёхугольника вычисляется по формуле $S ={d_1d_2sinα}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали четырёхугольника, $α$ - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $d_1$, если $d_2 = 8, S = 24$ и $sin α ={4}/{5}$.
Решение
1. Подставим известные значения в формулу:
24 = {d1 · 8 · (4/5)}/{2}
2. Упростим уравнение:
Умножим обе стороны на 2:
48 = d1 · 8 · (4/5)
3. Упростим правую часть:
48 = d1 · (32/5)
4. Решим уравнение относительно d1:
Умножим обе стороны на 5:
240 = d1 · 32
d1 = {240}/{32} = 7.5
Ответ:
d1 = 7.5
Задача 7
Длину медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$ треугольника, можно вычислить по формуле $m_a = {√{b^2 + c^2 - a^2}}/{2}$. Найдите медиану $m_a$, если $a = √{15}, b = √{11}$ и $c = √{13}$.
Решение
$a=√15; b=√11; c=√13$
$m_a={1}/{2}√{b^2+c^2-a^2}$
$m_a={1}/{2}√{(√{11}^2)+(√{13}^2)-(√{15})^2}={1}/{2}√{11+13-15}={1}/{2}√9={1}/{2}·3=1.5$
Задача 8
Площадь треугольника, стороны которого $a, b$ и $c$, вычисляется по формуле $S = √{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p = {a + b + c}/{2}$ - полупериметр треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника $S$, если длины его сторон $13, 20, 21$.
Решение
$a=13; b=20; c=21; p={a+b+c}/{2}$,
$p={13+20+21}/{2}={54}/{2}=27$
$S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}=√{27·(27-13)(27-20)(27-21)}=√{27·14·7·6}=√{9·3·7·2·7·6}=3·7·6=126$
Задача 9
Длину биссектрисы $l_b$, проведённой к стороне $b$ треугольника, можно вычислить по формуле $l_b = {1}/{a + c} √{ac((a + c)^2 - b^2)}$. Найдите биссектрису $l_b$, если $a = 14, b = 3√{86}$ и $c = 16$.
Решение
Решение задачи на нахождение длины биссектрисы треугольника:
Исходная формула для вычисления биссектрисы:
Подставляем известные значения a = 14, b = 3√86, c = 16:
Вычисляем сумму a + c:
Вычисляем (a + c)²:
Вычисляем b²:
Вычисляем выражение в скобках:
Вычисляем произведение ac:
Вычисляем подкоренное выражение:
Извлекаем квадратный корень:
Вычисляем окончательное значение:
Задача 10
Стоимость $d$ поездки на легковом автомобиле из города A в город Б рассчитывается по формуле $d = {S · k}/{100} · m$, где $S$ - длина пути в километрах, $k$ - количество литров бензина на $100$ км пути, m стоимость литра бензина. Определите стоимость поездки в рублях, если $S = 1200$ км, $k = 9, m = 33$ руб.
Решение
Решение задачи на вычисление стоимости поездки:
Исходная формула для расчёта стоимости поездки:
Подставляем известные значения:
k = 9 л
m = 33 руб.
$d = {1200 · 9}/{100} · 33$
Вычисляем общий расход бензина:
Переводим в литры:
Рассчитываем общую стоимость:
Ответ: стоимость поездки составляет
Задача 11
Стоимость $d$ поездки на легковом автомобиле из города A в город Б рассчитывается по формуле $d = {S · k}/{100} · m$, где $S$ - длина пути в километрах, $k$ - количество литров бензина на $100$ км пути, $m$ - стоимость литра бензина. Определите стоимость поездки в рублях, если $S = 600$ км, $k = 11, m = 32$ руб.
Решение
Решение задачи на вычисление стоимости поездки:
Исходная формула для вычисления стоимости поездки:
Подставляем известные значения:
k = 11 л
m = 32 руб.
$d = {600 · 11}/{100} · 32$
Вычисляем расход бензина на весь путь:
Делим на 100 для перевода в литры:
Умножаем на стоимость литра бензина:
Ответ: стоимость поездки составляет
Задача 12
Зная длину своего шага, человек приближённо может посчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = kl$, где $l$ - длина шага, $k$ - число шагов. Какое расстояние прошла Маша, если длина её шага $l = 55$ см, число шагов $k = 600$? Ответ дайте в метрах.
Решение
В данной задаче длина шага Маши $l = 55$ см, а число шагов $k = 600$.
Сначала подставим данные в формулу:
$$s = k ∙ l = 600 ∙ 55$$
Теперь вычислим произведение:
$$600 ∙ 55 = 33000$$
Это расстояние выражено в сантиметрах. Чтобы перевести его в метры, нужно разделить на 100:
$$s = {33000}/{100} = 330$$
Таким образом, Маша прошла расстояние $330$ метров.
Задача 13
Зная длину своего шага, человек приближённо может посчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = kl$, где $l$ - длина шага, $k$ - число шагов. Какое расстояние прошёл Женя, если длина его шага $l = 70$ см, число шагов $k = 1200$? Ответ дайте в метрах.
Решение
Зная формулу для расчёта расстояния, можем подставить известные значения. Длина шага Жени составляет $l = 70$ см, а число шагов $k = 1200$. Подставляем в формулу:
$$s = k ∙ l$$
Теперь подставим значения:
$$s = 1200 ∙ 70 = 84000 см$$
Чтобы перевести сантиметры в метры, делим на 100:
$$s = 84000/{100} = 840$$
Таким образом, Женя прошёл расстояние 840 метров.
Задача 14
Среднее гармоническое трёх чисел $p, t$ и $h$ вычисляется по формуле $q = ({{1}/{p} + {1}/{t} + {1}/{h}}/{3})^{-1}$. Пользуясь этой формулой, найдите среднее гармоническое чисел ${2}/{7}, {2}/{15}$ и ${1}/{4}$.
Решение
Решение задачи на нахождение среднего гармонического:
Исходная формула для среднего гармонического:
Подставляем данные числа p = 2⁄7, t = 2⁄15, h = 1⁄4:
Упрощаем обратные дроби:
1⁄2⁄15 = 15⁄2
1⁄1⁄4 = 4
Складываем полученные значения:
Делим сумму на 3:
Находим обратное значение:
Задача 15
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a, b$ и $c$ - длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 15, b = 28$ и $V = 336$.
Решение
Дано уравнение для объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a∙b∙c$
Подставим значения $a = 15$, $b = 28$, $V = 336$: $336 = 15∙28∙c$
Найдём $c$, выразив его из уравнения: $c = 336 / (15 ∙28)$
Выполним вычисления:
$c = 336 / 420$
$c = 0,8$
Задача 16
Длину медианы $m_b$, проведённой к стороне $b$ треугольника, можно вычислить по формуле $m_b = {√{a^2 + c^2 - b^2}}/{2}$. Найдите медиану $m_b$, если $a = 3, b = √{20}$ и $c = 6$.
Решение
Решение задачи на нахождение длины медианы треугольника:
Исходная формула для вычисления медианы:
Подставляем известные значения a = 3, b = √20, c = 6:
Вычисляем квадраты сторон:
6² = 36
(√20)² = 20
Вычисляем выражение под корнем:
Извлекаем квадратный корень:
Вычисляем окончательное значение:
Задача 17
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = {d^2 sinα}/{2}$, где $d$ - диагональ прямоугольника, $α$ - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь прямоугольника $S$, если $d = 30$ и $sinα = {2}/{3}$.
Решение
$S=1/2d^2sinα; d=30; sinα=2/3$.
$S=1/2·30^2·2/3={900}/{3}=300$.
Задача 18
Площадь треугольника, стороны которого $a, b$ и $c$, вычисляется по формуле $S = √{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p = {a + b + c}/{2}$ - полупериметр треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника $S$, если длины его сторон $10, 17, 21$.
Решение
$a=10; b=17; c=21$
$S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)} , p={a+b+c}/{2}$,
$p={10+17+21}/{2}={48}/{2}=24$
$S=√{24·(24-10)·(24-17)·(24-21)}=√{24·14·7·3}=3·4·7=84$
Задача 19
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = {a + b}/{2} · h$, где $h$ - высота трапеции, $a$ и $b$ - её основания. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции, если $h = 17, a = 8$ и $b = 12$.
Решение
Решение задачи на нахождение площади трапеции:
Исходная формула для вычисления площади трапеции:
Подставляем известные значения h = 17, a = 8, b = 12:
Вычисляем сумму оснований:
Делим сумму оснований на 2:
Умножаем на высоту:
Задача 20
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a, b$ и $c$ - длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $b$, если $a = 12, c = 45$ и $V = 7020$.
Решение
Решение задачи на нахождение длины ребра b:
Исходная формула объема параллелепипеда:
Подставляем известные значения:
Вычисляем произведение известных ребер:
Находим b:
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
