Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Света, Марина, Оля и Ксюша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Света.
Решение
Жребий имеет $4$ равновозможных исхода (все девочки имеют равные шансы начинать игру). Значит, вероятность события «Игру будет начинать Света» равна ${1} / {4}=0{,}25$.
Задача 2
Биатлонист Алексей Антонов пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что биатлонист Алексей Антонов один раз попал по мишени, а четыре — промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение
Вероятность промахнуться при одном выстреле равна $1 - 0.7 = 0.3$. Обозначим события.
1. $A_1$ — «Алексей попал по мишени при первом выстреле».
2. $A_2$ — «Алексей попал по мишени при втором выстреле».
3. $A_3$ — «Алексей попал по мишени при третьем выстреле».
4. $A_4$ — «Алексей попал по мишени при четвёртом выстреле».
5. $A_5$ — «Алексей попал по мишени при пятом выстреле».
События ${A_1}↖{-}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$ — означают, что Алексей промахнулся при соответствующем выстреле.
Событие «Алексей Антонов первый раз попал по мишени, а последние четыре промахнулся» означает одновременное наступление (пересечение) независимых событий ${A_1}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$.
$P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P (A_1) · P ({A_2}↖{-}) · P ({A_3}↖{-}) · P ({A_4}↖{-}) · P ({A_5}↖{-}) = 0.7 · 0.3 · 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.00567$.
По условию Алексей мог промахнуться единожды, но этот промах мог прийтись на любой из пяти выстрелов, не обязательно на первый.
Тогда, аналогично, $P ({A_1}↖{-} ∩ A_2 ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-}∩ {A_2}↖{-} ∩ A_3 ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) =$
$= P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ A_4 ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ A_5) =$
$= P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = (0.3)^4 · 0.7 = 0.00567$.
Следовательно, искомая вероятность равна $0.00567 · 5 = 0.02835 ≈0.03$.
Задача 3
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Лесник» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}2$.
Решение
Вероятность ничьей в каждой игре равна $1-0{,}2-0{,}2=0{,}6$ (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Лесник» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев. 1. «Лесник» выиграет обе игры. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}2=0{,}04$. 2. «Лесник» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}6=0{,}12$. 3. «Лесник» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна $0{,}6⋅ 0{,}2=0{,}12$. Искомая вероятность равна $0{,}04+0{,}12+0{,}12=0{,}28$.
Задача 4
В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и ясная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $15$ сентября, погода в Волшебной стране дождливая. Найдите вероятность того, что $18$ сентября в Волшебной стране будет ясная погода.
Решение
Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.7 = 0.3. По условию 15 сентября погода дождливая, а 18 сентября должно быть ясно. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 16 и 17 сентября.
| 15 сентября | 16 сентября | 17 сентября | 18 сентября |
| дождь | ясно | ясно | ясно |
| дождь | ясно | дождь | ясно |
| дождь | дождь | ясно | ясно |
| дождь | дождь | дождь | ясно |
Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «16 и 17 сентября погода ясная» и «16 сентября погода ясная, 17 — дождливая» не могут наступить одновременно.
Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.7, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 16 и 17 сентября посчитаем вероятность того, что 18 сентября будет ясно.
| 15 сент. | 16 сент. | 17 сент. | 18 сент. | Вероятность | |||
| дождь | ≠ | ясно | = | ясно | = | ясно | 0.3 · 0.7 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | ≠ | ясно | ≠ | дождь | ≠ | ясно | 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.027 |
| дождь | = | дождь | ≠ | ясно | = | ясно | 0.7 · 0.3 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | = | дождь | = | дождь | ≠ | ясно | 0.7 · 0.7 · 0.3 = 0.147 |
| Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. | 0.147+0.027+0.147+0.147 = 3 · 0.147 + 0.027 = 0.468 | ||||||
Искомая вероятность равна 0.468.
Задача 5
На фестивале хеви-метал выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) и место их выступления роли не играют. Фраза «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» означает то, что группы должны располагаться в следующем порядке: Франция — Испания — США (сокращённо «ФИС»). Заметим, что всего существует шесть способов расставить три группы по порядку:
1. Франция — США — Испания (ФСИ)
2. Франция — Испания — США (ФИС)
3. Испания — США — Франция (ИСФ)
4. Испания — Франция — США (ИФС)
5. США — Испания — Франция (СИФ)
6. США — Франция — Испания (СФИ)
Таким образом, жребий может иметь 6 равновозможных исходов, задающих порядок трёх групп относительно друг друга. Только один из этих исходов благоприятствует событию «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» (исход под номером 2). По определению искомая вероятность равна ${1}/{6} = 0.166 . . . ≈ 0.17$.
Задача 6
На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.
Задача 7
Ковбой Майкл попадает в муху на потолке с вероятностью $0{,}8$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Майкл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежит $20$ револьверов, из них только $6$ пристрелянные. Ковбой Майкл видит на потолке муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Майкл промахнётся.
Решение
Вероятность того, что Майкл возьмёт пристрелянный револьвер, равна ${6} / {20}=0{,}3$. Вероятность того, что Майкл возьмёт непристрелянный револьвер, равна $1-0{,}3=0{,}7$. Вероятность события $A= $ «Майкл взял пристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}3⋅ 0{,}8=0{,}24$. Вероятность события $B=$ «Майкл взял непристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}7⋅ 0{,}1=0{,}07$. События $A$ и $B$ несовместны. Действительно, Майкл не может одновременно «взять пристелянный револьвер и попасть в муху», а также «взять непристелянный револьвер и попасть в муху» — ведь Майкл берёт только один револьвер! Тогда $P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$. Но $A∪ B$ — это событие «Майкл попал в муху». В условии задачи спрашивается вероятность противоположного события, она равна $1-0{,}31=0{,}69$.
Задача 8
Две фабрики выпускают одинаковые стержни для шариковых авторучек. Первая фабрика выпускает $75%$ этих стержней, вторая — $25%$. Первая фабрика выпускает $5%$ бракованных стержней, а вторая — $6%$. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине стержень окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стержней. Тогда первая фабрика выпустила $0.75n$ стержней, а вторая — $0.25n$ стержней. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0.75n · 0.05 = 0.0375n$ бракованных стержней. Вторая фабрика выпустила $0.25n · 0.06 = 0.015n$ бракованных стержней. Тогда всего бракованных стержней $0.0375n + 0.015n = 0.0525n$. По определению вероятность того, что купленный стержень бракованный, равна ${0.0525n}/{n} = 0.0525$.
Задача 9
Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает $35%$ этих стёкол, вторая — $65%$. Первая фабрика выпускает $8%$ бракованных стёкол, а вторая — $3%$. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стёкол. Тогда первая фабрика выпустила $0{,}35n$ стёкол, а вторая — $0{,}65n$ стёкол. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0{,}35n⋅0{,}08=0{,}028n$ бракованных стёкол. Вторая фабрика выпустила $0{,}65n⋅0{,}03=0{,}0195n$ бракованных стёкол. Тогда всего бракованных стёкол $0{,}028n+0{,}0195n=0{,}0475n$. По определению вероятность того, что купленное стекло бракованное, равно ${0{,}0475n} / {n}=0{,}0475$.
Задача 10
Помещение торгового дома «Светлый» освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0{,}6$. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение
Найдём вероятность события «перегорели обе лампы», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «перегорела первая лампа» равна вероятности события «перегорела вторая лампа» и равна 0.6. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступили оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.6 · 0.6 = 0.36. Это вероятность события «перегорели обе лампы».
События «перегорели обе лампы» и «хотя бы одна лампа не перегорела» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы одна лампа не перегорела» равна 1 - 0.36 = 0.64.
Задача 11
В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».
События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.
Задача 12
Вероятность того, что новая электрическая кофемашина прослужит больше года, равна $0{,}92$. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "кофемашина прослужит меньше года", "кофемашина прослужит от 1 до 2 лет" и "кофемашина прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "кофемашина прослужит меньше года" и "кофемашина прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "кофемашина прослужит меньше года" равна 1 - 0.92 = 0.08. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.08 | ? | 0.85 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.08 - 0.85 = 0.07.
Задача 13
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.
Задача 14
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.
Задача 15
В магазине сантехники три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}7$ независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
Решение
События «первый продавец занят», «второй продавец занят» и «третий продавец занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.7 · 0.7 · 0.7 = 0.343.
Задача 16
Перед началом первого тура чемпионата по спортивным нардам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $56$ игроков, среди которых $12$ спортсменов из России, в том числе Евгений Победкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Победкин будет играть с каким-либо игроком из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Евгения Победкина. Этот эксперимент имеет $56-1 = 55$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $12 - 1 = 11$ исходов благо приятствуют событию «Евгений Победкин будет играть со спортсменом из России» (так как есть $11$ спортсменов из России, не считая самого Евгения Победкина). По определению искомая вероятность равна ${11}/{55} = 0.2$.
Задача 17
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "чайник прослужит меньше года", "чайник прослужит от 1 до 2 лет" и "чайник прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "чайник прослужит меньше года" и "чайник прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "чайник прослужит меньше года" равна 1 - 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.07 | ? | 0.84 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.07 - 0.84 = 0.09.
Задача 18
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.
Задача 19
Фабрика выпускает туфли. В среднем $12$ пар туфель из $200$ пар имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная пара туфель окажется без дефектов.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $200$ пар $200 - 12 = 188$ не имеют дефектов. Тогда искомая вероятность равна ${188}/{200} = 0.94$.
Задача 20
В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
