Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Фабрика выпускает туфли. В среднем $12$ пар туфель из $200$ пар имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная пара туфель окажется без дефектов.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $200$ пар $200 - 12 = 188$ не имеют дефектов. Тогда искомая вероятность равна ${188}/{200} = 0.94$.
Задача 2
В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.
Задача 3
При производстве в среднем на каждые $468$ исправных телефонов приходится $32$ неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется неисправным.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $468 + 32 = 500$ телефонов $32$ неисправных. По определению искомая вероятность равна ${32}/{500} = 0.064$.
Задача 4
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.
Задача 5
На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:
Известные данные:
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%
Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)
Сумки в продаже состоят из:
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932
Вероятность покупки качественной сумки:
Округляем до тысячных:
Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈
Задача 6
Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.
Решение
Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:
Известные данные:
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15
Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)
Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:
Вычисляем:
Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек =
Задача 7
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?
Решение
Решение задачи на вероятность деления на 4:
Определяем диапазон чисел:
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20
Находим числа, делящиеся на 4:
Вычисляем вероятность:
Ответ: вероятность =
Задача 8
На экзамене по биологии студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Млекопитающие», равна $0{,}36$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Бактерии», равна $0{,}18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Млекопитающие" и B = "достанется вопрос по теме Бактерии" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.36 + 0.18 = 0.54.
Задача 9
Охотник Генри попадает в муху на стене с вероятностью $0{,}6$, если стреляет из пристрелянного ружья. Если Генри стреляет из непристрелянного ружья, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}4$. На столе лежит $12$ ружей, из них $9$ пристрелянные. Охотник Генри видит на стене муху, наудачу хватает первое попавшееся ружьё и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Генри промахнётся.
Решение
Вероятность того, что Генри возьмёт пристрелянное ружьё, равна ${9}/{12} = 0.75$. Вероятность того, что Генри возьмёт непристрелянное ружьё, равна $1 - 0.75 = 0.25$. Вероятность промахнуться из пристрелянного ружья равна $1 - 0.6 = 0.4$, вероятность промахнуться из непристрелянного ружья равна $1 - 0.4 = 0.6$.
Вероятность события A = «Генри взял пристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.75 · 0.4 = 0.3$.
Вероятность события B = «Генри взял непристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.25 · 0.6 = 0.15$.
События A и B несовместны. Действительно, Генри не может одновременно «взять пристелянное ружьё и промахнуться», а также «взять непристелянное ружьё и промахнуться» — ведь Генри берёт только одно ружьё!
Тогда $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.15 = 0.45$. Но $A ∪ B$ — это и есть событие «Генри взял ружьё и промахнулся».
Задача 10
Ковбой Майкл попадает в муху на потолке с вероятностью $0{,}8$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Майкл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежит $20$ револьверов, из них только $6$ пристрелянные. Ковбой Майкл видит на потолке муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Майкл промахнётся.
Решение
Вероятность того, что Майкл возьмёт пристрелянный револьвер, равна ${6} / {20}=0{,}3$. Вероятность того, что Майкл возьмёт непристрелянный револьвер, равна $1-0{,}3=0{,}7$. Вероятность события $A= $ «Майкл взял пристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}3⋅ 0{,}8=0{,}24$. Вероятность события $B=$ «Майкл взял непристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}7⋅ 0{,}1=0{,}07$. События $A$ и $B$ несовместны. Действительно, Майкл не может одновременно «взять пристелянный револьвер и попасть в муху», а также «взять непристелянный револьвер и попасть в муху» — ведь Майкл берёт только один револьвер! Тогда $P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$. Но $A∪ B$ — это событие «Майкл попал в муху». В условии задачи спрашивается вероятность противоположного события, она равна $1-0{,}31=0{,}69$.
Задача 11
За круглый стол на $41$ стул в случайном порядке рассаживаются $39$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 40 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 40 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{40} = 0.05$.
Задача 12
За круглый стол на $51$ стул в случайном порядке рассаживаются $49$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 50 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 50 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{50} = 0.04$.
Задача 13
Две фабрики выпускают одинаковые стержни для шариковых авторучек. Первая фабрика выпускает $75%$ этих стержней, вторая — $25%$. Первая фабрика выпускает $5%$ бракованных стержней, а вторая — $6%$. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине стержень окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стержней. Тогда первая фабрика выпустила $0.75n$ стержней, а вторая — $0.25n$ стержней. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0.75n · 0.05 = 0.0375n$ бракованных стержней. Вторая фабрика выпустила $0.25n · 0.06 = 0.015n$ бракованных стержней. Тогда всего бракованных стержней $0.0375n + 0.015n = 0.0525n$. По определению вероятность того, что купленный стержень бракованный, равна ${0.0525n}/{n} = 0.0525$.
Задача 14
В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».
События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.
Задача 15
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.
Задача 16
Перед началом первого тура чемпионата по спортивным нардам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $56$ игроков, среди которых $12$ спортсменов из России, в том числе Евгений Победкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Победкин будет играть с каким-либо игроком из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Евгения Победкина. Этот эксперимент имеет $56-1 = 55$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $12 - 1 = 11$ исходов благо приятствуют событию «Евгений Победкин будет играть со спортсменом из России» (так как есть $11$ спортсменов из России, не считая самого Евгения Победкина). По определению искомая вероятность равна ${11}/{55} = 0.2$.
Задача 17
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $76$ спортсменов, среди которых $46$ спортсменов из России, в том числе Григорий Соколенко. Найдите вероятность того, что в первом туре Григорий Соколенко будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Григория Соколенко. Этот эксперимент имеет $76-1=75$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $46-1=45$ исходов благоприятствуют событию «Григорий Соколенко будет играть со спортсменом из России» (так как есть $45$ спортсменов из России, не считая самого Григория Соколенко). По определению, искомая вероятность равна ${45} / {75}=0{,}6$.
Задача 18
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "чайник прослужит меньше года", "чайник прослужит от 1 до 2 лет" и "чайник прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "чайник прослужит меньше года" и "чайник прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "чайник прослужит меньше года" равна 1 - 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.07 | ? | 0.84 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.07 - 0.84 = 0.09.
Задача 19
В некотором городе из $5000$ появившихся на свет младенцев $2075$ мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до сотых.
Решение
Из каждых $5000$ появившихся на свет младенцев девочек $5000 - 2075 = 2925$. По определению искомая частота равна ${2925}/{5000} = 0.585 ≈ 0.59$.
Задача 20
На конференцию приехали $7$ учёных из Китая, $5$ — из России и $8$ — из Египта. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что выбирается учёный, который будет выступать восьмым. Всего существует $20$ равновозможных исходов ($7+5+8=20$ учёных, все имеют равные шансы выступить восьмыми). Событию "Восьмым будет выступать учёный из России" благоприятствуют $5$ исходов. По определению искомая вероятность равна ${5}/{20} = {1}/{4} = 0.25$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
