Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.
Решение
Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:
Введём обозначения:
• Вероятность высшей категории:
- из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
- из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42
Составим уравнение:
Решим уравнение:
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2
Найдём долю второго хозяйства:
Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства =
Задача 2
Чтобы поступить в университет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому сдаваемому предмету. На специальность «Информатика» необходимо сдавать русский язык, математику и информатику, а на специальность «Робототехника» — русский язык, математику и физику. Вероятность того, что абитуриент А получит не менее 75 баллов по русскому языку равна $0{,}7$, по математике — $0{,}5$, по информатике — $0{,}6$ и по физике — $0{,}4$. Найдите вероятность того, что А сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение
Решение задачи на вероятность поступления:
Определим вероятности успешной сдачи экзаменов:
• Математика: 0,5
• Информатика: 0,6
• Физика: 0,4
Вероятность поступления на "Информатику":
Вероятность поступления на "Робототехнику":
Вероятность поступления на обе специальности:
Используем формулу объединения вероятностей:
Ответ: вероятность поступления хотя бы на одну специальность =
Задача 3
Перед началом первого тура чемпионата по спортивным нардам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $56$ игроков, среди которых $12$ спортсменов из России, в том числе Евгений Победкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Победкин будет играть с каким-либо игроком из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Евгения Победкина. Этот эксперимент имеет $56-1 = 55$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $12 - 1 = 11$ исходов благо приятствуют событию «Евгений Победкин будет играть со спортсменом из России» (так как есть $11$ спортсменов из России, не считая самого Евгения Победкина). По определению искомая вероятность равна ${11}/{55} = 0.2$.
Задача 4
На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:
Известные данные:
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%
Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)
Сумки в продаже состоят из:
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932
Вероятность покупки качественной сумки:
Округляем до тысячных:
Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈
Задача 5
Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:
Введём обозначения:
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231
Ответ: вероятность брака =
Задача 6
Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.
Решение
Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:
Определим вероятности выбора луков:
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4
Вероятности промаха для каждого типа луков:
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,12 + 0,28
= 0,40
Ответ: вероятность промаха =
Задача 7
В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.
Решение
Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:
Определяем общее количество спортсменов:
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов
Вероятность для 6-го выступающего:
Вычисление:
Ответ: вероятность =
Задача 8
Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение
Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.
Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 - 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 - 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 - 0.28 = 0.72.
Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.
Задача 9
Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
Решение
Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:
Введём обозначения событий:
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа
Известные вероятности:
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
Вычисляем:
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Задача 10
Фабрика выпускает туфли. В среднем $12$ пар туфель из $200$ пар имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная пара туфель окажется без дефектов.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $200$ пар $200 - 12 = 188$ не имеют дефектов. Тогда искомая вероятность равна ${188}/{200} = 0.94$.
Задача 11
В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
Решение
Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:
Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо
Вероятности перехода погоды:
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3
Рассчитываем вероятность для каждого сценария:
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21
Суммируем вероятности обоих сценариев:
Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая =
Задача 12
В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?
Решение
Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:
$P(A)=2/10=0.2$
Задача 13
Вероятность того, что новая электрическая кофемашина прослужит больше года, равна $0{,}92$. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "кофемашина прослужит меньше года", "кофемашина прослужит от 1 до 2 лет" и "кофемашина прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "кофемашина прослужит меньше года" и "кофемашина прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "кофемашина прослужит меньше года" равна 1 - 0.92 = 0.08. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.08 | ? | 0.85 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.08 - 0.85 = 0.07.
Задача 14
В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.
Задача 15
В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и ясная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $15$ сентября, погода в Волшебной стране дождливая. Найдите вероятность того, что $18$ сентября в Волшебной стране будет ясная погода.
Решение
Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.7 = 0.3. По условию 15 сентября погода дождливая, а 18 сентября должно быть ясно. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 16 и 17 сентября.
| 15 сентября | 16 сентября | 17 сентября | 18 сентября |
| дождь | ясно | ясно | ясно |
| дождь | ясно | дождь | ясно |
| дождь | дождь | ясно | ясно |
| дождь | дождь | дождь | ясно |
Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «16 и 17 сентября погода ясная» и «16 сентября погода ясная, 17 — дождливая» не могут наступить одновременно.
Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.7, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 16 и 17 сентября посчитаем вероятность того, что 18 сентября будет ясно.
| 15 сент. | 16 сент. | 17 сент. | 18 сент. | Вероятность | |||
| дождь | ≠ | ясно | = | ясно | = | ясно | 0.3 · 0.7 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | ≠ | ясно | ≠ | дождь | ≠ | ясно | 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.027 |
| дождь | = | дождь | ≠ | ясно | = | ясно | 0.7 · 0.3 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | = | дождь | = | дождь | ≠ | ясно | 0.7 · 0.7 · 0.3 = 0.147 |
| Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. | 0.147+0.027+0.147+0.147 = 3 · 0.147 + 0.027 = 0.468 | ||||||
Искомая вероятность равна 0.468.
Задача 16
Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.
Решение
Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:
Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник
Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7
Вычисляем вероятность:
Округляем до сотых:
Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈
Задача 17
В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».
События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.
Задача 18
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.
Задача 19
При производстве в среднем на каждые $468$ исправных телефонов приходится $32$ неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется неисправным.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $468 + 32 = 500$ телефонов $32$ неисправных. По определению искомая вероятность равна ${32}/{500} = 0.064$.
Задача 20
В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.
Решение
Решение задачи на вероятность остатка лимонада:
Введём обозначения событий:
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)
Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:
Вероятность противоположного события (останется в обоих):
Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах =
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
