Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение
Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.
Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 - 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 - 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 - 0.28 = 0.72.
Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.
Задача 2
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Ветерок» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.
Решение
Вероятность ничьей в каждой игре равна 1 - 0.3 - 0.3 = 0.4 (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Ветерок» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев.
1. «Ветерок» выиграет обе игры. Вероятность этого равна 0.3 · 0.3 = 0.09.
2. «Ветерок» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна 0.3 · 0.4 = 0.12.
3. «Ветерок» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна 0.4 · 0.3 = 0.12.
Искомая вероятность равна 0.09 + 0.12 + 0.12 = 0.33.
Задача 3
Ковбой Майкл попадает в муху на потолке с вероятностью $0{,}8$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Майкл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежит $20$ револьверов, из них только $6$ пристрелянные. Ковбой Майкл видит на потолке муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Майкл промахнётся.
Решение
Вероятность того, что Майкл возьмёт пристрелянный револьвер, равна ${6} / {20}=0{,}3$. Вероятность того, что Майкл возьмёт непристрелянный револьвер, равна $1-0{,}3=0{,}7$. Вероятность события $A= $ «Майкл взял пристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}3⋅ 0{,}8=0{,}24$. Вероятность события $B=$ «Майкл взял непристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}7⋅ 0{,}1=0{,}07$. События $A$ и $B$ несовместны. Действительно, Майкл не может одновременно «взять пристелянный револьвер и попасть в муху», а также «взять непристелянный револьвер и попасть в муху» — ведь Майкл берёт только один револьвер! Тогда $P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$. Но $A∪ B$ — это событие «Майкл попал в муху». В условии задачи спрашивается вероятность противоположного события, она равна $1-0{,}31=0{,}69$.
Задача 4
За круглый стол на $41$ стул в случайном порядке рассаживаются $39$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 40 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 40 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{40} = 0.05$.
Задача 5
Две фабрики выпускают одинаковые стержни для шариковых авторучек. Первая фабрика выпускает $75%$ этих стержней, вторая — $25%$. Первая фабрика выпускает $5%$ бракованных стержней, а вторая — $6%$. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине стержень окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стержней. Тогда первая фабрика выпустила $0.75n$ стержней, а вторая — $0.25n$ стержней. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0.75n · 0.05 = 0.0375n$ бракованных стержней. Вторая фабрика выпустила $0.25n · 0.06 = 0.015n$ бракованных стержней. Тогда всего бракованных стержней $0.0375n + 0.015n = 0.0525n$. По определению вероятность того, что купленный стержень бракованный, равна ${0.0525n}/{n} = 0.0525$.
Задача 6
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "чайник прослужит меньше года", "чайник прослужит от 1 до 2 лет" и "чайник прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "чайник прослужит меньше года" и "чайник прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "чайник прослужит меньше года" равна 1 - 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.07 | ? | 0.84 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.07 - 0.84 = 0.09.
Задача 7
На экзамене по биологии студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Млекопитающие», равна $0{,}36$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Бактерии», равна $0{,}18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Млекопитающие" и B = "достанется вопрос по теме Бактерии" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.36 + 0.18 = 0.54.
Задача 8
Завод выпускает съёмные жёсткие диски. В среднем $15$ дисков из $300$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленный диск окажется без дефектов.
Решение
По определению вероятность покупки диска с дефектом равна ${15}/{300} = 0.05$. Тогда по формуле вероятности противоположного события вероятность купить диск без дефекта равна $1 - 0.05 = 0.95$.
Задача 9
В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.
Задача 10
В чемпионате мира участвуют $16$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Плутон», участвующая в чемпионате, окажется во второй группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды «Плутон» тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента $16$ равновозможных исходов (по числу карточек). Событию «Команда „ Плутон“ окажется во второй группе» благоприятствуют $4$ исхода (количество карточек с номером $2$). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4} / {16}=0{,}25$.
Задача 11
Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
Решение
Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:
Введём обозначения событий:
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа
Известные вероятности:
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
Вычисляем:
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Задача 12
В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
Решение
Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:
Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо
Вероятности перехода погоды:
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3
Рассчитываем вероятность для каждого сценария:
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21
Суммируем вероятности обоих сценариев:
Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая =
Задача 13
На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:
Известные данные:
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%
Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)
Сумки в продаже состоят из:
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932
Вероятность покупки качественной сумки:
Округляем до тысячных:
Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈
Задача 14
Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:
Введём обозначения:
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231
Ответ: вероятность брака =
Задача 15
Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?
Решение
Решение задачи на определение количества выстрелов:
Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:
Необходимо найти минимальное n, при котором:
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02
Решаем неравенство:
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3
Проверим для n=3:
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)
Ответ: потребуется
Задача 16
Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.
Решение
Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:
Определим вероятности выбора луков:
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4
Вероятности промаха для каждого типа луков:
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,12 + 0,28
= 0,40
Ответ: вероятность промаха =
Задача 17
Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.
Решение
Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:
Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник
Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7
Вычисляем вероятность:
Округляем до сотых:
Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈
Задача 18
В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.
Решение
Решение задачи на вероятность остатка лимонада:
Введём обозначения событий:
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)
Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:
Вероятность противоположного события (останется в обоих):
Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах =
Задача 19
Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Решение задачи на вероятность работы прибора:
Введём обозначения событий:
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)
Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):
Вычисляем:
Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет =
Задача 20
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
