Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

Конференция проводится в 4 дня. Запланировано 80 докладов — первые два дня по 23 доклада, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора А окажется запланированным на третий день конференции?

Решение

Решение задачи на вероятность распределения доклада:

Распределение докладов по дням:

• 1-й день: 23 доклада
• 2-й день: 23 доклада
• 3-й и 4-й дни: (80 - 23 - 23) = 34 доклада → по 17 докладов в день

Вероятность для доклада профессора А:

P = Количество докладов в 3-й день / Общее количество докладов = 17/80

Вычисление:

17/80 = 0,2125

Ответ: вероятность = 0,2125

Ответ: 0.2125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение

Решение задачи через фиксацию первой девочки:

Алгоритм решения:

1. Фиксируем первую девочку на произвольном месте (круговая симметрия)
2. Остаётся 16 свободных мест
3. Рядом с первой девочкой 2 места (слева и справа)

Формула вероятности:

P = Число благоприятных мест / Общее число свободных мест = 2/16 = 1/8

Ответ: вероятность = 1/8 = 0,125

Ответ: 0.125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

Решение задачи на вероятность остатка лимонада:

Введём обозначения событий:

A - лимонад закончился в первом автомате (P(A) = 0,2)
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)

Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,2 - 0,09 = 0,31

Вероятность противоположного события (останется в обоих):

P(неA∩неB) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,31 = 0,69

Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах = 0,69

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:

Известные данные:

• Вероятность вопроса по Ботанике (P₁) = 0,27
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)

Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:

P(Ботаника или Зоология) = P(Ботаника) + P(Зоология)

Вычисляем:

0,27 + 0,28 = 0,55

Ответ: вероятность вопроса по одной из тем = 0,55

Ответ: 0.55
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?

Решение

Решение задачи на определение количества выстрелов:

Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:

P(неуничтожения) = (1 - 0,5) × (1 - 0,8)n-1 = 0,5 × 0,2n-1

Необходимо найти минимальное n, при котором:

1 - P(неуничтожения) ≥ 0,98
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02

Решаем неравенство:

0,2n-1 ≤ 0,04
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3

Проверим для n=3:

P(неуничтожения) = 0,5 × 0,2² = 0,02
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)

Ответ: потребуется 3 выстрела

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:

Введём обозначения:

• Пусть x - доля яиц из первого хозяйства (тогда (1-x) - из второго)
• Вероятность высшей категории:
  - из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
  - из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42

Составим уравнение:

0,5x + 0,4(1 - x) = 0,42

Решим уравнение:

0,5x + 0,4 - 0,4x = 0,42
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2

Найдём долю второго хозяйства:

1 - x = 1 - 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства = 0,8 (80%)

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

Чтобы поступить в университет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому сдаваемому предмету. На специальность «Информатика» необходимо сдавать русский язык, математику и информатику, а на специальность «Робототехника» — русский язык, математику и физику. Вероятность того, что абитуриент А получит не менее 75 баллов по русскому языку равна $0{,}7$, по математике — $0{,}5$, по информатике — $0{,}6$ и по физике — $0{,}4$. Найдите вероятность того, что А сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение

Решение задачи на вероятность поступления:

Определим вероятности успешной сдачи экзаменов:

• Русский язык: 0,7
• Математика: 0,5
• Информатика: 0,6
• Физика: 0,4

Вероятность поступления на "Информатику":

P(Инф) = P(Рус) × P(Мат) × P(Инф) = 0,7 × 0,5 × 0,6 = 0,21

Вероятность поступления на "Робототехнику":

P(Роб) = P(Рус) × P(Мат) × P(Физ) = 0,7 × 0,5 × 0,4 = 0,14

Вероятность поступления на обе специальности:

P(Инф ∩ Роб) = 0,7 × 0,5 × 0,6 × 0,4 = 0,084

Используем формулу объединения вероятностей:

P(Инф ∪ Роб) = P(Инф) + P(Роб) - P(Инф ∩ Роб)
= 0,21 + 0,14 - 0,084 = 0,266

Ответ: вероятность поступления хотя бы на одну специальность = 0,266

Ответ: 0.266
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:

$P(A)=2/10=0.2$

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}037$. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Решение задачи на сравнение вероятности и частоты события:

Известные данные:

• Теоретическая вероятность ремонта (P) = 0,037
• Количество проданных телевизоров = 100
• Количество телевизоров на ремонте = 4

Вычисляем частоту события в городе К:

Частота = Количество ремонтов / Общее количество = 4/100 = 0,04

Находим разницу между частотой и вероятностью:

Разница = |Частота - Вероятность| = |0,04 - 0,037| = 0,003

Ответ: разница составляет 0,003

Ответ: 0.003
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:

Определяем благоприятный интервал:

Отметка 9 до отметки 2 на циферблате
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)

Всего возможных положений часовой стрелки:

Полный круг = 12 часовых делений

Вычисляем вероятность:

P = Благоприятный интервал / Всего делений = 5/12 ≈ 0,4167

Округляем до сотых:

0,4167 ≈ 0,42

Ответ: вероятность ≈ 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

В некотором городе из $5000$ появившихся на свет младенцев $2624$ мальчика. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение

Из каждых $5000$ появившихся на свет младенцев девочек $5000-2624=2376$. По определению искомая частота равна
${2376} / {5000}=0{,}4752≈ 0{,}475$.

Ответ: 0.475
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Решение

Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:

Введём обозначения событий:

A - пациент болен
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа

Известные вероятности:

P(A) = 6% = 0,06
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02

Используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Подставляем значения:

P(B) = 0,06 × 0,95 + 0,94 × 0,02

Вычисляем:

0,06 × 0,95 = 0,057
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Ответ: 0.0758
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:

Известные данные:

• Общий процент дефектных сумок: 8% = 0,08
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%

Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:

1. Выявленные дефектные сумки: 0,85 × 0,08 = 0,068 (6,8%)
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)

Сумки в продаже состоят из:

• Качественных: 0,92
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932

Вероятность покупки качественной сумки:

P = Количество качественных / Всего в продаже = 0,92 / 0,932 ≈ 0,9871

Округляем до тысячных:

0,9871 ≈ 0,987

Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈ 0,987

Ответ: 0.987
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.

Решение

Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:

Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:

3 мая: Солнечно (известно)
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо

Вероятности перехода погоды:

P(С→С) = 0,7 (такая же погода)
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3

Рассчитываем вероятность для каждого сценария:

1) С→С→Д: 0,7 × 0,3 = 0,21
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21

Суммируем вероятности обоих сценариев:

P(Дождливо 5 мая) = 0,21 + 0,21 = 0,42

Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая = 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.

Решение

Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:

Определяем общее количество спортсменов:

Франция: 6
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов

Вероятность для 6-го выступающего:

P = Количество спортсменов из Германии / Общее количество спортсменов = 7/20

Вычисление:

7/20 = 0,35

Ответ: вероятность = 0,35

Ответ: 0.35
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2027: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.