Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:

Известные данные:

• Вероятность вопроса по Ботанике (P₁) = 0,27
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)

Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:

P(Ботаника или Зоология) = P(Ботаника) + P(Зоология)

Вычисляем:

0,27 + 0,28 = 0,55

Ответ: вероятность вопроса по одной из тем = 0,55

Ответ: 0.55
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}037$. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Решение задачи на сравнение вероятности и частоты события:

Известные данные:

• Теоретическая вероятность ремонта (P) = 0,037
• Количество проданных телевизоров = 100
• Количество телевизоров на ремонте = 4

Вычисляем частоту события в городе К:

Частота = Количество ремонтов / Общее количество = 4/100 = 0,04

Находим разницу между частотой и вероятностью:

Разница = |Частота - Вероятность| = |0,04 - 0,037| = 0,003

Ответ: разница составляет 0,003

Ответ: 0.003
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:

Введём обозначения:

• P₁ = 38% = 0,38 - доля 1-го завода
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025

Используем формулу полной вероятности:

P(брак) = P₁ × P(брак|1-й) + P₂ × P(брак|2-й)

Подставляем значения:

P(брак) = 0,38 × 0,02 + 0,62 × 0,025
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231

Ответ: вероятность брака = 0,0231

Ответ: 0.0231
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?

Решение

Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?

Решение

Решение задачи на определение количества выстрелов:

Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:

P(неуничтожения) = (1 - 0,5) × (1 - 0,8)n-1 = 0,5 × 0,2n-1

Необходимо найти минимальное n, при котором:

1 - P(неуничтожения) ≥ 0,98
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02

Решаем неравенство:

0,2n-1 ≤ 0,04
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3

Проверим для n=3:

P(неуничтожения) = 0,5 × 0,2² = 0,02
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)

Ответ: потребуется 3 выстрела

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:

Известные данные:

• Общий процент дефектных сумок: 8% = 0,08
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%

Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:

1. Выявленные дефектные сумки: 0,85 × 0,08 = 0,068 (6,8%)
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)

Сумки в продаже состоят из:

• Качественных: 0,92
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932

Вероятность покупки качественной сумки:

P = Количество качественных / Всего в продаже = 0,92 / 0,932 ≈ 0,9871

Округляем до тысячных:

0,9871 ≈ 0,987

Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈ 0,987

Ответ: 0.987
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:

Введём обозначения:

• Пусть x - доля яиц из первого хозяйства (тогда (1-x) - из второго)
• Вероятность высшей категории:
  - из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
  - из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42

Составим уравнение:

0,5x + 0,4(1 - x) = 0,42

Решим уравнение:

0,5x + 0,4 - 0,4x = 0,42
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2

Найдём долю второго хозяйства:

1 - x = 1 - 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства = 0,8 (80%)

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:

$P(A)=2/10=0.2$

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

Решение задачи на вероятность остатка лимонада:

Введём обозначения событий:

A - лимонад закончился в первом автомате (P(A) = 0,2)
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)

Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,2 - 0,09 = 0,31

Вероятность противоположного события (останется в обоих):

P(неA∩неB) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,31 = 0,69

Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах = 0,69

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}74$. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность последовательности попаданий и промахов:

Известные данные:

Вероятность попадания (P) = 0,74
Вероятность промаха (Q) = 1 - 0,74 = 0,26

Необходимо найти вероятность последовательности:

Попадание → Попадание → Промах → Промах
P × P × Q × Q

Вычисляем вероятность:

0,74 × 0,74 × 0,26 × 0,26 = 0,5476 × 0,0676 ≈ 0,0370

Округляем до сотых:

0,0370 ≈ 0,04

Ответ: вероятность заданной последовательности = 0,04

Ответ: 0.04
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.

Ответ: 0.432
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и ясная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $15$ сентября, погода в Волшебной стране дождливая. Найдите вероятность того, что $18$ сентября в Волшебной стране будет ясная погода.

Решение

Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.7 = 0.3. По условию 15 сентября погода дождливая, а 18 сентября должно быть ясно. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 16 и 17 сентября.

15 сентября 16 сентября 17 сентября 18 сентября
дождь ясно ясно ясно
дождь ясно дождь ясно
дождь дождь ясно ясно
дождь дождь дождь ясно

Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «16 и 17 сентября погода ясная» и «16 сентября погода ясная, 17 — дождливая» не могут наступить одновременно.

Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.7, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 16 и 17 сентября посчитаем вероятность того, что 18 сентября будет ясно.

15 сент.   16 сент.   17 сент.   18 сент. Вероятность
дождь ≠ ясно = ясно = ясно 0.3 · 0.7 · 0.7 = 0.147
дождь ≠ ясно ≠ дождь ≠ ясно 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.027
дождь = дождь ≠ ясно = ясно 0.7 · 0.3 · 0.7 = 0.147
дождь = дождь = дождь ≠ ясно 0.7 · 0.7 · 0.3 = 0.147
Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. 0.147+0.027+0.147+0.147 = 3 · 0.147 + 0.027 = 0.468

Искомая вероятность равна 0.468.

Ответ: 0.468
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Решение

Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:

Введём обозначения событий:

A - пациент болен
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа

Известные вероятности:

P(A) = 6% = 0,06
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02

Используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Подставляем значения:

P(B) = 0,06 × 0,95 + 0,94 × 0,02

Вычисляем:

0,06 × 0,95 = 0,057
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Ответ: 0.0758
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

Ковбой Майкл попадает в муху на потолке с вероятностью $0{,}8$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Майкл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежит $20$ револьверов, из них только $6$ пристрелянные. Ковбой Майкл видит на потолке муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Майкл промахнётся.

Решение

Вероятность того, что Майкл возьмёт пристрелянный револьвер, равна ${6} / {20}=0{,}3$. Вероятность того, что Майкл возьмёт непристрелянный револьвер, равна $1-0{,}3=0{,}7$. Вероятность события $A= $ «Майкл взял пристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}3⋅ 0{,}8=0{,}24$. Вероятность события $B=$ «Майкл взял непристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}7⋅ 0{,}1=0{,}07$. События $A$ и $B$ несовместны. Действительно, Майкл не может одновременно «взять пристелянный револьвер и попасть в муху», а также «взять непристелянный револьвер и попасть в муху» — ведь Майкл берёт только один револьвер! Тогда $P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$. Но $A∪ B$ — это событие «Майкл попал в муху». В условии задачи спрашивается вероятность противоположного события, она равна $1-0{,}31=0{,}69$.

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.

Решение

Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:

Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:

3 мая: Солнечно (известно)
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо

Вероятности перехода погоды:

P(С→С) = 0,7 (такая же погода)
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3

Рассчитываем вероятность для каждого сценария:

1) С→С→Д: 0,7 × 0,3 = 0,21
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21

Суммируем вероятности обоих сценариев:

P(Дождливо 5 мая) = 0,21 + 0,21 = 0,42

Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая = 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение

Решение задачи через фиксацию первой девочки:

Алгоритм решения:

1. Фиксируем первую девочку на произвольном месте (круговая симметрия)
2. Остаётся 16 свободных мест
3. Рядом с первой девочкой 2 места (слева и справа)

Формула вероятности:

P = Число благоприятных мест / Общее число свободных мест = 2/16 = 1/8

Ответ: вероятность = 1/8 = 0,125

Ответ: 0.125
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2027: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.