По условию вероятность события A =«сладкая вата закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«сладкая вата закончится во втором автомате» и равна $0.6$. При этом $0.6 · 0.6 ≠ 0.45$, поэтому указанные выше события — зависимы (вероятность пересечения событий не равна произведению вероятностей этих событий).

В этом случае воспользуемся формулой $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)$.

$P (A ∪ B) = 0.6 + 0.6 - 0.45 = 0.75$. Событие $A ∪ B$ — это событие «сладкая вата закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «сладкая вата останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.75 = 0.25$.

Вероятность промахнуться при одном выстреле равна $1 - 0.7 = 0.3$. Обозначим события.

1. $A_1$ — «Алексей попал по мишени при первом выстреле».

2. $A_2$ — «Алексей попал по мишени при втором выстреле».

3. $A_3$ — «Алексей попал по мишени при третьем выстреле».

4. $A_4$ — «Алексей попал по мишени при четвёртом выстреле».

5. $A_5$ — «Алексей попал по мишени при пятом выстреле».

События ${A_1}↖{-}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$ — означают, что Алексей промахнулся при соответствующем выстреле.

Событие «Алексей Антонов первый раз попал по мишени, а последние четыре промахнулся» означает одновременное наступление (пересечение) независимых событий ${A_1}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$.

$P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P (A_1) · P ({A_2}↖{-}) · P ({A_3}↖{-}) · P ({A_4}↖{-}) · P ({A_5}↖{-}) = 0.7 · 0.3 · 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.00567$.

По условию Алексей мог промахнуться единожды, но этот промах мог прийтись на любой из пяти выстрелов, не обязательно на первый.

Тогда, аналогично, $P ({A_1}↖{-} ∩ A_2 ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-}∩ {A_2}↖{-} ∩ A_3 ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) =$

$= P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ A_4 ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ A_5) =$

$= P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = (0.3)^4 · 0.7 = 0.00567$.

Следовательно, искомая вероятность равна $0.00567 · 5 = 0.02835 ≈0.03$.

Вероятность ничьей в каждой игре равна $1-0{,}2-0{,}2=0{,}6$ (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Лесник» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев. 1. «Лесник» выиграет обе игры. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}2=0{,}04$. 2. «Лесник» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}6=0{,}12$. 3. «Лесник» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна $0{,}6⋅ 0{,}2=0{,}12$. Искомая вероятность равна $0{,}04+0{,}12+0{,}12=0{,}28$.

Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.

Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».

События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.

Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:

$P(A)=2/10=0.2$

Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Григория Соколенко. Этот эксперимент имеет $76-1=75$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $46-1=45$ исходов благоприятствуют событию «Григорий Соколенко будет играть со спортсменом из России» (так как есть $45$ спортсменов из России, не считая самого Григория Соколенко). По определению, искомая вероятность равна ${45} / {75}=0{,}6$.