Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл.

Задачи для практики

Задача 1

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:

Определяем благоприятный интервал:

Отметка 9 до отметки 2 на циферблате
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)

Всего возможных положений часовой стрелки:

Полный круг = 12 часовых делений

Вычисляем вероятность:

P = Благоприятный интервал / Всего делений = 5/12 ≈ 0,4167

Округляем до сотых:

0,4167 ≈ 0,42

Ответ: вероятность ≈ 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?

Решение

Решение задачи на определение количества выстрелов:

Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:

P(неуничтожения) = (1 - 0,5) × (1 - 0,8)n-1 = 0,5 × 0,2n-1

Необходимо найти минимальное n, при котором:

1 - P(неуничтожения) ≥ 0,98
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02

Решаем неравенство:

0,2n-1 ≤ 0,04
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3

Проверим для n=3:

P(неуничтожения) = 0,5 × 0,2² = 0,02
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)

Ответ: потребуется 3 выстрела

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}037$. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Решение задачи на сравнение вероятности и частоты события:

Известные данные:

• Теоретическая вероятность ремонта (P) = 0,037
• Количество проданных телевизоров = 100
• Количество телевизоров на ремонте = 4

Вычисляем частоту события в городе К:

Частота = Количество ремонтов / Общее количество = 4/100 = 0,04

Находим разницу между частотой и вероятностью:

Разница = |Частота - Вероятность| = |0,04 - 0,037| = 0,003

Ответ: разница составляет 0,003

Ответ: 0.003
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}74$. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность последовательности попаданий и промахов:

Известные данные:

Вероятность попадания (P) = 0,74
Вероятность промаха (Q) = 1 - 0,74 = 0,26

Необходимо найти вероятность последовательности:

Попадание → Попадание → Промах → Промах
P × P × Q × Q

Вычисляем вероятность:

0,74 × 0,74 × 0,26 × 0,26 = 0,5476 × 0,0676 ≈ 0,0370

Округляем до сотых:

0,0370 ≈ 0,04

Ответ: вероятность заданной последовательности = 0,04

Ответ: 0.04
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

В чемпионате мира участвуют $20$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Искра», участвующая в чемпионате, окажется в третьей группе?

Решение

Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды Искра тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента 20 равновозможных исходов (по числу карточек). Событию Команда Искра окажется в третьей группе благоприятствуют 4 исхода (количество карточек с номером 3). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4}/{20} = 0.2$.

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.

Ответ: 0.72
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:

Введём обозначения:

• P₁ = 38% = 0,38 - доля 1-го завода
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025

Используем формулу полной вероятности:

P(брак) = P₁ × P(брак|1-й) + P₂ × P(брак|2-й)

Подставляем значения:

P(брак) = 0,38 × 0,02 + 0,62 × 0,025
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231

Ответ: вероятность брака = 0,0231

Ответ: 0.0231
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:

Известные данные:

• Общий процент дефектных сумок: 8% = 0,08
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%

Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:

1. Выявленные дефектные сумки: 0,85 × 0,08 = 0,068 (6,8%)
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)

Сумки в продаже состоят из:

• Качественных: 0,92
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932

Вероятность покупки качественной сумки:

P = Количество качественных / Всего в продаже = 0,92 / 0,932 ≈ 0,9871

Округляем до тысячных:

0,9871 ≈ 0,987

Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈ 0,987

Ответ: 0.987
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Решение задачи на вероятность выбора туриста М:

Общее количество способов выбрать 2 дежурных из 10 человек:

C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45

Количество благоприятных исходов (когда М выбран):

Если М уже выбран, нужно выбрать ещё 1 человека из оставшихся 9:
C(9,1) = 9

Вычисляем вероятность:

P = Число благоприятных исходов / Общее число исходов = 9/45 = 0,2

Ответ: вероятность того, что М останется дежурить = 0,2

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

Решение задачи на вероятность остатка лимонада:

Введём обозначения событий:

A - лимонад закончился в первом автомате (P(A) = 0,2)
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)

Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,2 - 0,09 = 0,31

Вероятность противоположного события (останется в обоих):

P(неA∩неB) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,31 = 0,69

Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах = 0,69

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:

Введём обозначения:

• Пусть x - доля яиц из первого хозяйства (тогда (1-x) - из второго)
• Вероятность высшей категории:
  - из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
  - из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42

Составим уравнение:

0,5x + 0,4(1 - x) = 0,42

Решим уравнение:

0,5x + 0,4 - 0,4x = 0,42
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2

Найдём долю второго хозяйства:

1 - x = 1 - 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства = 0,8 (80%)

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

В магазине сантехники три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}7$ независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.

Решение

События «первый продавец занят», «второй продавец занят» и «третий продавец занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.7 · 0.7 · 0.7 = 0.343.

Ответ: 0.343
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

В чемпионате по спортивной гимнастике участвуют $40$ спортсменов: $16$ — из России, $9$ — из Франции, остальные — из Беларуси. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Беларуси.

Решение

Из Беларуси $40-16-9 = 15$ спортсменов. Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что выбирается спортсмен, который будет выступать первым. Всего существует $40$ равновозможных исходов ($40$ спортсменов, все имеют равные шансы выступить первыми). Событию Первым будет выступать спортсмен из Беларуси благоприятствуют $15$ исходов. По определению искомая вероятность равна ${15}/{40} = {3}/{8} = 0.375$.

Ответ: 0.375
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

На фестивале хеви-метал выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США? Результат округлите до сотых.

Решение

В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) и место их выступления роли не играют. Фраза «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» означает то, что группы должны располагаться в следующем порядке: Франция — Испания — США (сокращённо «ФИС»). Заметим, что всего существует шесть способов расставить три группы по порядку:

1. Франция — США — Испания (ФСИ)

2. Франция — Испания — США (ФИС)

3. Испания — США — Франция (ИСФ)

4. Испания — Франция — США (ИФС)

5. США — Испания — Франция (СИФ)

6. США — Франция — Испания (СФИ)

Таким образом, жребий может иметь 6 равновозможных исходов, задающих порядок трёх групп относительно друг друга. Только один из этих исходов благоприятствует событию «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» (исход под номером 2). По определению искомая вероятность равна ${1}/{6} = 0.166 . . . ≈ 0.17$.

Ответ: 0.17
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Решение

Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:

Введём обозначения событий:

A - пациент болен
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа

Известные вероятности:

P(A) = 6% = 0,06
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02

Используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Подставляем значения:

P(B) = 0,06 × 0,95 + 0,94 × 0,02

Вычисляем:

0,06 × 0,95 = 0,057
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Ответ: 0.0758
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
  • Научишься быстро анализировать графики функций
  • Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
  • Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
  • Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.