Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
При производстве в среднем на каждые $468$ исправных телефонов приходится $32$ неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется неисправным.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $468 + 32 = 500$ телефонов $32$ неисправных. По определению искомая вероятность равна ${32}/{500} = 0.064$.
Задача 2
В некотором городе из $5000$ появившихся на свет младенцев $2075$ мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до сотых.
Решение
Из каждых $5000$ появившихся на свет младенцев девочек $5000 - 2075 = 2925$. По определению искомая частота равна ${2925}/{5000} = 0.585 ≈ 0.59$.
Задача 3
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.
Задача 4
Охотник Генри попадает в муху на стене с вероятностью $0{,}6$, если стреляет из пристрелянного ружья. Если Генри стреляет из непристрелянного ружья, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}4$. На столе лежит $12$ ружей, из них $9$ пристрелянные. Охотник Генри видит на стене муху, наудачу хватает первое попавшееся ружьё и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Генри промахнётся.
Решение
Вероятность того, что Генри возьмёт пристрелянное ружьё, равна ${9}/{12} = 0.75$. Вероятность того, что Генри возьмёт непристрелянное ружьё, равна $1 - 0.75 = 0.25$. Вероятность промахнуться из пристрелянного ружья равна $1 - 0.6 = 0.4$, вероятность промахнуться из непристрелянного ружья равна $1 - 0.4 = 0.6$.
Вероятность события A = «Генри взял пристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.75 · 0.4 = 0.3$.
Вероятность события B = «Генри взял непристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.25 · 0.6 = 0.15$.
События A и B несовместны. Действительно, Генри не может одновременно «взять пристелянное ружьё и промахнуться», а также «взять непристелянное ружьё и промахнуться» — ведь Генри берёт только одно ружьё!
Тогда $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.15 = 0.45$. Но $A ∪ B$ — это и есть событие «Генри взял ружьё и промахнулся».
Задача 5
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.
Задача 6
Вероятность того, что новая электрическая кофемашина прослужит больше года, равна $0{,}92$. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "кофемашина прослужит меньше года", "кофемашина прослужит от 1 до 2 лет" и "кофемашина прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "кофемашина прослужит меньше года" и "кофемашина прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "кофемашина прослужит меньше года" равна 1 - 0.92 = 0.08. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.08 | ? | 0.85 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.08 - 0.85 = 0.07.
Задача 7
За круглый стол на $41$ стул в случайном порядке рассаживаются $39$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 40 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 40 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{40} = 0.05$.
Задача 8
В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.
Решение
Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:
Определяем общее количество спортсменов:
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов
Вероятность для 6-го выступающего:
Вычисление:
Ответ: вероятность =
Задача 9
Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение
Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.
Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 - 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 - 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 - 0.28 = 0.72.
Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.
Задача 10
На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.
Задача 11
Две фабрики выпускают одинаковые стержни для шариковых авторучек. Первая фабрика выпускает $75%$ этих стержней, вторая — $25%$. Первая фабрика выпускает $5%$ бракованных стержней, а вторая — $6%$. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине стержень окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стержней. Тогда первая фабрика выпустила $0.75n$ стержней, а вторая — $0.25n$ стержней. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0.75n · 0.05 = 0.0375n$ бракованных стержней. Вторая фабрика выпустила $0.25n · 0.06 = 0.015n$ бракованных стержней. Тогда всего бракованных стержней $0.0375n + 0.015n = 0.0525n$. По определению вероятность того, что купленный стержень бракованный, равна ${0.0525n}/{n} = 0.0525$.
Задача 12
В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».
События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.
Задача 13
В магазине сантехники три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}7$ независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
Решение
События «первый продавец занят», «второй продавец занят» и «третий продавец занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.7 · 0.7 · 0.7 = 0.343.
Задача 14
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $76$ спортсменов, среди которых $46$ спортсменов из России, в том числе Григорий Соколенко. Найдите вероятность того, что в первом туре Григорий Соколенко будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Григория Соколенко. Этот эксперимент имеет $76-1=75$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $46-1=45$ исходов благоприятствуют событию «Григорий Соколенко будет играть со спортсменом из России» (так как есть $45$ спортсменов из России, не считая самого Григория Соколенко). По определению, искомая вероятность равна ${45} / {75}=0{,}6$.
Задача 15
В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
Решение
Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:
Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо
Вероятности перехода погоды:
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3
Рассчитываем вероятность для каждого сценария:
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21
Суммируем вероятности обоих сценариев:
Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая =
Задача 16
Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
Решение
Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:
Введём обозначения событий:
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа
Известные вероятности:
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
Вычисляем:
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Задача 17
Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:
Введём обозначения:
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231
Ответ: вероятность брака =
Задача 18
Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.
Решение
Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:
Известные данные:
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15
Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)
Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:
Вычисляем:
Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек =
Задача 19
В торговом центре два одинаковых автомата продают сладкую вату. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится сладкая вата, равна $0{,}6$. Вероятность того, что сладкая вата закончится в обоих автоматах, равна $0{,}45$. Найдите вероятность того, что к концу дня сладкая вата останется в обоих автоматах.
Решение
По условию вероятность события A =«сладкая вата закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«сладкая вата закончится во втором автомате» и равна $0.6$. При этом $0.6 · 0.6 ≠ 0.45$, поэтому указанные выше события — зависимы (вероятность пересечения событий не равна произведению вероятностей этих событий).
В этом случае воспользуемся формулой $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)$.
$P (A ∪ B) = 0.6 + 0.6 - 0.45 = 0.75$. Событие $A ∪ B$ — это событие «сладкая вата закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «сладкая вата останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.75 = 0.25$.
Задача 20
Завод выпускает съёмные жёсткие диски. В среднем $15$ дисков из $300$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленный диск окажется без дефектов.
Решение
По определению вероятность покупки диска с дефектом равна ${15}/{300} = 0.05$. Тогда по формуле вероятности противоположного события вероятность купить диск без дефекта равна $1 - 0.05 = 0.95$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
