Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На железнодорожном вокзале $3$ кассира. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}2$ независимо от других кассиров. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три кассира заняты одновременно.
Решение
События «первый кассир занят», «второй кассир занят» и «третий кассир занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.2 · 0.2 · 0.2 = 0.008.
Задача 2
В чемпионате мира участвуют $16$ команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда «Плутон», участвующая в чемпионате, окажется во второй группе?
Решение
Будем считать, что случайный эксперимент заключается в том, что капитан команды «Плутон» тянет карточку с номером группы. У этого эксперимента $16$ равновозможных исходов (по числу карточек). Событию «Команда „ Плутон“ окажется во второй группе» благоприятствуют $4$ исхода (количество карточек с номером $2$). По определению вероятности искомая вероятность равна ${4} / {16}=0{,}25$.
Задача 3
За круглый стол на $51$ стул в случайном порядке рассаживаются $49$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 50 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 50 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{50} = 0.04$.
Задача 4
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.
Задача 5
Вероятность того, что новая электрическая кофемашина прослужит больше года, равна $0{,}92$. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "кофемашина прослужит меньше года", "кофемашина прослужит от 1 до 2 лет" и "кофемашина прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "кофемашина прослужит меньше года" и "кофемашина прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "кофемашина прослужит меньше года" равна 1 - 0.92 = 0.08. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.08 | ? | 0.85 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.08 - 0.85 = 0.07.
Задача 6
Фабрика выпускает туфли. В среднем $12$ пар туфель из $200$ пар имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная пара туфель окажется без дефектов.
Решение
Из условия следует, что в среднем из каждых $200$ пар $200 - 12 = 188$ не имеют дефектов. Тогда искомая вероятность равна ${188}/{200} = 0.94$.
Задача 7
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Ветерок» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.
Решение
Вероятность ничьей в каждой игре равна 1 - 0.3 - 0.3 = 0.4 (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Ветерок» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев.
1. «Ветерок» выиграет обе игры. Вероятность этого равна 0.3 · 0.3 = 0.09.
2. «Ветерок» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна 0.3 · 0.4 = 0.12.
3. «Ветерок» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна 0.4 · 0.3 = 0.12.
Искомая вероятность равна 0.09 + 0.12 + 0.12 = 0.33.
Задача 8
На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.
Задача 9
Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает $35%$ этих стёкол, вторая — $65%$. Первая фабрика выпускает $8%$ бракованных стёкол, а вторая — $3%$. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение
Предположим, всего выпущено $n$ стёкол. Тогда первая фабрика выпустила $0{,}35n$ стёкол, а вторая — $0{,}65n$ стёкол. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0{,}35n⋅0{,}08=0{,}028n$ бракованных стёкол. Вторая фабрика выпустила $0{,}65n⋅0{,}03=0{,}0195n$ бракованных стёкол. Тогда всего бракованных стёкол $0{,}028n+0{,}0195n=0{,}0475n$. По определению вероятность того, что купленное стекло бракованное, равно ${0{,}0475n} / {n}=0{,}0475$.
Задача 10
В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.
Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».
События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 - 0.01 = 0.99.
Задача 11
Перед началом первого тура чемпионата по спортивным нардам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $56$ игроков, среди которых $12$ спортсменов из России, в том числе Евгений Победкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Победкин будет играть с каким-либо игроком из России.
Решение
Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Евгения Победкина. Этот эксперимент имеет $56-1 = 55$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $12 - 1 = 11$ исходов благо приятствуют событию «Евгений Победкин будет играть со спортсменом из России» (так как есть $11$ спортсменов из России, не считая самого Евгения Победкина). По определению искомая вероятность равна ${11}/{55} = 0.2$.
Задача 12
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "чайник прослужит меньше года", "чайник прослужит от 1 до 2 лет" и "чайник прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "чайник прослужит меньше года" и "чайник прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "чайник прослужит меньше года" равна 1 - 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.07 | ? | 0.84 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.07 - 0.84 = 0.09.
Задача 13
В некотором городе из $5000$ появившихся на свет младенцев $2075$ мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до сотых.
Решение
Из каждых $5000$ появившихся на свет младенцев девочек $5000 - 2075 = 2925$. По определению искомая частота равна ${2925}/{5000} = 0.585 ≈ 0.59$.
Задача 14
В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?
Решение
Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:
$P(A)=2/10=0.2$
Задача 15
На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:
Известные данные:
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)
Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:
Вычисляем:
Ответ: вероятность вопроса по одной из тем =
Задача 16
За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение
Решение задачи через фиксацию первой девочки:
Алгоритм решения:
2. Остаётся 16 свободных мест
3. Рядом с первой девочкой 2 места (слева и справа)
Формула вероятности:
Ответ: вероятность =
Задача 17
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до десятых.
Решение
Решение задачи на вероятность суммы очков при бросании двух костей:
Общее количество возможных исходов при бросании двух костей:
Благоприятные исходы для суммы 6:
Вычисляем вероятность:
Округляем до десятых:
Ответ: вероятность ≈
Задача 18
В среднем из $400$ приборов, поступивших в продажу, $5$ с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.
Решение
Решение задачи на вероятность обнаружения бракованного прибора:
Известные данные:
• Бракованных приборов: 5
Формула классической вероятности:
Вычисляем вероятность:
Ответ: вероятность обнаружения брака =
Задача 19
Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение
Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.
Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 - 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 - 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 - 0.28 = 0.72.
Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.
Задача 20
В кармане у Валерия было пять конфет — «Птичье молоко», «Ромашка», «Черноморочка», «Мишка косолапый» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Валерий случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Ромашка».
Решение
Валерий мог с одинаковой вероятностью выронить каждую из пяти конфет, значит, искомая вероятность равна ${1}/{5} = 0.2$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
