Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

В среднем из $400$ приборов, поступивших в продажу, $5$ с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность обнаружения бракованного прибора:

Известные данные:

• Всего приборов: 400
• Бракованных приборов: 5

Формула классической вероятности:

P = Число бракованных приборов / Общее число приборов

Вычисляем вероятность:

P = 5/400 = 0,0125

Ответ: вероятность обнаружения брака = 0,0125

Ответ: 0.0125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

Конференция проводится в 4 дня. Запланировано 80 докладов — первые два дня по 23 доклада, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора А окажется запланированным на третий день конференции?

Решение

Решение задачи на вероятность распределения доклада:

Распределение докладов по дням:

• 1-й день: 23 доклада
• 2-й день: 23 доклада
• 3-й и 4-й дни: (80 - 23 - 23) = 34 доклада → по 17 докладов в день

Вероятность для доклада профессора А:

P = Количество докладов в 3-й день / Общее количество докладов = 17/80

Вычисление:

17/80 = 0,2125

Ответ: вероятность = 0,2125

Ответ: 0.2125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до десятых.

Решение

Решение задачи на вероятность суммы очков при бросании двух костей:

Общее количество возможных исходов при бросании двух костей:

6 × 6 = 36 (каждая кость имеет 6 граней)

Благоприятные исходы для суммы 6:

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → всего 5 комбинаций

Вычисляем вероятность:

P = Число благоприятных исходов / Общее число исходов = 5/36 ≈ 0,1389

Округляем до десятых:

0,1389 ≈ 0,1

Ответ: вероятность ≈ 0,1

Ответ: 0.1
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}037$. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Решение задачи на сравнение вероятности и частоты события:

Известные данные:

• Теоретическая вероятность ремонта (P) = 0,037
• Количество проданных телевизоров = 100
• Количество телевизоров на ремонте = 4

Вычисляем частоту события в городе К:

Частота = Количество ремонтов / Общее количество = 4/100 = 0,04

Находим разницу между частотой и вероятностью:

Разница = |Частота - Вероятность| = |0,04 - 0,037| = 0,003

Ответ: разница составляет 0,003

Ответ: 0.003
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение

Решение задачи через фиксацию первой девочки:

Алгоритм решения:

1. Фиксируем первую девочку на произвольном месте (круговая симметрия)
2. Остаётся 16 свободных мест
3. Рядом с первой девочкой 2 места (слева и справа)

Формула вероятности:

P = Число благоприятных мест / Общее число свободных мест = 2/16 = 1/8

Ответ: вероятность = 1/8 = 0,125

Ответ: 0.125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.

Решение

Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:

Определяем общее количество спортсменов:

Франция: 6
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов

Вероятность для 6-го выступающего:

P = Количество спортсменов из Германии / Общее количество спортсменов = 7/20

Вычисление:

7/20 = 0,35

Ответ: вероятность = 0,35

Ответ: 0.35
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:

$P(A)=2/10=0.2$

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

На фестивале хеви-метал выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США? Результат округлите до сотых.

Решение

В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) и место их выступления роли не играют. Фраза «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» означает то, что группы должны располагаться в следующем порядке: Франция — Испания — США (сокращённо «ФИС»). Заметим, что всего существует шесть способов расставить три группы по порядку:

1. Франция — США — Испания (ФСИ)

2. Франция — Испания — США (ФИС)

3. Испания — США — Франция (ИСФ)

4. Испания — Франция — США (ИФС)

5. США — Испания — Франция (СИФ)

6. США — Франция — Испания (СФИ)

Таким образом, жребий может иметь 6 равновозможных исходов, задающих порядок трёх групп относительно друг друга. Только один из этих исходов благоприятствует событию «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» (исход под номером 2). По определению искомая вероятность равна ${1}/{6} = 0.166 . . . ≈ 0.17$.

Ответ: 0.17
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:

Известные данные:

• Вероятность вопроса по Ботанике (P₁) = 0,27
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)

Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:

P(Ботаника или Зоология) = P(Ботаника) + P(Зоология)

Вычисляем:

0,27 + 0,28 = 0,55

Ответ: вероятность вопроса по одной из тем = 0,55

Ответ: 0.55
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:

Определяем благоприятный интервал:

Отметка 9 до отметки 2 на циферблате
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)

Всего возможных положений часовой стрелки:

Полный круг = 12 часовых делений

Вычисляем вероятность:

P = Благоприятный интервал / Всего делений = 5/12 ≈ 0,4167

Округляем до сотых:

0,4167 ≈ 0,42

Ответ: вероятность ≈ 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.

Ответ: 0.72
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:

Введём обозначения:

• Пусть x - доля яиц из первого хозяйства (тогда (1-x) - из второго)
• Вероятность высшей категории:
  - из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
  - из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42

Составим уравнение:

0,5x + 0,4(1 - x) = 0,42

Решим уравнение:

0,5x + 0,4 - 0,4x = 0,42
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2

Найдём долю второго хозяйства:

1 - x = 1 - 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства = 0,8 (80%)

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:

Известные данные:

• Общий процент дефектных сумок: 8% = 0,08
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%

Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:

1. Выявленные дефектные сумки: 0,85 × 0,08 = 0,068 (6,8%)
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)

Сумки в продаже состоят из:

• Качественных: 0,92
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932

Вероятность покупки качественной сумки:

P = Количество качественных / Всего в продаже = 0,92 / 0,932 ≈ 0,9871

Округляем до тысячных:

0,9871 ≈ 0,987

Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈ 0,987

Ответ: 0.987
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Решение

Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:

Введём обозначения событий:

A - пациент болен
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа

Известные вероятности:

P(A) = 6% = 0,06
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02

Используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Подставляем значения:

P(B) = 0,06 × 0,95 + 0,94 × 0,02

Вычисляем:

0,06 × 0,95 = 0,057
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Ответ: 0.0758
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

В Волшебной стране бывает два типа погоды: ветреная и тихая, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}9$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $11$ апреля, погода в Волшебной стране ветреная. Найдите вероятность того, что $14$ апреля в Волшебной стране будет ветреная погода.

Решение

Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.9 = 0.1. По условию 11 апреля погода ветренная и 14 апреля должно быть ветрено. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 12 и 13 апреля.

11 апреля 12 апреля 13 апреля 14 апреля
ветрено тихо тихо ветрено
ветрено тихо ветрено ветрено
ветрено ветрено тихо ветрено
ветрено ветрено ветрено ветрено

Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «12 и 13 апреля погода тихая» и «12 апреля погода тихая, 13 — ветреная» не могут наступить одновременно.

Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.1, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 12 и 13 апреля посчитаем вероятность того, что 14 апреля будет ветрено.

11 апр.   12 апр.   13 апр.   14 апр. Вероятность
ветрено ≠ тихо = тихо ≠ ветрено 0,1 · 0,9 · 0,1 = 0,009
ветрено ≠ тихо ≠ ветрено = ветрено 0,1 · 0,1 · 0,9 = 0,009
ветрено = ветрено ≠ тихо ≠ ветрено 0.9 · 0.1 · 0.1 = 0.009
ветрено = ветрено = ветрено = ветрено 0.9 · 0.9 · 0.9 = 0.729
Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. 0.009+0.009+0.009+0.729 = 3 · 0.009 + 0.729 = 0.756

Искомая вероятность равна 0.756.

Ответ: 0.756
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2027: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.