Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

В Волшебной стране бывает два типа погоды: ветреная и тихая, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}9$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $11$ апреля, погода в Волшебной стране ветреная. Найдите вероятность того, что $14$ апреля в Волшебной стране будет ветреная погода.

Решение

Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.9 = 0.1. По условию 11 апреля погода ветренная и 14 апреля должно быть ветрено. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 12 и 13 апреля.

11 апреля 12 апреля 13 апреля 14 апреля
ветрено тихо тихо ветрено
ветрено тихо ветрено ветрено
ветрено ветрено тихо ветрено
ветрено ветрено ветрено ветрено

Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «12 и 13 апреля погода тихая» и «12 апреля погода тихая, 13 — ветреная» не могут наступить одновременно.

Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.1, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 12 и 13 апреля посчитаем вероятность того, что 14 апреля будет ветрено.

11 апр.   12 апр.   13 апр.   14 апр. Вероятность
ветрено ≠ тихо = тихо ≠ ветрено 0,1 · 0,9 · 0,1 = 0,009
ветрено ≠ тихо ≠ ветрено = ветрено 0,1 · 0,1 · 0,9 = 0,009
ветрено = ветрено ≠ тихо ≠ ветрено 0.9 · 0.1 · 0.1 = 0.009
ветрено = ветрено = ветрено = ветрено 0.9 · 0.9 · 0.9 = 0.729
Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. 0.009+0.009+0.009+0.729 = 3 · 0.009 + 0.729 = 0.756

Искомая вероятность равна 0.756.

Ответ: 0.756
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?

Решение

Решение задачи на определение количества выстрелов:

Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:

P(неуничтожения) = (1 - 0,5) × (1 - 0,8)n-1 = 0,5 × 0,2n-1

Необходимо найти минимальное n, при котором:

1 - P(неуничтожения) ≥ 0,98
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02

Решаем неравенство:

0,2n-1 ≤ 0,04
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3

Проверим для n=3:

P(неуничтожения) = 0,5 × 0,2² = 0,02
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)

Ответ: потребуется 3 выстрела

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

Решение задачи на вероятность остатка лимонада:

Введём обозначения событий:

A - лимонад закончился в первом автомате (P(A) = 0,2)
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)

Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,2 - 0,09 = 0,31

Вероятность противоположного события (останется в обоих):

P(неA∩неB) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,31 = 0,69

Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах = 0,69

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.

Решение

Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:

Определяем общее количество спортсменов:

Франция: 6
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов

Вероятность для 6-го выступающего:

P = Количество спортсменов из Германии / Общее количество спортсменов = 7/20

Вычисление:

7/20 = 0,35

Ответ: вероятность = 0,35

Ответ: 0.35
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

В торговом центре два одинаковых автомата продают сладкую вату. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится сладкая вата, равна $0{,}6$. Вероятность того, что сладкая вата закончится в обоих автоматах, равна $0{,}45$. Найдите вероятность того, что к концу дня сладкая вата останется в обоих автоматах.

Решение

По условию вероятность события A =«сладкая вата закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«сладкая вата закончится во втором автомате» и равна $0.6$. При этом $0.6 · 0.6 ≠ 0.45$, поэтому указанные выше события — зависимы (вероятность пересечения событий не равна произведению вероятностей этих событий).

В этом случае воспользуемся формулой $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)$.

$P (A ∪ B) = 0.6 + 0.6 - 0.45 = 0.75$. Событие $A ∪ B$ — это событие «сладкая вата закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «сладкая вата останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.75 = 0.25$.

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

Вероятность того, что новая электрическая кофемашина прослужит больше года, равна $0{,}92$. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Заметим, что из событий "кофемашина прослужит меньше года", "кофемашина прослужит от 1 до 2 лет" и "кофемашина прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

При этом события "кофемашина прослужит меньше года" и "кофемашина прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "кофемашина прослужит меньше года" равна 1 - 0.92 = 0.08. Заполним таблицу.

Событие Прослужит меньше года Прослужит от 1 до 2 лет Прослужит больше двух лет
Вероятность 0.08 ? 0.85

Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.08 - 0.85 = 0.07.

Ответ: 0.07
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:

Известные данные:

• Общий процент дефектных сумок: 8% = 0,08
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%

Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:

1. Выявленные дефектные сумки: 0,85 × 0,08 = 0,068 (6,8%)
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)

Сумки в продаже состоят из:

• Качественных: 0,92
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932

Вероятность покупки качественной сумки:

P = Количество качественных / Всего в продаже = 0,92 / 0,932 ≈ 0,9871

Округляем до тысячных:

0,9871 ≈ 0,987

Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈ 0,987

Ответ: 0.987
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:

$P(A)=2/10=0.2$

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:

Известные данные:

• Вероятность вопроса по Ботанике (P₁) = 0,27
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)

Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:

P(Ботаника или Зоология) = P(Ботаника) + P(Зоология)

Вычисляем:

0,27 + 0,28 = 0,55

Ответ: вероятность вопроса по одной из тем = 0,55

Ответ: 0.55
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:

Определяем благоприятный интервал:

Отметка 9 до отметки 2 на циферблате
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)

Всего возможных положений часовой стрелки:

Полный круг = 12 часовых делений

Вычисляем вероятность:

P = Благоприятный интервал / Всего делений = 5/12 ≈ 0,4167

Округляем до сотых:

0,4167 ≈ 0,42

Ответ: вероятность ≈ 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до десятых.

Решение

Решение задачи на вероятность суммы очков при бросании двух костей:

Общее количество возможных исходов при бросании двух костей:

6 × 6 = 36 (каждая кость имеет 6 граней)

Благоприятные исходы для суммы 6:

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → всего 5 комбинаций

Вычисляем вероятность:

P = Число благоприятных исходов / Общее число исходов = 5/36 ≈ 0,1389

Округляем до десятых:

0,1389 ≈ 0,1

Ответ: вероятность ≈ 0,1

Ответ: 0.1
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

В среднем из $400$ приборов, поступивших в продажу, $5$ с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность обнаружения бракованного прибора:

Известные данные:

• Всего приборов: 400
• Бракованных приборов: 5

Формула классической вероятности:

P = Число бракованных приборов / Общее число приборов

Вычисляем вероятность:

P = 5/400 = 0,0125

Ответ: вероятность обнаружения брака = 0,0125

Ответ: 0.0125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

В кармане у Валерия было пять конфет — «Птичье молоко», «Ромашка», «Черноморочка», «Мишка косолапый» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Валерий случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Ромашка».

Решение

Валерий мог с одинаковой вероятностью выронить каждую из пяти конфет, значит, искомая вероятность равна ${1}/{5} = 0.2$.

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.

Решение

Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:

Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:

3 мая: Солнечно (известно)
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо

Вероятности перехода погоды:

P(С→С) = 0,7 (такая же погода)
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3

Рассчитываем вероятность для каждого сценария:

1) С→С→Д: 0,7 × 0,3 = 0,21
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21

Суммируем вероятности обоих сценариев:

P(Дождливо 5 мая) = 0,21 + 0,21 = 0,42

Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая = 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

Биатлонист Алексей Антонов пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что биатлонист Алексей Антонов один раз попал по мишени, а четыре — промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Вероятность промахнуться при одном выстреле равна $1 - 0.7 = 0.3$. Обозначим события.

1. $A_1$ — «Алексей попал по мишени при первом выстреле».

2. $A_2$ — «Алексей попал по мишени при втором выстреле».

3. $A_3$ — «Алексей попал по мишени при третьем выстреле».

4. $A_4$ — «Алексей попал по мишени при четвёртом выстреле».

5. $A_5$ — «Алексей попал по мишени при пятом выстреле».

События ${A_1}↖{-}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$ — означают, что Алексей промахнулся при соответствующем выстреле.

Событие «Алексей Антонов первый раз попал по мишени, а последние четыре промахнулся» означает одновременное наступление (пересечение) независимых событий ${A_1}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$.

$P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P (A_1) · P ({A_2}↖{-}) · P ({A_3}↖{-}) · P ({A_4}↖{-}) · P ({A_5}↖{-}) = 0.7 · 0.3 · 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.00567$.

По условию Алексей мог промахнуться единожды, но этот промах мог прийтись на любой из пяти выстрелов, не обязательно на первый.

Тогда, аналогично, $P ({A_1}↖{-} ∩ A_2 ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-}∩ {A_2}↖{-} ∩ A_3 ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) =$

$= P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ A_4 ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ A_5) =$

$= P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = (0.3)^4 · 0.7 = 0.00567$.

Следовательно, искомая вероятность равна $0.00567 · 5 = 0.02835 ≈0.03$.

Ответ: 0.03
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2027: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.