Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.

Решение

Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:

Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:

3 мая: Солнечно (известно)
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо

Вероятности перехода погоды:

P(С→С) = 0,7 (такая же погода)
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3

Рассчитываем вероятность для каждого сценария:

1) С→С→Д: 0,7 × 0,3 = 0,21
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21

Суммируем вероятности обоих сценариев:

P(Дождливо 5 мая) = 0,21 + 0,21 = 0,42

Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая = 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Решение задачи на определение вероятности происхождения яиц:

Введём обозначения:

• Пусть x - доля яиц из первого хозяйства (тогда (1-x) - из второго)
• Вероятность высшей категории:
  - из 1-го хозяйства: 50% = 0,5
  - из 2-го хозяйства: 40% = 0,4
• Общая доля высшей категории: 42% = 0,42

Составим уравнение:

0,5x + 0,4(1 - x) = 0,42

Решим уравнение:

0,5x + 0,4 - 0,4x = 0,42
0,1x + 0,4 = 0,42
0,1x = 0,02
x = 0,2

Найдём долю второго хозяйства:

1 - x = 1 - 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность того, что яйцо из второго хозяйства = 0,8 (80%)

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:

Введём обозначения:

• P₁ = 38% = 0,38 - доля 1-го завода
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025

Используем формулу полной вероятности:

P(брак) = P₁ × P(брак|1-й) + P₂ × P(брак|2-й)

Подставляем значения:

P(брак) = 0,38 × 0,02 + 0,62 × 0,025
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231

Ответ: вероятность брака = 0,0231

Ответ: 0.0231
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?

Решение

Решение задачи на вероятность выбора туриста М:

Общее количество способов выбрать 2 дежурных из 10 человек:

C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45

Количество благоприятных исходов (когда М выбран):

Если М уже выбран, нужно выбрать ещё 1 человека из оставшихся 9:
C(9,1) = 9

Вычисляем вероятность:

P = Число благоприятных исходов / Общее число исходов = 9/45 = 0,2

Ответ: вероятность того, что М останется дежурить = 0,2

Ответ: 0.2
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

Решение задачи на вероятность остатка лимонада:

Введём обозначения событий:

A - лимонад закончился в первом автомате (P(A) = 0,2)
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)

Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,2 - 0,09 = 0,31

Вероятность противоположного события (останется в обоих):

P(неA∩неB) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,31 = 0,69

Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах = 0,69

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}74$. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность последовательности попаданий и промахов:

Известные данные:

Вероятность попадания (P) = 0,74
Вероятность промаха (Q) = 1 - 0,74 = 0,26

Необходимо найти вероятность последовательности:

Попадание → Попадание → Промах → Промах
P × P × Q × Q

Вычисляем вероятность:

0,74 × 0,74 × 0,26 × 0,26 = 0,5476 × 0,0676 ≈ 0,0370

Округляем до сотых:

0,0370 ≈ 0,04

Ответ: вероятность заданной последовательности = 0,04

Ответ: 0.04
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}037$. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Решение задачи на сравнение вероятности и частоты события:

Известные данные:

• Теоретическая вероятность ремонта (P) = 0,037
• Количество проданных телевизоров = 100
• Количество телевизоров на ремонте = 4

Вычисляем частоту события в городе К:

Частота = Количество ремонтов / Общее количество = 4/100 = 0,04

Находим разницу между частотой и вероятностью:

Разница = |Частота - Вероятность| = |0,04 - 0,037| = 0,003

Ответ: разница составляет 0,003

Ответ: 0.003
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:

Определяем благоприятный интервал:

Отметка 9 до отметки 2 на циферблате
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)

Всего возможных положений часовой стрелки:

Полный круг = 12 часовых делений

Вычисляем вероятность:

P = Благоприятный интервал / Всего делений = 5/12 ≈ 0,4167

Округляем до сотых:

0,4167 ≈ 0,42

Ответ: вероятность ≈ 0,42

Ответ: 0.42
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?

Решение

Решение задачи на вероятность деления на 4:

Определяем диапазон чисел:

От 33 до 52 включительно
Всего чисел: 52 - 33 + 1 = 20

Находим числа, делящиеся на 4:

36, 40, 44, 48, 52 → всего 5 чисел

Вычисляем вероятность:

P = Количество благоприятных исходов / Всего чисел = 5/20 = 0,25

Ответ: вероятность = 0,25

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение

Решение задачи через фиксацию первой девочки:

Алгоритм решения:

1. Фиксируем первую девочку на произвольном месте (круговая симметрия)
2. Остаётся 16 свободных мест
3. Рядом с первой девочкой 2 места (слева и справа)

Формула вероятности:

P = Число благоприятных мест / Общее число свободных мест = 2/16 = 1/8

Ответ: вероятность = 1/8 = 0,125

Ответ: 0.125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до десятых.

Решение

Решение задачи на вероятность суммы очков при бросании двух костей:

Общее количество возможных исходов при бросании двух костей:

6 × 6 = 36 (каждая кость имеет 6 граней)

Благоприятные исходы для суммы 6:

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → всего 5 комбинаций

Вычисляем вероятность:

P = Число благоприятных исходов / Общее число исходов = 5/36 ≈ 0,1389

Округляем до десятых:

0,1389 ≈ 0,1

Ответ: вероятность ≈ 0,1

Ответ: 0.1
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Ветерок» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.

Решение

Вероятность ничьей в каждой игре равна 1 - 0.3 - 0.3 = 0.4 (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Ветерок» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев.

1. «Ветерок» выиграет обе игры. Вероятность этого равна 0.3 · 0.3 = 0.09.

2. «Ветерок» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна 0.3 · 0.4 = 0.12.

3. «Ветерок» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна 0.4 · 0.3 = 0.12.

Искомая вероятность равна 0.09 + 0.12 + 0.12 = 0.33.

Ответ: 0.33
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.

Решение

В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.

Ответ: 0.33
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

Охотник Генри попадает в муху на стене с вероятностью $0{,}6$, если стреляет из пристрелянного ружья. Если Генри стреляет из непристрелянного ружья, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}4$. На столе лежит $12$ ружей, из них $9$ пристрелянные. Охотник Генри видит на стене муху, наудачу хватает первое попавшееся ружьё и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Генри промахнётся.

Решение

Вероятность того, что Генри возьмёт пристрелянное ружьё, равна ${9}/{12} = 0.75$. Вероятность того, что Генри возьмёт непристрелянное ружьё, равна $1 - 0.75 = 0.25$. Вероятность промахнуться из пристрелянного ружья равна $1 - 0.6 = 0.4$, вероятность промахнуться из непристрелянного ружья равна $1 - 0.4 = 0.6$.

Вероятность события A = «Генри взял пристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.75 · 0.4 = 0.3$.

Вероятность события B = «Генри взял непристрелянное ружьё и промахнулся» равна $0.25 · 0.6 = 0.15$.

События A и B несовместны. Действительно, Генри не может одновременно «взять пристелянное ружьё и промахнуться», а также «взять непристелянное ружьё и промахнуться» — ведь Генри берёт только одно ружьё!

Тогда $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.15 = 0.45$. Но $A ∪ B$ — это и есть событие «Генри взял ружьё и промахнулся».

Ответ: 0.45
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

За круглый стол на $41$ стул в случайном порядке рассаживаются $39$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение

Предположим, что одна девочка уже сидит за столом. Тогда остаётся 40 свободных мест, из которых 2 — рядом с сидящей девочкой (слева и справа). Случайный эксперимент заключается в выборе места для второй девочки. Всего существует 40 равновозможных исходов (по числу свободных мест), из которых 2 благоприятствуют событию «девочки сидят рядом». По определению искомая вероятность равна ${2}/{40} = 0.05$.

Ответ: 0.05
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Решение

Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:

Введём обозначения событий:

A - пациент болен
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа

Известные вероятности:

P(A) = 6% = 0,06
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02

Используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Подставляем значения:

P(B) = 0,06 × 0,95 + 0,94 × 0,02

Вычисляем:

0,06 × 0,95 = 0,057
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Ответ: 0.0758
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • 👻 Вспомнишь алгебраические преобразования
  • 👻 Отработаешь линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения
  • 👻 Покоришь движение по воде
  • 👻 И в целом крайне продуктивно проведешь время
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.