Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 5:

Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.

Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.

Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.

Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.

Задачи для практики

Задача 1

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $76$ спортсменов, среди которых $46$ спортсменов из России, в том числе Григорий Соколенко. Найдите вероятность того, что в первом туре Григорий Соколенко будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение

Будем считать случайным экспериментом выбор соперника Григория Соколенко. Этот эксперимент имеет $76-1=75$ равновозможных исходов (сам с собой он играть не может!). При этом $46-1=45$ исходов благоприятствуют событию «Григорий Соколенко будет играть со спортсменом из России» (так как есть $45$ спортсменов из России, не считая самого Григория Соколенко). По определению, искомая вероятность равна ${45} / {75}=0{,}6$.

Ответ: 0.6
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

На железнодорожном вокзале $3$ кассира. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}2$ независимо от других кассиров. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три кассира заняты одновременно.

Решение

События «первый кассир занят», «второй кассир занят» и «третий кассир занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.2 · 0.2 · 0.2 = 0.008.

Ответ: 0.008
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Две фабрики выпускают одинаковые стержни для шариковых авторучек. Первая фабрика выпускает $75%$ этих стержней, вторая — $25%$. Первая фабрика выпускает $5%$ бракованных стержней, а вторая — $6%$. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине стержень окажется бракованным.

Решение

Предположим, всего выпущено $n$ стержней. Тогда первая фабрика выпустила $0.75n$ стержней, а вторая — $0.25n$ стержней. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0.75n · 0.05 = 0.0375n$ бракованных стержней. Вторая фабрика выпустила $0.25n · 0.06 = 0.015n$ бракованных стержней. Тогда всего бракованных стержней $0.0375n + 0.015n = 0.0525n$. По определению вероятность того, что купленный стержень бракованный, равна ${0.0525n}/{n} = 0.0525$.

Ответ: 0.0525
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Ковбой Майкл попадает в муху на потолке с вероятностью $0{,}8$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Майкл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежит $20$ револьверов, из них только $6$ пристрелянные. Ковбой Майкл видит на потолке муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Майкл промахнётся.

Решение

Вероятность того, что Майкл возьмёт пристрелянный револьвер, равна ${6} / {20}=0{,}3$. Вероятность того, что Майкл возьмёт непристрелянный револьвер, равна $1-0{,}3=0{,}7$. Вероятность события $A= $ «Майкл взял пристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}3⋅ 0{,}8=0{,}24$. Вероятность события $B=$ «Майкл взял непристрелянный револьвер и попал в муху» равна $0{,}7⋅ 0{,}1=0{,}07$. События $A$ и $B$ несовместны. Действительно, Майкл не может одновременно «взять пристелянный револьвер и попасть в муху», а также «взять непристелянный револьвер и попасть в муху» — ведь Майкл берёт только один револьвер! Тогда $P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$. Но $A∪ B$ — это событие «Майкл попал в муху». В условии задачи спрашивается вероятность противоположного события, она равна $1-0{,}31=0{,}69$.

Ответ: 0.69
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает $35%$ этих стёкол, вторая — $65%$. Первая фабрика выпускает $8%$ бракованных стёкол, а вторая — $3%$. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение

Предположим, всего выпущено $n$ стёкол. Тогда первая фабрика выпустила $0{,}35n$ стёкол, а вторая — $0{,}65n$ стёкол. Отсюда получим, что первая фабрика выпустила $0{,}35n⋅0{,}08=0{,}028n$ бракованных стёкол. Вторая фабрика выпустила $0{,}65n⋅0{,}03=0{,}0195n$ бракованных стёкол. Тогда всего бракованных стёкол $0{,}028n+0{,}0195n=0{,}0475n$. По определению вероятность того, что купленное стекло бракованное, равно ${0{,}0475n} / {n}=0{,}0475$.

Ответ: 0.0475
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}64$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}2$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна 0.64, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна 0.2. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна 0.64 · 0.2 = 0.128.

Ответ: 0.128
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:

Введём обозначения:

• P₁ = 38% = 0,38 - доля 1-го завода
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025

Используем формулу полной вероятности:

P(брак) = P₁ × P(брак|1-й) + P₂ × P(брак|2-й)

Подставляем значения:

P(брак) = 0,38 × 0,02 + 0,62 × 0,025
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231

Ответ: вероятность брака = 0,0231

Ответ: 0.0231
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?

Решение

Решение задачи на определение количества выстрелов:

Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:

P(неуничтожения) = (1 - 0,5) × (1 - 0,8)n-1 = 0,5 × 0,2n-1

Необходимо найти минимальное n, при котором:

1 - P(неуничтожения) ≥ 0,98
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02

Решаем неравенство:

0,2n-1 ≤ 0,04
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3

Проверим для n=3:

P(неуничтожения) = 0,5 × 0,2² = 0,02
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)

Ответ: потребуется 3 выстрела

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:

Определим вероятности выбора луков:

• Всего луков: 3 старых + 2 новых = 5
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4

Вероятности промаха для каждого типа луков:

• Для старого лука: 1 - 0,8 = 0,2
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7

Используем формулу полной вероятности:

P(промах) = P(старый)×P(промах|старый) + P(новый)×P(промах|новый)

Подставляем значения:

P(промах) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,7
= 0,12 + 0,28
= 0,40

Ответ: вероятность промаха = 0,40)

Ответ: 0.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:

Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:

Всего участников: 32
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник

Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:

Всего из России: 8
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7

Вычисляем вероятность:

P = Число российских соперниц / Общее число возможных соперников = 7/31 ≈ 0,2258

Округляем до сотых:

0,2258 ≈ 0,23

Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈ 0,23

Ответ: 0.23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Решение задачи на вероятность работы прибора:

Введём обозначения событий:

A - прибор прослужит > 1 года (P(A) = 0,923)
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)

Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):

P(1 < t < 2) = P(t > 1) - P(t > 2)

Вычисляем:

P = 0,923 - 0,87 = 0,053

Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет = 0,053

Ответ: 0.053
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}74$. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Решение задачи на вероятность последовательности попаданий и промахов:

Известные данные:

Вероятность попадания (P) = 0,74
Вероятность промаха (Q) = 1 - 0,74 = 0,26

Необходимо найти вероятность последовательности:

Попадание → Попадание → Промах → Промах
P × P × Q × Q

Вычисляем вероятность:

0,74 × 0,74 × 0,26 × 0,26 = 0,5476 × 0,0676 ≈ 0,0370

Округляем до сотых:

0,0370 ≈ 0,04

Ответ: вероятность заданной последовательности = 0,04

Ответ: 0.04
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

Первая лампочка может перегореть с вероятностью $0{,}18$, вторая — $0{,}15$. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.

Решение

Решение задачи на вероятность перегорания обеих лампочек:

Известные данные:

• Вероятность перегорания первой лампочки (P₁) = 0,18
• Вероятность перегорания второй лампочки (P₂) = 0,15

Предполагаем независимость событий (перегорание одной лампочки не влияет на другую)

Вероятность одновременного перегорания обеих лампочек:

P = P₁ × P₂ = 0,18 × 0,15

Вычисляем:

0,18 × 0,15 = 0,027

Ответ: вероятность перегорания обеих лампочек = 0,027

Ответ: 0.027
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ботаника», равна $0{,}27$; на тему «Зоология» — $0{,}28$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Решение задачи на вероятность получения вопроса по одной из тем:

Известные данные:

• Вероятность вопроса по Ботанике (P₁) = 0,27
• Вероятность вопроса по Зоологии (P₂) = 0,28
• Вопросы не пересекаются (нет общих вопросов)

Поскольку события несовместные, используем формулу сложения вероятностей:

P(Ботаника или Зоология) = P(Ботаника) + P(Зоология)

Вычисляем:

0,27 + 0,28 = 0,55

Ответ: вероятность вопроса по одной из тем = 0,55

Ответ: 0.55
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.

Решение

Решение задачи на вероятность выступления спортсмена из Германии шестым:

Определяем общее количество спортсменов:

Франция: 6
Чехия: 3
Германия: 7
Бельгия: 4
Всего: 6 + 3 + 7 + 4 = 20 спортсменов

Вероятность для 6-го выступающего:

P = Количество спортсменов из Германии / Общее количество спортсменов = 7/20

Вычисление:

7/20 = 0,35

Ответ: вероятность = 0,35

Ответ: 0.35
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

В среднем из $400$ приборов, поступивших в продажу, $5$ с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.

Решение

Решение задачи на вероятность обнаружения бракованного прибора:

Известные данные:

• Всего приборов: 400
• Бракованных приборов: 5

Формула классической вероятности:

P = Число бракованных приборов / Общее число приборов

Вычисляем вероятность:

P = 5/400 = 0,0125

Ответ: вероятность обнаружения брака = 0,0125

Ответ: 0.0125
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение

Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.

Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 - 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 - 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 - 0.28 = 0.72.

Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.

Ответ: 0.252
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и ясная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $15$ сентября, погода в Волшебной стране дождливая. Найдите вероятность того, что $18$ сентября в Волшебной стране будет ясная погода.

Решение

Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.7 = 0.3. По условию 15 сентября погода дождливая, а 18 сентября должно быть ясно. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 16 и 17 сентября.

15 сентября 16 сентября 17 сентября 18 сентября
дождь ясно ясно ясно
дождь ясно дождь ясно
дождь дождь ясно ясно
дождь дождь дождь ясно

Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «16 и 17 сентября погода ясная» и «16 сентября погода ясная, 17 — дождливая» не могут наступить одновременно.

Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.7, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 16 и 17 сентября посчитаем вероятность того, что 18 сентября будет ясно.

15 сент.   16 сент.   17 сент.   18 сент. Вероятность
дождь ≠ ясно = ясно = ясно 0.3 · 0.7 · 0.7 = 0.147
дождь ≠ ясно ≠ дождь ≠ ясно 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.027
дождь = дождь ≠ ясно = ясно 0.7 · 0.3 · 0.7 = 0.147
дождь = дождь = дождь ≠ ясно 0.7 · 0.7 · 0.3 = 0.147
Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. 0.147+0.027+0.147+0.147 = 3 · 0.147 + 0.027 = 0.468

Искомая вероятность равна 0.468.

Ответ: 0.468
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.

Решение

В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.

Ответ: 0.33
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

На экзамене по биологии студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Млекопитающие», равна $0{,}36$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Бактерии», равна $0{,}18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Млекопитающие" и B = "достанется вопрос по теме Бактерии" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.36 + 0.18 = 0.54.

Ответ: 0.54
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Рекомендуемые курсы подготовки

математика база егэ по математике математика с нуля математика 10 класс математика 11 класс математика акции егэ и огэ математика
Показать еще…
Популярные материалы
  • Без воды
  • Ламповая атмосфера
  • Крутые преподаватели

ЕГЭ 2027: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
Получи бесплатный демо-доступ
Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.