Задание 5. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 81.7%
Алгоритм решения задания 5:
Определите, какое случайное событие рассматривается в условии задачи.
Установите, какие исходы возможны в данной ситуации, и подсчитайте их общее количество.
Определите, какие из возможных исходов являются благоприятными для данного события.
Найдите отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Проанализируйте полученное значение вероятности и его соответствие условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.
Решение
Решение задачи на вероятность промаха Робина Гуда:
Определим вероятности выбора луков:
• Вероятность выбрать старый лук: 3/5 = 0,6
• Вероятность выбрать новый лук: 2/5 = 0,4
Вероятности промаха для каждого типа луков:
• Для нового лука: 1 - 0,3 = 0,7
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,12 + 0,28
= 0,40
Ответ: вероятность промаха =
Задача 2
Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0{,}5$, а при каждом последующем — $0{,}8$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0{,}98$?
Решение
Решение задачи на определение количества выстрелов:
Рассчитаем вероятность НЕуничтожения цели после n выстрелов:
Необходимо найти минимальное n, при котором:
⇒ P(неуничтожения) ≤ 0,02
⇒ 0,5 × 0,2n-1 ≤ 0,02
Решаем неравенство:
Берём логарифм от обеих частей:
(n-1) × log(0,2) ≤ log(0,04)
n-1 ≥ log(0,04)/log(0,2) ≈ 2
⇒ n ≥ 3
Проверим для n=3:
P(уничтожения) = 1 - 0,02 = 0,98 (удовлетворяет условию)
Ответ: потребуется
Задача 3
В группе туристов $10$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М останется дежурить?
Решение
Всего исходов: 10, т.к. 10 человек. Положительных исходов: 2, т.к. два место на дежурство. По классической формуле получаем:
$P(A)=2/10=0.2$
Задача 4
На фестивале хеви-метал выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) и место их выступления роли не играют. Фраза «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» означает то, что группы должны располагаться в следующем порядке: Франция — Испания — США (сокращённо «ФИС»). Заметим, что всего существует шесть способов расставить три группы по порядку:
1. Франция — США — Испания (ФСИ)
2. Франция — Испания — США (ФИС)
3. Испания — США — Франция (ИСФ)
4. Испания — Франция — США (ИФС)
5. США — Испания — Франция (СИФ)
6. США — Франция — Испания (СФИ)
Таким образом, жребий может иметь 6 равновозможных исходов, задающих порядок трёх групп относительно друг друга. Только один из этих исходов благоприятствует событию «группа из Испании будет выступать после группы из Франции и перед группой из США» (исход под номером 2). По определению искомая вероятность равна ${1}/{6} = 0.166 . . . ≈ 0.17$.
Задача 5
На фестивале фолк-рока выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии? Результат округлите до сотых.
Решение
В условии задачи важен лишь порядок трёх групп относительно друг друга, при этом остальные группы (если таковые имеются) роли не играют. Фраза «группа из Исландии будет выступать после группы из Великобритании и после группы из Финляндии» означает то, что среди указанных трёх групп группа из Исландии выступает третьей. По результатам жребия группа из Исландии с одинаковой вероятностью может выступать как первой, так и второй или третьей (всего три варианта). Следовательно, искомая вероятность равна ${1}/{3} = 0.333 . . . ≈ 0.33$.
Задача 6
Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает $38%$ всех подшипников, второй — $62%$. При проверке оказалось, что $2%$ продукции первого завода и $2{,}5%$ второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки бракованного подшипника:
Введём обозначения:
• P₂ = 62% = 0,62 - доля 2-го завода
• Брак на 1-м заводе: 2% = 0,02
• Брак на 2-м заводе: 2,5% = 0,025
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
= 0,0076 + 0,0155
= 0,0231
Ответ: вероятность брака =
Задача 7
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Лесник» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}2$.
Решение
Вероятность ничьей в каждой игре равна $1-0{,}2-0{,}2=0{,}6$ (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Лесник» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев. 1. «Лесник» выиграет обе игры. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}2=0{,}04$. 2. «Лесник» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна $0{,}2⋅ 0{,}6=0{,}12$. 3. «Лесник» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна $0{,}6⋅ 0{,}2=0{,}12$. Искомая вероятность равна $0{,}04+0{,}12+0{,}12=0{,}28$.
Задача 8
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Электричество», равна $0{,}3$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Механика», равна $0{,}42$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение
Из условия следует, что события A = "достанется вопрос по теме Электричество" и B = "достанется вопрос по теме Механика" несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие "достанется вопрос по одной из этих двух тем" - это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.42 = 0.72.
Задача 9
В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.
Решение
Решение задачи на вероятность остатка лимонада:
Введём обозначения событий:
B - лимонад закончился во втором автомате (P(B) = 0,2)
P(A∩B) = 0,09 (закончился в обоих)
Вероятность, что лимонад закончится хотя бы в одном автомате:
Вероятность противоположного события (останется в обоих):
Ответ: вероятность остатка лимонада в обоих автоматах =
Задача 10
Перед началом соревнований по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.
Решение
Решение задачи на вероятность игры с российской теннисисткой:
Общее количество возможных соперников для Дарьи Ивановой:
После выбора Дарьи остаётся: 32 - 1 = 31 возможный соперник
Количество российских теннисисток, кроме Дарьи:
Кроме Дарьи: 8 - 1 = 7
Вычисляем вероятность:
Округляем до сотых:
Ответ: вероятность игры с российской теннисисткой ≈
Задача 11
В Волшебной стране бывает два типа погоды: ветреная и тихая, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}9$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $11$ апреля, погода в Волшебной стране ветреная. Найдите вероятность того, что $14$ апреля в Волшебной стране будет ветреная погода.
Решение
Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.9 = 0.1. По условию 11 апреля погода ветренная и 14 апреля должно быть ветрено. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 12 и 13 апреля.
| 11 апреля | 12 апреля | 13 апреля | 14 апреля |
| ветрено | тихо | тихо | ветрено |
| ветрено | тихо | ветрено | ветрено |
| ветрено | ветрено | тихо | ветрено |
| ветрено | ветрено | ветрено | ветрено |
Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «12 и 13 апреля погода тихая» и «12 апреля погода тихая, 13 — ветреная» не могут наступить одновременно.
Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.1, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 12 и 13 апреля посчитаем вероятность того, что 14 апреля будет ветрено.
| 11 апр. | 12 апр. | 13 апр. | 14 апр. | Вероятность | |||
| ветрено | ≠ | тихо | = | тихо | ≠ | ветрено | 0,1 · 0,9 · 0,1 = 0,009 |
| ветрено | ≠ | тихо | ≠ | ветрено | = | ветрено | 0,1 · 0,1 · 0,9 = 0,009 |
| ветрено | = | ветрено | ≠ | тихо | ≠ | ветрено | 0.9 · 0.1 · 0.1 = 0.009 |
| ветрено | = | ветрено | = | ветрено | = | ветрено | 0.9 · 0.9 · 0.9 = 0.729 |
| Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. | 0.009+0.009+0.009+0.729 = 3 · 0.009 + 0.729 = 0.756 | ||||||
Искомая вероятность равна 0.756.
Задача 12
В торговом центре два одинаковых автомата продают сладкую вату. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится сладкая вата, равна $0{,}6$. Вероятность того, что сладкая вата закончится в обоих автоматах, равна $0{,}45$. Найдите вероятность того, что к концу дня сладкая вата останется в обоих автоматах.
Решение
По условию вероятность события A =«сладкая вата закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«сладкая вата закончится во втором автомате» и равна $0.6$. При этом $0.6 · 0.6 ≠ 0.45$, поэтому указанные выше события — зависимы (вероятность пересечения событий не равна произведению вероятностей этих событий).
В этом случае воспользуемся формулой $P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)$.
$P (A ∪ B) = 0.6 + 0.6 - 0.45 = 0.75$. Событие $A ∪ B$ — это событие «сладкая вата закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «сладкая вата останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.75 = 0.25$.
Задача 13
В стране М бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
Решение
Решение задачи на вероятность дождливой погоды 5 мая:
Определим возможные сценарии изменения погоды с 3 по 5 мая:
Возможные последовательности до 5 мая:
1) Солнечно → Солнечно → Дождливо
2) Солнечно → Дождливо → Дождливо
Вероятности перехода погоды:
P(С→Д) = 1 - 0,7 = 0,3 (изменение погоды)
P(Д→Д) = 0,7
P(Д→С) = 0,3
Рассчитываем вероятность для каждого сценария:
2) С→Д→Д: 0,3 × 0,7 = 0,21
Суммируем вероятности обоих сценариев:
Ответ: вероятность дождливой погоды 5 мая =
Задача 14
На фабрике $8%$ произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $85%$ сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение
Решение задачи на вероятность покупки качественной сумки:
Известные данные:
• Процент выявленных дефектных сумок: 85% от 8%
• Следовательно, процент невыявленных дефектных сумок: 15% от 8%
Вычисляем количество сумок, поступающих в продажу:
2. Невыявленные дефектные сумки: 0,15 × 0,08 = 0,012 (1,2%)
3. Качественные сумки: 1 - 0,08 = 0,92 (92%)
Сумки в продаже состоят из:
• Невыявленных дефектных: 0,012
Всего в продаже: 0,92 + 0,012 = 0,932
Вероятность покупки качественной сумки:
Округляем до тысячных:
Ответ: вероятность покупки качественной сумки ≈
Задача 15
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.
Решение
Решение задачи на вероятность положения часовой стрелки:
Определяем благоприятный интервал:
Это 5 часовых делений (9→10→11→12→1→2)
Всего возможных положений часовой стрелки:
Вычисляем вероятность:
Округляем до сотых:
Ответ: вероятность ≈
Задача 16
В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и ясная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0{,}7$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, $15$ сентября, погода в Волшебной стране дождливая. Найдите вероятность того, что $18$ сентября в Волшебной стране будет ясная погода.
Решение
Будем считать, что если погода меняется, то меняется она ровно в полночь. Погода завтра будет не такой как сегодня с вероятностью 1 - 0.7 = 0.3. По условию 15 сентября погода дождливая, а 18 сентября должно быть ясно. При этих условиях составим таблицу всевозможных вариантов погоды на 16 и 17 сентября.
| 15 сентября | 16 сентября | 17 сентября | 18 сентября |
| дождь | ясно | ясно | ясно |
| дождь | ясно | дождь | ясно |
| дождь | дождь | ясно | ясно |
| дождь | дождь | дождь | ясно |
Строки этой таблицы соответствуют несовместным событиям, так как, например, события «16 и 17 сентября погода ясная» и «16 сентября погода ясная, 17 — дождливая» не могут наступить одновременно.
Если погода в полночь не изменилась, то между соответствующими значениями погоды в дополнительную колонку впишем знак «=», а если изменилась, то знак «≠». Каждому знаку «=» соответствует вероятность 0.7, а каждому знаку «≠» соответствует вероятность 0.3. Для всех вариантов погоды на 16 и 17 сентября посчитаем вероятность того, что 18 сентября будет ясно.
| 15 сент. | 16 сент. | 17 сент. | 18 сент. | Вероятность | |||
| дождь | ≠ | ясно | = | ясно | = | ясно | 0.3 · 0.7 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | ≠ | ясно | ≠ | дождь | ≠ | ясно | 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.027 |
| дождь | = | дождь | ≠ | ясно | = | ясно | 0.7 · 0.3 · 0.7 = 0.147 |
| дождь | = | дождь | = | дождь | ≠ | ясно | 0.7 · 0.7 · 0.3 = 0.147 |
| Найдём сумму вероятностей в последней колонке, это и есть искомая вероятность. | 0.147+0.027+0.147+0.147 = 3 · 0.147 + 0.027 = 0.468 | ||||||
Искомая вероятность равна 0.468.
Задача 17
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение
По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.
Задача 18
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Заметим, что из событий "чайник прослужит меньше года", "чайник прослужит от 1 до 2 лет" и "чайник прослужит больше двух лет" произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение - достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
При этом события "чайник прослужит меньше года" и "чайник прослужит больше года" противоположны, поэтому вероятность события "чайник прослужит меньше года" равна 1 - 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.
| Событие | Прослужит меньше года | Прослужит от 1 до 2 лет | Прослужит больше двух лет |
| Вероятность | 0.07 | ? | 0.84 |
Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0.07 - 0.84 = 0.09.
Задача 19
Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}95$. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$. Известно, что $6%$ пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
Решение
Решение задачи на вероятность положительного результата анализа:
Введём обозначения событий:
Ā - пациент не болен
B - положительный результат анализа
Известные вероятности:
P(Ā) = 1 - 0,06 = 0,94
P(B|A) = 0,95
P(B|Ā) = 0,02
Используем формулу полной вероятности:
Подставляем значения:
Вычисляем:
0,94 × 0,02 = 0,0188
P(B) = 0,057 + 0,0188 = 0,0758
Задача 20
Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна $0{,}923$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}87$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение
Решение задачи на вероятность работы прибора:
Введём обозначения событий:
B - прибор прослужит > 2 лет (P(B) = 0,87)
Искомая вероятность (прослужит от 1 до 2 лет):
Вычисляем:
Ответ: вероятность работы от 1 до 2 лет =
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
