Задание 20. Текстовые задачи. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Любе надо проверить 168 работ. Ежедневно она проверяет на одно и то же количество работ больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Люба проверила 3 работы. Определите, сколько работ было проверено за седьмой день, если все работы Люба проверила за 12 дней.
Решение
В первый день Люба проверила $a_1=2$ работы, во второй — $a_2$, в последний — $a_12$ работ. Всего было $S_n=168$ работ.
$S_n={2a_1+d·(n-1)}/2 n$
$168={2·3+11d}/2 ·12$
$d=2 $
Тогда
$a_7=a_1+6d=3+6·2 =15$
Следовательно, за седьмой день Люба проверила 15 работ.
Задача 2
На изготовление 126 деталей мастер затрачивает на два часа меньше, чем ученик на изготовление 143 таких же деталей. Известно, что мастер за час делает на одну деталь больше, чем ученик. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение
Пусть $х$ - производительность ученика, тогда $(х + 1)$ - производительность мастера
$126/{x+1}$ - t работы мастера, $143/x$ - t работы ученика, что на 2ч больше t мастера.
$143/x−126/{x+1}=2$ $|·x(x+1),x≠0,x≠−1$
$143(x+1)−126x=2x^2+2x$
$143x+143−126x=2x^2+2x$
$2x^2−15x−143=0$
$x_1=−5,5$ - не подходит ($х > 0$), $x_2=13$
Задача 3
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Решение
Пусть производительность 1 трубы $х$, тогда второй - $(х+2)$, время работы 1 трубы $120/x$, 2 трубы $120/{x+2}$, что на 3 мин. меньше. Составим и решим уравнение:
$120/x−120/{x+2}=3$
$40/x−40/{x+2}=1$
$40x+80−40x=x^2+2x$
$x^2+2x−80=0$
$x_1=-10; x_2=8$
$x>0;x=8$
Задача 4
Двое байкеров выехали одновременно из одного города в другой. Первый проехал весь путь с некоторой постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью на 16 км/ч меньше, чем скорость первого байкера, а вторую половину пути со скоростью на 24 км/ч больше скорости первого байкера. В результате в другой город байкеры приехали одновременно. Найдите скорость первого байкера. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть $x−v$ 1 байкера, то $x−16 − v$ 2 байкера на первом участке дороги; $x+24−v$ II байкера на втором участке.
Составим и решим уравнение:
$1/x=0,5/{x−16}+0,5/{x+24}$
$2/x=1/{x−16}+1/{x+24}$ $|·x(x−16)(x+24)x≠0,x≠16,x≠−24$
$2(x−16)(x+24)=x(x+24)+x(x−16)$
$2x^2−32x+48x−768=x^2+24x+x^2−16x$
$2x^2+16x−768=2x^2+8x$
$8x=768; x=768:8=96$
Задача 5
Первые три часа волк бежал со скоростью 20 км/ч, следующий час — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость волка на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Чтобы найти среднюю скорость, необходимо ВЕСЬ путь разделить на ВСЁ время: $ v_{ср}={3·20+1·45+2·15}/{3+1+2}={60+45+30}/6=135/6=22,5$
Задача 6
Экскурсионный теплоход проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите собственную скорость теплохода (в км/ч), если он прошёл 120 км, скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длилась 2 часа, а в пункт отплытия он вернулся через 10 часов.
Решение
Пусть x - скорость теплохода, то (x + 4) - скорость по течению, (x - 4) - скорость против течения. Так как весь путь составляет 120 км., то путь в одну сторону 60 км., а общее время, затраченное на движение без остановки 10 - 2 = 8 часов.
Составим и решим уравнение:
$60/{x+4}+60/{x−4}=8$
$15/{x+4}+15/{x−4}=2$
$15(x−4)+15(x+4)=2(x^2−16)$
$15x−60+15x+60=2x^2−32$
$2x^2−30x−32=0$
$x^2−15x−16=0$
По теореме Виета: $x_1=16 , x_2=−1<0$ (не подходит)
Задача 7
Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
$х$- скорость течения; $18+х$ скорость по течению; $18−х$ скорость против течения
$105/{18−х}−105/{18+х}=2$
$105(18+х)−105(18−х)=2(18+х)(18−х)$
$105х+105х=2(182−x^2)$
$210x=2(324−x^2)$
$105x=324−x^2$
$x^2+105x−324=0$
По Т. Виета: $х_1=−108$ (не удовлетворяет,. так как скорость не может быть отрицательной) $х_2=3$
Задача 8
Процентное содержание кислоты в растворе сначала снизилось на 30%, а затем повысилось на 30%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание кислоты в растворе?
Решение
Пусть первоначальное количество кислоты в растворе было x. Тогда после снижения оно стало 0,7x.
После повышения количества кислоты в растворе на 30 процентов, оно стало $0,7x*1,3$.
Составим выражение:
$x-0.7x*1.3=x-0.91x = 0.09x$
Разница с первоначальным количеством раствора составила 0,09 или 9%.
Задача 9
Осенью коньки подорожали на некоторое количество процентов, а весной подешевели на то же самое количество процентов. В результате они весной стали стоить на 36% дешевле, чем перед осенью. На сколько процентов подорожали коньки осенью?
Решение
Пусть коньки осенью подорожали на x процентов. При переводе процентов в десятичную дробь получим $x/100$. Предположим, что коньки до повышения цены осенью стоили 1, тогда после подорожания они стали стоить 1+$x/100$*1. Весной они подешевели на x процентов от цены осенью, то есть на: $x/100$*(1+$x/100$)*1.
Цена коньков весной стала: 1+$x/100$*1 - $x/100$*(1+$x/100$*1) или 0,64*1 от первоначальной цены.
Составим уравнение:
1+$x/100$*1 - $x/100*(1+$x/100$)*1$ = 0,64
1 - $x^2/100^2$ = 0,64
10 000 - $x^2$ = 6400
$x^2 $= 3600
x = 60%
Задача 10
Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?
Решение
Пусть х дет/ч - производительность первого рабочего, тогда производительность второго рабочего - (х-1) дет/ч. Первый рабочий один выполняет заказ за $240/x$ ч, а второй за $240/{x-1}$ ч. Второй рабочий работает на 1 час больше первого.
Составим уравнение:
$240/{x-1} - 240/{x} = 1$
$240/{x(x-1)}=1$
$x(x-1) = 240$
$x^2 - x -240 = 0$
$x_1 = 16$
$x_2 = -15$, не подходит по условию задачи, так как производительность не может быть отрицательной.
Задача 11
Слива содержит 85% влаги, а чернослив — 4%. Сколько килограммов чернослива получится из 120 кг слив?
Решение
1) 120*0,15=18 кг сухого вещества в сливе.
2) 18/0,96 = 18,75 кг чернослива получится из 120 кг
Задача 12
Цена телевизора в интернет-магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу за 40 000 рублей, через два года был продан за 30 276 рублей.
Решение
Пусть каждый год телевизор дешевел на x процентов. Тогда цена после первого года стала $40 000(1-p/100)$, а после второго года - $40 000(1-p/100)^2$ или 30 276.
Составим уравнение:
$40 000(1-p/100)^2 = 30276$
$(1-p/100)^2 = 0,7569$
$1-p/100 = 0,87$
$100 - р = 87$
$р = 13$
Задача 13
Товарный поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проходит мимо фонаря за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Скорость поезда в м/с: 90000/3600=900/36 м/с
Длина поезда: 900/36*18=450 метров.
Задача 14
Из первого села во второе выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 0,5 ч навстречу ему вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Через сколько минут велосипедист после своего выхода встретился с пешеходом, если расстояние равно 26 км?
Решение
1) 12*0,5=6 (км) - проехал велосипедист до выхода пешехода.
2) 26 - 6 = 20 (км) - расстояние между пешеходом и велосипедистом в момент выхода пешехода.
3) 3 + 12 = 15 (км/ч) - совместная скорость.
4) 20/15 =/ 4/3 (ч) - время в пути пешехода и мотоциклиста.
5) 4/3 ч = 80 минут. 0,5 = 30 минут.
80 + 30 = 110 минут.
Задача 15
Сплав массой 5 кг содержит 30% меди. К этому сплаву добавили никель весом 7 кг. Сколько процентов меди получилось в новом сплаве?
Решение
1) $5*0,3 = 1,5$ кг меди в первом сплаве.
$1,5/{5+7}*100% = 12.5%$
Задача 16
Марина и Евангелина вместе высаживают картофель за 28 минут, а одна Марина высаживает такое же количество картофеля за 84 минуты. За сколько минут высаживает этот картофель одна Евангелина?
Решение
Совместная производительность 1/28, производительность Марины 1/84.
1/28-1/84 = 2/84 = 1/42.
1: 1/42 = 42 минуты - время Евангелины.
Задача 17
Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 6 часов - со скоростью 110 км/ч, а затем час - со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
1) 80*3+6*110+120*1=1020 (км) - проехала машина за все время.
2) 3+6+1=10 (ч) - времени всего была в пути машина.
3) 1020 : 10 = 102 (км/ч) - средняя скорость.
Задача 18
Лодка, скорость которой в неподвижной воде равна 14 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2км/ч, стоянка длится 8 часов, а в исходный пункт лодка возвращается через 22 часа после отплытия из него. Сколько километров прошла лодка за весь рейс?
Решение
Пусть расстояние, пройденное лодкой, $x$ км.
Составим уравнение:
$x/{14-2}+x/{14+2} = 22-8$
$x/12 + x/16 = 14 |×48$
$4x+3x = 672$
$7x=672$
$x = 96 км$
Значит, все расстояние, пройденное лодкой, $96×2 = 192 км$.
Задача 19
От пункта А в пункт Б выехал мотоциклист с постоянной скоростью. Через час вслед за ним со скоростью больше на 1 км/ч выехал второй велосипедист. Расстояние между городами равно 380 км. Найдите скорость первого мотоциклиста, если в пункт B оба мотоциклиста прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть х км/ч - скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста - (х+1) км/ч. Первый мотоциклист доехал за $380/x$ ч, а второй за $380/{x+1}$ ч. Первый мотоциклист был в пути дольше на 1 час, так как выехал раньше.
Составим уравнение:
$380/x - 380/{x+1} = 1$
$380/{x(x+1)}=1$
$x(x+1) = 380$
$x^2 + x -380 = 0$
$x_1 = 19$
$x_2 = -20$, не подходит по условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной.
Задача 20
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, дошла до пункта В, сразу развернулась и вернулась в пункт А в 19:00. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч, а скорость течения - 2 км/ч.
Решение
Пусть расстояние из пункта А в пункт В моторная лодка прошла за x часов по течению со скоростью 20 км/ч. Тогда обратно то же самое расстояние она прошла против течения со скоростью 16 км/ч за (9-x) часов.
Составим уравнение:
20x = 16 (9-x)
20x = 144 - 16x
36x = 144
x = 4
Значит, весь путь 20*4 = 80 км.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
