Задание 20. Текстовые задачи. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 29.3%
Алгоритм решения задания 20:
- Прочитать условие задачи и определить известные и неизвестные величины.
- Установить математическую связь между величинами, описанную в условии.
- Составить уравнение, отражающее эту связь.
- Решить уравнение допустимым алгебраическим способом.
- Проверить, соответствует ли найденное значение условиям задачи.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Любе надо проверить 168 работ. Ежедневно она проверяет на одно и то же количество работ больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Люба проверила 3 работы. Определите, сколько работ было проверено за седьмой день, если все работы Люба проверила за 12 дней.
Решение
В первый день Люба проверила $a_1=2$ работы, во второй — $a_2$, в последний — $a_12$ работ. Всего было $S_n=168$ работ.
$S_n={2a_1+d·(n-1)}/2 n$
$168={2·3+11d}/2 ·12$
$d=2 $
Тогда
$a_7=a_1+6d=3+6·2 =15$
Следовательно, за седьмой день Люба проверила 15 работ.
Задача 2
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Решение
Пусть производительность 1 трубы $х$, тогда второй - $(х+2)$, время работы 1 трубы $120/x$, 2 трубы $120/{x+2}$, что на 3 мин. меньше. Составим и решим уравнение:
$120/x−120/{x+2}=3$
$40/x−40/{x+2}=1$
$40x+80−40x=x^2+2x$
$x^2+2x−80=0$
$x_1=-10; x_2=8$
$x>0;x=8$
Задача 3
Экскурсионный теплоход проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите собственную скорость теплохода (в км/ч), если он прошёл 120 км, скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длилась 2 часа, а в пункт отплытия он вернулся через 10 часов.
Решение
Пусть x - скорость теплохода, то (x + 4) - скорость по течению, (x - 4) - скорость против течения. Так как весь путь составляет 120 км., то путь в одну сторону 60 км., а общее время, затраченное на движение без остановки 10 - 2 = 8 часов.
Составим и решим уравнение:
$60/{x+4}+60/{x−4}=8$
$15/{x+4}+15/{x−4}=2$
$15(x−4)+15(x+4)=2(x^2−16)$
$15x−60+15x+60=2x^2−32$
$2x^2−30x−32=0$
$x^2−15x−16=0$
По теореме Виета: $x_1=16 , x_2=−1<0$ (не подходит)
Задача 4
На изготовление 126 деталей мастер затрачивает на два часа меньше, чем ученик на изготовление 143 таких же деталей. Известно, что мастер за час делает на одну деталь больше, чем ученик. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение
Пусть $х$ - производительность ученика, тогда $(х + 1)$ - производительность мастера
$126/{x+1}$ - t работы мастера, $143/x$ - t работы ученика, что на 2ч больше t мастера.
$143/x−126/{x+1}=2$ $|·x(x+1),x≠0,x≠−1$
$143(x+1)−126x=2x^2+2x$
$143x+143−126x=2x^2+2x$
$2x^2−15x−143=0$
$x_1=−5,5$ - не подходит ($х > 0$), $x_2=13$
Задача 5
Двое байкеров выехали одновременно из одного города в другой. Первый проехал весь путь с некоторой постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью на 16 км/ч меньше, чем скорость первого байкера, а вторую половину пути со скоростью на 24 км/ч больше скорости первого байкера. В результате в другой город байкеры приехали одновременно. Найдите скорость первого байкера. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть $x−v$ 1 байкера, то $x−16 − v$ 2 байкера на первом участке дороги; $x+24−v$ II байкера на втором участке.
Составим и решим уравнение:
$1/x=0,5/{x−16}+0,5/{x+24}$
$2/x=1/{x−16}+1/{x+24}$ $|·x(x−16)(x+24)x≠0,x≠16,x≠−24$
$2(x−16)(x+24)=x(x+24)+x(x−16)$
$2x^2−32x+48x−768=x^2+24x+x^2−16x$
$2x^2+16x−768=2x^2+8x$
$8x=768; x=768:8=96$
Задача 6
Первые три часа волк бежал со скоростью 20 км/ч, следующий час — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость волка на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Чтобы найти среднюю скорость, необходимо ВЕСЬ путь разделить на ВСЁ время: $ v_{ср}={3·20+1·45+2·15}/{3+1+2}={60+45+30}/6=135/6=22,5$
Задача 7
Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
$х$- скорость течения; $18+х$ скорость по течению; $18−х$ скорость против течения
$105/{18−х}−105/{18+х}=2$
$105(18+х)−105(18−х)=2(18+х)(18−х)$
$105х+105х=2(182−x^2)$
$210x=2(324−x^2)$
$105x=324−x^2$
$x^2+105x−324=0$
По Т. Виета: $х_1=−108$ (не удовлетворяет,. так как скорость не может быть отрицательной) $х_2=3$
Задача 8
Первая труба наполняет весь бассейн за 6 часов, вторая труба наполняет весь бассейн за 18 часов. Первая труба, работая одна некоторое количество времени, наполнила 2/3 бассейна, затем работу закончила вторая труба. Сколько времени потребовалось, чтобы заполнить весь бассейн?
Решение
Производительность первой трубы 1/6, производительность второй трубы 1/18.
1) 2/3 : 1/6 = 4 ч - работала первая труба до поломки.
2) (1-2/3) : 1/18 = 6 ч - работала вторая труба.
3) 4+6=10 часов
Задача 9
Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?
Решение
Пусть х дет/ч - производительность первого рабочего, тогда производительность второго рабочего - (х-1) дет/ч. Первый рабочий один выполняет заказ за $240/x$ ч, а второй за $240/{x-1}$ ч. Второй рабочий работает на 1 час больше первого.
Составим уравнение:
$240/{x-1} - 240/{x} = 1$
$240/{x(x-1)}=1$
$x(x-1) = 240$
$x^2 - x -240 = 0$
$x_1 = 16$
$x_2 = -15$, не подходит по условию задачи, так как производительность не может быть отрицательной.
Задача 10
Лодка, скорость которой в неподвижной воде равна 14 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2км/ч, стоянка длится 8 часов, а в исходный пункт лодка возвращается через 22 часа после отплытия из него. Сколько километров прошла лодка за весь рейс?
Решение
Пусть расстояние, пройденное лодкой, $x$ км.
Составим уравнение:
$x/{14-2}+x/{14+2} = 22-8$
$x/12 + x/16 = 14 |×48$
$4x+3x = 672$
$7x=672$
$x = 96 км$
Значит, все расстояние, пройденное лодкой, $96×2 = 192 км$.
Задача 11
От пункта А в пункт Б выехал мотоциклист с постоянной скоростью. Через час вслед за ним со скоростью больше на 1 км/ч выехал второй велосипедист. Расстояние между городами равно 380 км. Найдите скорость первого мотоциклиста, если в пункт B оба мотоциклиста прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть х км/ч - скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста - (х+1) км/ч. Первый мотоциклист доехал за $380/x$ ч, а второй за $380/{x+1}$ ч. Первый мотоциклист был в пути дольше на 1 час, так как выехал раньше.
Составим уравнение:
$380/x - 380/{x+1} = 1$
$380/{x(x+1)}=1$
$x(x+1) = 380$
$x^2 + x -380 = 0$
$x_1 = 19$
$x_2 = -20$, не подходит по условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной.
Задача 12
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, дошла до пункта В, сразу развернулась и вернулась в пункт А в 19:00. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч, а скорость течения - 2 км/ч.
Решение
Пусть расстояние из пункта А в пункт В моторная лодка прошла за x часов по течению со скоростью 20 км/ч. Тогда обратно то же самое расстояние она прошла против течения со скоростью 16 км/ч за (9-x) часов.
Составим уравнение:
20x = 16 (9-x)
20x = 144 - 16x
36x = 144
x = 4
Значит, весь путь 20*4 = 80 км.
Задача 13
Первый раствор содержит 15% соли, второй – 30% соли. Масса второго раствора меньше массы первого на 5 кг. Из этих двух растворов получили третий раствор, содержащий 20% соли. Найдите массу третьего раствора. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Пусть масса второго раствора - х кг. Тогда масса первого раствора - (x+5) кг. Кислоты в первом растворе 0,15(х+5) кг, кислоты во втором растворе 0,3х кг. В получившемся растворе кислоты стало 20% от массы двух сплавов, то есть: 0.2(2x+5) кг.
Так как кислоту в раствор не добавляли, то масса кислоты не изменилось.
Составим уравнение:
0,15(х+5) + 0,3х = 0.2(2x+5)
0,15x+0.75+0.3x = 0.4x+1
0.05x=0.25
x = 5
Тогда масса третьего раствора 15 кг.
Задача 14
Сплав массой 5 кг содержит 30% меди. К этому сплаву добавили никель весом 7 кг. Сколько процентов меди получилось в новом сплаве?
Решение
1) $5*0,3 = 1,5$ кг меди в первом сплаве.
$1,5/{5+7}*100% = 12.5%$
Задача 15
Цена телевизора в интернет-магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу за 40 000 рублей, через два года был продан за 30 276 рублей.
Решение
Пусть каждый год телевизор дешевел на x процентов. Тогда цена после первого года стала $40 000(1-p/100)$, а после второго года - $40 000(1-p/100)^2$ или 30 276.
Составим уравнение:
$40 000(1-p/100)^2 = 30276$
$(1-p/100)^2 = 0,7569$
$1-p/100 = 0,87$
$100 - р = 87$
$р = 13$
Задача 16
Цену на телефон в ноябре сначала повысили на 35%, а потом снизили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена телефона?
Решение
Пусть первоначальная цена телефона x. Тогда после повышения она стала 1,35x.
После понижения цены на 20%, она стало $1,35x*0,8$.
Составим выражение:
$|x-1,35x*0,8|=|x-1.08x| = 0.08x$
Разница с первоначальным количеством раствора составила 0,08 или 8%.
Задача 17
Процентное содержание кислоты в растворе сначала снизилось на 30%, а затем повысилось на 30%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание кислоты в растворе?
Решение
Пусть первоначальное количество кислоты в растворе было x. Тогда после снижения оно стало 0,7x.
После повышения количества кислоты в растворе на 30 процентов, оно стало $0,7x*1,3$.
Составим выражение:
$x-0.7x*1.3=x-0.91x = 0.09x$
Разница с первоначальным количеством раствора составила 0,09 или 9%.
Задача 18
В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 16% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в пятницу?
Решение
Пусть акции компании подешевели на x процентов. При переводе процентов в десятичную дробь получим $x/100$. Предположим, что акции компании в четверг при открытии торгов стоили 1, тогда после подорожания они стали стоить 1+$x/100$*1. В пятницу они подешевели на x процентов от цены в четверг, то есть на: $x/100$*(1+$x/100$)*1.
Цена акций в пятницу стала: 1+$x/100$*1 - $x/100$*(1+$x/100$*1) или 0,84 от первоначальной цены.
Составим уравнение:
1+$x/100$*1 - $x/100*(1+$x/100$)*1$ = 0,84
1 - $x^2/100^2$ = 0,84
10 000 - $x^2$ = 8400
$x^2 $= 1600
x = 40%
Задача 19
Товарный поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проходит мимо фонаря за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Скорость поезда в м/с: 90000/3600=900/36 м/с
Длина поезда: 900/36*18=450 метров.
Задача 20
Расстояние между поселком и станцией равно 280 км. Из поселка до станции выехал мотоциклист, а через 4 часа навстречу ему выехал автобус со скоростью 50 км/ч. Найдите скорость мотоциклиста, если они встретились на расстоянии 180 км от поселка.
Решение
1) 280 - 180 = 100 (км) - расстояние, которое до встречи проехал автобус.
2) 100:50 = 2 (ч) - был в пути автобус до встречи.
3) 2+4 = 6 (ч) - был в пути мотоциклист.
4) 180/6=30 км/ч - скорость мотоциклиста.
Рекомендуемые курсы подготовки
- 👻 Вспомнишь алгебраические преобразования
- 👻 Отработаешь линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения
- 👻 Покоришь движение по воде
- 👻 И в целом крайне продуктивно проведешь время
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
