Решение:

1. Определяем тип задачи. Описанный процесс — это арифметическая прогрессия, где количество ягод, собранных за день, увеличивается на одно и то же число.

2. Вводим обозначения. Пусть $n$ — количество дней, за которые медведь собирал ягоды.

Первый член прогрессии: $a_1 = 7$ кг.

Разность прогрессии: $d = 2$ кг.

Сумма первых $n$ членов (общий урожай): $S_n = 135$ кг.

3. Записываем формулу суммы арифметической прогрессии.

Формула суммы: $S_n = {2a_1 + (n-1)d}/{2} ⋅n$.

4. Подставляем известные значения в формулу.

$135 = {2 ⋅ + (n-1) ⋅2}/{2} ⋅n$.

5. Упрощаем уравнение.

$135 = {14 + 2n - 2}/{2} ⋅ n$

$135 = {2n + 12}/{2} ⋅ n$

$135 = (n + 6) ⋅ n$

$n^2 + 6n - 135 = 0$

6. Решаем квадратное уравнение.

Находим дискриминант: $D = 6^2 - 4 ⋅1 ⋅ (-135) = 36 + 540 = 576$.

Корень из дискриминанта: $√{D} = √{576} = 24$.

Находим корни уравнения:

$n_1 = {-6 + 24}/{2} = {18}/{2} = 9$.

$n_2 = {-6 - 24}/{2} = {-30}/{2} = -15$ (не подходит, так как количество дней не может быть отрицательным).

7. Проверяем результат.

Если $n = 9$ дней, то урожай по дням: $7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ кг.

Сумма: $7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 135$ кг, что соответствует условию.

8. Даем окончательный ответ.

Медведь собирал ягоды 9 дней.

Решение:

1. Определение типа последовательности.

Количество новых подписчиков каждый день увеличивается в одинаковое число раз (в 2 раза). Это характерный признак геометрической прогрессии.

2. Определение параметров прогрессии.

Первый член прогрессии (новые подписчики в 1-й день): $b_1 = 5$

Знаменатель прогрессии (во сколько раз увеличивается количество новых подписчиков): $q = 2$

Количество дней: $n = 7$

3. Нахождение общего количества подписчиков.

Нам нужно найти сумму всех новых подписчиков за 7 дней. Для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии существует формула:

$S_n = b_1 ⋅ {q^n - 1}/{q - 1}$

4. Подстановка значений в формулу.

$S_7 = 5 ⋅{2^7 - 1}/{2 - 1}$

5. Вычисление.

Сначала вычислим степень: $2^7 = 128$

Тогда: $S_7 = 5 ⋅ {128 - 1}/{1} = 5 ⋅127 = 635$

Решение:

1. Анализ ситуации и тип задачи.

Время, затрачиваемое котом на преодоление каждого метра высоты, образует последовательность чисел, где каждое следующее больше предыдущего на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия.

2. Определяем параметры прогрессии.

Кот преодолевает 15 метров, значит, в прогрессии будет 15 членов ($n = 15$).

Время на первый метр: $a_1 = 3$ секунды.

Разность прогрессии (увеличение времени на каждом следующем метре): $d = 0,4$ секунды.

3. Находим время на преодоление последнего (15-го) метра.

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)⋅d$.

$a_{15} = 3 + (15-1) ⋅0,4 = 3 + 14 ⋅0,4 = 3 + 5,6 = 8,6$ секунд.

4. Находим общее время на подъем (сумму всех 15 членов прогрессии).

Используем формулу суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = {a_1 + a_n}/{2} ⋅n$.

Подставляем известные значения: $S_{15} = {3 + 8,6}/{2} ⋅15$.

$S_{15} = {11,6}/{2} ⋅15 = 5,8 ⋅15 = 87$ секунд.

5. Проверка с использованием альтернативной формулы суммы.

$S_n = {2a_1 + (n-1)d}/{2} ⋅n$

$S_{15} = {2 ⋅3 + (15-1)⋅0,4}/{2} ⋅15 = {6 + 5,6}/{2} ⋅15 = {11,6}/{2} ⋅15 = 5,8 ⋅15 = 87$ секунд.

Результат совпадает.

Ответ: Кот потратит на подъем на всё дерево 87 секунд.

Решение:

1. Анализ условия и типа роста капитала.

Прибыль составляет определённый процент от капитала предыдущего года, и она не изымается, а присоединяется к капиталу. Это означает, что капитал каждый год увеличивается в определённое число раз — это геометрическая прогрессия.

2. Расчёт капитала фермы «Весёлый огород» к концу 2025 года.

Начальный год: 2020, начальный капитал: $b_1^{ВО} = 2000$ тыквинов.

Прибыль 100% означает, что капитал ежегодно увеличивается на 100%, то есть удваивается. Увеличение в 2 раза соответствует знаменателю прогрессии: $q_{ВО} = 1 + {100}/{100} = 2$.

Нужно найти капитал к концу 2025 года. Считаем годы:

• 2020: начальный капитал ($n=1$)
• 2021: после первой прибыли ($n=2$)
• 2022: ($n=3$)
• 2023: ($n=4$)
• 2024: ($n=5$)
• 2025: ($n=6$)

Таким образом, к концу 2025 года прошло 6 лет с начала деятельности.

Капитал через $n$ лет для геометрической прогрессии: $b_n = b_1⋅q^{n-1}$.

Для «Весёлого огорода»: $b_6^{ВО} = 2000 ⋅ 2^{6-1} = 2000 ⋅ 2^{5}$.

$2^5 = 32$, поэтому: $b_6^{ВО} = 2000 ⋅ 32 = 64000$ тыквинов.

3. Расчёт капитала фермы «Солнечная грядка» к концу 2025 года.

Начальный год: 2022, начальный капитал: $b_1^{СГ} = 4000$ тыквинов.

Прибыль 300% означает, что капитал ежегодно увеличивается на 300%, то есть учетверяется. Увеличение в 4 раза соответствует знаменателю: $q_{СГ} = 1 + {300}/{100} = 4$.

Нужно найти капитал к концу 2025 года. Считаем годы:

• 2022: начальный капитал ($n=1$)
• 2023: после первой прибыли ($n=2$)
• 2024: ($n=3$)
• 2025: ($n=4$)

Таким образом, к концу 2025 года прошло 4 года с начала деятельности.

Для «Солнечной грядки»: $b_4^{СГ} = 4000 ⋅ 4^{4-1} = 4000 ⋅ 4^{3}$.

$4^3 = 64$, поэтому: $b_4^{СГ} = 4000 ⋅ 64 = 256000$ тыквинов.

4. Сравнение капиталов и ответ на вопрос задачи.

Капитал «Солнечной грядки»: $256000$ тыквинов.

Капитал «Весёлого огорода»: $64000$ тыквинов.

Разница: $256000 - 64000 = 192000$ тыквинов.

Ответ: Капитал фермерского хозяйства «Солнечная грядка» к концу 2025 года был больше капитала фермерского хозяйства «Весёлый огород» на 192 000 тыквинов.

В первый день Люба проверила $a_1=2$ работы, во второй  — $a_2$, в последний  — $a_12$ работ. Всего было $S_n=168$ работ.
$S_n={2a_1+d·(n-1)}/2 n$
$168={2·3+11d}/2 ·12$
$d=2 $
Тогда
$a_7=a_1+6d=3+6·2 =15$
Следовательно, за седьмой день Люба проверила 15 работ.