Пусть искомое число ${abc}↖{-}$, так как ${abc}↖{-}⋮80$, то ${abc}↖{-}⋮10$, тогда $c=0$, значит число ${ab0}↖{-}$. Кроме того $a≠b≠c$, $(a^2+b^2)⋮9$, но $(a^2+b^2) не ⋮81$.

Так как количество чисел ограничено, воспользуемся методом перебора. Искомое число находится среди чисел(учитывая, что все цифры разные):

$160: 1^2+6^2=1+36=37; 37⋮9$ (не подходит)

$240: 2^2+4^2=4+16=20; 20⋮9$ (не подходит)

$320: 3^2+2^2=9+4=13; 13⋮9$ (не подходит)

$480: 4^2+8^2=16+64=80; 80⋮9$ (не подходит)

$560: 5^2+6^2=25+36=61; 61⋮9$ (не подходит)

$640: 6^2+4^2=36+16=52; 52⋮9$ (не подходит)

$720: 7^2+2^2=49=4=53; 53⋮9$ (не подходит)

$960: 9^2+6^2=81+36=117; 117⋮9; 117⋮81$ (подходит)

1. Определим диапазон чисел: Мы ищем числа от 4501 до 4849.

2. Проверим каждое число в диапазоне:

- Начнем с 4501 и будем проверять каждое число до 4849.

Подходящее число:

Число, которое удовлетворяет всем условиям задачи: 4632.

Для того чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9. Рассмотрим оба условия:

1. Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.

2. Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число 212729263. Сначала найдём сумму его цифр:

$$2 + 1 + 2 + 7 + 2 + 9 + 2 + 6 + 3 = 34$$

Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр после вычёркивания 3 цифр должна стать кратной 9.

Теперь попробуем вычеркнуть 3 цифры так, чтобы оставшееся число делилось на 2 и на 9.

Попробуем вычеркнуть цифры 7, 9 и 2. Оставшееся число будет 217926.

Проверим:

1. Последняя цифра числа 217926 — 6, а это чётное число, значит оно делится на 2.

2. Сумма цифр числа 217926: $$2 + 1 + 7 + 9 + 2 + 6 = 27.$$ Это делится на 9, значит число делится на 9.

Таким образом, полученное число 217926 делится на 18.

Ответ: 217926.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид ${abc}$, где $a, b, c$ — его цифры.

По условию задачи:

1. Число кратно 8, то есть число, образованное последними тремя цифрами с учётом разряда сотен, делится на 8.
2. Сумма цифр вдвое меньше их произведения: $$2(a + b + c) = a • b • c$$

Шаг 1: Анализ уравнения. Так как произведение цифр должно быть целым числом, а левая часть $2(a+b+c)$ — чётное число, правая часть $a • b • c$ также должна быть чётной. Следовательно, среди цифр $a, b, c$ хотя бы одна должна быть чётной.

Шаг 2: Подбор цифр. Уравнение $a • b • c = 2(a+b+c)$ является довольно ограничивающим. Произведение трёх цифр (максимум $9•9•9=729$) должно быть равно всего лишь удвоенной их сумме (максимум $2•27=54$). Это означает, что цифры не могут быть все большими. Если бы все три цифры были $>4$, то произведение было бы $>64$, что уже больше 54. Значит, среди цифр обязательно есть маленькие (1, 2 или 3).

Шаг 3: Рассмотрим вариант с единицей. Пусть $a=1$. Тогда уравнение принимает вид: $$1 • b • c = 2(1+b+c)$$ $$bc = 2 + 2b + 2c$$ $$bc - 2b - 2c = 2$$ Добавим 4 к обеим частям для разложения на множители (метод группировки): $$bc - 2b - 2c + 4 = 6$$ $$(b-2)(c-2) = 6$$ Теперь ищем целые неотрицательные пары $(b-2)$ и $(c-2)$, произведение которых равно 6. Учитываем, что $b$ и $c$ — цифры ($0..9$).

• $b-2 = 1,\; c-2 = 6$ → $b=3,\; c=8$. Число: 138.
• $b-2 = 2,\; c-2 = 3$ → $b=4,\; c=5$. Число: 145.
• $b-2 = 3,\; c-2 = 2$ → $b=5,\; c=4$. Число: 154.
• $b-2 = 6,\; c-2 = 1$ → $b=8,\; c=3$. Число: 183.
• Также возможны отрицательные варианты, но они дадут $b$ или $c$ меньше 0 (например, $-1$ и $-6$), что не подходит.

Шаг 4: Проверка условия кратности 8. Нас просят найти любое такое число. Проверим число 138.

• Проверка условия: $1+3+8 = 12$, произведение $1•3•8 = 24$. Удвоенная сумма $2•12 = 24$ равна произведению. Условие выполнено.
• Проверка кратности 8: $138 / 8 = 17,25$ (или $8•17=136$, остаток 2). Число 138 не делится на 8 нацело. Не подходит.

Проверим число 184 (которое мы не получили при $a=1$, но получим позже). Пока проверим следующее из списка — 145.

• $145$: $1+4+5=10$, произведение $20$, $2•10=20$. Условие верно.
• $145 / 8 = 18,125$ (остаток 1). Не подходит.

154:

• $1+5+4=10$, произведение $20$. Условие верно.
• $154 / 8 = 19,25$ (остаток 2). Не подходит.

183:

• $1+8+3=12$, произведение $24$, $2•12=24$. Условие верно.
• $183 / 8 = 22,875$ (остаток 7). Не подходит.

Ни одно из чисел, начинающихся на 1, не подошло.

Шаг 5: Рассмотрим вариант с $a=2$. Уравнение: $$2 • b • c = 2(2+b+c)$$ $$2bc = 4 + 2b + 2c$$ Разделим на 2: $$bc = 2 + b + c$$ $$bc - b - c = 2$$ $$bc - b - c + 1 = 3$$ $$(b-1)(c-1) = 3$$ Ищем пары цифр:

• $b-1 = 1,\; c-1 = 3$ → $b=2,\; c=4$. Число: 224.
• $b-1 = 3,\; c-1 = 1$ → $b=4,\; c=2$. Число: 242.

Проверка:

• 224: сумма $2+2+4=8$, произведение $16$, $2•8=16$. Условие выполнено. Проверка кратности 8: $224 / 8 = 28$. Подходит!
• 242: сумма $2+4+2=8$, произведение $16$, $2•8=16$. Условие выполнено. Проверка кратности 8: $242 / 8 = 30,25$ (остаток 2). Не подходит.

Итак, число 224 удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: 224

Пусть N — трёхзначное число, большее 400.

При делении на 5 и на 14 получаются одинаковые ненулевые остатки. Это значит, что число N можно записать так:
$N = 5a + r = 14b + r$, где r — остаток, причём r может быть равен 1, 2, 3 или 4 (так как при делении на 5 остаток меньше 5 и не равен 0).

Тогда N − r делится и на 5, и на 14. Значит, N − r делится на их наименьшее общее кратное. НОК(5, 14) = 70. Поэтому:
$N - r = 70k$, где k — натуральное число.
Значит, $N = 70k + r$, где r = 1, 2, 3, 4.

Теперь условие про цифры. Пусть $N = \overline{abc}$, где a — сотни, b — десятки, c — единицы. По условию $a = b + c$, и a ≥ 4 (так как число больше 400).

Будем подбирать k так, чтобы число 70k + r было трёхзначным, больше 400, и выполнялось условие a = b + c.

Возможные значения k: от 6 и выше, потому что при k = 6: 70 ∙ 6 = 420, и с остатком получаем 421, 422, 423, 424 — это уже больше 400.

Проверим все подходящие варианты:

k = 6:
r = 1: N = 421 (цифры: 4, 2, 1; 4 = 2 + 1 — подходит, но по условию его нужно убрать).
r = 2: N = 422 (4, 2, 2; 4 = 2 + 2 — подходит).
r = 3: N = 423 (4, 2, 3; 4 = 2 + 3? 2 + 3 = 5, не равно 4 — нет).
r = 4: N = 424 (4, 2, 4; 4 = 2 + 4? 2 + 4 = 6 — нет).

k = 7: 70 ∙ 7 = 490.
r = 1: 491 (4, 9, 1; 4 = 9 + 1? 10 — нет).
r = 2: 492 (4, 9, 2; 11 — нет).
r = 3: 493 (4, 9, 3; 12 — нет).
r = 4: 494 (4, 9, 4; 13 — нет).

k = 8: 70 ∙ 8 = 560.
r = 1: 561 (5, 6, 1; 5 = 6 + 1? 7 — нет).
r = 2: 562 (5, 6, 2; 8 — нет).
r = 3: 563 (5, 6, 3; 9 — нет).
r = 4: 564 (5, 6, 4; 10 — нет).

k = 9: 70 ∙ 9 = 630.
r = 1: 631 (6, 3, 1; 6 = 3 + 1? 4 — нет).
r = 2: 632 (6, 3, 2; 5 — нет).
r = 3: 633 (6, 3, 3; 6 = 3 + 3 — подходит!).
r = 4: 634 (6, 3, 4; 7 — нет).

k = 10: 70 ∙ 10 = 700.
r = 1: 701 (7, 0, 1; 7 = 0 + 1? 1 — нет).
r = 2: 702 (7, 0, 2; 2 — нет).
r = 3: 703 (7, 0, 3; 3 — нет).
r = 4: 704 (7, 0, 4; 4 — нет).

k = 11: 70 ∙ 11 = 770.
r = 1: 771 (7, 7, 1; 7 = 7 + 1? 8 — нет).
r = 2: 772 (7, 7, 2; 9 — нет).
r = 3: 773 (7, 7, 3; 10 — нет).
r = 4: 774 (7, 7, 4; 11 — нет).

k = 12: 70 ∙ 12 = 840.
r = 1: 841 (8, 4, 1; 8 = 4 + 1? 5 — нет).
r = 2: 842 (8, 4, 2; 6 — нет).
r = 3: 843 (8, 4, 3; 7 — нет).
r = 4: 844 (8, 4, 4; 8 = 4 + 4 — подходит!).

k = 13: 70 ∙ 13 = 910.
r = 1: 911 (9, 1, 1; 9 = 1 + 1? 2 — нет).
r = 2: 912 (9, 1, 2; 3 — нет).
r = 3: 913 (9, 1, 3; 4 — нет).
r = 4: 914 (9, 1, 4; 5 — нет).

k = 14: 70 ∙ 14 = 980.
r = 1: 981 (9, 8, 1; 9 = 8 + 1 — подходит!).
r = 2: 982 (9, 8, 2; 10 — нет).
r = 3: 983 (9, 8, 3; 11 — нет).
r = 4: 984 (9, 8, 4; 12 — нет).

Дальше при k = 15: 70 ∙ 15 = 1050 — уже четырёхзначное, не подходит.

Итак, все подходящие числа:
422, 633, 844, 981.

В ответ можно записать любое из них.

• Число должно делиться на 2 (последняя цифра четная).
• Число должно делиться на 9 (сумма его цифр кратна девяти).

Шаги решения:

1. Определение четных цифр:

Четные цифры в числе 823439765: 2, 4, 6.

2. Вычисление суммы всех цифр:

Сумма: \(8 + 2 + 3 + 4 + 3 + 9 + 7 +6+5 =47\)

3. Проверка различных вариантов вычеркивания:

• Вариант: Вычеркнуть 8,4 и3. Оставшиеся: 234396. Сумма равна \(27\) (кратна девяти).
• Другие варианты:
• 824976
• 833976

Пусть искомое число ${abcd}↖{-}$, так как оно кратно $35$, то ${abcd}↖{-} ⋮ 5$ и ${abcd}↖{-} ⋮ 7$, причем $a≠b≠c≠d$, и $a,b,c,d$ нечетные.

Тогда по признаку делимости на $5$, $d=5$, значит $a, b, c ∈ {1;3;7;9}$. Общее количество возможных размещений $4·3·2=24$. Значит искомое число находится среди чисел

$1375; 1735; 3175; 3715; 7135; 7315$

$1395; 1935; 3195; 3915; 9135; 9315$

$1795; 1975; 7195; 7915; 9175; 9715$

$3795; 3975; 7395; 7935; 9375; 9735$

Так как искомое число кратно $7$, то это $7315; 9135$.

Пусть исходное число ${4ab}↖{-},$ тогда после перестановки получим ${ab4}↖{-},{ab4}↖{-}=0,75·{4ab}↖{-}$

$100a+10b+4={3}/{4}(400+10a+b)$

$400a+40b+16=1200+30a+3b$

$370a+37b=1184$

$(10a+b)·37=1184$

$10a+b=1184:37$

${ab}↖{-}=32$

исходное число $432$

Пусть данные числа а и b, тогда НОК $(a;b) = 360; a-b=66$ (в силу общности можно утверждать, что $a>b$),

тогда данные числа можно представить в виде, $a=dn; b=dk,$ где $d$ - их наибольший общий делитель;

$n$ и $k$ - взаимно простые натуральные числа. По условию, получаем систему:

$\{\table\d(n-k)=66;\ dnk=360;$

Из системы следует, что $66$ и $360$ делятся на $d$. Поскольку $66=2·3·11,$ а

$360=2·2·3·3·2·5,$ то получаем 4 возможные варианта: $d=1;d=2;d=3;d=6.$

$1)d=1,$ то $\{\table\n-k=66;\ nk=360;$ $\{\table\n=k+66\text";"\ k^2+66k-360=0;\ D_1=33^2+360=1449; \text"нет решений в натуральных числах";$

$2)d=2,$ то $\{\table\n-k=33;\ nk=180;$ $\{\table\k^2+33k-180=0;\ D=33^2+4·180=1809; \text"натуральных решений нет";$

$3)d=3,$ то $\{\table\n-k=22;\ nk=120;$ $\{\table\k^2+22k-120=0;\ D_1=121+120=241=1809; \text"натуральных решений нет";$

$4)d=6,$ то $\{\table\n-k=11;\ nk=60;$ $\{\table\n=15;\k=4;$

тогда $a=dn=6·15=90, b=dk=6·4=24$

$ab=90·24=2160$

Пусть искомые числа ${ab}↖{-}$ и ${cd}↖{-},$

${ab}↖{-}=10a+b$

${cd}↖{-}=10c+d$

${ab}↖{-}+{cd}↖{-}=10a+b+10c+d=10(a+c)+(b+d)$

$\{\table\10(a+c)+(b+d)=85; \a+b=c+d;$ $\table\85=80+5или; \85=70+15;$

Возможны два варианта:

1)$\{\table\a+c=8; \b+d=5; \a+b=c+d;$ или 2)$\{\table\a+c=7; \b+d=15; \a+b=c+d;$

$\{\table\a+b+c+d=13; \a+b=c+d;$ $\{\table\a+b+c+d=22; \a+b=c+d;$

$2(a+b)=13$ - нет решений в натуральных числах.

$2(a+b)=22; a+b=11;$

Тогда возможные варианты $(2;9)(3;8)(4;7)(5;6)$

Сделаем проверку

${ab}↖{-}=29,$ то ${cd}↖{-}=56$

${ab}↖{-}=92,$ то ${cd}↖{-}$ не натуральные.

${ab}↖{-}=38,$ то ${cd}↖{-}=47$

${ab}↖{-}=83,$ то ${cd}↖{-}$ не двузначное, не подходит.

${ab}↖{-}=47,$ то ${cd}↖{-}=38$

${ab}↖{-}=74,$ то ${cd}↖{-}$ не существует, т.к. $d=15-4=11$

${ab}↖{-}=56,$ то ${cd}↖{-}=29$

${ab}↖{-}=65,$ то ${cd}↖{-}$ не существует, т.к. $d=15-5=10$ - не цифра.

Значит искомые пары чисел $(29;56)(38;47)$

Подходящие числа — 25, 27, 35, 52, 53, 57.

Пусть a и b два искомых натуральных числа; в силу общности к числу b припишем справа 0, волучим ${b0}↖{-}$. Тогда система имеет вид:

$\{\table\a+b=2411;\a+10b=6641;$

${b0}↖{-}=b·10+0=10b$

$9b=4230$

$b=4230:9$

$b=470$

$a=2411-470=1941; 1941 > 470$

Пусть ${ab}↖{-}$ - искомое число; $2ab={ab}↖{-}$

$2ab=10a+b$

$2a(b-5)=b,$ значит $\{\table\b > 5; \b-четное;$

Значит b может принимать значение $b=6$ или $b=8$

С другой стороны $b(2a-1)=10a$

$a={b(2a-1)}/{10}$

т.к.b четное, b - цифра, то $b⋮2$ тогда $(2a-1)⋮5,$

значит $2a-1=5k, k∈N$

$2a=5k+1$

$a={5k+1}/{2}$

т.к. $a∈N,$ то возможные $k_1=1,$ то $a_1=3$

$k_2=3,$ то $a_2=8$

Значит возможное ${ab}↖{-}=${36;38;86;88}

Проверим, чтобы выполнялось условие ${ab}↖{-}=2ab$

для числа $36:36=2·3·6$

$36=36$ подходит

для числа $38:38=2·3·8$

$38≠48$ не подходит

для числа $86:86=2·8·6$

$86≠96$ не подходит

для числа $88:88=2·8·8$

$88≠128$ не подходит

Пусть ${ab}↖{-}$ - данное число, тогда ${ba}↖{-}$ - полученное число; ${ab}↖{-}-{ba}↖{-}=A^2;$ где $A^2$ - квадрат натурального числа.

$10a+b-10b-a=A^2$

$9a-9b=A^2$

$9(a-b)=A^2$

$a-b={A^2}/{9}$

$a-b=({A}/{3})^2$

Возможные варианты $A=3$ или $A=6$. Если $A=3,$ то $a-b=({3}/{3})^2=1; a=b+1,$

тогда ${ab}↖{-}=${21;32;43;54;65;76;87;98}$=8$.

Если $A=6,$ то $a-b=({6}/{3})^2=4; a=b+4,$

тогда ${ab}↖{-}=${51;62;73;84;95}$=5$.

Всего $8+5=13$ чисел.

$8n^2-3n+1$