1. Определим диапазон чисел: Мы ищем числа от 4501 до 4849.

2. Проверим каждое число в диапазоне:

- Начнем с 4501 и будем проверять каждое число до 4849.

Подходящее число:

Число, которое удовлетворяет всем условиям задачи: 4632.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид ${abc}$, где $a, b, c$ — его цифры.

По условию задачи:

1. Число кратно 8, то есть число, образованное последними тремя цифрами с учётом разряда сотен, делится на 8.
2. Сумма цифр вдвое меньше их произведения: $$2(a + b + c) = a • b • c$$

Шаг 1: Анализ уравнения. Так как произведение цифр должно быть целым числом, а левая часть $2(a+b+c)$ — чётное число, правая часть $a • b • c$ также должна быть чётной. Следовательно, среди цифр $a, b, c$ хотя бы одна должна быть чётной.

Шаг 2: Подбор цифр. Уравнение $a • b • c = 2(a+b+c)$ является довольно ограничивающим. Произведение трёх цифр (максимум $9•9•9=729$) должно быть равно всего лишь удвоенной их сумме (максимум $2•27=54$). Это означает, что цифры не могут быть все большими. Если бы все три цифры были $>4$, то произведение было бы $>64$, что уже больше 54. Значит, среди цифр обязательно есть маленькие (1, 2 или 3).

Шаг 3: Рассмотрим вариант с единицей. Пусть $a=1$. Тогда уравнение принимает вид: $$1 • b • c = 2(1+b+c)$$ $$bc = 2 + 2b + 2c$$ $$bc - 2b - 2c = 2$$ Добавим 4 к обеим частям для разложения на множители (метод группировки): $$bc - 2b - 2c + 4 = 6$$ $$(b-2)(c-2) = 6$$ Теперь ищем целые неотрицательные пары $(b-2)$ и $(c-2)$, произведение которых равно 6. Учитываем, что $b$ и $c$ — цифры ($0..9$).

• $b-2 = 1,\; c-2 = 6$ → $b=3,\; c=8$. Число: 138.
• $b-2 = 2,\; c-2 = 3$ → $b=4,\; c=5$. Число: 145.
• $b-2 = 3,\; c-2 = 2$ → $b=5,\; c=4$. Число: 154.
• $b-2 = 6,\; c-2 = 1$ → $b=8,\; c=3$. Число: 183.
• Также возможны отрицательные варианты, но они дадут $b$ или $c$ меньше 0 (например, $-1$ и $-6$), что не подходит.

Шаг 4: Проверка условия кратности 8. Нас просят найти любое такое число. Проверим число 138.

• Проверка условия: $1+3+8 = 12$, произведение $1•3•8 = 24$. Удвоенная сумма $2•12 = 24$ равна произведению. Условие выполнено.
• Проверка кратности 8: $138 / 8 = 17,25$ (или $8•17=136$, остаток 2). Число 138 не делится на 8 нацело. Не подходит.

Проверим число 184 (которое мы не получили при $a=1$, но получим позже). Пока проверим следующее из списка — 145.

• $145$: $1+4+5=10$, произведение $20$, $2•10=20$. Условие верно.
• $145 / 8 = 18,125$ (остаток 1). Не подходит.

154:

• $1+5+4=10$, произведение $20$. Условие верно.
• $154 / 8 = 19,25$ (остаток 2). Не подходит.

183:

• $1+8+3=12$, произведение $24$, $2•12=24$. Условие верно.
• $183 / 8 = 22,875$ (остаток 7). Не подходит.

Ни одно из чисел, начинающихся на 1, не подошло.

Шаг 5: Рассмотрим вариант с $a=2$. Уравнение: $$2 • b • c = 2(2+b+c)$$ $$2bc = 4 + 2b + 2c$$ Разделим на 2: $$bc = 2 + b + c$$ $$bc - b - c = 2$$ $$bc - b - c + 1 = 3$$ $$(b-1)(c-1) = 3$$ Ищем пары цифр:

• $b-1 = 1,\; c-1 = 3$ → $b=2,\; c=4$. Число: 224.
• $b-1 = 3,\; c-1 = 1$ → $b=4,\; c=2$. Число: 242.

Проверка:

• 224: сумма $2+2+4=8$, произведение $16$, $2•8=16$. Условие выполнено. Проверка кратности 8: $224 / 8 = 28$. Подходит!
• 242: сумма $2+4+2=8$, произведение $16$, $2•8=16$. Условие выполнено. Проверка кратности 8: $242 / 8 = 30,25$ (остаток 2). Не подходит.

Итак, число 224 удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: 224

Решение

Пусть исходное число: 1000a + 100b + 10c + d, где a, b, c, d — цифры, a ≠ 0.

Число кратно 5 ⇒ последняя цифра d = 0 или d = 5.
Если d = 0, то при обратном порядке получим число, начинающееся с 0 (т.е. трёхзначное), а по условию второе число тоже четырёхзначное. Значит, d = 5.

Число в обратном порядке: 1000·d + 100·c + 10·b + a = 1000·5 + 100c + 10b + a = 5000 + 100c + 10b + a.

Вычитаем первое из второго:

(5000 + 100c + 10b + a) − (1000a + 100b + 10c + 5) = 3546.

Раскрываем скобки:

5000 + 100c + 10b + a − 1000a − 100b − 10c − 5 = 3546.

Группируем:

(5000 − 5) + (100c − 10c) + (10b − 100b) + (a − 1000a) = 3546.

4995 + 90c − 90b − 999a = 3546.

Переносим 4995:

90c − 90b − 999a = 3546 − 4995 = −1449.

Умножаем на −1:

−90c + 90b + 999a = 1449.

Делим всё на 9 (коэффициенты делятся нацело):

−10c + 10b + 111a = 161.

Переставляем слагаемые:

111a + 10·(b − c) = 161.

a — цифра от 1 до 9. Перебираем:

• a = 1: 111·1 = 111 ⇒ 10·(b − c) = 161 − 111 = 50 ⇒ b − c = 5.
• a ≥ 2: 111·2 = 222 > 161 ⇒ не подходит.

Итак, a = 1, b − c = 5. Цифры: b от 0 до 9, c от 0 до 9, и b = c + 5.

Возможные пары (b, c):

• c = 0 ⇒ b = 5
• c = 1 ⇒ b = 6
• c = 2 ⇒ b = 7
• c = 3 ⇒ b = 8
• c = 4 ⇒ b = 9

c = 5 дало бы b = 10 (не цифра), поэтому дальше не идём.

Вспоминаем, что d = 5, a = 1. Исходное число: 1000·1 + 100·b + 10·c + 5 = 1 b c 5.

Подставляем пары (b, c):

• (5, 0) → 1505
• (6, 1) → 1615
• (7, 2) → 1725
• (8, 3) → 1835
• (9, 4) → 1945

Все эти числа подходят. Проверим одно из них, например 1505:

• Кратно 5? 1505 оканчивается на 5 → да.
• Обратный порядок: 5051 (четырехзначное).
• Разность: 5051 − 1505 = 3546. Верно.

Ответ: 1505 (или 1615, 1725, 1835, 1945 — любое из них).

Обозначим искомое число ${abcd}↖{-}$, т.к. ${abcd}↖{-}⋮44$, то ${abcd}↖{-}⋮4$ и ${abcd}↖{-}⋮11$. Так как все цифры различные и четные, то общее колличество таких чисел $5·4·3·2=120$; но учитывая признак делимости на $4$, число, образованное двумя последними цифрами должно делиться на $4$, это $04; 08; 24; 28; 48; 64; 68; 84; 40; 80; 20; 60$

Значит возможные число

$2604; 2804; 6804; 6204; 8204; 8604$

$2408; 2608; 4608; 4208; 6208; 6408$

$6024; 8024; 6824; 8624$

$4028; 6028; 4628; 6428$

$2048; 6048; 2648; 6248$

$2064; 8064; 2864; 8264$

$2068; 4068; 2468; 4268$

$2084; 6084; 2684; 6284$

$2640; 2840; 6840; 6240; 8240; 8640$

$2480; 2680; 4680; 4280; 6280; 6480$

$4620; 4820; 6820; 6420; 8420; 8620$

$2460; 2860; 4860; 4260; 8260; 8460$.

Используя признак делимости на $11$, разность суммы чисел, стоящих на четных местах, и суммы чисел, стоящих на нечетных местах, должна делится на $11$, а так как все числа четные, то единственно возможно для четырехзначного числа эта ситуация, когда $a+c=b+d$

Учитывая это, искомые числа будут: $6204; 8624; 6028; 6248; 2068; 4268; 2684; 2640; 4620; 6820; 2860$.

Пусть N — трёхзначное число, большее 400.

При делении на 5 и на 14 получаются одинаковые ненулевые остатки. Это значит, что число N можно записать так:
$N = 5a + r = 14b + r$, где r — остаток, причём r может быть равен 1, 2, 3 или 4 (так как при делении на 5 остаток меньше 5 и не равен 0).

Тогда N − r делится и на 5, и на 14. Значит, N − r делится на их наименьшее общее кратное. НОК(5, 14) = 70. Поэтому:
$N - r = 70k$, где k — натуральное число.
Значит, $N = 70k + r$, где r = 1, 2, 3, 4.

Теперь условие про цифры. Пусть $N = \overline{abc}$, где a — сотни, b — десятки, c — единицы. По условию $a = b + c$, и a ≥ 4 (так как число больше 400).

Будем подбирать k так, чтобы число 70k + r было трёхзначным, больше 400, и выполнялось условие a = b + c.

Возможные значения k: от 6 и выше, потому что при k = 6: 70 ∙ 6 = 420, и с остатком получаем 421, 422, 423, 424 — это уже больше 400.

Проверим все подходящие варианты:

k = 6:
r = 1: N = 421 (цифры: 4, 2, 1; 4 = 2 + 1 — подходит, но по условию его нужно убрать).
r = 2: N = 422 (4, 2, 2; 4 = 2 + 2 — подходит).
r = 3: N = 423 (4, 2, 3; 4 = 2 + 3? 2 + 3 = 5, не равно 4 — нет).
r = 4: N = 424 (4, 2, 4; 4 = 2 + 4? 2 + 4 = 6 — нет).

k = 7: 70 ∙ 7 = 490.
r = 1: 491 (4, 9, 1; 4 = 9 + 1? 10 — нет).
r = 2: 492 (4, 9, 2; 11 — нет).
r = 3: 493 (4, 9, 3; 12 — нет).
r = 4: 494 (4, 9, 4; 13 — нет).

k = 8: 70 ∙ 8 = 560.
r = 1: 561 (5, 6, 1; 5 = 6 + 1? 7 — нет).
r = 2: 562 (5, 6, 2; 8 — нет).
r = 3: 563 (5, 6, 3; 9 — нет).
r = 4: 564 (5, 6, 4; 10 — нет).

k = 9: 70 ∙ 9 = 630.
r = 1: 631 (6, 3, 1; 6 = 3 + 1? 4 — нет).
r = 2: 632 (6, 3, 2; 5 — нет).
r = 3: 633 (6, 3, 3; 6 = 3 + 3 — подходит!).
r = 4: 634 (6, 3, 4; 7 — нет).

k = 10: 70 ∙ 10 = 700.
r = 1: 701 (7, 0, 1; 7 = 0 + 1? 1 — нет).
r = 2: 702 (7, 0, 2; 2 — нет).
r = 3: 703 (7, 0, 3; 3 — нет).
r = 4: 704 (7, 0, 4; 4 — нет).

k = 11: 70 ∙ 11 = 770.
r = 1: 771 (7, 7, 1; 7 = 7 + 1? 8 — нет).
r = 2: 772 (7, 7, 2; 9 — нет).
r = 3: 773 (7, 7, 3; 10 — нет).
r = 4: 774 (7, 7, 4; 11 — нет).

k = 12: 70 ∙ 12 = 840.
r = 1: 841 (8, 4, 1; 8 = 4 + 1? 5 — нет).
r = 2: 842 (8, 4, 2; 6 — нет).
r = 3: 843 (8, 4, 3; 7 — нет).
r = 4: 844 (8, 4, 4; 8 = 4 + 4 — подходит!).

k = 13: 70 ∙ 13 = 910.
r = 1: 911 (9, 1, 1; 9 = 1 + 1? 2 — нет).
r = 2: 912 (9, 1, 2; 3 — нет).
r = 3: 913 (9, 1, 3; 4 — нет).
r = 4: 914 (9, 1, 4; 5 — нет).

k = 14: 70 ∙ 14 = 980.
r = 1: 981 (9, 8, 1; 9 = 8 + 1 — подходит!).
r = 2: 982 (9, 8, 2; 10 — нет).
r = 3: 983 (9, 8, 3; 11 — нет).
r = 4: 984 (9, 8, 4; 12 — нет).

Дальше при k = 15: 70 ∙ 15 = 1050 — уже четырёхзначное, не подходит.

Итак, все подходящие числа:
422, 633, 844, 981.

В ответ можно записать любое из них.

• Число должно делиться на 2 (последняя цифра четная).
• Число должно делиться на 9 (сумма его цифр кратна девяти).

Шаги решения:

1. Определение четных цифр:

Четные цифры в числе 823439765: 2, 4, 6.

2. Вычисление суммы всех цифр:

Сумма: \(8 + 2 + 3 + 4 + 3 + 9 + 7 +6+5 =47\)

3. Проверка различных вариантов вычеркивания:

• Вариант: Вычеркнуть 8,4 и3. Оставшиеся: 234396. Сумма равна \(27\) (кратна девяти).
• Другие варианты:
• 824976
• 833976

Пусть искомое число ${abc}↖{-}$, так как ${abc}↖{-}⋮80$, то ${abc}↖{-}⋮10$, тогда $c=0$, значит число ${ab0}↖{-}$. Кроме того $a≠b≠c$, $(a^2+b^2)⋮9$, но $(a^2+b^2) не ⋮81$.

Так как количество чисел ограничено, воспользуемся методом перебора. Искомое число находится среди чисел(учитывая, что все цифры разные):

$160: 1^2+6^2=1+36=37; 37⋮9$ (не подходит)

$240: 2^2+4^2=4+16=20; 20⋮9$ (не подходит)

$320: 3^2+2^2=9+4=13; 13⋮9$ (не подходит)

$480: 4^2+8^2=16+64=80; 80⋮9$ (не подходит)

$560: 5^2+6^2=25+36=61; 61⋮9$ (не подходит)

$640: 6^2+4^2=36+16=52; 52⋮9$ (не подходит)

$720: 7^2+2^2=49=4=53; 53⋮9$ (не подходит)

$960: 9^2+6^2=81+36=117; 117⋮9; 117⋮81$ (подходит)

Пусть искомое число ${abc}↖{-}, {abc}↖{-}⋮65$, значит ${abc}↖{-}⋮13, {abc}↖{-}⋮5, a≠b≠c$

$(a^2+b^2+c^2)⋮5

$(a^2+b^2+c^2)⋮25

Так как определенных свойств в задании нет, то воспользуемся методом перебора. Искомое число находится среди чисел:

$130$ - $1^2+3^2+0^2=10; 10⋮5$

$195$ - $1^2+9^2+5^2=107; 107⋮5$

$260$ - $2^2+6^2+0^2=4+36=40; 40⋮5$ (подходит)

$325$ - $3^2+2^2+5^2=9+4+25+38; 38⋮5$ (не подходит)

$390$ - $3^2+9^2+0^2=9+81=90; 90⋮5$ (подходит)

$455$ - $5=5$ (не подходит)

$520$ - $5^2+2^2+0^2=25+4=29; 29⋮5$ (не подходит)

$585$ - $5=5$ (не подходит)

$650$ - $6^2+5^2+0^2=36+35=61; 61⋮5$ (не подходит)

$715$ - $7^2+1^2+5^2=49+1+25=75; 75⋮25$ (не подходит)

$780$ - $7^2+8^2+0^2=49+64=113; 113⋮5$ (не подходит)

$845$ - $8^2+4^2+5^2=64+16+25=105; 105⋮5$ (подходит)

$910$ - $9^2+1^2+0^2=81+1=82; 82⋮5$ (не подходит)

$975$ - $9^2+7^2+5^2=81+49+25=155; 155⋮5$ (подходит)

Пусть искомое число ${abc}↖{-}$, причем ${abc}↖{-} ⋮ 80$, тогда ${abc}↖{-} ⋮ 10$, значит $с=0$, т.к. ${abc}↖{-} ⋮ 4$, то $b∈${$2;4;6;8$}.

По условию $(a^2+b^2+c^2)⋮5$, но $(a^2+b^2+c^2) ⋮ 25$, значит $(a^2+b^2)⋮5$, но $(a^2+b^2) ⋮ 25$

при $b=2$, $t∈N$

$a^2+2^2=5t$

$a^2=5t-4$

$t=1$, то $а=1$, число $120 ⋮ 80$

$t=2; 3$ - не подходят

$t=4$, то $a=4$, число $420 ⋮ 80$

$t=5, 6, 7$ - не подходят

$t=8$, то $a=6$, число $620 ⋮ 80$

$t=9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ - не подходят

$t=17$, то $a=9$, число $920 ⋮ 80$

при $b=4$, $t∈N$

$a^2+4^2=5t$,

$a^2=5t-16$

$t=4$, то $a=2$, число $240 ⋮ 80$

$t=5$, то $a=3$, число $340 ⋮ 80$

$t=13$, то $a=7$, число $740 ⋮ 80$

$t=16$, то $a=8$, число $840 ⋮ 80$

при $b=6$, $t∈N$

$a^2+6^2=5t$,

$a^2=5t-36$

$t=8$, то $a=2$, число $260 ⋮ 80$

$t=9$, то $a=3$, число $360 ⋮ 80$

$t=20$, то $a=8$, число $860 ⋮ 80$

при $b=6$, $t∈N$

$a^2+8^2=5t$,

$a^2=5t-64$

$t=13$, то $a=1$, число $180 ⋮ 80$

$t=16$, то $a=4$, число $480 ⋮ 80$

$t=20$, то $a=6$, число $680 ⋮ 80$

$t=29$, то $a=9$, число $980 ⋮ 80$

Пусть искомое число ${abcd}↖{-}$, так как оно кратно $35$, то ${abcd}↖{-} ⋮ 5$ и ${abcd}↖{-} ⋮ 7$, причем $a≠b≠c≠d$, и $a,b,c,d$ нечетные.

Тогда по признаку делимости на $5$, $d=5$, значит $a, b, c ∈ {1;3;7;9}$. Общее количество возможных размещений $4·3·2=24$. Значит искомое число находится среди чисел

$1375; 1735; 3175; 3715; 7135; 7315$

$1395; 1935; 3195; 3915; 9135; 9315$

$1795; 1975; 7195; 7915; 9175; 9715$

$3795; 3975; 7395; 7935; 9375; 9735$

Так как искомое число кратно $7$, то это $7315; 9135$.

Пусть искомые числа ${ab}↖{-}$ и ${cd}↖{-},$

${ab}↖{-}=10a+b$

${cd}↖{-}=10c+d$

${ab}↖{-}+{cd}↖{-}=10a+b+10c+d=10(a+c)+(b+d)$

$\{\table\10(a+c)+(b+d)=85; \a+b=c+d;$ $\table\85=80+5или; \85=70+15;$

Возможны два варианта:

1)$\{\table\a+c=8; \b+d=5; \a+b=c+d;$ или 2)$\{\table\a+c=7; \b+d=15; \a+b=c+d;$

$\{\table\a+b+c+d=13; \a+b=c+d;$ $\{\table\a+b+c+d=22; \a+b=c+d;$

$2(a+b)=13$ - нет решений в натуральных числах.

$2(a+b)=22; a+b=11;$

Тогда возможные варианты $(2;9)(3;8)(4;7)(5;6)$

Сделаем проверку

${ab}↖{-}=29,$ то ${cd}↖{-}=56$

${ab}↖{-}=92,$ то ${cd}↖{-}$ не натуральные.

${ab}↖{-}=38,$ то ${cd}↖{-}=47$

${ab}↖{-}=83,$ то ${cd}↖{-}$ не двузначное, не подходит.

${ab}↖{-}=47,$ то ${cd}↖{-}=38$

${ab}↖{-}=74,$ то ${cd}↖{-}$ не существует, т.к. $d=15-4=11$

${ab}↖{-}=56,$ то ${cd}↖{-}=29$

${ab}↖{-}=65,$ то ${cd}↖{-}$ не существует, т.к. $d=15-5=10$ - не цифра.

Значит искомые пары чисел $(29;56)(38;47)$

Пусть данные числа а и b, тогда НОК $(a;b) = 360; a-b=66$ (в силу общности можно утверждать, что $a>b$),

тогда данные числа можно представить в виде, $a=dn; b=dk,$ где $d$ - их наибольший общий делитель;

$n$ и $k$ - взаимно простые натуральные числа. По условию, получаем систему:

$\{\table\d(n-k)=66;\ dnk=360;$

Из системы следует, что $66$ и $360$ делятся на $d$. Поскольку $66=2·3·11,$ а

$360=2·2·3·3·2·5,$ то получаем 4 возможные варианта: $d=1;d=2;d=3;d=6.$

$1)d=1,$ то $\{\table\n-k=66;\ nk=360;$ $\{\table\n=k+66\text";"\ k^2+66k-360=0;\ D_1=33^2+360=1449; \text"нет решений в натуральных числах";$

$2)d=2,$ то $\{\table\n-k=33;\ nk=180;$ $\{\table\k^2+33k-180=0;\ D=33^2+4·180=1809; \text"натуральных решений нет";$

$3)d=3,$ то $\{\table\n-k=22;\ nk=120;$ $\{\table\k^2+22k-120=0;\ D_1=121+120=241=1809; \text"натуральных решений нет";$

$4)d=6,$ то $\{\table\n-k=11;\ nk=60;$ $\{\table\n=15;\k=4;$

тогда $a=dn=6·15=90, b=dk=6·4=24$

$ab=90·24=2160$

Пусть ${ab}↖{-}$ - данное число, тогда ${ba}↖{-}$ - полученное число; ${ab}↖{-}-{ba}↖{-}=A^2;$ где $A^2$ - квадрат натурального числа.

$10a+b-10b-a=A^2$

$9a-9b=A^2$

$9(a-b)=A^2$

$a-b={A^2}/{9}$

$a-b=({A}/{3})^2$

Возможные варианты $A=3$ или $A=6$. Если $A=3,$ то $a-b=({3}/{3})^2=1; a=b+1,$

тогда ${ab}↖{-}=${21;32;43;54;65;76;87;98}$=8$.

Если $A=6,$ то $a-b=({6}/{3})^2=4; a=b+4,$

тогда ${ab}↖{-}=${51;62;73;84;95}$=5$.

Всего $8+5=13$ чисел.

Пусть $A={abc}↖{-}=100a+10b+c,$ причем $b=ac; {cba}↖{-}-{abc}↖{-}=99$

$100c+10b+a-100a-10b-c=99$

$99c-99a=99$

$c-a=1$

$c=a+1$

$1)a=1; c=2; b=1·2=2,$ то $A=122$

$2)a=2; c=3; b=2·3=6,$ то $A=263$

$3)a=3;c=4;b=3·4=12$ - это не цифра, значит, не подходит;

при увеличении "а", "с" увеличивается и "b" увеличивается, значит "b" не цифра, значит, не подходит.

Подходящие числа — 25, 27, 35, 52, 53, 57.