Пусть искомое число ${abc}↖{-}$, причем ${abc}↖{-} ⋮ 80$, тогда ${abc}↖{-} ⋮ 10$, значит $с=0$, т.к. ${abc}↖{-} ⋮ 4$, то $b∈${$2;4;6;8$}.

По условию $(a^2+b^2+c^2)⋮5$, но $(a^2+b^2+c^2) ⋮ 25$, значит $(a^2+b^2)⋮5$, но $(a^2+b^2) ⋮ 25$

при $b=2$, $t∈N$

$a^2+2^2=5t$

$a^2=5t-4$

$t=1$, то $а=1$, число $120 ⋮ 80$

$t=2; 3$ - не подходят

$t=4$, то $a=4$, число $420 ⋮ 80$

$t=5, 6, 7$ - не подходят

$t=8$, то $a=6$, число $620 ⋮ 80$

$t=9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ - не подходят

$t=17$, то $a=9$, число $920 ⋮ 80$

при $b=4$, $t∈N$

$a^2+4^2=5t$,

$a^2=5t-16$

$t=4$, то $a=2$, число $240 ⋮ 80$

$t=5$, то $a=3$, число $340 ⋮ 80$

$t=13$, то $a=7$, число $740 ⋮ 80$

$t=16$, то $a=8$, число $840 ⋮ 80$

при $b=6$, $t∈N$

$a^2+6^2=5t$,

$a^2=5t-36$

$t=8$, то $a=2$, число $260 ⋮ 80$

$t=9$, то $a=3$, число $360 ⋮ 80$

$t=20$, то $a=8$, число $860 ⋮ 80$

при $b=6$, $t∈N$

$a^2+8^2=5t$,

$a^2=5t-64$

$t=13$, то $a=1$, число $180 ⋮ 80$

$t=16$, то $a=4$, число $480 ⋮ 80$

$t=20$, то $a=6$, число $680 ⋮ 80$

$t=29$, то $a=9$, число $980 ⋮ 80$

Для того чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9. Рассмотрим оба условия:

1. Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.

2. Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число 212729263. Сначала найдём сумму его цифр:

$$2 + 1 + 2 + 7 + 2 + 9 + 2 + 6 + 3 = 34$$

Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр после вычёркивания 3 цифр должна стать кратной 9.

Теперь попробуем вычеркнуть 3 цифры так, чтобы оставшееся число делилось на 2 и на 9.

Попробуем вычеркнуть цифры 7, 9 и 2. Оставшееся число будет 217926.

Проверим:

1. Последняя цифра числа 217926 — 6, а это чётное число, значит оно делится на 2.

2. Сумма цифр числа 217926: $$2 + 1 + 7 + 9 + 2 + 6 = 27.$$ Это делится на 9, значит число делится на 9.

Таким образом, полученное число 217926 делится на 18.

Ответ: 217926.

Пусть искомое число ${abcd}↖{-}$, так как оно кратно $35$, то ${abcd}↖{-} ⋮ 5$ и ${abcd}↖{-} ⋮ 7$, причем $a≠b≠c≠d$, и $a,b,c,d$ нечетные.

Тогда по признаку делимости на $5$, $d=5$, значит $a, b, c ∈ {1;3;7;9}$. Общее количество возможных размещений $4·3·2=24$. Значит искомое число находится среди чисел

$1375; 1735; 3175; 3715; 7135; 7315$

$1395; 1935; 3195; 3915; 9135; 9315$

$1795; 1975; 7195; 7915; 9175; 9715$

$3795; 3975; 7395; 7935; 9375; 9735$

Так как искомое число кратно $7$, то это $7315; 9135$.

1. Кратность: Число должно быть кратно и 3, и 11.
2. Произведение: Цифры должны давать произведение 25.
3. Возможные комбинации: (1,1,5,5).
4. Четырёхзначные числа: Возможные числа: 1155, 1515, 1551, 5115, 5151, 5511.
5. Проверка на кратность:
• 1155: Кратно 33.
• 1551: Кратно 33.
• 5115: Кратно 33.
• 5511: Кратно 33.

Ответ:

1155

• Число должно делиться на 2 (последняя цифра четная).
• Число должно делиться на 9 (сумма его цифр кратна девяти).

Шаги решения:

1. Определение четных цифр:

Четные цифры в числе 823439765: 2, 4, 6.

2. Вычисление суммы всех цифр:

Сумма: \(8 + 2 + 3 + 4 + 3 + 9 + 7 +6+5 =47\)

3. Проверка различных вариантов вычеркивания:

• Вариант: Вычеркнуть 8,4 и3. Оставшиеся: 234396. Сумма равна \(27\) (кратна девяти).
• Другие варианты:
• 824976
• 833976

Подходящие числа — 25, 27, 35, 52, 53, 57.

Пусть данные числа а и b, тогда НОК $(a;b) = 360; a-b=66$ (в силу общности можно утверждать, что $a>b$),

тогда данные числа можно представить в виде, $a=dn; b=dk,$ где $d$ - их наибольший общий делитель;

$n$ и $k$ - взаимно простые натуральные числа. По условию, получаем систему:

$\{\table\d(n-k)=66;\ dnk=360;$

Из системы следует, что $66$ и $360$ делятся на $d$. Поскольку $66=2·3·11,$ а

$360=2·2·3·3·2·5,$ то получаем 4 возможные варианта: $d=1;d=2;d=3;d=6.$

$1)d=1,$ то $\{\table\n-k=66;\ nk=360;$ $\{\table\n=k+66\text";"\ k^2+66k-360=0;\ D_1=33^2+360=1449; \text"нет решений в натуральных числах";$

$2)d=2,$ то $\{\table\n-k=33;\ nk=180;$ $\{\table\k^2+33k-180=0;\ D=33^2+4·180=1809; \text"натуральных решений нет";$

$3)d=3,$ то $\{\table\n-k=22;\ nk=120;$ $\{\table\k^2+22k-120=0;\ D_1=121+120=241=1809; \text"натуральных решений нет";$

$4)d=6,$ то $\{\table\n-k=11;\ nk=60;$ $\{\table\n=15;\k=4;$

тогда $a=dn=6·15=90, b=dk=6·4=24$

$ab=90·24=2160$

Пусть ${ab}↖{-}$ - данное число, тогда ${ba}↖{-}$ - полученное число; ${ab}↖{-}-{ba}↖{-}=A^2;$ где $A^2$ - квадрат натурального числа.

$10a+b-10b-a=A^2$

$9a-9b=A^2$

$9(a-b)=A^2$

$a-b={A^2}/{9}$

$a-b=({A}/{3})^2$

Возможные варианты $A=3$ или $A=6$. Если $A=3,$ то $a-b=({3}/{3})^2=1; a=b+1,$

тогда ${ab}↖{-}=${21;32;43;54;65;76;87;98}$=8$.

Если $A=6,$ то $a-b=({6}/{3})^2=4; a=b+4,$

тогда ${ab}↖{-}=${51;62;73;84;95}$=5$.

Всего $8+5=13$ чисел.

$8n^2-3n+1$

Пусть a и b два искомых натуральных числа; в силу общности к числу b припишем справа 0, волучим ${b0}↖{-}$. Тогда система имеет вид:

$\{\table\a+b=2411;\a+10b=6641;$

${b0}↖{-}=b·10+0=10b$

$9b=4230$

$b=4230:9$

$b=470$

$a=2411-470=1941; 1941 > 470$

Пусть ${ab}↖{-}$ - искомое число; $2ab={ab}↖{-}$

$2ab=10a+b$

$2a(b-5)=b,$ значит $\{\table\b > 5; \b-четное;$

Значит b может принимать значение $b=6$ или $b=8$

С другой стороны $b(2a-1)=10a$

$a={b(2a-1)}/{10}$

т.к.b четное, b - цифра, то $b⋮2$ тогда $(2a-1)⋮5,$

значит $2a-1=5k, k∈N$

$2a=5k+1$

$a={5k+1}/{2}$

т.к. $a∈N,$ то возможные $k_1=1,$ то $a_1=3$

$k_2=3,$ то $a_2=8$

Значит возможное ${ab}↖{-}=${36;38;86;88}

Проверим, чтобы выполнялось условие ${ab}↖{-}=2ab$

для числа $36:36=2·3·6$

$36=36$ подходит

для числа $38:38=2·3·8$

$38≠48$ не подходит

для числа $86:86=2·8·6$

$86≠96$ не подходит

для числа $88:88=2·8·8$

$88≠128$ не подходит

Пусть $A={abc}↖{-}=100a+10b+c,$ причем $b=ac; {cba}↖{-}-{abc}↖{-}=99$

$100c+10b+a-100a-10b-c=99$

$99c-99a=99$

$c-a=1$

$c=a+1$

$1)a=1; c=2; b=1·2=2,$ то $A=122$

$2)a=2; c=3; b=2·3=6,$ то $A=263$

$3)a=3;c=4;b=3·4=12$ - это не цифра, значит, не подходит;

при увеличении "а", "с" увеличивается и "b" увеличивается, значит "b" не цифра, значит, не подходит.

${ab}↖{-}=7·b$

$10a+b=7b$

$10a=6b$

$5a=3b,$ т.к. НОД(5;3)=1, то $a⋮3, b⋮5$

т.к. b цифра и $b⋮5,$ то $b=5,$ тогда

${ab}↖{-}=7·5=35$

Будем составлять данное десятизначное число с конца:

$4692346851$

Первая цифра $4$

Пусть исходное число ${4ab}↖{-},$ тогда после перестановки получим ${ab4}↖{-},{ab4}↖{-}=0,75·{4ab}↖{-}$

$100a+10b+4={3}/{4}(400+10a+b)$

$400a+40b+16=1200+30a+3b$

$370a+37b=1184$

$(10a+b)·37=1184$

$10a+b=1184:37$

${ab}↖{-}=32$

исходное число $432$