Задание 18. Неравенства. Координатная прямая. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 32.5%
Алгоритм решения задания 18:
- Определить вид неравенства и используемые в нём выражения.
- Привести неравенство к виду, удобному для анализа.
- Выделить точки, в которых выражение обращается в ноль или не определено.
- Разбить числовую прямую на промежутки по найденным точкам.
- Определить, на каких промежутках выполняется неравенство.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите неравенство и выберите правильный вариант ответа:
$\log_{{1}/{2}}(2x+7) > -3$
Варианты ответа:
1) $x ∈ (-3.5; 0.5)$
2) $x ∈ (-∞; 0.5)$
3) $x ∈ (-3.5; +∞)$
4) $x ∈ (0.5; 4.5)$
Решение
Шаг 1. Нахождение ОДЗ
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
$2x+7>0$
$2x>-7$
$x>-3.5$
Шаг 2. Преобразование правой части
Представим число $-3$ в виде логарифма по основанию $1/2$:
$-3=\log_{1/2}(1/2)^{-3}$
Получаем неравенство:
$\log_{1/2}(2x+7) > \log_{1/2}(1/2)^{-3}$
Шаг 3. Решение основного неравенства
Внимание: так как основание логарифма $1/2<1$, функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный ($>$ меняется на $<$):
$2x+7 < (1/2)^{-3}$
Вычислим правую часть: $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$
$2x+7 < 8$
$2x < 1$
$x < 0.5$
Шаг 4. Учёт ОДЗ и выбор ответа
Учитываем ОДЗ $x>-3.5$ и решение $x < 0.5$:
Получаем промежуток: $-3.5 < x < 0.5$, то есть $x ∈ (-3.5; 0.5)$.
Это соответствует варианту под номером 1.
Ответ: 1
Задача 2
Решите неравенство и выберите правильный вариант ответа:
$\log_{25}(3x-2) ≤ 1$
Варианты ответа:
1) $x ∈ (-∞; 9]$
2) $x ∈ (2/3; 9]$
3) $x ∈ (2/3; 27]$
4) $x ∈ [9; +∞)$
Решение
Шаг 1. Нахождение ОДЗ
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
$3x-2>0$
$3x>2$
$x>2/3$
Шаг 2. Преобразование правой части
Представим число $1$ в виде логарифма по основанию $25$:
$1=\log_{25}25^1$
Неравенство принимает вид:
$\log_{25}(3x-2) ≤ \log_{25}25$
Шаг 3. Решение основного неравенства
Так как основание логарифма $25>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:
$3x-2 ≤ 25$
$3x ≤ 27$
$x ≤ 9$
Шаг 4. Учёт ОДЗ и выбор ответа
Объединяем ОДЗ $x>2/3$ и решение $x ≤ 9$:
Получаем двойное неравенство: $2/3 < x ≤ 9$, что записывается как $x ∈ (2/3; 9]$.
Это соответствует варианту под номером 2.
Ответ: 2
Задача 3
Решите неравенство и выберите правильный вариант ответа:
$\log_3(4x-3) ≥ 3$
Варианты ответа:
1) $x ∈ (0.75; 7.5]$
2) $x ∈ [7.5; +∞)$
3) $x ∈ (0.75; +∞)$
4) $x ∈ [6.75; +∞)$
Решение
Шаг 1. Нахождение ОДЗ
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
$4x-3>0$
$4x>3$
$x>0.75$
Шаг 2. Преобразование правой части
Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $3$:
$3=\log_3 3^3 = \log_3 27$
Теперь наше неравенство выглядит так:
$\log_3(4x-3) ≥ \log_3 27$
Шаг 3. Решение основного неравенства
Так как основание логарифма $3>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к подлогарифмическим выражениям:
$4x-3 ≥ 27$
$4x ≥ 30$
$x ≥ 7.5$
Шаг 4. Учёт ОДЗ и выбор ответа
Пересекаем полученное решение $x ≥ 7.5$ с условием ОДЗ $x>0.75$:
Итоговый промежуток: $x ∈ [7.5; +∞)$.
Это соответствует варианту под номером 2.
Ответ: 2
Задача 4
Решите неравенство $6+3(−2x+3)⩽3$. На какой координатной прямой (см. рис.) изображено множество его решений?
Решение
$6+3(−2x+3)⩽3$
$6−6x+9⩽3$
$15−6x⩽3$
$−6x⩽−12$
$x⩾2$
Ответ: $[2;+∞)$ ( рисунок 3)
Задача 5
Решите неравенство $8x−3(2x−1)⩽−2$
1) $[2,5;+∞)$
2) $(−∞;−2,5]$
3) $(−∞;2,5]$
4) $[−2,5;+∞)$
Решение
$8x−3(2x−1)⩽−2$
$8x−6x+3⩽−2$
$2x+3⩽−2$
$2x⩽−5$
$x⩽−2.5$
Ответ: $(−∞;−2.5]$ (вариант 2)
Задача 6
Решите неравенство $14+2(−x+7)⩽24$. На какой из координатных прямых (см. рис.) изображено множество его решений?
Решение
$14+2(−x+7)⩽24$
$14−2x+14⩽24$
$28−2x⩽24$
$−2x⩽−4$
$x⩾2$
Ответ: $[2;+∞)$ ( рисунок 4)
Задача 7
На числовой прямой отмечены точки A, B, C и D.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
| A B C D | 1) $({5}/{18})^{-1}$ 2) ${21}/{4}$ 3) $log_{3}4$ 4) $√{4.9}$ |
В под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
2) ${21}/{4}=5.25$ - точка D.
4) $√{4.9}$ находится в промежутке от $√{4}$ до $√{9}$, то есть между 2 и 3 - точка B.
3) $log_{3}4$ - точка А.
Задача 8
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $7^x ≤ 7$ Б) $0.7^x ≥ {10}/{7}$ В) $0.7^x ≤ {10}/{7}$ Г) $7^x ≥ 7$ | 1) $x ≤ 1$ 2) $x ≤ -1$ 3) $x ≥ 1$ 4) $x≥ -1$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
А) 7^x ≤ 7:
Неравенство можно переписать как 7^x ≤ 7^1, что дает x ≤ 1. Таким образом, решение: 1) x ≤ 1.
Б) (7/10)^x ≥ 10/7:
Поскольку основание (7/10) меньше 1, знак неравенства изменится: x ≤ -1. Решение: 2) x ≤ -1.
В) (7/10)^x ≤ 10/7:
Здесь также основание меньше 1, поэтому: x ≥ -1. Решение: 4) x ≥ -1.
Г) 7^x ≥ 7:
Неравенство можно переписать как 7^x ≥ 7^1, что дает x ≥ 1. Решение: 3) x ≥ 1.
Итоговое соответствие:
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 3
Задача 9
На числовой прямой отмечены точки A, B, C и D.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
| A B C D | 1) $({5}/{21})^{-1}$ 2) ${11}/{2}$ 3) $log_{2}5$ 4) $√{3.2}$ |
В под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
1) $({5}/{21})^{-1} = {21}/{5} = 4.2$
2) ${11}/{2} = 5.5$
3) $\log_{2}5 ≈ 2.32$
4) $√{3.2} ≈ 1.79$
На числовой прямой: A ≈ 1.79, B ≈ 2.32, C ≈ 4.2, D ≈ 5.5
A → 4, B → 3, C → 1, D → 2
Задача 10
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $log_{13} x > -1$ Б) $log_{13} x < 1$ В) $log_{13} x < -1$ Г) $log_{13} x > 1$ | 1) $x > 13$ 2) $0 < x < {1}/{13}$ 3) $x > {1}/{13}$ 4) $0 < x < 13$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
А) $\log_{13}x>-1$
ОДЗ: $x>0$.
Представим правую часть как логарифм по основанию $13$:
$-1=\log_{13}13^{-1}$
Получаем:
$\log_{13}x>\log_{13}13^{-1}$
Основание $13>1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
$x>13^{-1}$
$13^{-1}={1}/{13}$
$x>{1}/{13}$
Это соответствует промежутку 3.
Б) $\log_{13}x<1$
ОДЗ: $x>0$.
Представим правую часть как логарифм по основанию $13$:
$1=\log_{13}13^1$
Получаем:
$\log_{13}x<\log_{13}13^1$
Основание $13>1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
$x<13^1$
$x<13$
С учётом ОДЗ:
$0<x<13$
Это соответствует промежутку 4.
В) $\log_{13}x<-1$
ОДЗ: $x>0$.
Представим правую часть как логарифм по основанию $13$:
$-1=\log_{13}13^{-1}$
Получаем:
$\log_{13}x<\log_{13}13^{-1}$
Основание $13>1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
$x<13^{-1}$
$13^{-1}={1}/{13}$
$x<{1}/{13}$
С учётом ОДЗ:
$0<x<{1}/{13}$
Это соответствует промежутку 2.
Г) $\log_{13}x>1$
ОДЗ: $x>0$.
Представим правую часть как логарифм по основанию $13$:
$1=\log_{13}13^1$
Получаем:
$\log_{13}x>\log_{13}13^1$
Основание $13>1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
$x>13^1$
$x>13$
Это соответствует промежутку 1.
Сопоставляем:
А → 3
Б → 4
В → 2
Г → 1
Ответ: 3421
Задача 11
На прямой отмечены число b и точки A, B, C и D. Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
| A B C D | 1) $b -3$ 2) ${b^2}/{4}$ 3) ${2}/{b}$ 4) $6 - b$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
1) $b -3=2,4-3=-0,6$ - точка А
2) ${b^2}/{4}={2,4^2}/{4}=1,44$ - точка С
3) ${2}/{b}=2/2.4=0.8$ - точка B
4) $6 - b=6-2.4=3.6$ - точка D
Задача 12
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $log_{11} x > 1$ Б) $log_{11} x < -1$ В) $log_{11} x < 1$ Г) $log_{11} x > -1$ | 1) $x > 11$ 2) $0 < x < 11$ 3) $0 < x < {1}/{11}$ 4) $x > {1}/{11}$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
A) $log_{11}x > 1$, $x > 11$ (1)
Б) $log_{11}x < -1$, $0<$x$<1/{11}$ (3)
B) $log_{11}x < 1$, $0<$x$<11$ (2)
Г) $log_{11}x > -1$, $x>1/{11}$ (4)
Задача 13
На координатной прямой отмечены точки $A, B, C$ и $D$, число $m$ равно $√5$. Установите соответствие между указанными точками из левого столбца и числами из правого столбца, которые им соответствуют.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
| A B C D | 1) ${m^3}/{3}$ 2) ${m}/{4}$ 3) $√m$ 4) $2m$ |
В под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1: Подставляем значение m в каждое выражение и вычисляем:
1) Выражение: ${m^3}/{3}$
Подставляем m:
${(√5)^3}/{3} = {5√5}/{3} ≈ 9.81/3 ≈ 3.27$
2) Выражение: ${m}/{4}$
Подставляем m:
${√5}/{4} ≈ 2.236/4 ≈ 0.559$
3) Выражение: $√m$
Подставляем m:
$√{√5} = 5^{1/4} ≈ 1.495$
4) Выражение: $2m$
Подставляем m:
$2 * √5 ≈ 2 * 2.236 ≈ 4.472$
Шаг 2: Сравниваем значения:
- A: ${m}/{4} ≈ 0.559$
- B: $√m ≈ 1.495$
- C: ${m^3}/{3} ≈ 3.27$
- D: $2m ≈ 4.472$
Ответ:
A - 2
B - 3
C - 1
D - 4
Задача 14
На прямой отмечены числа $n$ и $k$.
Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами из левого столбца и отрезками из правого столбца.
| ЧИСЛА | ОТРЕЗКИ |
| А) ${1}/{n} + k$ Б) $n + k$ В) $nk$ Г) $n^2 - k^2$ | 1) $[-1;0]$ 2) $[0; 1]$ 3) $[1; 2]$ 4) $[2; 4]$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
$n$ примерно $1,7$, $k$ примерно $-0,2$.
А) ${1}/{n} + k=1/1,7+(-0,2)$ - промежуток под цифрой 2.
Б) $n + k = 1,7+(-0,2)$- промежуток под цифрой 3
В) $nk=1,7*(-0,2)$- промежуток под цифрой 1
Г) $n^2 - k^2=(1,7)^2-(-0,2)^2$- промежуток под цифрой 4
Задача 15
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $(x - 3)(x - 5)<0$ Б) ${x-3}/{x - 5} > 0$ В) $(x-3)^2(x-5)<0$ Г) ${(x-5)^2}/{x-3}>0$ | 1) $(-∞;3)∪(5;+∞)$ 2) $(-∞;3)∪(3;5)$ 3) $(3;5)∪(5;+∞)$ 4) $(3;5)$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
- Решение для A) $(x - 3)(x - 5) < 0$:
- Находим корни: $x = 3$ и $x = 5$
- Определяем интервалы: $(-∞, 3)$, $(3;5)$, $(5; +∞)$
- Проверяем знак на интервалах:
- Для $x < 3$: положительно
- Для $3 < x < 5$: отрицательно
- Для $x > 5$: положительно
- Решение: $(3;5)$
- Решение для Б) (x - 3)/(x - 5) > 0$:
- Находим корни: $x = 3$ (числитель) и $x = 5$ (знаменатель)
- Определяем интервалы: $(-∞, 3)$, $(3, 5)$, $(5, +∞)$
- Проверяем знак на интервалах:
- Для $x < 3$: положительно
- Для $3 < x < 5$: отрицательно
- Для $x > 5$: положительно
- Решение: $(-∞; 3) \cup (5; +∞)$
- Решение для В) $(x - 3)^2(x - 5) < 0$:
- Находим корни: $x = 3$ , $x = 5$
- Определяем интервалы: $(-∞; 3)$, $(3;5)$, $(5; +∞)$
- Проверяем знак на интервалах:
- Для $x < 3$: отрицательно
- Для $3 < x < 5$: отрицательно
- Для $x > 5$: положительно
- Решение: $(-∞; 3)$$(3, 5)$
- Решение для Г) $\frac{(x - 5)^2}(x - 3) > 0$:
- Находим корни: $x = 5$ (числитель), $x = 3$ (знаменатель)
- Определяем интервалы: $(-∞, 3)$, $(3, 5)$, $(5, +∞)$
- Проверяем знак на интервалах:
- Для $x < 3$: отрицательно
- Для $3 < x < 5$: положительно
- Для $x > 5$: положительно
- Решение: (3; 5) $(5, +∞)$
Задача 16
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $x^2 - 3x - 4 ≤ 0$ Б) $x^2 - 3x + 2 ≥ 0$ В) $x^2 + 3x - 4 ≥ 0$ Г) $x^2 + 3x + 2 ≤ 0$ | 1) $(-∞;-4] ∪ [1;+∞)$ 2) $[-1; 4]$ 3) $(-∞; 1] ∪[2;+∞)$ 4) $[-2;-1]$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
А) $x^2 - 3x - 4 ≤ 0$ → Корни: $x=-1$, $x=4$ → Решение: $[-1;4]$ → 2
Б) $x^2 - 3x + 2 ≥ 0$ → Корни: $x=1$, $x=2$ → Решение: $(-∞;1] ∪ [2;+∞)$ → 3
В) $x^2 + 3x - 4 ≥ 0$ → Корни: $x=-4$, $x=1$ → Решение: $(-∞;-4] ∪ [1;+∞)$ → 1
Г) $x^2 + 3x + 2 ≤ 0$ → Корни: $x=-2$, $x=-1$ → Решение: $[-2;-1]$ → 4
Ответ: 2314
Задача 17
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $log_{5}x > 0$ Б) $5^{-x} < 5$ В) ${1}/{x(x - 5)} > 0$ Г) $x(x - 5) < 0$ | 1) $0 < x < 5$ 2) $x > -1$ 3) $x < 0$ или $x > 5$ 4) $x > 1$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Решим каждое неравенство и найдем соответствия с решениями.
А) $log_{5}x > 0$: Это неравенство выполняется, когда $x > 1$. Соответствует ответу 4).
Б) $5^{-x} < 5$: Это неравенство выполняется при $-x < 1$, то есть $x > -1$. Соответствует ответу 2).
В) ${1}/{x(x - 5)} > 0$: Это неравенство выполняется, когда $x < 0$ или $x > 5$. Соответствует ответу 3).
Г) $x(x - 5) < 0$: Это неравенство выполняется при $0 < x < 5$. Соответствует ответу 1).
Итак, соответствия: А - 4, Б - 2, В - 3, Г - 1. Верный ответ: 4231.
Задача 18
Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
| ЧИСЛА | ОТРЕЗКИ |
| А) $log_{5}128$ Б) ${5}/{3}$ В) $√{17}$ Г) $0.43^{-1}$ | 1) $[1; 2]$ 2) $[2; 3]$ 3) $[3; 4]$ 4) $[4; 5]$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
- A) log5128:
- B) 5/3:
- C) √17:
- D) 0.43-1:
Вычислим значение:
log5128 = log10(128) / log10(5).
Приблизительно: log10(128) ≈ 2.107 и log10(5) ≈ 0.699.
Таким образом, log5(128) ≈ 2.107 / 0.699 ≈ 3.01.
Это значение попадает в отрезок [3; 4].
Вычисляем значение:
5/3 ≈ 1.67.
Это значение попадает в отрезок [1; 2].
Вычисляем значение:
√17 ≈ 4.123.
Это значение попадает в отрезок [4; 5].
Вычисляем значение:
0.43-1 = 1 / 0.43 ≈ 2.33.
Это значение попадает в отрезок [2; 3].
Итоговое соответствие:
- A - 3
- B - 1
- C - 4
- D - 2
Задача 19
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) $x^2 - 5x + 4 ≤ 0$ Б) $x^2 - 5x - 6 ≥ 0$ В) $x^2 + 5x + 4 ≥ 0$ Г) $x^2 + 5x + 6 ≤ 0$ | 1) $(-∞;-1] ∪ [6;+∞)$ 2) $(-∞; -4] ∪[-1;+∞)$ 3) $[1; 4]$ 4) $[-3;-2]$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
А) $x^2 - 5x + 4 ≤ 0$ → Корни: $x=1$, $x=4$ → Решение: $[1;4]$ → 3
Б) $x^2 - 5x - 6 ≥ 0$ → Корни: $x=-1$, $x=6$ → Решение: $(-∞;-1] ∪ [6;+∞)$ → 1
В) $x^2 + 5x + 4 ≥ 0$ → Корни: $x=-4$, $x=-1$ → Решение: $(-∞;-4] ∪ [-1;+∞)$ → 2
Г) $x^2 + 5x + 6 ≤ 0$ → Корни: $x=-3$, $x=-2$ → Решение: $[-3;-2]$ → 4
Ответ: 3124
Задача 20
На прямой отмечены число a и точки A, B, C и D.
Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
| A B C D | 1) ${2}/{a}$ 2) $4 - a$ 3) $2a^2$ 4) $a - 1$ |
Под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Предположим, что мы имеем число:
- Пусть a = 0.8:
- Точка A: A = a - 1 = 0.8 - 1 = -0.2
- Точка B: B = 2a² = 2 * (0.8²) = 2 * 0.64 = 1.28
- Точка C: C = 2/a = 2/0.8 = 2.5
- Точка D: D = 4 - a = 4 - 0.8 = 3.2
Заключение:
На основании вышеизложенного, установленные соответствия между точками и числами будут следующими:
- A - 4
- B - 3
- C - 1
- D - 2
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
