Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.
Решение
$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, $ 3^{2x-24} = 3^{-1} $, $2x-24=-1 $, $ 2x=23 $, $ x=11{,}5$.
Задача 2
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Задача 3
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 4
Найдите корень уравнения ${9-5x} / {x+3}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
При $x ≠ -3$ получим $x(x + 3) = 9 - 5x, x^2 + 3x + 5x - 9 = 0, x^2 + 8x - 9 = 0, x_{1,2} = -4±5, x_1 = 1, x_2 = -9$. Больший корень $x_1 = 1$.
Задача 5
${3x-7} / {x+11}=-7$.
Решение
Решение : ${3x-7} / {x+11} = -7$
$3x-7 = -7(x+11)$
$3x-7 = -7x-77$
$10x = -70$
$x = -7$
Задача 6
Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.
Решение
$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}, 5^{4x+4} = 5^{-1}, 4x + 4 = -1, 4x = -5, x = -1.25$.
Задача 7
Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Заметим, что числители данных дробей равны, следовательно, при решении уравнения могут представиться два случая.
1) либо обе дроби равны нулю, тогда $\{\table\x + 3 = 0; \2x - 11 ≠ 0; \3x - 7 ≠ 0;$ $x = -3.$
2) либо числители дроби отличны от нуля, тогда необходимо равенство знаменателей $\{\table\x + 3 ≠ 0; \2x - 11 = 3x - 7;$ $x = -4.$
Наибольший корень $x = -3$.
Задача 8
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
Решение: $\log_{1/3}(13+x) = -2$
$(1/3)^{-2} = 13+x$
$3^2 = 13+x$
$9 = 13+x$
$x = -4$
Ответ: $-4$
Задача 9
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Задача 10
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 11
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. В ответ укажите меньший корень.
Решение
${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$
Задача 12
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
${1} / {11}x^2=3{3} / {11}$.
Решение
Решение : ${1} / {11}x^2 = 3{3} / {11}$
${1} / {11}x^2 = {36} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}: {1} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}* {11} / {1}$
$x^2 = 36$
$x = ±6$
Меньший корень: $-6$
Задача 13
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 14
Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x+13)} =\log_{5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_5 (x + 13) = log_5 (5x - 7), x + 13 = 5x - 7, 4x = 20, x = 5$.
Проверка. При $x = 5$ получаем $log_5 (5 + 13) = log_5 (5 · 5 - 7)$ — верное равенство. $x = 5$ — корень уравнения.
Задача 15
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 16
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 17
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{3^4}3^{4x+7} = 5,$
$ {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5$,
$log_3 3^{4x+7} = 20$,
$(4x + 7) log_3 3 = 20$,
$ 4x + 7 = 20$,
$4x = 13, x = 3.25$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3$.
Решение
Найдем ОДЗ: $3x-3>0 $, $ x>1$. $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3 $, $ 5^{{d} / {1}\log_{5}{(3x-3)}}=3 $, $5^{\log_5(3x-3)^{{d} / {1}}}=3$, $(3x-3)^{{d} / {1}}=3$. Возведем обе части равенства в квадрат. $3x-3=9 $, $ 3x=12 $, $ x=4$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 19
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3), 4x - 15 = x + 3, 3x = 18, x = 6$. Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство. $x = 6$ — корень уравнения.
Задача 20
Найдите корень уравнения ${5} / {11} x =-3{2} / {11}$.
Решение
${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением
$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
