Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение $\log_{7}(x + 5) =\log_{7 }(5x - 3)$.
Решение
Решение: $\log_{7}(x+5) = \log_{7}(5x-3)$
$x+5 = 5x-3$
$5+3 = 5x-x$
$8 = 4x$
$x = 2$
Ответ: 2
Задача 2
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
Решение: $\log_{1/3}(13+x) = -2$
$(1/3)^{-2} = 13+x$
$3^2 = 13+x$
$9 = 13+x$
$x = -4$
Ответ: $-4$
Задача 3
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 4
Решите уравнение $\log_{11 }(3 - x) = 2\log_{ 11} 2$.
Решение
Используем свойство логарифмов, что $a \cdot log_b c = log_b(c^a)$. Таким образом, правую часть уравнения можно переписать как:
$$2log_{11}2 = log_{11}(2^2) = log_{11}4$$
Теперь у нас есть уравнение:
$$log_{11}(3 - x) = log_{11}4$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если их аргументы равны, то можно приравнять аргументы:
$$3 - x = 4$$
Решим это уравнение для $x$:
$$3 - x = 4$$
$$-x = 4 - 3$$
$$-x = 1$$
$$x = -1$$
Ответ: $x = -1$.
Задача 5
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 6
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
${1} / {11}x^2=3{3} / {11}$.
Решение
Решение : ${1} / {11}x^2 = 3{3} / {11}$
${1} / {11}x^2 = {36} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}: {1} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}* {11} / {1}$
$x^2 = 36$
$x = ±6$
Меньший корень: $-6$
Задача 7
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(12+x)} =-2$.
Решение
По определению логарифма $12+x = 2^{-2}, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.
Задача 9
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна, то есть $-x ⩾ 0$, $ x ⩽ 0$. Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$, $x^2+5x-14=0$, $ x_1=-7$, $ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Задача 10
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 11
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Задача 12
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 13
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 14
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Задача 15
Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$ - раскрыли левую часть по формуле квадрата суммы
$14x = -42 $ - привели подобные слагаемые
$x = -3$
Задача 16
Найдите корень уравнения ${5} / {11} x =-3{2} / {11}$.
Решение
${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением
$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$
Задача 17
Найдите корень уравнения $\log_{216}{6^{2x-11}}=3$.
Решение
$log_{6^3}6^{2x-11} = 3, {1}/{2}log_66^{2x-11} = 3, log_6 6^{2x-11} = 9, (2x-11) log_6 = 9, 2x - 11 = 9, 2x = 20, x = 10$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $7^{\log_{49}{(6x-6)}}=6$.
Решение
Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.
$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 19
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{3^4}3^{4x+7} = 5,$
$ {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5$,
$log_3 3^{4x+7} = 20$,
$(4x + 7) log_3 3 = 20$,
$ 4x + 7 = 20$,
$4x = 13, x = 3.25$.
Задача 20
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
