Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $\log_{216}{6^{2x-11}}=3$.
Решение
$log_{6^3}6^{2x-11} = 3, {1}/{2}log_66^{2x-11} = 3, log_6 6^{2x-11} = 9, (2x-11) log_6 = 9, 2x - 11 = 9, 2x = 20, x = 10$.
Задача 2
Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x+13)} =\log_{5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_5 (x + 13) = log_5 (5x - 7), x + 13 = 5x - 7, 4x = 20, x = 5$.
Проверка. При $x = 5$ получаем $log_5 (5 + 13) = log_5 (5 · 5 - 7)$ — верное равенство. $x = 5$ — корень уравнения.
Задача 3
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(2x+15)} =\log_{2}{3} - 1$.
Решение
$log_2 (2x +15) = log_2 3 + log_2 2, log_2 (2x+15) = log_2{3}/{2}, 2x+15 = {3}/{2}, 4x = -27, x=-6.75$.
Задача 4
Найдите корень уравнения $(2x+7)^3=-64$.
Решение
$(2x + 7)^3 = -64, (2x + 7)^3 = (-4)^3, 2x + 7 = -4, 2x = -11, x = -5.5$.
Задача 5
Найдите корень уравнения $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3$.
Решение
Найдем ОДЗ: $3x-3>0 $, $ x>1$. $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3 $, $ 5^{{d} / {1}\log_{5}{(3x-3)}}=3 $, $5^{\log_5(3x-3)^{{d} / {1}}}=3$, $(3x-3)^{{d} / {1}}=3$. Возведем обе части равенства в квадрат. $3x-3=9 $, $ 3x=12 $, $ x=4$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 6
Найдите корень уравнения $√ {-23x-120}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
$(√{-23x - 120)^2} = (-x)^2, x^2 + 23x + 120 = 0, x_1 = -15, x_2 = -8$.
Проверка. При $x = -15$ получаем $√{23·(-15) - 120} = -(-15)$, верное равенство, значит, $x = -15$ - корень уравнения. При $x = -8$ получаем $√{23·(-8)-120} = -(-8)$, верное равенство, значит, $x = -8$ - корень уравнения. $x = -8$ - больший корень.
Задача 7
Найдите корень уравнения $7^{\log_{49}{(6x-6)}}=6$.
Решение
Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.
$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{34}3^{4x+7} = 5, {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5, log_3 3^{4x+7} = 20, (4x + 7) log_3 3 = 20, 4x + 7 = 20, 4x = 13, x = 3.25$.
Задача 9
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 10
Найдите корень уравнения ${5} / {11} x =-3{2} / {11}$.
Решение
${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением
$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$
Задача 11
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 12
Найдите корень уравнения $\log_{7}{(11-x)} =\log_{7}{3} + 1$.
Решение
$log_7 (11 - x) = log_7 3 + log_7 7, log_7 (11 - x) = log_7(3 · 7), 11 - x = 21, x = -10$.
Задача 13
Решите уравнение ${(2x+3)}^3=-64$.
Решение
Решение: ${(2x+3)}^3=-64$
${(2x+3)}^3= \(-4)^3$
$2x+3 =-4$
$2x = -7$
$x = -3.5$
Задача 14
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. В ответ укажите меньший корень.
Решение
${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$
Задача 15
Найдите корень уравнения $x^2-15x+56=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Решим уравнение с помощью дискриминанта: $a=1, b=-15, c=56$
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4·1·56 = 225- 224 = 1$
$x_{1,2} = {-b±√D}/{2a}, x_1 = {15 + 1}/{2} = 8, x_2 = {15 - 1}/{2} = 7.$
$ x = 8$ - больший корень.
Задача 16
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 17
Решите уравнение $√ {x+12}=x$.
Решение
$√{x+12}=x$
ОДЗ: $x ≥ 0$ и $x+12 ≥ 0$ → $x ≥ 0$
$x+12 = x^2$
$x^2 - x - 12 = 0$
$D = 1 + 48 = 49$
$x = {1 ± 7} / {2}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -3$ (не подходит по ОДЗ)
Ответ: $4$
Задача 18
Решите уравнение $√ {{x-1} / {7}}=2$.
Решение
$√{{x-1}/{7}}=2$
1. ОДЗ: ${x-1}/{7} > 0;$ $x >1$
2. Возводим обе части в квадрат:
${x-1}/{7} = 4$
3. Умножаем обе части на 7:
$x-1 = 28$
4. Решаем:
$x = 29$
5. Проверяем ОДЗ: $29 >1$ — подходит.
Ответ: $29$
Задача 19
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 20
Найдите корень уравнения ${2} / {3} x +1{2} / {7} = {5} / {21} x $.
Решение
${2}/{3}x - {5}/{21}x = -1{2}/{7}, {3}/{7}x = -1{2}/{7}, x = -1{2}/{7} : {3}/{7}, x = -{9 · 7}/{7 · 3}, x = -3$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
