Решение : ${3x-7} / {x+11} = -7$
$3x-7 = -7(x+11)$
$3x-7 = -7x-77$
$10x = -70$
$x = -7$

Каждая из частей уравнения представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно: левая часть — квадрат суммы, правая часть — квадрат разности:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 — $квадрат суммы

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 — $квадрат разности

$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$

$ 110x+20x=-117$

$x=-0{,}9$.

$(2x + 7)^3 = -64, (2x + 7)^3 = (-4)^3, 2x + 7 = -4, 2x = -11, x = -5.5$.

Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$. По определению логарифма $(x + 5)^2 = 64$, тогда $x + 5 = 8, x = 3$, или $x + 5 = -8, x = -13. x = -13$ — не входит в ОДЗ.

$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}, 5^{4x+4} = 5^{-1}, 4x + 4 = -1, 4x = -5, x = -1.25$.

${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$

Используем свойство логарифмов, что $a \cdot log_b c = log_b(c^a)$. Таким образом, правую часть уравнения можно переписать как:

$$2log_{11}2 = log_{11}(2^2) = log_{11}4$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$log_{11}(3 - x) = log_{11}4$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если их аргументы равны, то можно приравнять аргументы:

$$3 - x = 4$$

Решим это уравнение для $x$:

$$3 - x = 4$$

$$-x = 4 - 3$$

$$-x = 1$$

$$x = -1$$

Ответ: $x = -1$.

Решение: ${(2x+3)}^3=-64$
${(2x+3)}^3= \(-4)^3$
$2x+3 =-4$
$2x = -7$
$x = -3.5$

${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$

$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$

Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.

$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.

$log_4(2x - 1) = log_4(x + 3) - log_44, log_4 (2x - 1) = log_4{x+3}/{4}, 2x - 1 = {x+3}/{4}, 8x - 4 = x +3, 7x = 7, x = 1$.

Проверка. При $x = 1$ имеем $log_4 (2 · 1 − 1) = log_4 (1 + 3) − 1$ — верное равенство. $x = 1$ — корень уравнения.

$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, $ 3^{2x-24} = 3^{-1} $, $2x-24=-1 $, $ 2x=23 $, $ x=11{,}5$.

${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель

$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением

$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$

$log_5 (x + 13) = log_5 (5x - 7), x + 13 = 5x - 7, 4x = 20, x = 5$.

Проверка. При $x = 5$ получаем $log_5 (5 + 13) = log_5 (5 · 5 - 7)$ — верное равенство. $x = 5$ — корень уравнения.