Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение $√ {{x-1} / {7}}=2$.
Решение
$√{{x-1}/{7}}=2$
1. ОДЗ: ${x-1}/{7} > 0;$ $x >1$
2. Возводим обе части в квадрат:
${x-1}/{7} = 4$
3. Умножаем обе части на 7:
$x-1 = 28$
4. Решаем:
$x = 29$
5. Проверяем ОДЗ: $29 >1$ — подходит.
Ответ: $29$
Задача 2
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 3
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 4
Найдите корень уравнения $\log_{7}{(11-x)} =\log_{7}{3} + 1$.
Решение
$log_7 (11 - x) = log_7 3 + log_7 7, log_7 (11 - x) = log_7(3 · 7), 11 - x = 21, x = -10$.
Задача 5
Найдите корень уравнения ${2} / {3} x +1{2} / {7} = {5} / {21} x $.
Решение
${2}/{3}x - {5}/{21}x = -1{2}/{7}, {3}/{7}x = -1{2}/{7}, x = -1{2}/{7} : {3}/{7}, x = -{9 · 7}/{7 · 3}, x = -3$.
Задача 6
Найдите корень уравнения $(2x+7)^3=-64$.
Решение
$(2x + 7)^3 = -64, (2x + 7)^3 = (-4)^3, 2x + 7 = -4, 2x = -11, x = -5.5$.
Задача 7
Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Заметим, что числители данных дробей равны, следовательно, при решении уравнения могут представиться два случая.
1) либо обе дроби равны нулю, тогда $\{\table\x + 3 = 0; \2x - 11 ≠ 0; \3x - 7 ≠ 0;$ $x = -3.$
2) либо числители дроби отличны от нуля, тогда необходимо равенство знаменателей $\{\table\x + 3 ≠ 0; \2x - 11 = 3x - 7;$ $x = -4.$
Наибольший корень $x = -3$.
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_{216}{6^{2x-11}}=3$.
Решение
$log_{6^3}6^{2x-11} = 3, {1}/{2}log_66^{2x-11} = 3, log_6 6^{2x-11} = 9, (2x-11) log_6 = 9, 2x - 11 = 9, 2x = 20, x = 10$.
Задача 9
Найдите корень уравнения $\log_{x+5}{64} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$. По определению логарифма $(x + 5)^2 = 64$, тогда $x + 5 = 8, x = 3$, или $x + 5 = -8, x = -13. x = -13$ — не входит в ОДЗ.
Задача 10
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(2x+15)} =\log_{2}{3} - 1$.
Решение
$log_2 (2x +15) = log_2 3 + log_2 2, log_2 (2x+15) = log_2{3}/{2}, 2x+15 = {3}/{2}, 4x = -27, x=-6.75$.
Задача 11
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3), 4x - 15 = x + 3, 3x = 18, x = 6$. Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство. $x = 6$ — корень уравнения.
Задача 12
Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.
Решение
$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, $ 3^{2x-24} = 3^{-1} $, $2x-24=-1 $, $ 2x=23 $, $ x=11{,}5$.
Задача 13
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{3^4}3^{4x+7} = 5,$
$ {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5$,
$log_3 3^{4x+7} = 20$,
$(4x + 7) log_3 3 = 20$,
$ 4x + 7 = 20$,
$4x = 13, x = 3.25$.
Задача 14
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 15
Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Каждая из частей уравнения представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно: левая часть — квадрат суммы, правая часть — квадрат разности:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 — $квадрат суммы
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 — $квадрат разности
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$
$ 110x+20x=-117$
$x=-0{,}9$.
Задача 16
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 17
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 18
Найдите корень уравнения ${7} / {13}x^2=2{2} / {13}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
$x^2 = 2{2}/{13}: {7}/{13}, x_2 = {28·13}/{13·7}, x_2 = 4, x_{1,2} = ±2. x = -2$ - меньший корень.
Задача 19
Найдите корень уравнения $\log_{4}{(2x-1)} =\log_{4}{(x+3)} - 1$.
Решение
$log_4(2x - 1) = log_4(x + 3) - log_44, log_4 (2x - 1) = log_4{x+3}/{4}, 2x - 1 = {x+3}/{4}, 8x - 4 = x +3, 7x = 7, x = 1$.
Проверка. При $x = 1$ имеем $log_4 (2 · 1 − 1) = log_4 (1 + 3) − 1$ — верное равенство. $x = 1$ — корень уравнения.
Задача 20
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
