Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение:
$x/(2x+3) = 2/7$
Решение
Перемножаем крест-накрест.
$7x = 2(2x + 3)$
Раскрываем скобки и находим корень.
$7x = 4x + 6$
$3x = 6$
$x = 2$
Проверяем ОДЗ: $2x + 3 ≠ 0$, то есть $x ≠ -1,5$. Корень подходит.
Задача 2
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. В ответ укажите меньший корень.
Решение
${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$
Задача 3
Найдите корень уравнения $7^{\log_{49}{(6x-6)}}=6$.
Решение
Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.
$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 4
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{3^4}3^{4x+7} = 5,$
$ {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5$,
$log_3 3^{4x+7} = 20$,
$(4x + 7) log_3 3 = 20$,
$ 4x + 7 = 20$,
$4x = 13, x = 3.25$.
Задача 5
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
Решение: $\log_{1/3}(13+x) = -2$
$(1/3)^{-2} = 13+x$
$3^2 = 13+x$
$9 = 13+x$
$x = -4$
Ответ: $-4$
Задача 6
Решите уравнение ${(2x+3)}^3=-64$.
Решение
Решение: ${(2x+3)}^3=-64$
${(2x+3)}^3= \(-4)^3$
$2x+3 =-4$
$2x = -7$
$x = -3.5$
Задача 7
Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.
Решение
$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}, 5^{4x+4} = 5^{-1}, 4x + 4 = -1, 4x = -5, x = -1.25$.
Задача 8
Найдите корень уравнения $(2x+7)^3=-64$.
Решение
$(2x + 7)^3 = -64, (2x + 7)^3 = (-4)^3, 2x + 7 = -4, 2x = -11, x = -5.5$.
Задача 9
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
${1} / {11}x^2=3{3} / {11}$.
Решение
Решение : ${1} / {11}x^2 = 3{3} / {11}$
${1} / {11}x^2 = {36} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}: {1} / {11}$
$x^2 = {36} / {11}* {11} / {1}$
$x^2 = 36$
$x = ±6$
Меньший корень: $-6$
Задача 10
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 11
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 12
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 13
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 14
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Задача 15
Найдите корень уравнения $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3$.
Решение
Найдем ОДЗ: $3x-3>0 $, $ x>1$. $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3 $, $ 5^{{d} / {1}\log_{5}{(3x-3)}}=3 $, $5^{\log_5(3x-3)^{{d} / {1}}}=3$, $(3x-3)^{{d} / {1}}=3$. Возведем обе части равенства в квадрат. $3x-3=9 $, $ 3x=12 $, $ x=4$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 16
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3), 4x - 15 = x + 3, 3x = 18, x = 6$. Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство. $x = 6$ — корень уравнения.
Задача 17
Найдите корень уравнения $\log_{4}{(2x-1)} =\log_{4}{(x+3)} - 1$.
Решение
$log_4(2x - 1) = log_4(x + 3) - log_44, log_4 (2x - 1) = log_4{x+3}/{4}, 2x - 1 = {x+3}/{4}, 8x - 4 = x +3, 7x = 7, x = 1$.
Проверка. При $x = 1$ имеем $log_4 (2 · 1 − 1) = log_4 (1 + 3) − 1$ — верное равенство. $x = 1$ — корень уравнения.
Задача 18
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 19
${3x-7} / {x+11}=-7$.
Решение
Решение : ${3x-7} / {x+11} = -7$
$3x-7 = -7(x+11)$
$3x-7 = -7x-77$
$10x = -70$
$x = -7$
Задача 20
Найдите корень уравнения $\log_{x-4}{36} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{{\table {x-4>0{,}}; {x-4≠1;};}$ $\{{\table {x>4{,}}; {x≠5;};}$$ x∈ (4;5)∪(5;+∞)$. По определению логарифма $(x-4)^2=36$, тогда или $x-4=6 $, $ x=10$, или $x-4=-6$, $ x=-2$. $x=-2$ — не входит в ОДЗ.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
