Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Задача 2
Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x+13)} =\log_{5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_5 (x + 13) = log_5 (5x - 7), x + 13 = 5x - 7, 4x = 20, x = 5$.
Проверка. При $x = 5$ получаем $log_5 (5 + 13) = log_5 (5 · 5 - 7)$ — верное равенство. $x = 5$ — корень уравнения.
Задача 3
${({1} / {3})}^{7-2x}=81$. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из ниx.
Решение
${({1}/{3})}^{7-2x}=81$
$3^{-(7-2x)} = 3^4$
$3^{2x-7} = 3^4$
$2x-7=4$
$2x=11$
$x=5.5$
Задача 4
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 5
$-{5} / {7}x=2{3} / {7}$.
Решение
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
$-{5} / {7}x=2{3} / {7}$$x=-2{3}/{7}:5/7$
$x=-17/7 : 5/7 $
$x=-3.4$
Задача 6
Найдите корень уравнения $\log_{x-4}{36} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{{\table {x-4>0{,}}; {x-4≠1;};}$ $\{{\table {x>4{,}}; {x≠5;};}$$ x∈ (4;5)∪(5;+∞)$. По определению логарифма $(x-4)^2=36$, тогда или $x-4=6 $, $ x=10$, или $x-4=-6$, $ x=-2$. $x=-2$ — не входит в ОДЗ.
Задача 7
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27 $, $ (x-12)^3=(-3)^3 $, а значит мы можем перейти к виду: $ x-12=-3 $, $x=9$.
Задача 8
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 9
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 10
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 11
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 12
Найдите корень уравнения $√ {-23x-120}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
$(√{-23x - 120)^2} = (-x)^2, x^2 + 23x + 120 = 0, x_1 = -15, x_2 = -8$.
Проверка. При $x = -15$ получаем $√{23·(-15) - 120} = -(-15)$, верное равенство, значит, $x = -15$ - корень уравнения. При $x = -8$ получаем $√{23·(-8)-120} = -(-8)$, верное равенство, значит, $x = -8$ - корень уравнения. $x = -8$ - больший корень.
Задача 13
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 14
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
${1} / {11}x^2=3{3} / {11}$.
Решение
Решение : ${1} / {11}x^2 = 3{3} / {11}$
${1} / {11}x^2 = {36} / {11}$
$x^2 = 36$
$x = ±6$
Меньший корень: $-6$
Задача 15
${3x-7} / {x+11}=-7$.
Решение
Решение : ${3x-7} / {x+11} = -7$
$3x-7 = -7(x+11)$
$3x-7 = -7x-77$
$10x = -70$
$x = -7$
Задача 16
Найдите корень уравнения $√ {{4x-21} / {117}}={1} / {3}$.
Решение
$(√{{4x - 21}/{117}})^2 = ({1}/{3})^2, {4x - 21}/{117} = {1}/{9}, 9(4x - 21) = 117, 36x - 189 = 117, 36x = 306, x = 8.5$.
Задача 17
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна, то есть $-x ⩾ 0$, $ x ⩽ 0$. Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$, $x^2+5x-14=0$, $ x_1=-7$, $ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(2x+15)} =\log_{2}{3} - 1$.
Решение
$log_2 (2x +15) = log_2 3 + log_2 2, log_2 (2x+15) = log_2{3}/{2}, 2x+15 = {3}/{2}, 4x = -27, x=-6.75$.
Задача 19
Решите уравнение $\log_{7}(x + 5) =\log_{7 }(5x - 3)$.
Решение
Решение: $\log_{7}(x+5) = \log_{7}(5x-3)$
$x+5 = 5x-3$
$5+3 = 5x-x$
$8 = 4x$
$x = 2$
Ответ: 2
Задача 20
Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$ - раскрыли левую часть по формуле квадрата суммы
$14x = -42 $ - привели подобные слагаемые
$x = -3$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
