Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 2
Решите уравнение $√ {{x-1} / {7}}=2$.
Решение
$√{{x-1}/{7}}=2$
1. ОДЗ: ${x-1}/{7} > 0;$ $x >1$
2. Возводим обе части в квадрат:
${x-1}/{7} = 4$
3. Умножаем обе части на 7:
$x-1 = 28$
4. Решаем:
$x = 29$
5. Проверяем ОДЗ: $29 >1$ — подходит.
Ответ: $29$
Задача 3
${({1} / {3})}^{7-2x}=81$. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из ниx.
Решение
${({1}/{3})}^{7-2x}=81$
$3^{-(7-2x)} = 3^4$
$3^{2x-7} = 3^4$
$2x-7=4$
$2x=11$
$x=5.5$
Задача 4
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 5
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 6
Решите уравнение ${(2x+3)}^3=-64$.
Решение
Решение: ${(2x+3)}^3=-64$
${(2x+3)}^3= \(-4)^3$
$2x+3 =-4$
$2x = -7$
$x = -3.5$
Задача 7
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 8
$-{5} / {7}x=2{3} / {7}$.
Решение
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
$-{5} / {7}x=2{3} / {7}$$x=-2{3}/{7}:5/7$
$x=-17/7 : 5/7 $
$x=-3.4$
Задача 9
Решите уравнение $\log_{11 }(3 - x) = 2\log_{ 11} 2$.
Решение
Используем свойство логарифмов, что $a \cdot log_b c = log_b(c^a)$. Таким образом, правую часть уравнения можно переписать как:
$$2log_{11}2 = log_{11}(2^2) = log_{11}4$$
Теперь у нас есть уравнение:
$$log_{11}(3 - x) = log_{11}4$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если их аргументы равны, то можно приравнять аргументы:
$$3 - x = 4$$
Решим это уравнение для $x$:
$$3 - x = 4$$
$$-x = 4 - 3$$
$$-x = 1$$
$$x = -1$$
Ответ: $x = -1$.
Задача 10
Решите уравнение $\log_{9} 3^{2x- 1}= 2$.
Решение
$\log_{9} 3^{2x-1} = 2$
$3^{2x-1} = 9^2$
$3^{2x-1} = 81$
$3^{2x-1} = 3^4$
$2x-1 = 4$
$2x = 5$
$x = 2.5$
Задача 11
Решите уравнение $√ {x+12}=x$.
Решение
$√{x+12}=x$
ОДЗ: $x ≥ 0$ и $x+12 ≥ 0$ → $x ≥ 0$
$x+12 = x^2$
$x^2 - x - 12 = 0$
$D = 1 + 48 = 49$
$x = {1 ± 7} / {2}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -3$ (не подходит по ОДЗ)
Ответ: $4$
Задача 12
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{34}3^{4x+7} = 5, {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5, log_3 3^{4x+7} = 20, (4x + 7) log_3 3 = 20, 4x + 7 = 20, 4x = 13, x = 3.25$.
Задача 13
Найдите корень уравнения $\log_{x-4}{36} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{{\table {x-4>0{,}}; {x-4≠1;};}$ $\{{\table {x>4{,}}; {x≠5;};}$$ x∈ (4;5)∪(5;+∞)$. По определению логарифма $(x-4)^2=36$, тогда или $x-4=6 $, $ x=10$, или $x-4=-6$, $ x=-2$. $x=-2$ — не входит в ОДЗ.
Задача 14
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Задача 15
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. В ответ укажите меньший корень.
Решение
${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$
Задача 16
Найдите корень уравнения $√ {-23x-120}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
$(√{-23x - 120)^2} = (-x)^2, x^2 + 23x + 120 = 0, x_1 = -15, x_2 = -8$.
Проверка. При $x = -15$ получаем $√{23·(-15) - 120} = -(-15)$, верное равенство, значит, $x = -15$ - корень уравнения. При $x = -8$ получаем $√{23·(-8)-120} = -(-8)$, верное равенство, значит, $x = -8$ - корень уравнения. $x = -8$ - больший корень.
Задача 17
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна, то есть $-x ⩾ 0$, $ x ⩽ 0$. Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$, $x^2+5x-14=0$, $ x_1=-7$, $ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $√ {{36} / {2x-15}}=3$.
Решение
$(√ {{36} / {2x-15}})^2=3^2$, ${36} / {2x-15}=9$, $ 36=18x-135$, $ 18x=171$, $ x=9{,}5$.
Задача 19
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
Решение: $\log_{1/3}(13+x) = -2$
$(1/3)^{-2} = 13+x$
$3^2 = 13+x$
$9 = 13+x$
$x = -4$
Ответ: $-4$
Задача 20
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
${1} / {11}x^2=3{3} / {11}$.
Решение
Решение : ${1} / {11}x^2 = 3{3} / {11}$
${1} / {11}x^2 = {36} / {11}$
$x^2 = 36$
$x = ±6$
Меньший корень: $-6$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
