Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 2
Решите уравнение $\log_{9} 3^{2x- 1}= 2$.
Решение
$\log_{9} 3^{2x-1} = 2$
$3^{2x-1} = 9^2$
$3^{2x-1} = 81$
$3^{2x-1} = 3^4$
$2x-1 = 4$
$2x = 5$
$x = 2.5$
Задача 3
Найдите корень уравнения ${2} / {3} x +1{2} / {7} = {5} / {21} x $.
Решение
${2}/{3}x - {5}/{21}x = -1{2}/{7}, {3}/{7}x = -1{2}/{7}, x = -1{2}/{7} : {3}/{7}, x = -{9 · 7}/{7 · 3}, x = -3$.
Задача 4
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 5
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 6
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 7
Найдите корень уравнения $7^{\log_{49}{(6x-6)}}=6$.
Решение
Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.
$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 8
Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Заметим, что числители данных дробей равны, следовательно, при решении уравнения могут представиться два случая.
1) либо обе дроби равны нулю, тогда $\{\table\x + 3 = 0; \2x - 11 ≠ 0; \3x - 7 ≠ 0;$ $x = -3.$
2) либо числители дроби отличны от нуля, тогда необходимо равенство знаменателей $\{\table\x + 3 ≠ 0; \2x - 11 = 3x - 7;$ $x = -4.$
Наибольший корень $x = -3$.
Задача 9
Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.
Решение
$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, $ 3^{2x-24} = 3^{-1} $, $2x-24=-1 $, $ 2x=23 $, $ x=11{,}5$.
Задача 10
Решите уравнение $\log_{4-x}4 = 2$.
Решение
$\log_{4-x}4 = 2$
$(4-x)^2 = 4$
$16 - 8x + x^2 = 4$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$D = 64 - 48 = 16$
$x = {8+4}/{2}$
$x = {8-4}/{2}$
$x_1 = 6$, $x_2 = 2$
Проверка ОДЗ: основание $4-x > 0$, $4-x \ne 1$
$x=6$: $4-6=-2$ — не подходит
$x=2$: $4-2=2$ — подходит
Ответ: $2$
Задача 11
Решите уравнение $\log_{7}(x + 5) =\log_{7 }(5x - 3)$.
Решение
Решение: $\log_{7}(x+5) = \log_{7}(5x-3)$
$x+5 = 5x-3$
$5+3 = 5x-x$
$8 = 4x$
$x = 2$
Ответ: 2
Задача 12
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Задача 13
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(2x+15)} =\log_{2}{3} - 1$.
Решение
$log_2 (2x +15) = log_2 3 + log_2 2, log_2 (2x+15) = log_2{3}/{2}, 2x+15 = {3}/{2}, 4x = -27, x=-6.75$.
Задача 14
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
Решение: $\log_{1/3}(13+x) = -2$
$(1/3)^{-2} = 13+x$
$3^2 = 13+x$
$9 = 13+x$
$x = -4$
Ответ: $-4$
Задача 15
Решите уравнение $\log_{11 }(3 - x) = 2\log_{ 11} 2$.
Решение
Используем свойство логарифмов, что $a \cdot log_b c = log_b(c^a)$. Таким образом, правую часть уравнения можно переписать как:
$$2log_{11}2 = log_{11}(2^2) = log_{11}4$$
Теперь у нас есть уравнение:
$$log_{11}(3 - x) = log_{11}4$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если их аргументы равны, то можно приравнять аргументы:
$$3 - x = 4$$
Решим это уравнение для $x$:
$$3 - x = 4$$
$$-x = 4 - 3$$
$$-x = 1$$
$$x = -1$$
Ответ: $x = -1$.
Задача 16
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 17
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27 $, $ (x-12)^3=(-3)^3 $, а значит мы можем перейти к виду: $ x-12=-3 $, $x=9$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.
Решение
$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}, 5^{4x+4} = 5^{-1}, 4x + 4 = -1, 4x = -5, x = -1.25$.
Задача 19
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. В ответ укажите меньший корень.
Решение
${x-9} / {3x-1} = {x-9} / {x+33}$
1) $x-9=0$ → $x=9$
2) Если $x≠9$: ${1} / {3x-1} = {1} / {x+33}$ → $3x-1 = x+33$ → $2x=34$ → $x=17$
Меньший корень: $9$
Задача 20
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Рекомендуемые курсы подготовки
- 👻 Вспомнишь алгебраические преобразования
- 👻 Отработаешь линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения
- 👻 Покоришь движение по воде
- 👻 И в целом крайне продуктивно проведешь время
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
