Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.
Решение
$2^{5x-1} = 2^{3}, 5x - 1 = 3, 5x = 4, x = 0.8$.
Задача 2
Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$ - раскрыли левую часть по формуле квадрата суммы
$14x = -42 $ - привели подобные слагаемые
$x = -3$
Задача 3
Найдите корень уравнения ${2} / {3} x +1{2} / {7} = {5} / {21} x $.
Решение
${2}/{3}x - {5}/{21}x = -1{2}/{7}, {3}/{7}x = -1{2}/{7}, x = -1{2}/{7} : {3}/{7}, x = -{9 · 7}/{7 · 3}, x = -3$.
Задача 4
Найдите корень уравнения $\log_{7}{(11-x)} =\log_{7}{3} + 1$.
Решение
$log_7 (11 - x) = log_7 3 + log_7 7, log_7 (11 - x) = log_7(3 · 7), 11 - x = 21, x = -10$.
Задача 5
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3), 4x - 15 = x + 3, 3x = 18, x = 6$. Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство. $x = 6$ — корень уравнения.
Задача 6
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$. Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
$2^{\log_{4}(x+3)}=1$
$2^{\log_{4}(x+3)}=2^0$
$\log_{4}(x+3)=0$
$\log_{4}(x+3)=log_{4}(1)$
$x+3=1$
$x=-2$
Наибольший отрицательный корень: $-2$
Задача 7
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27 $, $ (x-12)^3=(-3)^3 $, а значит мы можем перейти к виду: $ x-12=-3 $, $x=9$.
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_{x-4}{36} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{{\table {x-4>0{,}}; {x-4≠1;};}$ $\{{\table {x>4{,}}; {x≠5;};}$$ x∈ (4;5)∪(5;+∞)$. По определению логарифма $(x-4)^2=36$, тогда или $x-4=6 $, $ x=10$, или $x-4=-6$, $ x=-2$. $x=-2$ — не входит в ОДЗ.
Задача 9
Найдите корень уравнения $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3$.
Решение
Найдем ОДЗ: $3x-3>0 $, $ x>1$. $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3 $, $ 5^{{d} / {1}\log_{5}{(3x-3)}}=3 $, $5^{\log_5(3x-3)^{{d} / {1}}}=3$, $(3x-3)^{{d} / {1}}=3$. Возведем обе части равенства в квадрат. $3x-3=9 $, $ 3x=12 $, $ x=4$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 10
Решите уравнение $3^{x+4}=0{,}375⋅ 8^{x+4}$.
Решение
$3^{x+4}=0{,}375⋅8^{x+4}$
$3^{x+4} ={3}/{8} ⋅ 8^{x+4}$
${3^{x+4}}/{8^{x+4}} = {3}/{8}$
$({3}/{8})^{x+4} = ({3}/{8})^1$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Задача 11
Найдите корень уравнения $6^{9-x}=36^x$.
Решение
$6^{9-x} = 6^{2x}, 9 - x = 2x, 3x = 9, x = 3$.
Задача 12
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 13
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 14
Найдите корень уравнения $\log_{216}{6^{2x-11}}=3$.
Решение
$log_{6^3}6^{2x-11} = 3, {1}/{2}log_66^{2x-11} = 3, log_6 6^{2x-11} = 9, (2x-11) log_6 = 9, 2x - 11 = 9, 2x = 20, x = 10$.
Задача 15
Найдите корень уравнения ${5} / {11} x =-3{2} / {11}$.
Решение
${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением
$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$
Задача 16
Найдите корень уравнения ${7} / {13}x^2=2{2} / {13}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
$x^2 = 2{2}/{13}: {7}/{13}, x_2 = {28·13}/{13·7}, x_2 = 4, x_{1,2} = ±2. x = -2$ - меньший корень.
Задача 17
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна, то есть $-x ⩾ 0$, $ x ⩽ 0$. Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$, $x^2+5x-14=0$, $ x_1=-7$, $ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $√ {{36} / {2x-15}}=3$.
Решение
$(√ {{36} / {2x-15}})^2=3^2$, ${36} / {2x-15}=9$, $ 36=18x-135$, $ 18x=171$, $ x=9{,}5$.
Задача 19
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 20
Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Каждая из частей уравнения представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно: левая часть — квадрат суммы, правая часть — квадрат разности:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 — $квадрат суммы
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 — $квадрат разности
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$
$ 110x+20x=-117$
$x=-0{,}9$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
