Задание 17. Уравнения. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.6%
Алгоритм решения задания 17:
- Определить вид уравнения по типу входящих в него выражений.
- Выбрать способ преобразования, подходящий для данного типа уравнения.
- Преобразовать уравнение к более простой или стандартной форме.
- Найти значения переменной, при которых равенство выполняется.
- Проверить найденные значения на соответствие области допустимых значений.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3$.
Решение
Найдем ОДЗ: $3x-3>0 $, $ x>1$. $5^{\log_{25}{(3x-3)}}=3 $, $ 5^{{d} / {1}\log_{5}{(3x-3)}}=3 $, $5^{\log_5(3x-3)^{{d} / {1}}}=3$, $(3x-3)^{{d} / {1}}=3$. Возведем обе части равенства в квадрат. $3x-3=9 $, $ 3x=12 $, $ x=4$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 2
Найдите корень уравнения $√ {-23x-120}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
$(√{-23x - 120)^2} = (-x)^2, x^2 + 23x + 120 = 0, x_1 = -15, x_2 = -8$.
Проверка. При $x = -15$ получаем $√{23·(-15) - 120} = -(-15)$, верное равенство, значит, $x = -15$ - корень уравнения. При $x = -8$ получаем $√{23·(-8)-120} = -(-8)$, верное равенство, значит, $x = -8$ - корень уравнения. $x = -8$ - больший корень.
Задача 3
${32}^{5x-11}={1} / {2}$.
Решение
${32}^{5x-11} = {1}/{2}$
$(2^5)^{5x-11} = 2^{-1}$
$2^{25x-55} = 2^{-1}$
$25x-55 = -1$
$25x = 54$
$x = 54/25 = 2.16$
Задача 4
Решите уравнение $√ {{x-1} / {7}}=2$.
Решение
$√{{x-1}/{7}}=2$
1. ОДЗ: ${x-1}/{7} > 0;$ $x >1$
2. Возводим обе части в квадрат:
${x-1}/{7} = 4$
3. Умножаем обе части на 7:
$x-1 = 28$
4. Решаем:
$x = 29$
5. Проверяем ОДЗ: $29 >1$ — подходит.
Ответ: $29$
Задача 5
Найдите корень уравнения $7^{\log_{49}{(6x-6)}}=6$.
Решение
Найдем ОДЗ: $6x - 6 > 0, x > 1$.
$7^{log_{49}(6x-6)} = 6, 7^{{1}/{2}log_7 (6x-6)} = 6, 7^{log_7 (6x-6){1}/{2}} = 6, (6x - 6)^{{1}/{2}} = 6, ((6x - 6)^{{1}/{2}})^2 = 6^2, 6x - 6 = 36, 6x = 42, x = 7$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 6
Найдите корень уравнения $6^{9-x}=36^x$.
Решение
$6^{9-x} = 6^{2x}, 9 - x = 2x, 3x = 9, x = 3$.
Задача 7
Найдите корень уравнения $\log_{81}{3^{4x+7}}=5$.
Решение
$log_{3^4}3^{4x+7} = 5,$
$ {1}/{4}log_3 3^{4x+7} = 5$,
$log_3 3^{4x+7} = 20$,
$(4x + 7) log_3 3 = 20$,
$ 4x + 7 = 20$,
$4x = 13, x = 3.25$.
Задача 8
Найдите корень уравнения $√ {{36} / {2x-15}}=3$.
Решение
$(√ {{36} / {2x-15}})^2=3^2$, ${36} / {2x-15}=9$, $ 36=18x-135$, $ 18x=171$, $ x=9{,}5$.
Задача 9
Найдите корень уравнения $2^{2x-7}=4{,}5⋅9^{2x-7}$.
Решение
$2^{2x-7} = 4.5·9^{2x-7}, 2^{2x-7} = {9}/{2}·9^{2x-7}, {2^{2x-7}}/{9^{2x-7}} = {9}/{2}, ({2}/{9})^{2x-7} = ({2}/{9})^{-1}, 2x-7 = -1, 2x = 6, x=3$.
Задача 10
Найдите корень уравнения $\log_{216}{6^{2x-11}}=3$.
Решение
$log_{6^3}6^{2x-11} = 3, {1}/{2}log_66^{2x-11} = 3, log_6 6^{2x-11} = 9, (2x-11) log_6 = 9, 2x - 11 = 9, 2x = 20, x = 10$.
Задача 11
Найдите корень уравнения $\log_{x+5}{64} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$. По определению логарифма $(x + 5)^2 = 64$, тогда $x + 5 = 8, x = 3$, или $x + 5 = -8, x = -13. x = -13$ — не входит в ОДЗ.
Задача 12
Найдите корень уравнения $3^{2+x}=0{,}6⋅5^{2+x}$.
Решение
$3^{2+x} = 0.6·5^{2+x}, 3^{2+x} = {3}/{5}·5^{2+x}, {3^{2+x}}/{5^{2+x}} = {3}/{5}, ({3}/{5})^{2+x} = ({3}/{5})^1, 2+x = 1, x = -1$.
Задача 13
Найдите корень уравнения ${5} / {11} x =-3{2} / {11}$.
Решение
${5}/{11}x = -3{2}/{11}$ - чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
$x = -3{2}/{11} : {5}/{11}$ - чтобы разделить на дробь, нужно делитель перевернуть, деление заменить умножением
$x = - {35 · 11}/{11 · 5} = -7$
Задача 14
Найдите корень уравнения $\log_{4}{(2x-1)} =\log_{4}{(x+3)} - 1$.
Решение
$log_4(2x - 1) = log_4(x + 3) - log_44, log_4 (2x - 1) = log_4{x+3}/{4}, 2x - 1 = {x+3}/{4}, 8x - 4 = x +3, 7x = 7, x = 1$.
Проверка. При $x = 1$ имеем $log_4 (2 · 1 − 1) = log_4 (1 + 3) − 1$ — верное равенство. $x = 1$ — корень уравнения.
Задача 15
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27 $, $ (x-12)^3=(-3)^3 $, а значит мы можем перейти к виду: $ x-12=-3 $, $x=9$.
Задача 16
Решите уравнение $\log_{2 }(15 + x) =\log_{2 }(3x - 1) + 3$.
Решение
$\log_{2}(15+x) = \log_{2}(3x-1) + 3$
$\log_{2}(15+x) - \log_{2}(3x-1) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = 3$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{2^3}$
$\log_{2}({15+x}/{3x-1}) = log_{2}{8}$
${15+x}/{3x-1} = 8$
$15+x = 8(3x-1)$
$15+x = 24x-8$
$15+8 = 24x-x$
$23 = 23x$
$x = 1$
Задача 17
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма, $4-x = 3^5 $, $ 4-x=243 $, $x=-239$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3), 4x - 15 = x + 3, 3x = 18, x = 6$. Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство. $x = 6$ — корень уравнения.
Задача 19
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Перед нами - иррациональное уравнение третьей степени. Поскольку степень нечетная, уравнение не имеет ограничений. Тогда чтобы его решить, нужно возвести в третью степень обе части уравнения:
- $√^3{5+x}=2$
- 5+x=23
- 5+x=8
- x=8-5
- x=3
Ответ: 3
Задача 20
Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x+13)} =\log_{5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_5 (x + 13) = log_5 (5x - 7), x + 13 = 5x - 7, 4x = 20, x = 5$.
Проверка. При $x = 5$ получаем $log_5 (5 + 13) = log_5 (5 · 5 - 7)$ — верное равенство. $x = 5$ — корень уравнения.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
