Шаг 1: Вспоминаем геометрический смысл синуса и косинуса

На единичной окружности точке с углом α соответствует точка M(x; y), где:

• косинус — это проекция точки M на ось x: cos α = x;
• синус — это проекция точки M на ось y: sin α = y.

Значит, чтобы сравнить значения синусов или косинусов двух углов, достаточно сравнить соответствующие координаты x или y точек на окружности.

Тангенс — это отношение sin/cos, то есть отношение координаты y к координате x. Значит, tg α = tg β тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат (на одном луче или на противоположных лучах одной прямой).

Шаг 2: Проверяем утверждение 1

${cos(π/4)} = {cos({5π}/4)}$.

Угол $π/4$ — это I четверть, точка находится в правой верхней части окружности, x > 0, значит $cos(π/4)$ > 0.

Угол ${5π}/4 = π + π/4$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/4$ относительно начала координат, значит x < 0,$ cos({5π}/4)$ < 0.

Положительное число не может равняться отрицательному. Неверно.

Шаг 3: Проверяем утверждение 2

${sin(π/6)} = −{sin({7π}/6)}$.

Угол $π/6$ — это I четверть, y > 0, значит $sin(π/6)$ > 0.

Угол ${7π}/6 = π + π/6$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/6$ относительно начала координат, значит y < 0, $sin({7π}/6)$ < 0.

Тогда $−sin({7π}/6) > 0$, и по модулю это то же самое значение, что и $sin(π/6)$, так как точки симметричны относительно начала координат (их координаты y равны по модулю и противоположны по знаку).

Значит, $sin(π/6) = −sin({7π}/6)$. Верно.

Шаг 4: Проверяем утверждение 3

${sin(π/3)} = {sin({2π}/3)}$.

Угол $π/3$ — это I четверть, угол ${2π}/3 = π − π/3$ — это II четверть.

Эти точки симметричны относительно оси y. При симметрии относительно оси y координата x меняет знак, а координата y сохраняется.

Значит, y-координаты (то есть синусы) у этих точек одинаковы: $sin(π/3) = sin({2π}/3)$. Верно.

Шаг 5: Проверяем утверждение 4

${cos(π/3)} = −{cos({4π}/3)}$.

Угол $π/3$ — это I четверть, $x > 0$, $cos(π/3) > 0$.

Угол ${4π}/3 = π + π/3$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/3$ относительно начала координат, значит $x < 0, cos({4π}/3) < 0$.

По модулю косинусы равны (точки симметричны относительно начала координат, координаты x равны по модулю и противоположны по знаку), значит $−cos({4π}/3) > 0$ и равно $cos(π/3)$. Верно.

Шаг 6: Проверяем утверждение 5

${tg(π/4)} = {tg({5π}/4)}$.

Угол $π/4$ — I четверть, точка лежит на луче, выходящем из начала координат под углом 45°.

Угол ${5π}/4 = π + π/4$ — III четверть, точка лежит на том же луче, но в противоположном направлении (то есть на той же прямой, проходящей через начало координат).

Тангенс — это отношение y/x, то есть угловой коэффициент прямой OM. Для точек, лежащих на одной прямой с началом координат, угловой коэффициент одинаков. Значит, $tg(π/4) = tg({5π}/4)$. Верно.

Шаг 7: Проверяем утверждение 6

${sin(π/4)} = −{sin({3π}/4)}$.

Угол $π/4 $— I четверть, $y > 0, sin(π/4) > 0$.

Угол ${3π}/4 = π − π/4$ — II четверть. Точки $π/4$ и ${3π}/4$ симметричны относительно оси y, значит их y-координаты равны: $sin({3π}/4) = sin(π/4) > 0$.

Тогда $−sin({3π}/4) < 0$, а $sin(π/4) > 0$, значит равенство невозможно. Неверно.

Шаг 1: Вспоминаем границы координатных четвертей

На единичной окружности четверти ограничены углами (в радианах):

• I четверть: от 0 до ${π}/{2}$
• II четверть: от ${π}/{2}$ до π
• III четверть: от π до ${3π}/{2}$
• IV четверть: от ${3π}/{2}$ до 2π

Шаг 2: Приводим все углы к общему знаменателю 6

Чтобы удобно сравнивать углы с границами четвертей, запишем границы тоже со знаменателем 6:

• 0 = ${0}/{6}$π
• ${π}/{2} = {3π}/{6}$
• π = ${6π}/{6}$
• ${3π}/{2} = {9π}/{6}$
• 2π = ${12π}/{6}$

Теперь четверти выглядят так:

• I: от ${0π}/{6}$ до ${3π}/{6}$
• II: от ${3π}/{6}$ до ${6π}/{6}$
• III: от ${6π}/{6}$ до ${9π}/{6}$
• IV: от ${9π}/{6}$ до ${12π}/{6}$

Шаг 3: Сравниваем каждый угол с границами

• 1. ${2π}/{3} = {4π}/{6}$. Сравниваем: ${3π}/{6} < {4π}/{6} < {6π}/{6}$, значит II четверть. Утверждение неверно.
• 2. ${7π}/{4} = {10{,}5π}/{6}$ (умножили числитель и знаменатель на 1,5). Сравниваем: ${9π}/{6} < {10{,}5π}/{6} < {12π}/{6}$, значит IV четверть. Утверждение неверно.
• 3. ${π}/{6} = {1π}/{6}$. Сравниваем: ${0π}/{6} < {1π}/{6} < {3π}/{6}$, значит I четверть. Верно.
• 4. ${5π}/{6} = {5π}/{6}$. Сравниваем: ${3π}/{6} < {5π}/{6} < {6π}/{6}$, значит II четверть. Верно.
• 5. ${4π}/{3} = {8π}/{6}$. Сравниваем: ${6π}/{6} < {8π}/{6} < {9π}/{6}$, значит III четверть. Утверждение неверно.
• 6. ${11π}/{6} = {11π}/{6}$. Сравниваем: ${9π}/{6} < {11π}/{6} < {12π}/{6}$, значит IV четверть. Верно.

Шаг 1: Вспоминаем геометрический смысл синуса и косинуса

На единичной окружности точке с углом α соответствует точка M(x; y), где:

• синус — проекция на ось y: sin α = y;
• косинус — проекция на ось x: cos α = x.

Значит, знак синуса совпадает со знаком y, а знак косинуса — со знаком x.

Шаг 2: Вспоминаем знаки координат по четвертям

• I четверть (0°–90°): x > 0, y > 0 → sin > 0, cos > 0, tg > 0, ctg > 0.
• II четверть (90°–180°): x < 0, y > 0 → sin > 0, cos < 0, tg < 0, ctg < 0.
• III четверть (180°–270°): x < 0, y < 0 → sin < 0, cos < 0, tg > 0, ctg > 0.
• IV четверть (270°–360°): x > 0, y < 0 → sin < 0, cos > 0, tg < 0, ctg < 0.

Знаки tg и ctg определяем через отношения: ${tg α} = {sin α}/{cos α}$, ${ctg α} = {cos α}/{sin α}$.

Шаг 3: Определяем четверть для каждого угла и знак функции

• 1. 333° = 360° − 27° — это IV четверть. В IV четверти y < 0, значит sin(333°) < 0. Верно.
• 2. 17° — это I четверть. В I четверти sin > 0, cos > 0, значит tg(17°) = sin/cos > 0. Верно.
• 3. 200° = 180° + 20° — это III четверть. В III четверти x < 0, значит cos(200°) < 0. Неверно.
• 4. 100° = 90° + 10° — это II четверть. В II четверти cos < 0, sin > 0, значит ctg(100°) = cos/sin < 0. Неверно.
• 5. 150° = 90° + 60° — это II четверть. В II четверти y > 0, значит sin(150°) > 0, а не < 0. Неверно.
• 6. 300° = 360° − 60° — это IV четверть. В IV четверти x > 0, значит cos(300°) > 0. Верно.