Данный пример на преобразование показательных выражений: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели скдажыватся, при делении — вычитаются:

$8^{(3√5-1)+(1-√5)-(2√5-1)} = 8^1 = 8$.

Дано: $\log_{0.5}10-\log_{0.5}5$

Нужно вычислить значение выражения.

Шаг 1. Применяем свойство разности логарифмов.

Известно свойство:

$\log_a b-\log_a c=\log_a{b}/{c}$

В нашем случае $a=0.5$, $b=10$, $c=5$:

$\log_{0.5}10-\log_{0.5}5=\log_{0.5}{10}/{5}$

Шаг 2. Упрощаем дробь под логарифмом.

${10}/{5}=2$

Получаем:

$\log_{0.5}{10}/{5}=\log_{0.5}2$

Шаг 3. Представляем основание $0.5$ в виде степени.

$0.5={1}/{2}=2^{-1}$

Тогда:

$\log_{0.5}2=\log_{2^{-1}}2$

Шаг 4. Применяем свойство логарифма по основанию-степени.

Известно:

$\log_{a^n}b={1}/{n}\log_a b$

В нашем случае $a=2$, $n=-1$, $b=2$:

$\log_{2^{-1}}2={1} / {-1}\log_2 2=-1·\log_2 2$

Шаг 5. Вычисляем $\log_2 2$.

По основному логарифмическому тождеству:

$\log_2 2=1$

Тогда:

$-1·\log_2 2=-1·1=-1$

Ответ: $\log_{0.5}10-\log_{0.5}5=-1$

$log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{5}/{4} = log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}({5}/{4})^{−1} = − log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{4}/{5} = − log_{{4}/{5}} 5 · {1}/{log_{{4}/{5}} 5} = −1.$.

Из ${a}/{b} = 5$ следует, что $a = 5b$, тогда ${a + 7b + 12}/{a + 5b + 10} = {5b + 7b + 12}/{5b + 5b + 10} = {12b + 12}/{10b + 10} = {12(b + 1)}/{10(b + 1)} = 1.2$.

Заметим, что перед нами формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$√ {90^2-54^2} = √ {(90-54)(90+54)}$ = $√ {36⋅144} = 6⋅12 = 72$.

Воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:

${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}=6^{3√2+2+2√2-(5√2-1)} = 6^{5√2+2-5√2+1} = 6^3 = 216$.

$x⋅5^{2x+1}⋅ (5^2)^{-x}=x⋅5^{2x+1-2x}=x⋅5$. При $x=3$ получим $x⋅5=15$.

Дано: $\log_2(\log_5 5^4)$

Нужно вычислить значение выражения.

Шаг 1. Вычисляем внутренний логарифм $\log_5 5^4$.

Применяем свойство логарифма степени:

$\log_a b^n=n·\log_a b$

В нашем случае $a=5$, $b=5$, $n=4$:

$\log_5 5^4=4·\log_5 5$

По основному логарифмическому тождеству $\log_5 5=1$, значит:

$\log_5 5^4=4·1=4$

Шаг 2. Подставляем результат во внешний логарифм.

Получаем:

$\log_2(\log_5 5^4)=\log_2 4$

Шаг 3. Вычисляем $\log_2 4$.

Представим $4$ в виде степени числа $2$:

$4=2^2$

Тогда:

$\log_2 4=\log_2 2^2=2·\log_2 2=2·1=2$

Ответ: $\log_2(\log_5 5^4)=2$

${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 72 = 49$.

СПОСОБ 1:

Применив формулу приведения $cos(360° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° - 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.

СПОСОБ 2:

Либо же можно рассуждать не по формулам приведения, а по четности функции:

- $cos(360° -α) = cos(-α) $— т.к. 360 градусов — это полный оборот, который можно откинуть;

- $cos(-α) =cos(α)$ — т.к. косинус — четная функция, минус "съедается"

Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α - sin^2 α$, получим ${18(sin^2 16° - cos^2 16°)}/{cos^2 16° - sin^2 16°} = -18$.

$(11 · 4)^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 11^{-3.5} · 4^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 4^{-3.5-(-2.5)} · 11^{-3.5+4.5} = 4^{-1} · 11 = {11}/{4} = 2.75$.