Учитывая, что $tg(90° + α) = - ctg α$, получим $5tg(90° + 35°)· tg35° = -5 ctg 35° · tg35° = -5$.

Из ${a}/{b} = 5$ следует, что $a = 5b$, тогда ${a + 7b + 12}/{a + 5b + 10} = {5b + 7b + 12}/{5b + 5b + 10} = {12b + 12}/{10b + 10} = {12(b + 1)}/{10(b + 1)} = 1.2$.

Учитывая, что $sin(-α) = - sin α$, получим $sin(-750°) = - sin 750°$.

${-6√3}{cos(360° + 30°) · sin(-750°)} = {6√3}/{cos 30° · sin 750°} = {6√3}/{{√3}/{2} · sin(2 · 360° + 30°)} = {6√3}/{{√3}/{2} · sin 30°} = {6√3}/{{√3}/{2} · {1}/{2}} = 24$.

${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 72 = 49$.

Дано: ${\log_7 23} / {\log_{7^2}23}$

Нужно вычислить значение выражения.

Шаг 1. Преобразуем знаменатель.

В знаменателе стоит логарифм по основанию $7^2$:

$\log_{7^2}23$

Применим свойство логарифма по основанию, которое само является степенью:

$\log_{a^n}b={1}/{n}\log_a b$

В нашем случае $a=7$, $n=2$, $b=23$:

$\log_{7^2}23={1}/{2}\log_7 23$

Шаг 2. Подставляем преобразованный знаменатель в исходное выражение.

Получаем:

${\log_7 23} / {{1}/{2}\log_7 23}$

Шаг 3. Сокращаем дробь.

В числителе и знаменателе стоит один и тот же множитель $\log_7 23$ (он не равен нулю, так как $23≠1$).

Сокращаем:

${\log_7 23} / {{1}/{2}\log_7 23}={1} / {{1}/{2}}$

Шаг 4. Вычисляем результат.

Деление на дробь ${1}/{2}$ равносильно умножению на $2$:

${1} / {{1}/{2}}=2$

Ответ: ${\log_7 23} / {\log_{7^2}23}=2$

Данный пример на преобразование показательных выражений: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели скдажыватся, при делении — вычитаются:

$8^{(3√5-1)+(1-√5)-(2√5-1)} = 8^1 = 8$.

Дано: $\log_{0.5}10-\log_{0.5}5$

Нужно вычислить значение выражения.

Шаг 1. Применяем свойство разности логарифмов.

Известно свойство:

$\log_a b-\log_a c=\log_a{b}/{c}$

В нашем случае $a=0.5$, $b=10$, $c=5$:

$\log_{0.5}10-\log_{0.5}5=\log_{0.5}{10}/{5}$

Шаг 2. Упрощаем дробь под логарифмом.

${10}/{5}=2$

Получаем:

$\log_{0.5}{10}/{5}=\log_{0.5}2$

Шаг 3. Представляем основание $0.5$ в виде степени.

$0.5={1}/{2}=2^{-1}$

Тогда:

$\log_{0.5}2=\log_{2^{-1}}2$

Шаг 4. Применяем свойство логарифма по основанию-степени.

Известно:

$\log_{a^n}b={1}/{n}\log_a b$

В нашем случае $a=2$, $n=-1$, $b=2$:

$\log_{2^{-1}}2={1} / {-1}\log_2 2=-1·\log_2 2$

Шаг 5. Вычисляем $\log_2 2$.

По основному логарифмическому тождеству:

$\log_2 2=1$

Тогда:

$-1·\log_2 2=-1·1=-1$

Ответ: $\log_{0.5}10-\log_{0.5}5=-1$

$12√6 tg{π}/{6} · cos{π}/{4} = 12√6{1}/{√3} ·{√2}/{2} = {12√12}/{2√3} = 12$.

Учитывая, что $cos(180° + α) = - cos α$, получим ${14}/{sin^2 25° + cos^2 (180° + 25°)} = {14}/{sin^2 25° + cos^2 25°} = 14$.