Задание 16. Вычисления и преобразования. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.2%
Алгоритм решения задания 16:
- Проанализировать данное числовое выражение и определить все используемые в нём операции.
- Установить порядок выполнения действий с учётом скобок и приоритетов арифметических операций.
- При необходимости упростить отдельные части выражения до начала основных вычислений.
- Последовательно выполнить вычисления, контролируя корректность каждого шага.
- Сопоставить полученное значение с ожидаемым порядком величины.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения $ \log_{0{,}8}5 ⋅ \log_{5}1{,}25$.
Решение
$log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{5}/{4} = log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}({5}/{4})^{−1} = − log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{4}/{5} = − log_{{4}/{5}} 5 · {1}/{log_{{4}/{5}} 5} = −1.$.
Задача 2
Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.
Решение
${15√x}/{√x} - {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x - 8 = 15 - {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x - 8 = 7 + 2x$.
При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.
Задача 3
Найдите значение выражения $(√ {17} - √ {12})(√ {17}+√ {12})$.
Решение
$(√{17} - √{12})(√{17} + √{12}) = (√{17})^2 - (√{12})^2 = 17 - 12 = 5$.
Задача 4
Найдите значение выражения ${7^{\log_5 50}} / {7^{\log_{5}2 }}$.
Решение
${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 72 = 49$.
Задача 5
Найдите значение выражения ${a+7b+12} / {a+5b+10}$, если ${a} / {b}=5$.
Решение
Из ${a}/{b} = 5$ следует, что $a = 5b$, тогда ${a + 7b + 12}/{a + 5b + 10} = {5b + 7b + 12}/{5b + 5b + 10} = {12b + 12}/{10b + 10} = {12(b + 1)}/{10(b + 1)} = 1.2$.
Задача 6
Найдите значение выражения ${3\sin β +15\cos β -8} / {\sinβ +5\cosβ +2}$, если $\tg β = - 5$.
Решение
Решение
Шаг 1: Введем замену переменной
Заметим, что в числителе и знаменателе выражения есть похожие комбинации sinβ и cosβ.
Введем замену: пусть t = sinβ + 5cosβ
Тогда наше выражение примет вид:
Шаг 2: Выразим t через tgβ
Мы знаем, что tgβ = -5, то есть sinβ/cosβ = -5, откуда sinβ = -5cosβ
Подставим это в выражение для t:
Таким образом, t = 0.
Шаг 3: Подставим значение t в выражение
Теперь подставим t = 0 в наше выражение:
Задача 7
Найдите значение выражения ${2√ {a}+7} / {√ {a}}- {7√ {a}} / {a}-2a+11$ при $a= 5$.
Решение
${2√{a}+7}/{√{a}} - {7√{a}}/{a} - 2a + 11 = 2 + 7/√{a} - 7/√{a} - 2a + 11 = 13 - 2a$
При $a=5$: $13 - 2·5 = 13 - 10 = 3$
Задача 8
Найдите значение выражения $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 123°}$.
Решение
Учитывая, что $\cos(90°+α)=-\sinα$, получим: $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 (90°+33°)}= {5} / {\cos^2 33°+ \sin^2 33°}= 5$.
Задача 9
Найдите значение выражения $√ {160^2-{96}^2}$.
Решение
Преобразуем подкоренное выражение при помощи формулы "Разность квадратов" $√(160^2-96^2)=√((160-96)·(160+96))=√(64·256)=8·16=128$
Задача 10
Найдите значение выражения $4\cos(x - 3π ) - 7\sin(0{,}5π + x)$, если $\cos x = 0{,}3$.
Решение
Решение
Шаг 1: Упростим выражение cos(x - 3π)
Используем свойство периодичности косинуса и формулу приведения:
Теперь применим формулу приведения для косинуса:
Таким образом:
Шаг 2: Упростим выражение sin(0.5π + x)
Используем формулу приведения для синуса:
Таким образом:
Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в исходное
Исходное выражение:
Шаг 4: Подставим значение cos x = 0.3
Задача 11
Найдите значение выражения $({1} / {5a+7}-{1} / {5a-7})⋅ (25a^2-49)$.
Решение
$({1} / {5a+7}-{1} / {5a-7})⋅ (25a^2-49) = {(5a-7) - (5a+7)}/{(5a+7)(5a-7)} ⋅ (25a^2-49) = {-14}/{25a^2-49} ⋅ (25a^2-49) = -14$
Задача 12
Найдите значение выражения ${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}}$.
Решение
${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = {3a^4c^{-5}} / {125a^6} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = 3a^{4-6-(-2)}c^{-5-(-4)+1} = 3a^0c^0 = 3$
Задача 13
Найдите значение выражения ${18(\sin^2 16°- \cos^2 16°)} / {\cos 32°}$.
Решение
Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α - sin^2 α$, получим ${18(sin^2 16° - cos^2 16°)}/{cos^2 16° - sin^2 16°} = -18$.
Задача 14
Найдите значение выражения ${13√^36{√^5{a}}+9√^10{√^18{a}}} / {2√^4{√^45{a}}}$ при $a>0$.
Решение
${13·a^{1/36·1/5} + 9·a^{1/10·1/18}} / {2·a^{1/4·1/45}} = {13·a^{1/180} + 9·a^{1/180}} / {2·a^{1/180}} ={a^{1/180} ·({13 + 9})} / {2·a^{1/180}} = {13 + 9} / {2} = {22} / {2} = 11$
Задача 15
Найдите значение выражения $ \log_{0{,}5} 10-\log_{0{,}5}5 $.
Решение
$log_{0.5}10 - log_{0.5}5 = log_{0.5}{10}/{5} = log__{0.5}({5}/{10})^{-1} = -1$.
Задача 16
Найдите значение выражения ${√^{18}{11} ⋅ √^9{11}} / {√^6{11}}$.
Решение
${√^{18}{11} ⋅ √^9{11}} / {√^6{11}} = {11^{1/18} ⋅ 11^{1/9}} / 11^{1/6} = 11^{1/18 + 1/9 - 1/6} = 11^{1/18 + 2/18 - 3/18} = 11^{0} = 1$
Задача 17
Найдите значение выражения ${15 \cos 19°} / {\cos341°}$.
Решение
Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° - 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.
Задача 18
Найдите значение выражения ${√^5{14}⋅ √^5{16}} / {√^5{7}}$.
Решение
${√^5{14} · √^5{16}}/{√^5{7}} = {√^5{14 · 16}}/{√^5{7}} = √^5{{14 · 16}/{7}} = √^5{2 · 16} = √^5{32} = 2.$
Задача 19
Найдите значение выражения $√ {160^2-96^2}$.
Решение
Под корнем применим формулу сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$√{160^2 - 96^2} = √{(160 - 96)(160+ 96)} = √{64·256} = 8·16 = 128$.
Задача 20
Найдите значение выражения $√ {90^2-54^2}$.
Решение
$√ {90^2-54^2} = √ {(90-54)(90+54)}$ = $√ {36⋅144} = 6⋅12 = 72$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- 👻 Вспомнишь алгебраические преобразования
- 👻 Отработаешь линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения
- 👻 Покоришь движение по воде
- 👻 И в целом крайне продуктивно проведешь время
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
