Задание 16. Вычисления и преобразования. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.2%
Алгоритм решения задания 16:
- Проанализировать данное числовое выражение и определить все используемые в нём операции.
- Установить порядок выполнения действий с учётом скобок и приоритетов арифметических операций.
- При необходимости упростить отдельные части выражения до начала основных вычислений.
- Последовательно выполнить вычисления, контролируя корректность каждого шага.
- Сопоставить полученное значение с ожидаемым порядком величины.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения $√ {160^2-96^2}$.
Решение
Под корнем применим формулу сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$√{160^2 - 96^2} = √{(160 - 96)(160+ 96)} = √{64·256} = 8·16 = 128$.
Задача 2
Найдите значение выражения ${3\sin β +15\cos β -8} / {\sinβ +5\cosβ +2}$, если $\tg β = - 5$.
Решение
Решение
Шаг 1: Введем замену переменной
Заметим, что в числителе и знаменателе выражения есть похожие комбинации sinβ и cosβ.
Введем замену: пусть t = sinβ + 5cosβ
Тогда наше выражение примет вид:
Шаг 2: Выразим t через tgβ
Мы знаем, что tgβ = -5, то есть sinβ/cosβ = -5, откуда sinβ = -5cosβ
Подставим это в выражение для t:
Таким образом, t = 0.
Шаг 3: Подставим значение t в выражение
Теперь подставим t = 0 в наше выражение:
Задача 3
Найдите значение выражения $ \log_{0{,}5} 10-\log_{0{,}5}5 $.
Решение
$log_{0.5}10 - log_{0.5}5 = log_{0.5}{10}/{5} = log__{0.5}({5}/{10})^{-1} = -1$.
Задача 4
Найдите значение выражения $(√ {23} - √ {15})(√ {23}+√ {15})$.
Решение
Используем формулу сокращенного умножения: $(√{23} - √{15})(√{23} + √{15}) = (√{23})^2 - (√{15})^2 = 23 - 15 = 8$.
Задача 5
Найдите значение выражения $({1} / {5a+7}-{1} / {5a-7})⋅ (25a^2-49)$.
Решение
$({1} / {5a+7}-{1} / {5a-7})⋅ (25a^2-49) = {(5a-7) - (5a+7)}/{(5a+7)(5a-7)} ⋅ (25a^2-49) = {-14}/{25a^2-49} ⋅ (25a^2-49) = -14$
Задача 6
Найдите значение выражения ${15 \cos 19°} / {\cos341°}$.
Решение
Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° - 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.
Задача 7
Найдите значение выражения $√ {160^2-{96}^2}$.
Решение
Преобразуем подкоренное выражение при помощи формулы "Разность квадратов" $√(160^2-96^2)=√((160-96)·(160+96))=√(64·256)=8·16=128$
Задача 8
Найдите значение выражения ${18(\sin^2 16°- \cos^2 16°)} / {\cos 32°}$.
Решение
Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α - sin^2 α$, получим ${18(sin^2 16° - cos^2 16°)}/{cos^2 16° - sin^2 16°} = -18$.
Задача 9
Найдите значение выражения $44^{-3{,}5} ⋅ 11^{4{,}5}:4^{-2{,}5}$.
Решение
$(11 · 4)^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 11^{-3.5} · 4^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 4^{-3.5-(-2.5)} · 11^{-3.5+4.5} = 4^{-1} · 11 = {11}/{4} = 2.75$.
Задача 10
Найдите значение выражения $(√ {17} - √ {12})(√ {17}+√ {12})$.
Решение
$(√{17} - √{12})(√{17} + √{12}) = (√{17})^2 - (√{12})^2 = 17 - 12 = 5$.
Задача 11
Найдите значение выражения $\log_5 27 ⋅ \log_3 25$.
Решение
$(log_5 3^3)log_3 5^2 = 3 log_5 3 · 2 log_3 5 = 6 log_5 3 · {1}/{log_5 3} = 6$.
Задача 12
Найдите значение выражения ${2√ {a}+7} / {√ {a}}- {7√ {a}} / {a}-2a+11$ при $a= 5$.
Решение
${2√{a}+7}/{√{a}} - {7√{a}}/{a} - 2a + 11 = 2 + 7/√{a} - 7/√{a} - 2a + 11 = 13 - 2a$
При $a=5$: $13 - 2·5 = 13 - 10 = 3$
Задача 13
Найдите значение выражения $√ {90^2-54^2}$.
Решение
$√ {90^2-54^2} = √ {(90-54)(90+54)}$ = $√ {36⋅144} = 6⋅12 = 72$.
Задача 14
Найдите значение выражения ${a} / {b}$, если ${5a+2b} / {2a+5b}=3$.
Решение
Из ${5a+2b} / {2a+5b}=3$ следует, что $ {5a+2b}=3{(2a+5b)}$. Тогда
$5a+2b=6a+15b$, $a=-13b$. Разделим обе части равенства на $b$. Получим ${a} / b=-13. $
Задача 15
Найдите значение выражения $ {\log_{3} 36} / {2+\log_{3} 4}$.
Решение
$ {\log_{3} (9⋅4)} / {2+\log_{3}4} ={\log_{3} 9+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} ={2+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} =1$.
Задача 16
Найдите значение выражения ${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}}$.
Решение
${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = {3a^4c^{-5}} / {125a^6} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = 3a^{4-6-(-2)}c^{-5-(-4)+1} = 3a^0c^0 = 3$
Задача 17
Найдите значение выражения ${-6√ {3}} / {\cos390°⋅ \sin (-750°)}$.
Решение
Учитывая, что $sin(-α) = - sin α$, получим $sin(-750°) = - sin 750°$.
${-6√3}{cos(360° + 30°) · sin(-750°)} = {6√3}/{cos 30° · sin 750°} = {6√3}/{{√3}/{2} · sin(2 · 360° + 30°)} = {6√3}/{{√3}/{2} · sin 30°} = {6√3}/{{√3}/{2} · {1}/{2}} = 24$.
Задача 18
Найдите значение выражения $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 123°}$.
Решение
Учитывая, что $\cos(90°+α)=-\sinα$, получим: $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 (90°+33°)}= {5} / {\cos^2 33°+ \sin^2 33°}= 5$.
Задача 19
Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.
Решение
${15√x}/{√x} - {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x - 8 = 15 - {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x - 8 = 7 + 2x$.
При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.
Задача 20
Найдите значение выражения ${13√^36{√^5{a}}+9√^10{√^18{a}}} / {2√^4{√^45{a}}}$ при $a>0$.
Решение
${13·a^{1/36·1/5} + 9·a^{1/10·1/18}} / {2·a^{1/4·1/45}} = {13·a^{1/180} + 9·a^{1/180}} / {2·a^{1/180}} ={a^{1/180} ·({13 + 9})} / {2·a^{1/180}} = {13 + 9} / {2} = {22} / {2} = 11$
Рекомендуемые курсы подготовки
- 👻 Вспомнишь алгебраические преобразования
- 👻 Отработаешь линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения
- 👻 Покоришь движение по воде
- 👻 И в целом крайне продуктивно проведешь время
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
