Задание 16. Вычисления и преобразования. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.2%
Алгоритм решения задания 16:
- Проанализировать данное числовое выражение и определить все используемые в нём операции.
- Установить порядок выполнения действий с учётом скобок и приоритетов арифметических операций.
- При необходимости упростить отдельные части выражения до начала основных вычислений.
- Последовательно выполнить вычисления, контролируя корректность каждого шага.
- Сопоставить полученное значение с ожидаемым порядком величины.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения:
$log_5{250} - log_5{2} + log_2{0.25}$
Решение
Шаг 1. Преобразование первых двух логарифмов
Свернем разность логарифмов по свойству деления подлогарифмических выражений:
$log_5{250} - log_5{2} = log_5{250 / 2} = log_5{125}$
Так как $5^3 = 125$, значение этого логарифма равно 3.
Шаг 2. Вычисление третьего логарифма
Переведем десятичную дробь в обыкновенную и представим её в виде степени с основанием 2:
$0.25 = 1/4 = 2^{-2}$
Тогда логарифм равен: $log_2{2^{-2}} = -2$
Шаг 3. Финальный расчет
Сложим полученные результаты вычислений:
$3 + (-2) = 1$
Ответ: 1
Задача 2
Найдите значение выражения:
$√{x · ^5√{x}} / x^(3/5)$
Решение
Шаг 1. Преобразование выражения под внешним корнем
Представим произведение под корнем в виде единой степени:
$x · ^5√{x} = x^1 · x^(1/5) = x^(1 + 1/5) = x^(6/5)$
Шаг 2. Извлечение внешнего квадратного корня
Внешний квадратный корень уменьшает показатель степени под ним в 2 раза:
$√{x^(6/5)} = (x^(6/5))^(1/2) = x^((6/5) · (1/2)) = x^(3/5)$
Шаг 3. Деление
Подставим результат числителя обратно в исходную дробь:
$x^(3/5) / x^(3/5) = 1$
Задача 3
Найдите ординату точки единичной окружности, полученной поворотом на угол ${5π}/6$.
Решение
Шаг 1. Переход к тригонометрической функции
Координата y (ордината) точки на единичной окружности соответствует значению синуса данного угла, то есть проекции этой точки на ось игрек:
$y = sin{{5π}/6}$
Шаг 2. Анализ по единичной окружности
Точки, соответствующие углам $π/6$ и ${5π}/6$, лежат на одной горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс. Это означает, что они имеют абсолютно одинаковую проекцию на ось ординат (ось y).
Следовательно, их синусы равны:
$sin{{5π}/6} = sin{π/6}$
По таблице тригонометрических значений $sin{π/6} = 1/2 = 0.5$. Значит, ордината точки равна 0.5.
Ответ: 0.5
Задача 4
Найдите значение выражения:
$4^{1 + log_2{5}}$
Решение
Шаг 1. Разложение степени на множители
Применим свойство произведения степеней и разобьем выражение на два множителя:
$4^{1 + log_2{5}} = 4^1 · 4^{log_2{5}} = 4 · 4^{log_2{5}}$
Шаг 2. Вычисление логарифмической части
Преобразуем основание 4 во втором множителе, чтобы оно совпало с основанием логарифма:
$4^{log_2{5}} = (2^2)^{log_2{5}} = 2^{2 · log_2{5}}$
Внесем множитель 2 в показатель подлогарифмического выражения:
$2^{log_2{5^2}} = 2^{log_2{25}}$
По основному логарифмическому тождеству получаем: 25.
Шаг 3. Финальный расчет
Перемножим результаты первого и второго шагов:
$4 · 25 = 100$
Ответ: 100
Задача 5
Найдите значение выражения:
$log_2{log_2{log_3{81}}}$
Решение
Шаг 1. Вычисление внутреннего логарифма
Найдем значение самого глубокого логарифма. Так как $3^4 = 81$, то:
$log_3{81} = 4$
Подставим этот результат в выражение: $log_2{log_2{4}}$
Шаг 2. Вычисление среднего логарифма
Теперь найдем значение следующего логарифма. Так как $2^2 = 4$, то:
$log_2{4} = 2$
Подставим этот результат во внешний логарифм: $log_2{2}$
Шаг 3. Финальный расчет
Логарифм числа по тому же основанию равен единице:
$log_2{2} = 1$
Ответ: 1
Задача 6
Найдите значение выражения:
$49^{log_7{3} + log_7{2}}$
Решение
Шаг 1. Упрощение показателя степени
Свернем сумму логарифмов по свойству произведения:
$log_7{3} + log_7{2} = log_7{(3 · 2)} = log_7{6}$
Шаг 2. Вычисление значения степени
Подставим свернутый логарифм в показатель и преобразуем основание $49 = 7^2$:
$49^(log_7{6}) = (7^2)^(log_7{6}) = 7^(2 · log_7{6}) = 7^(log_7 {(6^2)}) = 7^(log_7{36})$
По основному логарифмическому тождеству: $7^(log_7{36}) = 36$.
Задача 7
Найдите значение выражения:
${18}/{sin^2{50°} + sin^2{140°}}$
Решение
Шаг 1. Упрощение знаменателя
Преобразуем второе слагаемое в знаменателе:
$sin{140°} = sin(90° + 50°) = cos{50°}$
Возводя в квадрат, получаем: $sin^2{140°} = cos^2{50°}$
Шаг 2. Применение основного тождества
Запишем получившийся знаменатель дроби:
$sin^2{50°} + cos^2{50°} = 1$
Шаг 3. Итоговый деление
Подставим значение знаменателя обратно в дробную черту:
${18}/{1} = 18$
Задача 8
Найдите значение выражения $sin{2a}$, если $cos{a} = 0.6$ и $a ∈ (0°; 90°)$.
Решение
Шаг 1. Нахождение синуса угла $a$
Из основного тригонометрического тождества получаем:
$sin^2{a} = 1 - cos^2{a} = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64$
Так как угол находится в I четверти ($0° < a < 90°$), то синус положителен:
$sin{a} = √{0.64} = 0.8$
Шаг 2. Раскрытие формулы двойного угла
Подставим значения синуса и косинуса в формулу синуса двойного угла:
$sin{2a} = 2 · sin{a} · cos{a} = 2 · 0.8 · 0.6 = 0.96$
Ответ: 0.96
Задача 9
Используя единичную окружность, определите знак выражения: $sin{130°} · cos{190°} · tg{290°}$. Если значение положительно, в ответ укажите 1, если значение отрицательно, укажите -1.
Решение
Шаг 1. Определение четвертей и знаков функций
1) Угол $130°$ лежит во II четверти. Синус там положителен: $sin{130°} > 0$ (знак «+»).
2) Угол $190°$ лежит в III четверти. Косинус там отрицателен: $cos{190°} < 0$ (знак «-»).
3) Угол $290°$ лежит в IV четверти. Тангенс там отрицателен: $tg{290°} < 0$ (знак «-»).
Шаг 2. Перемножение знаков
Перемножим знаки всех трех сомножителей выражения:
(+) · (-) · (-) = (+)
Так как итоговое произведение знаков положительно, результатом выражения является число больше нуля.
Ответ: 1
Задача 10
Найдите значение выражения:
$log_{1/9}{√3}$
Решение
Шаг 1. Приведение элементов к основанию 3
1) Представим основание логарифма в виде степени: $1/9 = 1 / 3^2 = 3^{-2}$
2) Представим подлогарифмический корень в виде дробной степени: $√3 = 3^{1/2}$
Запишем получившийся логарифм: $log_{3^{-2}}{3^{1/2}}$
Шаг 2. Вынесение показателей степеней
Вынесем степень подлогарифмического выражения вперед как множитель (в числитель), а степень основания логарифма — как делитель (в знаменатель):
$(1/2) / (-2) · log_3{3}$
Поскольку $log_3{3} = 1$, получаем обыкновенную дробь: $-1/4$. Переведем её в десятичный вид.
Ответ: -0.25
Задача 11
Найдите значение выражения:
${(log_2{20})^2 - (log_2{5})^2} / {log_2{100}}$
Решение
Шаг 1. Разложение числителя по формуле разности квадратов
Применим формулу сокращенного умножения к числителю выражения:
${(log_2{20} - log_2{5}) · (log_2{20} + log_2{5})} /{ log_2{100}}$
Шаг 2. Упрощение скобок через свойства логарифмов
1) Вычислим первую скобку (разность логарифмов равна логарифму частного): $log_2{20} - log_2{5} = log_2{20 / 5} = log_2{4} = 2$
2) Вычислим вторую скобку (сумма логарифмов равна логарифму произведения): $log_2{20} + log_2{5} = log_2{20 · 5} = log_2{100}$
Шаг 3. Финальный расчет и сокращение
Подставим полученные значения скобок обратно в числитель дроби:
${2 · log_2{100}} / {log_2{100}}$
Логарифм $log_2{100}$ в числителе и знаменателе полностью сокращается, остаётся только целое число:
2
Ответ: 2
Задача 12
Найдите значение выражения:
${14 · (sin^2{19°} - cos^2{19°})} /{ cos{38°}}$
Решение
Шаг 1. Вынесение минуса в числителе
Вынесем -1 из скобки числителя, чтобы получить правильный порядок слагаемых для косинуса двойного угла:
${-14 · (cos^2{19°} - sin^2{19°}) }/ {cos{38°}}$
Шаг 2. Применение формулы и сокращение
Выражение в скобках равно косинусу двойного угла: $cos{(2 · 19°)} = cos{38°}$:
${-14 · cos{38°}} / {cos{38°} }= -14$
Задача 13
Найдите значение выражения:
${4 · sin{112°}} / {sin{56°} · sin{34°}}$
Решение
Шаг 1. Раскрытие синуса двойного угла
Преобразуем числитель выражения:
$sin{112°} = 2 · sin{56°} · cos{56°}$
Подставим это произведение в исходную дробь:
${4 · 2 · sin{56°} · cos{56°}} / {sin{56°} · sin{34°}} = {8 · cos{56°}} / {sin{34°}}$
Шаг 2. Применение формулы приведения
Выразим косинус числителя через синус дополнительного угла: $cos{56°} = sin{90° - 56°} = sin{34°}$.
Произведем замену в дроби и выполним окончательное сокращение:
${8 · sin{34°}} / {sin{34°} }= 8$
Задача 14
Найдите значение выражения:
$5^{log_3{54}} / 5^{log_3{2}}$
Решение
Шаг 1. Вычитание показателей
Объединим дробь, вычтя показатели степени:
$5^{log_3{54} - log_3{2}}$
Шаг 2. Преобразование разности логарифмов
Применим свойство деления подлогорифмических выражений:
$log_3{54} - log_3{2} = log_3{54 / 2} = log_3{27}$
Шаг 3. Итоговый расчет
Получаем выражение: $5^{log_3{27}}$. Так как $log_3{27} = 3$ (поскольку $3^3 = 27$), то:
$5^3 = 125$
Задача 15
Найдите значение выражения:
$16 · sin{{7π}/6}$
Решение
Шаг 1. Применение формулы приведения
Разложим угол на сумму целого числа $π$ и табличной части:
$sin{{7π}/6} = sin{(π + π/6)}$
По правилу приведения, угол попадает в третью четверть, знак синуса меняется на минус:
$sin{(π + π/6)} = -sin{π/6}$
Шаг 2. Подстановка значения и расчет
По таблице тригонометрических значений $sin{π/6} = 0.5$. Вычислим ответ:
$16 · (-0.5) = -8$
Задача 16
Выберите верные высказывания о знаках тригонометрических функций в координатных четвертях:
- Синус угла во II четверти положителен.
- Косинус угла в III четверти отрицателен.
- Тангенс угла во II четверти положителен.
- Котангенс угла в IV четверти отрицателен.
- Синус угла в IV четверти отрицателен.
- Косинус угла в I четверти отрицателен.
В ответ укажите номера высказываний без пробелов и знаков препинания.
Решение
Решение
Шаг 1: Вспоминаем геометрический смысл синуса и косинуса
Рассмотрим единичную окружность. Пусть углу α соответствует точка M(x; y) на окружности.
Тогда:
- синус — это проекция точки M на ось y, то есть sin α = y;
- косинус — это проекция точки M на ось x, то есть cos α = x.
Значит, знак синуса совпадает со знаком координаты y, а знак косинуса — со знаком координаты x.
Шаг 2: Вспоминаем знаки координат x и y по четвертям
- I четверть: x > 0, y > 0.
- II четверть: x < 0, y > 0.
- III четверть: x < 0, y < 0.
- IV четверть: x > 0, y < 0.
Отсюда сразу получаем знаки синуса и косинуса:
- sin α > 0 в I и II четвертях; sin α < 0 в III и IV четвертях.
- cos α > 0 в I и IV четвертях; cos α < 0 во II и III четвертях.
Шаг 3: Находим знаки тангенса и котангенса через синус и косинус
По определению:
Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя. Значит:
- tg α > 0, когда sin α и cos α одного знака (I и III четверти);
- tg α < 0, когда sin α и cos α разных знаков (II и IV четверти);
- ctg α имеет тот же знак, что и tg α, так как ctg α = 1/tg α.
Шаг 4: Сводим всё в таблицу знаков по четвертям
- I четверть: sin > 0, cos > 0, tg > 0, ctg > 0.
- II четверть: sin > 0, cos < 0, tg < 0, ctg < 0.
- III четверть: sin < 0, cos < 0, tg > 0, ctg > 0.
- IV четверть: sin < 0, cos > 0, tg < 0, ctg < 0.
Шаг 5: Проверяем каждое утверждение
- 1. Синус во II четверти: y > 0, значит sin > 0 — верно.
- 2. Косинус в III четверти: x < 0, значит cos < 0 — верно.
- 3. Тангенс во II четверти: sin > 0, cos < 0, их отношение отрицательно → tg < 0. Утверждение неверно.
- 4. Котангенс в IV четверти: cos > 0, sin < 0, их отношение отрицательно → ctg < 0 — верно.
- 5. Синус в IV четверти: y < 0, значит sin < 0 — верно.
- 6. Косинус в I четверти: x > 0, значит cos > 0, а не отрицателен. Утверждение неверно.
Задача 17
Найдите значение выражения:
$6 · tg{58°} · tg{32°}$
Решение
Шаг 1. Преобразование тригонометрической функции
Применим формулу приведения к первому тангенсу:
$tg{58°} = tg(90° - 32°) = ctg{32°}$
Шаг 2. Расчет произведения
Подставим котангенс в искомое выражение и применим тригонометрическое тождество $ctg{x} · tg{x} = 1$:
$6 · ctg{32°} · tg{32°} = 6 · 1 = 6$
Задача 18
Найдите значение выражения $5cos{2a}$, если $sin{a} = -0.4$.
Решение
Шаг 1. Вычисление косинуса двойного угла
Применим формулу двойного угла через синус:
$cos{2a} = 1 - 2sin^2{a}$
Подставим значение $sin{a} = -0.4$:
$cos{2a} = 1 - 2 · (-0.4)^2 = 1 - 2 · 0.16 = 1 - 0.32 = 0.68$
Шаг 2. Расчет значения итогового выражения
Умножим полученный результат на числовой коэффициент перед функцией:
$5cos{2a} = 5 · 0.68 = 3.4$
Ответ: 3.4
Задача 19
На единичной окружности точка угла $a$ находится во второй четверти. Известно, что $sin{a} = 0.6$. Найдите абсциссу (координату x) этой точки.
Решение
Шаг 1. Применение основного тригонометрического тождества
Выразим квадрат косинуса:
$cos^2{a} = 1 - sin^2{a}$
$cos^2{a} = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64$
Шаг 2. Учет координатной четверти
По условию угол $a$ находится во II четверти. Косинус (абсцисса точки x) во второй четверти имеет отрицательный знак:
$cos{a} = -√{0.64} = -0.8$
Поскольку абсцисса точки равна $cos{a}$, координата x равна -0.8.
Ответ: -0.8
Задача 20
Выберите верные высказывания:
- ${cos(π/4)} = {cos({5π}/4)}$
- ${sin(π/6)} = −{sin({7π}/6)}$
- ${sin(π/3)} = {sin({2π}/3)}$
- ${cos(π/3)} = −{cos({4π}/3)}$
- ${tg(π/4)} = {tg({5π}/4)}$
- ${sin(π/4)} = −{sin({3π}/4)}$
В ответ укажите номера высказываний без пробелов и знаков препинания.
Решение
Решение
Шаг 1: Вспоминаем геометрический смысл синуса и косинуса
На единичной окружности точке с углом α соответствует точка M(x; y), где:
- косинус — это проекция точки M на ось x: cos α = x;
- синус — это проекция точки M на ось y: sin α = y.
Значит, чтобы сравнить значения синусов или косинусов двух углов, достаточно сравнить соответствующие координаты x или y точек на окружности.
Тангенс — это отношение sin/cos, то есть отношение координаты y к координате x. Значит, tg α = tg β тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат (на одном луче или на противоположных лучах одной прямой).
Шаг 2: Проверяем утверждение 1
${cos(π/4)} = {cos({5π}/4)}$.
Угол $π/4$ — это I четверть, точка находится в правой верхней части окружности, x > 0, значит $cos(π/4)$ > 0.
Угол ${5π}/4 = π + π/4$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/4$ относительно начала координат, значит x < 0,$ cos({5π}/4)$ < 0.
Положительное число не может равняться отрицательному. Неверно.
Шаг 3: Проверяем утверждение 2
${sin(π/6)} = −{sin({7π}/6)}$.
Угол $π/6$ — это I четверть, y > 0, значит $sin(π/6)$ > 0.
Угол ${7π}/6 = π + π/6$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/6$ относительно начала координат, значит y < 0, $sin({7π}/6)$ < 0.
Тогда $−sin({7π}/6) > 0$, и по модулю это то же самое значение, что и $sin(π/6)$, так как точки симметричны относительно начала координат (их координаты y равны по модулю и противоположны по знаку).
Значит, $sin(π/6) = −sin({7π}/6)$. Верно.
Шаг 4: Проверяем утверждение 3
${sin(π/3)} = {sin({2π}/3)}$.
Угол $π/3$ — это I четверть, угол ${2π}/3 = π − π/3$ — это II четверть.
Эти точки симметричны относительно оси y. При симметрии относительно оси y координата x меняет знак, а координата y сохраняется.
Значит, y-координаты (то есть синусы) у этих точек одинаковы: $sin(π/3) = sin({2π}/3)$. Верно.
Шаг 5: Проверяем утверждение 4
${cos(π/3)} = −{cos({4π}/3)}$.
Угол $π/3$ — это I четверть, $x > 0$, $cos(π/3) > 0$.
Угол ${4π}/3 = π + π/3$ — это III четверть, точка симметрична точке $π/3$ относительно начала координат, значит $x < 0, cos({4π}/3) < 0$.
По модулю косинусы равны (точки симметричны относительно начала координат, координаты x равны по модулю и противоположны по знаку), значит $−cos({4π}/3) > 0$ и равно $cos(π/3)$. Верно.
Шаг 6: Проверяем утверждение 5
${tg(π/4)} = {tg({5π}/4)}$.
Угол $π/4$ — I четверть, точка лежит на луче, выходящем из начала координат под углом 45°.
Угол ${5π}/4 = π + π/4$ — III четверть, точка лежит на том же луче, но в противоположном направлении (то есть на той же прямой, проходящей через начало координат).
Тангенс — это отношение y/x, то есть угловой коэффициент прямой OM. Для точек, лежащих на одной прямой с началом координат, угловой коэффициент одинаков. Значит, $tg(π/4) = tg({5π}/4)$. Верно.
Шаг 7: Проверяем утверждение 6
${sin(π/4)} = −{sin({3π}/4)}$.
Угол $π/4 $— I четверть, $y > 0, sin(π/4) > 0$.
Угол ${3π}/4 = π − π/4$ — II четверть. Точки $π/4$ и ${3π}/4$ симметричны относительно оси y, значит их y-координаты равны: $sin({3π}/4) = sin(π/4) > 0$.
Тогда $−sin({3π}/4) < 0$, а $sin(π/4) > 0$, значит равенство невозможно. Неверно.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
