Задание 16. Вычисления и преобразования. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 62.2%
Алгоритм решения задания 16:
- Проанализировать данное числовое выражение и определить все используемые в нём операции.
- Установить порядок выполнения действий с учётом скобок и приоритетов арифметических операций.
- При необходимости упростить отдельные части выражения до начала основных вычислений.
- Последовательно выполнить вычисления, контролируя корректность каждого шага.
- Сопоставить полученное значение с ожидаемым порядком величины.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения $x⋅5^{2x+1}⋅ 25^{-x}$ при $x=3$.
Решение
$x⋅5^{2x+1}⋅ (5^2)^{-x}=x⋅5^{2x+1-2x}=x⋅5$. При $x=3$ получим $x⋅5=15$.
Задача 2
Найдите значение выражения $√ {160^2-96^2}$.
Решение
Под корнем применим формулу сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$√{160^2 - 96^2} = √{(160 - 96)(160+ 96)} = √{64·256} = 8·16 = 128$.
Задача 3
Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.
Решение
${15√x}/{√x} - {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x - 8 = 15 - {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x - 8 = 7 + 2x$.
При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.
Задача 4
Найдите значение выражения $6x⋅(2x^9)^4:{(4x^{12})}^3$ при $x=5$.
Решение
Для удобства перепишем деление как дробь. Применим свойства степеней:
$6x·(2x^9)^4 : (4^3 · (x^{12})^3)={6x·(2x^9)^4}/ {4^3 · (x^{12})^3} ={6x·2^4·x^{9·4}}/ {(2^2)^3 · x^{12·3}} = {6x · 2^4 · x^{36}}/{2^6·x^{36}} = {6x}/{4} = 1.5·x$.
Зная значение $x=5: 1,5·5=7,5$
Задача 5
Найдите значение выражения $12√ {6}\tg {π} / {6}⋅\cos{π} / {4}$.
Решение
$12√6 tg{π}/{6} · cos{π}/{4} = 12√6{1}/{√3} ·{√2}/{2} = {12√12}/{2√3} = 12$.
Задача 6
Найдите значение выражения ${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}}$.
Решение
${3a^4c^{-5}} / {(5a^2)^3} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = {3a^4c^{-5}} / {125a^6} ⋅ {125c} / {a^{-2}c^{-4}} = 3a^{4-6-(-2)}c^{-5-(-4)+1} = 3a^0c^0 = 3$
Задача 7
Найдите значение выражения $\log_5 27 ⋅ \log_3 25$.
Решение
$(log_5 3^3)log_3 5^2 = 3 log_5 3 · 2 log_3 5 = 6 log_5 3 · {1}/{log_5 3} = 6$.
Задача 8
Найдите значение выражения ${15 \cos 19°} / {\cos341°}$.
Решение
Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° - 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.
Задача 9
Найдите значение выражения $ \log_{0{,}8}5 ⋅ \log_{5}1{,}25$.
Решение
$log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{5}/{4} = log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}({5}/{4})^{−1} = − log_{{4}/{5}} 5 · log_{5}{4}/{5} = − log_{{4}/{5}} 5 · {1}/{log_{{4}/{5}} 5} = −1.$.
Задача 10
Найдите значение выражения $44^{-3{,}5} ⋅ 11^{4{,}5}:4^{-2{,}5}$.
Решение
$(11 · 4)^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 11^{-3.5} · 4^{-3.5} · 11^{4.5} : 4^{-2.5} = 4^{-3.5-(-2.5)} · 11^{-3.5+4.5} = 4^{-1} · 11 = {11}/{4} = 2.75$.
Задача 11
Найдите значение выражения $(√ {23} - √ {15})(√ {23}+√ {15})$.
Решение
Используем формулу сокращенного умножения: $(√{23} - √{15})(√{23} + √{15}) = (√{23})^2 - (√{15})^2 = 23 - 15 = 8$.
Задача 12
Найдите значение выражения $√ {90^2-54^2}$.
Решение
Заметим, что перед нами формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
$√ {90^2-54^2} = √ {(90-54)(90+54)}$ = $√ {36⋅144} = 6⋅12 = 72$.
Задача 13
Найдите значение выражения ${√^5{14}⋅ √^5{16}} / {√^5{7}}$.
Решение
${√^5{14} · √^5{16}}/{√^5{7}} = {√^5{14 · 16}}/{√^5{7}} = √^5{{14 · 16}/{7}} = √^5{2 · 16} = √^5{32} = 2.$
Задача 14
Найдите значение выражения $ {14} / {\sin^2 25°+ \cos^2 205°}$.
Решение
Учитывая, что $cos(180° + α) = - cos α$, получим ${14}/{sin^2 25° + cos^2 (180° + 25°)} = {14}/{sin^2 25° + cos^2 25°} = 14$.
Задача 15
Найдите значение выражения ${a} / {b}$, если ${5a+2b} / {2a+5b}=3$.
Решение
Из ${5a+2b} / {2a+5b}=3$ следует, что $ {5a+2b}=3{(2a+5b)}$. Тогда
$5a+2b=6a+15b$, $a=-13b$. Разделим обе части равенства на $b$. Получим ${a} / b=-13. $
Задача 16
Найдите значение выражения ${3\sin β +15\cos β -8} / {\sinβ +5\cosβ +2}$, если $\tg β = - 5$.
Решение
Решение
Шаг 1: Введем замену переменной
Заметим, что в числителе и знаменателе выражения есть похожие комбинации sinβ и cosβ.
Введем замену: пусть t = sinβ + 5cosβ
Тогда наше выражение примет вид:
Шаг 2: Выразим t через tgβ
Мы знаем, что tgβ = -5, то есть sinβ/cosβ = -5, откуда sinβ = -5cosβ
Подставим это в выражение для t:
Таким образом, t = 0.
Шаг 3: Подставим значение t в выражение
Теперь подставим t = 0 в наше выражение:
Задача 17
Найдите значение выражения $(1-\log_3 18)(1-\log_6 18)$.
Решение
$(log__3 3 - log_3 18)(log_6 6 - log_6 18) = log_3 {1}/{6} · log_6 {1}/{3} = log_3 6 · log_6 3 = 1$.
Задача 18
Найдите значение выражения $(√ {17} - √ {12})(√ {17}+√ {12})$.
Решение
Заметим, что перед нами формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
$(√{17} - √{12})(√{17} + √{12}) = (√{17})^2 - (√{12})^2 = 17 - 12 = 5$.
Задача 19
Найдите значение выражения ${7^{\log_5 50}} / {7^{\log_{5}2 }}$.
Решение
${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 72 = 49$.
Задача 20
Найдите значение выражения $ {\log_{3} 36} / {2+\log_{3} 4}$.
Решение
$ {\log_{3} (9⋅4)} / {2+\log_{3}4} ={\log_{3} 9+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} ={2+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} =1$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
