Задание 21. Задачи на смекалку. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа подъездов, число подъездов больше числа квартир на этаже, а число квартир на этаже больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 231 квартира?
Решение
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа подъездов, число подъездов больше числа квартир на этаже, а число квартир на этаже больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 231 квартира?
Обозначим:
- e — количество этажей в доме;
- p — количество подъездов;
- k — количество квартир на этаже.
Согласно условию, имеем:
- Общее количество квартир: 231 = e * p * k
- e > p
- p > k
- k > 1
Теперь найдем возможные значения для e, p и k. Начнем с разложения числа 231 на множители:
231 = 3 × 7 × 11
Теперь рассмотрим возможные комбинации значений для e, p и k:
1. Если k = 3, тогда:
- 231 = e * p * 3 => e * p = 77.
- Подходящие пары (e, p): (11, 7) (где e > p).
2. Если k = 7, тогда:
- 231 = e * p * 7 => e * p = 33.
- Подходящие пары (e, p): (11, 3) (где e > p).
3. Если k = 11, тогда:
- 231 = e * p * 11 => e * p = 21.
- (7, 3) (где e > p).
Теперь проверим условия:
- (11 этажей, 7 подъездов, 3 квартиры на этаже): выполняются условия.
- (11 этажей, 3 подъезда, 7 квартир на этаже): не выполняется условие.
Таким образом, количество этажей в доме составляет: 11 этажей.
Задача 2
Улитка за день заползает вверх по дереву на 5 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 26 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?
Решение
Улитка за день поднимается на 5 м, за ночь сползает на 2 м, значит за сутки поднимается на 5 - 2 = 3 м. Перед последним днём улитка должна быть на высоте 21 м (26 - 5 = 21), так как в последний день она сразу доползёт до вершины. За сутки улитка преодолевает 3 м, чтобы достичь 21 м потребуется 21 / 3 = 7 суток. На 8-й день она поднимется на оставшиеся 5 м. Ответ: 8 дней.
Задача 3
Миша решил сделать домашнее задание по математике с Димой и пошёл к нему домой. Он знал, что Дима живёт в доме номер 32, в девятом подъезде и номер его квартиры 438. Подойдя к дому, Миша обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Дима? (На всех этажах число квартир одинаковое, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)
Решение
Пусть $х$ - число квартир на этаже, тогда $9х$ - число квартир в одном (каждом) подъезде, тогда $9х·8=72х$ - число квартир в первых восьми подъездах. Так как Дима живет в квартире №$438$ и это $9$-ый подъезд, то $72x < 438$, $x < {438}/{72}$;
С другой стороны $9х·9=81х$ - число квартир в девяти подъездах, значит, $438 ≤ 81x$,
Составим и решим систему неравенств
$\{\table\ x < {438}/{72}; \ x ≥ {438}/{81};$
$\{\table\ x < 6{1}/{12}; \ x ≥ 5{11}/{27};$
$x=6$; т.к $x∈N$, тогда $72·6=432$ квартира в первых восьми подъездах; $438-432=6$ и это составляет $1$-ый этаж $9$-ого подъезда.
Задача 4
Список заданий интернет-олимпиады по физике состоял из 35 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 7 баллов, за неправильный ответ с него списывали 15 баллов, при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Всего вопросов $35$
Пусть $x$ - количество верных ответов;
$y$ - количество неверных ответов;
$z$ - количество неотвеченных ответов;
Тогда условие задачи можно переписать в виде системы:
$\{\table\ 7x-15y=70; \ x+y+z=35; \ y≥1.$
Решим систему в натуральных числах.
$7x=70+15y$
$x={70+15y}/{7}$
$x=10+2y+{y}/{7}$, т.к $x∈N$, то $(10+2y+{y}/{7})∈N$, тогда $({y}/{7})∈N$, т.е. $y⋮7$, значит возможные значения $y=7; 14; 21; 28$
1) $y=7$, то $7⋅(-15)+7⋅x=70->x=25$, тогда $z=3: 25+7+3 = 35$, (подходит)
2) при $y=14, 21, 28:$ $x+y > 35$, (значит не подходит)
Задача 5
На верёвке фломастерами отмечены поперечные линии трёх различных цветов: красного, чёрного, фиолетового. Если разрезать полоску по красным линиям, получится 5 кусков, если по чёрным - 8 кусков, а если по фиолетовым - 12 кусков. Сколько кусков получится, если разрезать полоску по линиям трёх цветов?
Решение
Разрезав по красным линиям получили $5$ кусков, значит красных линиц $4$; разрезав по черным линиям получили $8$ кусков, значит черных линий $7$; разрезав по фиолетовым линиям получили $12$ кусков, значит фиолетовых линий $11$; тогда всего линий $4+7+11=22$.
Разрезав по $22$ линиям получили $23$ куска.
Задача 6
На полоске бумаги отмечены поперечные линии трёх различных цветов: синего, чёрного, зелёного. Если разрезать полоску по синим линиям, получится 6 кусков, если по чёрным 7 кусков, а если по зелёным 11 кусков. Сколько кусков получится, если разрезать полоску по линиям трёх цветов?
Решение
Так как разрезав по синим линиям получается $6$ кусков, то синих линий $5$, значит черных линий $7-1=6$; зеленых $11-1=10$.
Всего линий $5+6+10=21$ какого-нибудь цвета, значит при разрезании получим $22$ куска.
Задача 7
На полке стоят пачки с чаем: с чёрным и с зелёным. Всего 24 пачки. Известно, что среди любых 6 пачек чая на этой полке есть хотя бы одна с чёрным чаем, а среди любых 20 пачек чая есть хотя бы одна с зелёным чаем. Сколько пачек с чёрным чаем стоит на полке?
Решение
Если среди 6 банок есть 1 с чёрным чаем то их: 24-6+1 = 19 пачек
Ответ: 19
Задача 8
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему канаву для прокладки водопровода длиной 27 метров на следующих условиях: за первый метр он заплатит 100 рублей, а за каждый следующий метр - на 15 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают канаву для прокладки водопровода?
Решение
- Стоимость первого метра:
- Стоимость второго метра:
- Стоимость третьего метра:
- Общая формула для n-го метра:
- Стоимость последнего (27-го) метра:
- Общая стоимость канавы:
Стоимость за первый метр = 100 рублей
Стоимость за второй метр = 100 рублей + 15 рублей = 115 рублей
Стоимость за третий метр = 115 рублей + 15 рублей = 130 рублей
Стоимость n-го метра = 100 рублей + (n - 1) * 15 рублей
Стоимость за 27-й метр = 100 рублей + (27 - 1) * 15 рублей
= 100 рублей + 26 * 15 рублей
= 100 рублей + 390 рублей = 490 рублей
Сумма первых n метров = (n / 2) * (стоимость первого метра + стоимость последнего метра)
= (27 / 2) * (100 рублей + 490 рублей)
= (27 / 2) * 590 рублей
= 27 * 295 рублей = 7965 рублей
Ответ:
Хозяин должен будет заплатить рабочим 7965 рублей.
Задача 9
Мама договорилась с Мишей, что в воскресенье он будет готовиться к экзамену по математике, решая задачи из пособия. За первую задачу она разрешит ему играть на компьютере 10 минут, а за каждую следующую задачу ему можно будет играть на 3 минуты больше, чем за предыдущую. Сколько минут можно будет играть Мише в воскресенье, если он решит 8 задач?
Решение
Количество минут игры за каждую задачу образует арифметическую прогрессию, где:
Первый член \(a_1 = 10\), разность \(d = 3\), и количество задач \(n = 8\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
$$S_n = n * (a_1 + a_n) / 2$$
Найдём последний член прогрессии \(a_n\):
$$a_n = a_1 + (n - 1) * d$$
$$a_n = 10 + (8 - 1) * 3 = 10 + 21 = 31$$
Теперь подставим значения в формулу суммы:
$$S_n = 8 * (10 + 31) / 2$$
$$S_n = 8 * 41 / 2 = 164$$
Ответ: Миша сможет играть 164 минуты.
Задача 10
Папа договорился с Олей, что в субботу она будет учить английские слова. За первое выученное слово он разрешит ей смотреть телевизор 5 минут, а за каждое следующее слово ей можно будет смотреть телевизор на 2 минуты больше, чем за предыдущее. Сколько минут можно будет смотреть телевизор Оле в субботу, если она выучит 12 слов?
Решение
Количество минут, которое Оля может смотреть телевизор, образует арифметическую прогрессию, где:
Первый член прогрессии \(a_1 = 5\), разность \(d = 2\), и количество слов \(n = 12\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
$$S_n = n × (a_1 + a_n) / 2$$
Найдём последний член прогрессии \(a_n\):
$$a_n = a_1 + (n - 1) × d$$
$$a_n = 5 + (12 - 1) × 2 = 5 + 22 = 27$$
Теперь подставим значения в формулу суммы:
$$S_n = 12 ×(5 + 27) / 2$$
$$S_n = 12 × 32 / 2 = 192$$
Ответ: Оля сможет смотреть телевизор 192 минуты.
Задача 11
Покупатель приобрёл в магазине пакеты с мукой двух видов: массой 8 кг и 5 кг. Общая масса купленной муки составила 161 кг. Какое наибольшее число пакетов мог приобрести покупатель?
Решение
Пусть покупатель приобрёл $x$ пакетов массой 8 кг и $y$ пакетов массой 5 кг. Из условия задачи, общая масса муки составила 161 кг, то есть:
$$8x + 5y = 161$$
Нужно найти наибольшее значение $x + y$, то есть наибольшее количество пакетов.
Для этого выразим $y$ через $x$ из уравнения:
$$5y = 161 - 8x$$
$$y = {161 - 8x}/{5}$$
Чтобы $y$ было целым числом, $161 - 8x$ должно быть кратно 5.
Проверим для каждого значения $k$:
Для $k = 0$: $x = 2$, $y = 29$, $x + y = 31$.Для $k = 1$: $x = 7$, $y = 21$, $x + y = 28$.
Для $k = 2$: $x = 12$, $y = 13$, $x + y = 25$.
Для $k = 3$: $x = 17$, $y = 5$, $x + y = 22$.
Наибольшее количество пакетов $x + y = 31$ при $k = 0$.
Ответ: покупатель мог приобрести 31 пакет.
Задача 12
На поверхности глобуса карандашом провели 5 меридианов и 14 параллелей. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридианом называют дугу окружности, соединяющую Южный и Северный полюсы. Параллель - это окружность, все точки которой равноудалены от экватора.
Решение
На глобусе проведено 5 меридианов и 14 параллелей. Рассчитаем, на сколько частей разделена поверхность глобуса:
1. Угловые части, образованные меридианами:
Два меридиана делят глобус на 2 части. 5 меридианов создают: 5 частей.
2. Горизонтальные зоны, созданные параллелями:
1 параллель делит глобус на 2 части. Тогда 14 параллелей делят поверхность на:
$$14 + 1 = 15$$
3. Общее количество частей:
Каждая из 5 вертикальных частей пересекается с 15 горизонтальными полосами. Итоговое количество частей:
$$5 * 15 = 75$$
Ответ: 75 частей.
Задача 13
В пустой мебельный склад стали завозить столы. Каждый день завозят 7 столов, а каждую ночь увозят на продажу 4 стола. Через сколько дней на складе накопится 28 столов?
Решение
Каждый день на складе завозят 7 столов, а ночью увозят 4 стола. За сутки количество столов увеличивается на:
$$7 - 4 = 3 \, стола$$
Чтобы накопить 28 столов, нужно узнать, сколько суток потребуется:
$$28 / 3 = 9.33$$
Округляем до ближайшего большего целого числа, так как за неполные сутки склад не сможет накопить требуемое количество:
$$10 \, дней$$
Ответ: 10 дней.
Задача 14
Список заданий интернет-олимпиады по истории состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 8 баллов, за неправильный ответ с него списывали 10 баллов, при отсутствии ответа давали 0 очков. Какое наибольшее количество верных ответов мог дать участник, набравший 48 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть $х$ - количество верных ответов; $y$ - количество неверных ответов; тогда условие задачи можно записать в виде системы
$\{\table\ 8x-10y=48 ; \ x+y≤25 ; \ y≥1;$
Так как $y≥1, x>y$, то $x∈N, y∈N$
Решим систему в натуральных числах
$8x=48+10y$
$x={48+10y}/8$
$x=6+y+y/4$
т.к $x∈N$ и $y∈N$, то $y/4∈N$, значит $y$ кратно $4$, значит возможные значения $y=4;8;12;16;20;24$, тогда при $y=4, x=6+4+4/4=11, 4+11≤25$ подходит
при $y=8, x=6+8+8/4=16, 8+16≤24$ подходит
при $y=12;16;20;24$ не выполняется условие $x+y≤25$, значит эти значения не подходят.
$16>11$
Задача 15
Круизное судно расстояние между портами Надежда и Победа проходит за $12{,}5$ суток. Ежедневно в полдень одним и тем же маршрутом как из порта Надежда в порт Победа, так и из порта Победа в порт Надежда отправляется по судну. Сколько судов встречает за время плавания из одного порта в другой каждое плывущее судно?
Решение
Так как скорость сближения равна $2v_{судна}$, то время сближения (встречи) в 2 раза меньше,
т.е.встречи будут происходить с интервалом ${1}/{2}$ суток, тогда за 12,5 суток произойдет $12,5:{1}/{2}=25$ встреч.
Задача 16
Средняя заработная плата преподавателей вузов города за месяц составляет $765$ д.е., а остальных преподавателей — $690$ д.е. Средняя заработная плата всех преподавателей города равна $714$ д.е. Определите, какую часть от числа всех преподавателей города составляют преподаватели вузов?
Решение
Пусть $х$ - количество преподавателей ВУЗов; $у$ - количество остальных преподавателей;
$(х+у)$ - количество всех преподавателей; $765x$ - зарплата всех преподавателей ВУЗов;
$690y$ - зарплата всех остальных преподавателей;
$(765x+690y)$ - зарплата всех преподавателей, что по условию составляет $714·(x+y)$
Составим и решим уравнение:
$765x+690y=714·(x+y)$
$765x+690y=714x+714y$
$765x-714x=714y-690y$
$51x=24y$
${y}/{x}={51}/{24}$
${y}/{x}={17}/{8}$
${y}/{x}+1={17}/{8}+1$
${y+x}/{x}={25}/{8}$
${x}/{x+y}={8}/{25}=0,32$
Задача 17
В классе $8$ отличников, $12$ хорошистов и $5$ троечников. Отличник может получить за ответ у доски только $5$, хорошист — $4$ или $5$, троечник — $3$, $4$ или $5$. В класс пришёл новый учитель, он не знает никого из учеников. Сколько учеников ему достаточно опросить у доски, чтобы наверняка была поставлена хотя бы одна пятёрка?
Решение
$12+5+1=18$(уч) - требуется опросить, чтобы наверняка поставить пятерку.
Задача 18
На складе имелось несколько одинаковых ящиков, в каждом из которых было равное количество одинаковых заготовок. Заготовки используются следующим образом: сначала со склада в цех берут один ящик, заготовки из которого последовательно поступают в производство, а пустой ящик возвращается обратно на склад, откуда берётся следующий ящик и т.д. После того как было израсходовано ровно ${10} / {13}$ всех заготовок, оказалось, что на складе имеется ровно $7$ пустых ящиков. Сколько ящиков с заготовками было первоначально на складе?
Решение
Пусть $x$ - количество ящиков на складе; ${10}/{13}x$ - составляет $7$ ящиков;
$x=7:{10}/{13}=7·{13}/{10}={91}/{10}=9$(ост.1)
на складе было $10$ ящиков.
Задача 19
В одной урне находится $100$ красных шаров, а в другой —$100$ синих. Из первой урны переложили $40$ красных шаров во вторую, а затем произвольным образом вынули $40$ шаров из второй урны и переложили в первую. Какое наибольшее значение может принимать разность количества синих шаров в первой урне и красных во второй?
Решение
Пусть в I урну переложили $k$ синих шаров, тогда $(40-k)$ - количество красных шаров, которые из II урны переложили в I,
значит во II урне красных шаров осталось $(40-(40-k))=k$ штук,
значит разница между количеством синих шаров в I урне и количеством красных шаров во II урне равно $k-k=0$
Задача 20
Мальчик делает $4$ шага вперёд и $2$ шага обратно, затем делает ещё $5$ шагов вперёд и $1$ обратно, потом снова делает $4$ шага вперёд и $2$ шага обратно, а затем — ещё $5$ шагов вперёд и $1$ обратно, и т.д. Сколько шагов он сделает, когда в первый раз окажется на расстоянии $30$ шагов от места отправления?
Решение
$(1)+4-2=+2$ сделал 6 шагов S = 2шага
$(2)+5-1=+4$ сделал 6 шагов S = 2+4=6 стало
Значит, выполнив операции (1) и (2) мальчик делает 12 шагов и оказывается на расстоянии 6 шагов от начала цикла.
Повторим эти операции еще три раза, значит, мальчик всего сделал $12·4=48$ шагов и оказался на расстоянии $6·4=24$ шага от начала движения.
Следующая операция (1) еще 6 шагов (всего $48+6=54$) и мальчик находится на расстоянии 26 шагов от начала движения.
Следующая операция (2) + 5 шагов, но сделав 4 шага, он достигает отметки 30 шагов от начала движения(условие задачи).
Значит, он выполнит 4 шага и остановится, всего $54+4=58$ шагов.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
