Бесплатный интенсив по математике (профильной)

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.

Подробнее об интенсиве

Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2025 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 72.7%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Катер должен пересечь реку шириной L=50 м и со скоростью течения u=2 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t=Luctgα, где α — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 25 с?

Решение

По условию должно выполняться неравенство t25,Luctgα25,502ctgα25,ctgα1. Учитывая, что угол α — острый (0°<α<90°), получим 45°α<90°. Минимальное значение угла равно 45°.

Ответ: 45
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 2

Груз массой 0,6 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v=v0sin2πtT, где t — время с момента начала колебаний, T=24 с — период колебаний, v0=1,4 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E=mv22, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Из условия следует, что через 2 секунды после начала колебаний скорость v=1.4sin2π·224=1.4sinπ6=1.4·12=0.7 м/с. Тогда E=mv22=0.6·0.722=0.147 джоулей.

Ответ: 0.147
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 3

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=Rh500, где R=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 2,4 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 4 километров?

Решение

Найдём высоту h1, стоя на которой, наблюдатель видит горизонт на расстоянии 2.4 км. Решим уравнение 6400h1500=2.4;64h15=2.42;h1=2.42·564=0.45 м.

Найдём высоту h2, стоя на которой, наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии 4 км. Решим уравнение 6400h2500=4;64h25=42;h2=42·564=1.25 м.

Таким образом, наблюдателю надо подняться на 1.250.45=0.8 м. Учитывая, что высота одной ступеньки равна 20 см = 0.2 м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на 0.80.2=4 ступеньки.

Ответ: 4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 4

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=Rh500, где R=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 3,2 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 15 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 5,6 километров?

Решение

Найдём высоту h1, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 3,2 км.
Решим уравнение 6400h1500=3,2;
64h15=3,22;
h1=3,22564=3,2520=0,8 (м).
Найдём высоту h2, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии 5,6 км.
Решим уравнение: 6400h2500=5,6;
64h25=5,62;
h2=5,62582=0,725=2,45 (м).
Таким образом, наблюдателю надо подняться на 2,450,8=1,65 (м).
Учитывая, что высота одной ступеньки равна 15 см =0,15 м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на 1,650,15=16515=11 (ступенек).

Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот h1 и h2. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.

Ответ: 11
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 5

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 10 до 80 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 100 до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1d1+1d2=1f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Из условия следует, что d1 должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство 1d1+1d2=125. Так как d1>0, то чем меньше d1, тем больше 1d1. Тогда нам нужно найти наибольшее значение 1d1. Числа 1d1 и 1d2 положительны, их сумма равна 125. Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение 1d2. Это значение равно 1150. В этом случае 1d1=1251150=130,d1=30. Число 30 находится в пределах от 10 до 80, следовательно, это значение является ответом.

Ответ: 30
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 6

Два тела, массой m=5 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=30 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q=mv2sin2α, где m — масса в килограммах, v — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 3375 джоулей.

Решение

Из условия следует, что 0°<2α180°, отсюда 0°<α90° и sinα0. Должно выполняться неравенство Q=mv2sin2α3375;5·302·sin2α3375;sin2α34;sinα32. Следовательно, 60°α90°,120°2α180°. Наименьшим значением 2α является 120°.

Ответ: 120
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 7

Плоский замкнутый контур площадью S=0,8 м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ϵi=aScosα, где α — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a=7,5105 Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 33105 В?

Решение

По условию должно выполняться неравенство εi33·105, то есть 7.5·105·0.8·cosα33·105. Получим cosα32. Известно, что угол α — острый (0°<α<90°). С учётом этого, неравенство cosα32 выполнено при α[30°;90°). Минимальное значение угла α равно 30°.

Ответ: 30
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 8

Рейтинг R интернет-магазина книг вычисляется по формуле
R=rпокrпокrэкс(K+2)m, где m=0,05Krпок+4,5, rпок — средняя оценка магазина покупателями, rэкс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 62, их средняя оценка равна 4,8, а оценка экспертов равна 3,2.

Решение

Посчитаем m по формуле m=0.05Krпок+4.5. Получим m=0.05·624.8+4.5=13.

Тогда R=rпокrпокrэкс(K+2)m=4.84.83.26413=4.81.64=4.4.

Ответ: 4.4
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 9

Рейтинг R интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле R=rпокrпокrэкс(K+1)m, где m=0,03Krпок+0,9, rпок — средняя оценка магазина покупателями, rэкс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 80, их средняя оценка равна 3,9, а оценка экспертов равна 2,1.

Решение

Посчитаем m по формуле m=0,03Krпок+0,9. Получим

m=0,03803,9+0,9=0,5.

Тогда R=rпокrпокrэкс(K+1)m=3,93,92,1810,5=3,91,89=3,7.

Ответ: 3.7
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 10

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Tп=15°C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Tв=95°C. Расход проходящей через трубу радиатора воды m=0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x м, вода охлаждается до температуры T, причём x=αcmγlog2TвTпTTп, где c=4200Втскг°C — теплоёмкость воды, γ=35Втм°C — коэффициент теплообмена, а α=2,5 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 180 м.

Решение

По условию должно выполняться равенство α·cmγ·log2TвTпTTп=180.

Следовательно, 2.5·4200·0.335·log29515T15=180.

Отсюда log280T15=2;

80T15=4;

4(T15)=80;

T=35.

Ответ: 35
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 11

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1=80 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом и R2 Ом их общее сопротивление даётся формулой Rобщ=R1R2R1+R2 (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 809 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение

Должно выполняться неравенство R1R2R1+R2809 (Ом), R1=80. Тогда 80R280+R2809, R280+R219, R2809+19R2; 8R280; R210 Ом. Наименьшее возможное значение R2 равно 10 Ом.

Ответ: 10
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 12

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q=3,5106 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v=18 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля B=5103 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная Fл=qvBsinα (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла α[0°;180°] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила Fл была не менее чем 3,15107 Н? Ответ дайте в градусах.

Решение

По условию должно выполняться равенство Fл3.15·107

3.5·106·18·5·103sinα3.15·107

sinα3.15·1023.5·18·5

sinα1

Значит, sinα1;α=90°.

Наименьшее значение α=90°.

Ответ: 90
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 13

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ=8 молей воздуха объёмом V1=80 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=αυTlog2V1V2, где α=5,75 ДжмольК — постоянная, а T=280 К — температура воздуха. Найдите, какой объём V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 51520 Дж.

Решение

Из условия получаем, что 51520=5.75·8·280·log2V1V2. Отсюда log2V1V2=515205.75·8·280=4. Следовательно, V1V2=24=16, то есть 80V2=16,V2=5. Таким образом, искомый объём равен 5 л.

Ответ: 5
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 14

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pVa=const, где p (Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 125 раз?

Решение

По условию изначально выполняется равенство p1V1a=const. Отсюда, p1=constV1a. После уменьшения объёма выполняется p2=constV2a, V2=V15. Значит, p2p1=constV2aconstV1a=(V1V2)a=5a. По условию должно выполняться неравенство p2p1125. Следовательно, 5a125. Наименьшее значение a, при котором это неравенство выполнено, равно 3.

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 15

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле P=4mgπD2, где m=2700 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с2, а π=3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 576000 Па. Ответ выразите в метрах.

Решение

По условию должно выполняться неравенство 4mgπD2576000;4·2700·103·D2576000;1D216,D2116,D0.25 (так как D>0). Наименьший возможный диаметр колонны равен 0.25 м.

Ответ: 0.25
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 16

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2,25+8t4t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Решение

Мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, когда будет выполнено неравенство

h(t)4;

2.25+8t4t24.

4t28t+1.750;

16t232t+70.

Решим уравнение 16t232t+7=0,t1,2=16±25611216,t1,2=16±1216,t1=14,t2=74. Отсюда неравенство 16t232t+70 выполнимо при 14t74. Длина этого промежутка равна 7414=32=1.5. Значит, мяч на высоте не менее четырёх метров был на протяжении 1.5 секунд.

Ответ: 1.5
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 17

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности Tr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 7 до 7. По решению составителей формула приняла вид: R=4In+9Op+7Tr+3QA. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

Решение

Если In=Op=Tr=Q=x, то и R=x по условию. Тогда x=4x+9x+7x+3xA,x=23xA. Отсюда, A=23.

Ответ: 23
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 18

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от 4 до 4. По решению аналитиков формула приняла вид R=2In+5Op+3TrA. Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 50.

Решение

Если In=Op=Tr=4, то R=24+54+34A=
=4(2+5+3)A. Отсюда должно выполняться 40A=50, A=0,8.

Ответ: 0.8
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 19

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p=900 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=400 руб., постоянные расходы предприятия f=800000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(pv)f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600000 руб.

Решение

Операционная прибыль π(q) равна 600000 тыс. руб., если выполнено равенство π(q)=q(pv)f=600000, то есть q·500=1400000,q=2800. Таким образом, искомый месячный объём равен 2800 единиц продукции.

Ответ: 2800
Показать решение
Бесплатный интенсив

Задача 20

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле FA=ρgl3, где l - длина ребра куба в метрах, ρ=1000 кг/м3 плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте g=9.8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 264600Н? Ответ выразите в метрах.

Решение

Решим неравенство FA264600

1000·9.8·l3264600

98l32646

l327

l3

Максимальная длина ребра куба равна 3 метрам.

Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще

Бесплатный интенсив по математике (профильной)

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.

Бесплатный интенсив