Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+8t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

По условию высота $h(t)=1+8t-5t^2$ должна быть не менее четырёх метров, то есть $1+8t-5t^2⩾4$, $-5t^2+8t+1-4⩾0$, $5t^2-8t+3⩽0$. $5t^2-8t+3=0$, $t_1=0{,}6$; $t_2=1$. $0{,}6⩽ t⩽1$. Следовательно, мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров в течение $1-0{,}6=0{,}4$ секунды.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.

Уровень воды в колодце до дождя равен $h_1=5⋅0{,}9^2=5⋅0{,}81=4{,}05$ (м). После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на $0{,}4$ с, и станет равно $0{,}9 с-0{,}4 с=0{,}5 с$. $h_2=5⋅0{,}5^2=5⋅0{,}25=1{,}25$ (м). Уровень воды в колодце должен подняться на $h_1-h_2=4{,}05-1{,}25=2{,}8$ (м).

Груз массой $0{,}4$ кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону $v=v_0\cos{2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2$ с — период колебаний, $v_0=0{,}3$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E={mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Выпишем формулу, по которой находится значение кинетической энергии $(E)$ груза: $E={mv^2} / {2}$, где $m=0{,}4$ кг и скорость $v=v_0\cos{2π t} / {T}$ при $v_0=0{,}3$ м/с, $t=4$ с, $T=2$ с. Следовательно, $E={m⋅(v_0\cos{2π} / {T})^2} / {2}$, $E={0{,}4⋅(0{,}3\cos{2π⋅4} / {2})^2} / {2}={0{,}4⋅0{,}3^2⋅1} / {2}=0{,}2⋅0{,}09=0{,}018$ (Дж).

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5445 км/ч^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $99$ км/ч.

Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $a=5445 км/ч^2$. При $v=99$ км/ч, $99=√ {2l⋅5445}$. Отсюда $2l={99^2} / {5445}$; $l={99^2} / {2⋅5445}={99⋅99} / {2⋅5445}={11⋅99} / {2⋅605}={99} / {2⋅55}={9} / {10}=0{,}9$ (км).

Двигаясь со скоростью $v=3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=60$ кН, направленной под острым углом $α$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cosα$. Найдите, при каком угле $α$ (в градусах) эта мощность будет равна $90$ кВт (кВт — это ${кН⋅ м} / {с}$).

Задача сводится к решению уравнения $N=F⋅ v⋅\cosα$ относительно $α$ на интервале $(0°; 90°)$ при заданных значениях силы $F=60$ кН, скорости $v=3$ м/с и мощности $N=90$ кВт. $F⋅ v⋅\cosα=N$, $60⋅3⋅\cosα=90$, $\cosα={90} / {60⋅3}={1} / {2}$, $α=60°$.

Дикий гусь каждую минуту пролетает на $250 $ метров больше, чем стриж, и на путь $180$ км тратит времени на $1$ час меньше, чем стриж. Найдите скорость дикого гуся. Ответ дайте в км/ч.

По условию скорость стрижа меньше скорости дикого гуся на $250$ ${м}/{мин}$. $250$ ${м}/{мин}$ $=250⋅60 / 1000 $ ${км}/{ч}$ $=15$ ${км}/{ч}$. Обозначим скорость дикого гуся через $x$ км/ч, тогда по условию скорость стрижа $(x-15)$ км/ч. Время, затраченное на перелёт диким гусем, равно ${180} / {x}$ ч. Время, затраченное на весь путь стрижом, равно ${180} / {x-15}$ ч, что на 1 час больше, чем время, затраченной диким гусем. Составим и решим уравнение ${180} / {x-15} - {180} / {x}=1$, где $x>15$; $180 {x} - 180(x-15)= x(x-15); x^2-15x - 180⋅ 15=0;$ $D=15^2+4⋅ 15⋅ 180= (15^2+15^2⋅ 48)=15^2 ⋅ 49=105^2. $ $x_1= 60, x_2=-45$ — не удовлетворяет условию $x>15$. Скорость дикого гуся $60$ ${км}/{ч}$.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 K/мин^2$, $b=20$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $350$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

При $T(t)>350$ прибор может испортится. В формулу $T(t)=T_0+bt+at^2>350$ подставим данные задачи: $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 К/мин^2$, $b=20$ К/мин. $50+20t-0{,}25t^2>350$; $0{,}25t^2-20t+300

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.

Если $In=Op=Tr=4$, то $R={2⋅ 4+5⋅ 4+3⋅ 4} / {A}=$ $={4⋅(2+5+3)} / {A}$. Отсюда должно выполняться ${40} / {A}=50$, $A=0{,}8$.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = √ {{Rh} / {500}}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $15$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $5{,}6$ километров?

Найдём высоту $h_1$, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. Решим уравнение $√ {{6400h_1} / {500}}=3{,}2$; ${64h_1} / {5}=3{,}2^2$; $h_1={3{,}2^2⋅5} / {64}={3{,}2⋅5} / {20}=0{,}8$ (м). Найдём высоту $h_2$, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $5{,}6$ км. Решим уравнение: $√ {{6400h_2} / {500}}=5{,}6$; ${64h_2} / {5}=5{,}6^2$; $h_2={5{,}6^2⋅5} / {8^2}=0{,}7^2⋅5=2{,}45$ (м). Таким образом, наблюдателю надо подняться на $2{,}45-0{,}8=1{,}65$ (м). Учитывая, что высота одной ступеньки равна $15$ см $= 0{,}15$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${1{,}65} / {0{,}15}={165} / {15}=11$ (ступенек). Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот $h_1$ и $h_2$. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.

Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $80$, их средняя оценка равна $3{,}9$, а оценка экспертов равна $2{,}1$.

Посчитаем $m$ по формуле $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$. Получим $m={0{,}03⋅ 80} / {3{,}9+0{,}9}=0{,}5$. Тогда $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}=3{,}9 - {3{,}9 - 2{,}1} / {81^{0,5}}=3{,}9-{1{,}8} / {9}=3{,}7$.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ} = {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше ${80} / {9}$ Ом. Ответ выразите в омах.

Должно выполняться неравенство $ {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}⩾{80} / {9}$ (Ом), $R_1=80$. Тогда ${80R_2} / {80+R_2}⩾{80} / {9}$, ${R_2} / {80+R_2}⩾{1} / {9}$, $R_2⩾{80} / {9}+{1} / {9}R_2$; $8 R_2⩾ 80$; $R_2⩾10$ Ом. Наименьшее возможное значение $R_2$ равно $10$ Ом.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?

По условию изначально выполняется равенство $p_1V_1^a = const$. Отсюда, $p_1={const} / {V_1^a}$. После уменьшения объёма выполняется $p_2={const} / {V_2^a}$, $V_2={V_1} / {5}$. Значит, ${p_2} / {p_1}={{const} / {V_2^a}} / {{const} / {V_1^a}}=({V_1} / {V_2})^a=5^a$. По условию должно выполняться неравенство ${p_2} / {p_1}⩾ 125$. Следовательно, $5^a⩾125$. Наименьшее значение $a$, при котором это неравенство выполнено, равно $3$.

Катер должен пересечь реку шириной $L = 50$ м и со скоростью течения $u =2$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = {L} / {u}\ctgα$, где $α$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $α$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $25$ с?

По условию должно выполняться неравенство $t ≤ 25, {L}/{u}ctgα ≤ 25, {50}/{2}ctg α ≤ 25, ctg α ≤ 1$. Учитывая, что угол $α$ — острый $(0° < α < 90°)$, получим $45° ≤ α < 90°$. Минимальное значение угла равно $45°$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+8t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

По условию высота $h(t)=1+8t-5t^2$ должна быть не менее четырёх метров, то есть $1+8t-5t^2⩾4$, $-5t^2+8t+1-4⩾0$, $5t^2-8t+3⩽0$. $5t^2-8t+3=0$, $t_1=0{,}6$; $t_2=1$. $0{,}6⩽ t⩽1$. Следовательно, мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров в течение $1-0{,}6=0{,}4$ секунды.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.

Уровень воды в колодце до дождя равен $h_1=5⋅0{,}9^2=5⋅0{,}81=4{,}05$ (м). После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на $0{,}4$ с, и станет равно $0{,}9 с-0{,}4 с=0{,}5 с$. $h_2=5⋅0{,}5^2=5⋅0{,}25=1{,}25$ (м). Уровень воды в колодце должен подняться на $h_1-h_2=4{,}05-1{,}25=2{,}8$ (м).

Груз массой $0{,}4$ кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону $v=v_0\cos{2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2$ с — период колебаний, $v_0=0{,}3$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E={mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Выпишем формулу, по которой находится значение кинетической энергии $(E)$ груза: $E={mv^2} / {2}$, где $m=0{,}4$ кг и скорость $v=v_0\cos{2π t} / {T}$ при $v_0=0{,}3$ м/с, $t=4$ с, $T=2$ с. Следовательно, $E={m⋅(v_0\cos{2π} / {T})^2} / {2}$, $E={0{,}4⋅(0{,}3\cos{2π⋅4} / {2})^2} / {2}={0{,}4⋅0{,}3^2⋅1} / {2}=0{,}2⋅0{,}09=0{,}018$ (Дж).

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5445 км/ч^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $99$ км/ч.

Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $a=5445 км/ч^2$. При $v=99$ км/ч, $99=√ {2l⋅5445}$. Отсюда $2l={99^2} / {5445}$; $l={99^2} / {2⋅5445}={99⋅99} / {2⋅5445}={11⋅99} / {2⋅605}={99} / {2⋅55}={9} / {10}=0{,}9$ (км).

Двигаясь со скоростью $v=3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=60$ кН, направленной под острым углом $α$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cosα$. Найдите, при каком угле $α$ (в градусах) эта мощность будет равна $90$ кВт (кВт — это ${кН⋅ м} / {с}$).

Задача сводится к решению уравнения $N=F⋅ v⋅\cosα$ относительно $α$ на интервале $(0°; 90°)$ при заданных значениях силы $F=60$ кН, скорости $v=3$ м/с и мощности $N=90$ кВт. $F⋅ v⋅\cosα=N$, $60⋅3⋅\cosα=90$, $\cosα={90} / {60⋅3}={1} / {2}$, $α=60°$.

Дикий гусь каждую минуту пролетает на $250 $ метров больше, чем стриж, и на путь $180$ км тратит времени на $1$ час меньше, чем стриж. Найдите скорость дикого гуся. Ответ дайте в км/ч.

По условию скорость стрижа меньше скорости дикого гуся на $250$ ${м}/{мин}$. $250$ ${м}/{мин}$ $=250⋅60 / 1000 $ ${км}/{ч}$ $=15$ ${км}/{ч}$. Обозначим скорость дикого гуся через $x$ км/ч, тогда по условию скорость стрижа $(x-15)$ км/ч. Время, затраченное на перелёт диким гусем, равно ${180} / {x}$ ч. Время, затраченное на весь путь стрижом, равно ${180} / {x-15}$ ч, что на 1 час больше, чем время, затраченной диким гусем. Составим и решим уравнение ${180} / {x-15} - {180} / {x}=1$, где $x>15$; $180 {x} - 180(x-15)= x(x-15); x^2-15x - 180⋅ 15=0;$ $D=15^2+4⋅ 15⋅ 180= (15^2+15^2⋅ 48)=15^2 ⋅ 49=105^2. $ $x_1= 60, x_2=-45$ — не удовлетворяет условию $x>15$. Скорость дикого гуся $60$ ${км}/{ч}$.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 K/мин^2$, $b=20$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $350$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

При $T(t)>350$ прибор может испортится. В формулу $T(t)=T_0+bt+at^2>350$ подставим данные задачи: $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 К/мин^2$, $b=20$ К/мин. $50+20t-0{,}25t^2>350$; $0{,}25t^2-20t+300

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.

Если $In=Op=Tr=4$, то $R={2⋅ 4+5⋅ 4+3⋅ 4} / {A}=$ $={4⋅(2+5+3)} / {A}$. Отсюда должно выполняться ${40} / {A}=50$, $A=0{,}8$.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = √ {{Rh} / {500}}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $15$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $5{,}6$ километров?

Найдём высоту $h_1$, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. Решим уравнение $√ {{6400h_1} / {500}}=3{,}2$; ${64h_1} / {5}=3{,}2^2$; $h_1={3{,}2^2⋅5} / {64}={3{,}2⋅5} / {20}=0{,}8$ (м). Найдём высоту $h_2$, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $5{,}6$ км. Решим уравнение: $√ {{6400h_2} / {500}}=5{,}6$; ${64h_2} / {5}=5{,}6^2$; $h_2={5{,}6^2⋅5} / {8^2}=0{,}7^2⋅5=2{,}45$ (м). Таким образом, наблюдателю надо подняться на $2{,}45-0{,}8=1{,}65$ (м). Учитывая, что высота одной ступеньки равна $15$ см $= 0{,}15$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${1{,}65} / {0{,}15}={165} / {15}=11$ (ступенек). Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот $h_1$ и $h_2$. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.

Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $80$, их средняя оценка равна $3{,}9$, а оценка экспертов равна $2{,}1$.

Посчитаем $m$ по формуле $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$. Получим $m={0{,}03⋅ 80} / {3{,}9+0{,}9}=0{,}5$. Тогда $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}=3{,}9 - {3{,}9 - 2{,}1} / {81^{0,5}}=3{,}9-{1{,}8} / {9}=3{,}7$.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ} = {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше ${80} / {9}$ Ом. Ответ выразите в омах.

Должно выполняться неравенство $ {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}⩾{80} / {9}$ (Ом), $R_1=80$. Тогда ${80R_2} / {80+R_2}⩾{80} / {9}$, ${R_2} / {80+R_2}⩾{1} / {9}$, $R_2⩾{80} / {9}+{1} / {9}R_2$; $8 R_2⩾ 80$; $R_2⩾10$ Ом. Наименьшее возможное значение $R_2$ равно $10$ Ом.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?

По условию изначально выполняется равенство $p_1V_1^a = const$. Отсюда, $p_1={const} / {V_1^a}$. После уменьшения объёма выполняется $p_2={const} / {V_2^a}$, $V_2={V_1} / {5}$. Значит, ${p_2} / {p_1}={{const} / {V_2^a}} / {{const} / {V_1^a}}=({V_1} / {V_2})^a=5^a$. По условию должно выполняться неравенство ${p_2} / {p_1}⩾ 125$. Следовательно, $5^a⩾125$. Наименьшее значение $a$, при котором это неравенство выполнено, равно $3$.

Катер должен пересечь реку шириной $L = 50$ м и со скоростью течения $u =2$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = {L} / {u}\ctgα$, где $α$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $α$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $25$ с?

По условию должно выполняться неравенство $t ≤ 25, {L}/{u}ctgα ≤ 25, {50}/{2}ctg α ≤ 25, ctg α ≤ 1$. Учитывая, что угол $α$ — острый $(0° < α < 90°)$, получим $45° ≤ α < 90°$. Минимальное значение угла равно $45°$.

Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 83%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Алгоритм решения задания 9:

Выделить из условия все величины и связи между ними.
Ввести обозначения для неизвестных величин.
Составить выражение, уравнение, неравенство или систему по условию задачи.
Решить построенную модель средствами алгебры.
Проверить полученное решение на соответствие условию задачи и выполнить оценку правдоподобности результата.

Задачи для практики

Задача 1

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=600$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $V=400$ руб., постоянные расходы предприятия составляют $l=900000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π (q)=q(p-V)-l$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $400000$ руб.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходящего сигнала $f_0=250$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0⋅{c+u} / {c-v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=20$ м/с и $v=30$ м/с — скорость приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения скорости в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $270$ Гц?

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

При температуре $0^° C$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t_0)=l_0(1+α⋅ t^°)$, где $α=1{,}2⋅10^{-5}(^° C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^°$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=62$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=14 км/ч^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+{at^2} / {2}$. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $32{,}75$ км от города. Ответ дайте в минутах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

Водный скутер в 10:00 вышел из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $60$ км от пункта $A$. Пробыв в пункте $B$ 1 час 40 минут, скутер отправился назад и вернулся в пункт отправления в 20:00 того же дня. Найдите скорость скутера в неподвижной воде, если скорость течения равна $3$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 12

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=5⋅10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8⋅10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=α RC\log_2{U_0} / {U}$ (с), где $α=0{,}8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $64$ с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 14

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvB\sin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈[0°;180°]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (профильной)

На бесплатном демо-курсе ты:

Получишь все формулы, которые нужны для решения ЛЮБОЙ задачи по теории вероятностей в ЕГЭ по профилю
Научишься решать задачи №4.5 в ЕГЭ по профилю
Улучшить свой результат на +15 вторичных баллов

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня

Алгоритм решения задания 9:

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (профильной)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (профильной)