Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 83%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 9:
Выделить из условия все величины и связи между ними.
Ввести обозначения для неизвестных величин.
Составить выражение, уравнение, неравенство или систему по условию задачи.
Решить построенную модель средствами алгебры.
Проверить полученное решение на соответствие условию задачи и выполнить оценку правдоподобности результата.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=62$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=14 км/ч^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+{at^2} / {2}$. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $32{,}75$ км от города. Ответ дайте в минутах.
Решение
Исходные данные: $v_0=62$ км/ч, $a=14 км/ч^2$ и условие, что мотоциклист будет находиться на расстоянии не более, чем $32{,}75$ км от города, подставим в формулу: $S=v_0t+{at^2} / {2}$, $62t+{14t^2} / {2}⩽32{,}75$; $7t^2+62t-32{,}75⩽0$, $7t^2+62t-32{,}75=0$, $D=62^2+4⋅7⋅32{,}75=4761=69^2$. $t_{1,2}={-62±69} / {14}$, $t_1=-{131} / {14}$, $t_2=0{,}5$. $-{131} / {14}⩽ t⩽0{,}5$. Так как $t>0$, то наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находится на расстоянии не более чем $32{,}75$ км от города, равно $0{,}5$ часа, или $30$ минут.
Задача 2
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=600$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $V=400$ руб., постоянные расходы предприятия составляют $l=900000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π (q)=q(p-V)-l$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $400000$ руб.
Решение
В формулу $π=q(p-V)-l$ подставим данные из условия: $V=400$ руб., $π(q)=400000$ руб., $p=600$ руб., $l=900000$ руб. $400000=q(600-400)-900000$, $1300000=q⋅200;$ $q={1300000} / {200}=6500$.
Задача 3
Водный скутер в 10:00 вышел из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $60$ км от пункта $A$. Пробыв в пункте $B$ 1 час 40 минут, скутер отправился назад и вернулся в пункт отправления в 20:00 того же дня. Найдите скорость скутера в неподвижной воде, если скорость течения равна $3$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим собственную скорость скутера через $x$ км/ч. Тогда скорость скутера по течению реки ($x+3$) км/ч, скорость против течения реки ($x-3$) км/ч. Время, затраченное скутером на путь по течению реки, равно ${60} / {x+3}$ ч, время, затраченное на путь против течения реки, равно ${60} / {x-3}$ ч. По условию на весь путь скутер затратил $20-10-1{2} / {3}=8{1} / {3}={25} / {3}$ (ч).
Составим и решим уравнение: $ {60} / {x+3} +{60} / {x-3} = {25} / 3, {12} / {x+3} +{12} / {x-3} = {5} / 3,$
$3⋅12( x-3+x+3)=5 (x-3)( x+3), $ $ 5x^2-72x - 45=0, x_1=15$, $x_2= - {3} / {5}$. Скорость скутера положительная, она равна $15$ км/ч.
Задача 4
При температуре $0^° C$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t_0)=l_0(1+α⋅ t^°)$, где $α=1{,}2⋅10^{-5}(^° C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^°$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение
В формулу $l(t_0)=l_0(1+α⋅ t°)$ подставим данные задачи: $l_0=10 м$, $α=1{,}2⋅ 10^{-5}(° C^{-1})$. $l=10 м+0{,}003 м=10{,}003$ м. $10{,}003=10(1+1{,}2⋅10^{-5}t)$, $1{,}0003=1+1{,}2⋅10^{-5}t$, $t={1{,}0003-1} / {1{,}2⋅10^{-5}}={0{,}0003⋅10^5} / {1{,}2}=25$.
Задача 5
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=5⋅10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8⋅10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=α RC\log_2{U_0} / {U}$ (с), где $α=0{,}8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $64$ с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
Решение
Задача сводится к решению неравенства $t⩾64$ с, то есть $α R C\log_2{U_0} / {U}⩾64$. При заданных значениях начального напряжения на конденсаторе $U_0=16$ кВт, сопротивления резистора $R=8⋅10^6$ Ом и ёмкости конденсатора $C=5⋅10^{-6}$ Ф, $α=0{,}8$:
$0{,}8⋅5⋅10^{-6}⋅8⋅10^6⋅\log_2{16} / {U}⩾64$, $\log_2{16} / {U}⩾{64} / {0{,}8⋅5⋅8}$, $\log_2{16} / {U}⩾{64} / {32}$, $\log_2{16} / {U}⩾2$, ${16} / {U}⩾4$, $U⩽4$. Наибольшее $U=4$ кВ.
Задача 6
Дикий гусь каждую минуту пролетает на $250 $ метров больше, чем стриж, и на путь $180$ км тратит времени на $1$ час меньше, чем стриж. Найдите скорость дикого гуся. Ответ дайте в км/ч.
Решение
По условию скорость стрижа меньше скорости дикого гуся на $250$ ${м}/{мин}$.
$250$ ${м}/{мин}$ $=250⋅60 / 1000 $ ${км}/{ч}$ $=15$ ${км}/{ч}$. Обозначим скорость дикого гуся через $x$ км/ч, тогда по условию скорость стрижа $(x-15)$ км/ч. Время, затраченное на перелёт диким гусем, равно ${180} / {x}$ ч. Время, затраченное на весь путь стрижом, равно ${180} / {x-15}$ ч, что на 1 час больше, чем время, затраченной диким гусем. Составим и решим уравнение ${180} / {x-15} - {180} / {x}=1$, где $x>15$;
$180 {x} - 180(x-15)= x(x-15); x^2-15x - 180⋅ 15=0;$
$D=15^2+4⋅ 15⋅ 180= (15^2+15^2⋅ 48)=15^2 ⋅ 49=105^2. $
$x_1= 60, x_2=-45$ — не удовлетворяет условию $x>15$. Скорость дикого гуся $60$ ${км}/{ч}$.
Задача 7
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.
Решение
Уровень воды в колодце до дождя равен
$h_1=5⋅0{,}9^2=5⋅0{,}81=4{,}05$ (м). После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на $0{,}4$ с, и станет равно $0{,}9 с-0{,}4 с=0{,}5 с$. $h_2=5⋅0{,}5^2=5⋅0{,}25=1{,}25$ (м). Уровень воды в колодце должен подняться на $h_1-h_2=4{,}05-1{,}25=2{,}8$ (м).
Задача 8
Двигаясь со скоростью $v=3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=60$ кН, направленной под острым углом $α$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cosα$. Найдите, при каком угле $α$ (в градусах) эта мощность будет равна $90$ кВт (кВт — это ${кН⋅ м} / {с}$).
Решение
Задача сводится к решению уравнения $N=F⋅ v⋅\cosα$ относительно $α$ на интервале $(0°; 90°)$ при заданных значениях силы $F=60$ кН, скорости $v=3$ м/с и мощности $N=90$ кВт. $F⋅ v⋅\cosα=N$, $60⋅3⋅\cosα=90$, $\cosα={90} / {60⋅3}={1} / {2}$, $α=60°$.
Задача 9
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+8t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решение
По условию высота $h(t)=1+8t-5t^2$ должна быть не менее четырёх метров, то есть $1+8t-5t^2⩾4$, $-5t^2+8t+1-4⩾0$, $5t^2-8t+3⩽0$. $5t^2-8t+3=0$, $t_1=0{,}6$; $t_2=1$. $0{,}6⩽ t⩽1$. Следовательно, мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров в течение $1-0{,}6=0{,}4$ секунды.
Задача 10
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 K/мин^2$, $b=20$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $350$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решение
При $T(t)>350$ прибор может испортится. В формулу $T(t)=T_0+bt+at^2>350$ подставим данные задачи: $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 К/мин^2$, $b=20$ К/мин. $50+20t-0{,}25t^2>350$; $0{,}25t^2-20t+300<0$, $t^2-80t+1200<0$. $t^2-80t+1200=0$, $t_1=20$; $t_2=60$. $20< t<60$. Наибольшее время, через которое надо отключить прибор, равно $20$ минутам.
Задача 11
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5445 км/ч^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $99$ км/ч.
Решение
Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $a=5445 км/ч^2$. При $v=99$ км/ч, $99=√ {2l⋅5445}$. Отсюда $2l={99^2} / {5445}$; $l={99^2} / {2⋅5445}={99⋅99} / {2⋅5445}={11⋅99} / {2⋅605}={99} / {2⋅55}={9} / {10}=0{,}9$ (км).
Задача 12
Груз массой $0{,}4$ кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону $v=v_0\cos{2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2$ с — период колебаний, $v_0=0{,}3$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E={mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Выпишем формулу, по которой находится значение кинетической энергии $(E)$ груза: $E={mv^2} / {2}$, где $m=0{,}4$ кг и скорость $v=v_0\cos{2π t} / {T}$ при $v_0=0{,}3$ м/с, $t=4$ с, $T=2$ с. Следовательно, $E={m⋅(v_0\cos{2π} / {T})^2} / {2}$, $E={0{,}4⋅(0{,}3\cos{2π⋅4} / {2})^2} / {2}={0{,}4⋅0{,}3^2⋅1} / {2}=0{,}2⋅0{,}09=0{,}018$ (Дж).
Задача 13
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходящего сигнала $f_0=250$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0⋅{c+u} / {c-v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=20$ м/с и $v=30$ м/с — скорость приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения скорости в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $270$ Гц?
Решение
Задача сводится к решению неравенства $f⩾270$ Гц при известных значениях $u=20$ м/с и $v=30$ м/с — скоростей приёмника и источника относительно среды соответственно:
$f⩾270$
$250⋅{c+20} / {c-30}⩾270$,
${25(c+20)-27(c-30)} / {c-30}⩾0$,
${1310-2c} / {c-30}⩾0$
${655-c} / {c-30}⩾0$
Наибольшее $c=655$.
Задача 14
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.
Решение
Если $In=Op=Tr=4$, то $R={2⋅ 4+5⋅ 4+3⋅ 4} / {A}=$
$={4⋅(2+5+3)} / {A}$. Отсюда должно выполняться ${40} / {A}=50$, $A=0{,}8$.
Задача 15
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=2{,}25 + 8t - 4t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решение
Мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, когда будет выполнено неравенство
$h(t) ≥ 4$;
$2.25 + 8t - 4t^2 ≥ 4$.
$4t^2-8t+1.75 ≤ 0$;
$16t^2-32t+7 ≤ 0$.
Решим уравнение $16t^2-32t+7 = 0, t_{1,2} = {16±√{256 - 112}}/{16}, t_{1,2} = {16±12}/{16}, t_1 = {1}/{4}, t_2 = {7}/{4}$. Отсюда неравенство $16t^2-32t+7 ≤ 0$ выполнимо при ${1}/{4} ≤ t ≤ {7}/{4}$. Длина этого промежутка равна ${7}/{4} - {1}/{4} = {3}/{2} = 1.5$. Значит, мяч на высоте не менее четырёх метров был на протяжении $1.5$ секунд.
Задача 16
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=900$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=400$ руб., постоянные расходы предприятия $f= 800000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $600000$ руб.
Решение
Операционная прибыль $π(q)$ равна $600 000$ тыс. руб., если выполнено равенство $π(q) = q(p - v) - f = 600 000$, то есть $q·500 = 1 400 000, q = 2800$. Таким образом, искомый месячный объём равен $2800$ единиц продукции.
Задача 17
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = {4mg}/{π D^2}$, где $m = 2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$, а $π = 3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $576000$ Па. Ответ выразите в метрах.
Решение
По условию должно выполняться неравенство ${4mg}/{πD^2} ≤ 576000; {4 ·2700·10}/{3·D^2} ≤ 576 000; {1}/{D^2} ≤ 16, D^2 ≥ {1}/{16}, D ≥ 0.25$ (так как $D > 0$). Наименьший возможный диаметр колонны равен $0.25$ м.
Задача 18
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?
Решение
По условию изначально выполняется равенство $p_1V_1^a = const$. Отсюда, $p_1={const} / {V_1^a}$. После уменьшения объёма выполняется $p_2={const} / {V_2^a}$, $V_2={V_1} / {5}$. Значит, ${p_2} / {p_1}={{const} / {V_2^a}} / {{const} / {V_1^a}}=({V_1} / {V_2})^a=5^a$. По условию должно выполняться неравенство ${p_2} / {p_1}⩾ 125$. Следовательно, $5^a⩾125$. Наименьшее значение $a$, при котором это неравенство выполнено, равно $3$.
Задача 19
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{п} = 15 ^°$C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $T_{в} = 95 ^°$C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$ м, вода охлаждается до температуры $T$, причём $x = α {cm} / {γ}\log _2 {T_{в} - T_{п}} / {T - T_{п}}$, где $c = 4200{Вт⋅с} / {кг ⋅ °C\!{}}$ — теплоёмкость воды, $γ = 35{Вт} / {м ⋅ °C\!{}}$ — коэффициент теплообмена, а $α=2{,}5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $180$ м.
Решение
По условию должно выполняться равенство $α · {cm}/{γ} · log_2{T в - Tп}/{T - Tп} = 180$.
Следовательно, $2.5 · {4200 · 0.3}/{35} · log_2{95 - 15}/{T - 15} = 180$.
Отсюда $log_2{80}/{T - 15} = 2$;
${80}/{T - 15} = 4$;
$4(T - 15) = 80$;
$T = 35$.
Задача 20
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 25$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $10$ до $80$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $100$ до $150$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение ${1} / {d_1} + {1} / {d_2} = {1} / {f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение
Из условия следует, что $d_1$ должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство ${1}/{d_1} + {1}/{d_2} = {1}/{25}$. Так как $d_1 > 0$, то чем меньше $d_1$, тем больше ${1}/{d_1}$. Тогда нам нужно найти наибольшее значение ${1}/{d_1}$. Числа ${1}/{d_1}$ и ${1}/{d_2}$ положительны, их сумма равна ${1}/{25}$. Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение ${1}/{d_2}$. Это значение равно ${1}/{150}$. В этом случае ${1}/{d_1} = {1}/{25} - {1}/{150} = {1}/{30} , d_1 = 30$. Число $30$ находится в пределах от $10$ до $80$, следовательно, это значение является ответом.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
