Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 83%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 9:
Выделить из условия все величины и связи между ними.
Ввести обозначения для неизвестных величин.
Составить выражение, уравнение, неравенство или систему по условию задачи.
Решить построенную модель средствами алгебры.
Проверить полученное решение на соответствие условию задачи и выполнить оценку правдоподобности результата.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Двигаясь со скоростью $v=3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=60$ кН, направленной под острым углом $α$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cosα$. Найдите, при каком угле $α$ (в градусах) эта мощность будет равна $90$ кВт (кВт — это ${кН⋅ м} / {с}$).
Решение
Задача сводится к решению уравнения $N=F⋅ v⋅\cosα$ относительно $α$ на интервале $(0°; 90°)$ при заданных значениях силы $F=60$ кН, скорости $v=3$ м/с и мощности $N=90$ кВт. $F⋅ v⋅\cosα=N$, $60⋅3⋅\cosα=90$, $\cosα={90} / {60⋅3}={1} / {2}$, $α=60°$.
Задача 2
Водный скутер в 10:00 вышел из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $60$ км от пункта $A$. Пробыв в пункте $B$ 1 час 40 минут, скутер отправился назад и вернулся в пункт отправления в 20:00 того же дня. Найдите скорость скутера в неподвижной воде, если скорость течения равна $3$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим собственную скорость скутера через $x$ км/ч. Тогда скорость скутера по течению реки ($x+3$) км/ч, скорость против течения реки ($x-3$) км/ч. Время, затраченное скутером на путь по течению реки, равно ${60} / {x+3}$ ч, время, затраченное на путь против течения реки, равно ${60} / {x-3}$ ч. По условию на весь путь скутер затратил $20-10-1{2} / {3}=8{1} / {3}={25} / {3}$ (ч).
Составим и решим уравнение: $ {60} / {x+3} +{60} / {x-3} = {25} / 3, {12} / {x+3} +{12} / {x-3} = {5} / 3,$
$3⋅12( x-3+x+3)=5 (x-3)( x+3), $ $ 5x^2-72x - 45=0, x_1=15$, $x_2= - {3} / {5}$. Скорость скутера положительная, она равна $15$ км/ч.
Задача 3
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходящего сигнала $f_0=250$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0⋅{c+u} / {c-v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=20$ м/с и $v=30$ м/с — скорость приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения скорости в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $270$ Гц?
Решение
Задача сводится к решению неравенства $f⩾270$ Гц при известных значениях $u=20$ м/с и $v=30$ м/с — скоростей приёмника и источника относительно среды соответственно:
$f⩾270$
$250⋅{c+20} / {c-30}⩾270$,
${25(c+20)-27(c-30)} / {c-30}⩾0$,
${1310-2c} / {c-30}⩾0$
${655-c} / {c-30}⩾0$
Наибольшее $c=655$.
Задача 4
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+8t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решение
По условию высота $h(t)=1+8t-5t^2$ должна быть не менее четырёх метров, то есть $1+8t-5t^2⩾4$, $-5t^2+8t+1-4⩾0$, $5t^2-8t+3⩽0$. $5t^2-8t+3=0$, $t_1=0{,}6$; $t_2=1$. $0{,}6⩽ t⩽1$. Следовательно, мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров в течение $1-0{,}6=0{,}4$ секунды.
Задача 5
Груз массой $0{,}4$ кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону $v=v_0\cos{2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2$ с — период колебаний, $v_0=0{,}3$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E={mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Выпишем формулу, по которой находится значение кинетической энергии $(E)$ груза: $E={mv^2} / {2}$, где $m=0{,}4$ кг и скорость $v=v_0\cos{2π t} / {T}$ при $v_0=0{,}3$ м/с, $t=4$ с, $T=2$ с. Следовательно, $E={m⋅(v_0\cos{2π} / {T})^2} / {2}$, $E={0{,}4⋅(0{,}3\cos{2π⋅4} / {2})^2} / {2}={0{,}4⋅0{,}3^2⋅1} / {2}=0{,}2⋅0{,}09=0{,}018$ (Дж).
Задача 6
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=62$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=14 км/ч^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+{at^2} / {2}$. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $32{,}75$ км от города. Ответ дайте в минутах.
Решение
Исходные данные: $v_0=62$ км/ч, $a=14 км/ч^2$ и условие, что мотоциклист будет находиться на расстоянии не более, чем $32{,}75$ км от города, подставим в формулу: $S=v_0t+{at^2} / {2}$, $62t+{14t^2} / {2}⩽32{,}75$; $7t^2+62t-32{,}75⩽0$, $7t^2+62t-32{,}75=0$, $D=62^2+4⋅7⋅32{,}75=4761=69^2$. $t_{1,2}={-62±69} / {14}$, $t_1=-{131} / {14}$, $t_2=0{,}5$. $-{131} / {14}⩽ t⩽0{,}5$. Так как $t>0$, то наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находится на расстоянии не более чем $32{,}75$ км от города, равно $0{,}5$ часа, или $30$ минут.
Задача 7
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=600$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $V=400$ руб., постоянные расходы предприятия составляют $l=900000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π (q)=q(p-V)-l$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $400000$ руб.
Решение
В формулу $π=q(p-V)-l$ подставим данные из условия: $V=400$ руб., $π(q)=400000$ руб., $p=600$ руб., $l=900000$ руб. $400000=q(600-400)-900000$, $1300000=q⋅200;$ $q={1300000} / {200}=6500$.
Задача 8
При температуре $0^° C$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t_0)=l_0(1+α⋅ t^°)$, где $α=1{,}2⋅10^{-5}(^° C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^°$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение
В формулу $l(t_0)=l_0(1+α⋅ t°)$ подставим данные задачи: $l_0=10 м$, $α=1{,}2⋅ 10^{-5}(° C^{-1})$. $l=10 м+0{,}003 м=10{,}003$ м. $10{,}003=10(1+1{,}2⋅10^{-5}t)$, $1{,}0003=1+1{,}2⋅10^{-5}t$, $t={1{,}0003-1} / {1{,}2⋅10^{-5}}={0{,}0003⋅10^5} / {1{,}2}=25$.
Задача 9
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.
Решение
Уровень воды в колодце до дождя равен
$h_1=5⋅0{,}9^2=5⋅0{,}81=4{,}05$ (м). После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на $0{,}4$ с, и станет равно $0{,}9 с-0{,}4 с=0{,}5 с$. $h_2=5⋅0{,}5^2=5⋅0{,}25=1{,}25$ (м). Уровень воды в колодце должен подняться на $h_1-h_2=4{,}05-1{,}25=2{,}8$ (м).
Задача 10
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5445 км/ч^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $99$ км/ч.
Решение
Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=√ {2la}$, где $a=5445 км/ч^2$. При $v=99$ км/ч, $99=√ {2l⋅5445}$. Отсюда $2l={99^2} / {5445}$; $l={99^2} / {2⋅5445}={99⋅99} / {2⋅5445}={11⋅99} / {2⋅605}={99} / {2⋅55}={9} / {10}=0{,}9$ (км).
Задача 11
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 K/мин^2$, $b=20$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $350$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решение
При $T(t)>350$ прибор может испортится. В формулу $T(t)=T_0+bt+at^2>350$ подставим данные задачи: $T_0=50$ К, $a=-0{,}25 К/мин^2$, $b=20$ К/мин. $50+20t-0{,}25t^2>350$; $0{,}25t^2-20t+300<0$, $t^2-80t+1200<0$. $t^2-80t+1200=0$, $t_1=20$; $t_2=60$. $20< t<60$. Наибольшее время, через которое надо отключить прибор, равно $20$ минутам.
Задача 12
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=5⋅10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8⋅10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=α RC\log_2{U_0} / {U}$ (с), где $α=0{,}8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $64$ с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
Решение
Задача сводится к решению неравенства $t⩾64$ с, то есть $α R C\log_2{U_0} / {U}⩾64$. При заданных значениях начального напряжения на конденсаторе $U_0=16$ кВт, сопротивления резистора $R=8⋅10^6$ Ом и ёмкости конденсатора $C=5⋅10^{-6}$ Ф, $α=0{,}8$:
$0{,}8⋅5⋅10^{-6}⋅8⋅10^6⋅\log_2{16} / {U}⩾64$, $\log_2{16} / {U}⩾{64} / {0{,}8⋅5⋅8}$, $\log_2{16} / {U}⩾{64} / {32}$, $\log_2{16} / {U}⩾2$, ${16} / {U}⩾4$, $U⩽4$. Наибольшее $U=4$ кВ.
Задача 13
Дикий гусь каждую минуту пролетает на $250 $ метров больше, чем стриж, и на путь $180$ км тратит времени на $1$ час меньше, чем стриж. Найдите скорость дикого гуся. Ответ дайте в км/ч.
Решение
По условию скорость стрижа меньше скорости дикого гуся на $250$ ${м}/{мин}$.
$250$ ${м}/{мин}$ $=250⋅60 / 1000 $ ${км}/{ч}$ $=15$ ${км}/{ч}$. Обозначим скорость дикого гуся через $x$ км/ч, тогда по условию скорость стрижа $(x-15)$ км/ч. Время, затраченное на перелёт диким гусем, равно ${180} / {x}$ ч. Время, затраченное на весь путь стрижом, равно ${180} / {x-15}$ ч, что на 1 час больше, чем время, затраченной диким гусем. Составим и решим уравнение ${180} / {x-15} - {180} / {x}=1$, где $x>15$;
$180 {x} - 180(x-15)= x(x-15); x^2-15x - 180⋅ 15=0;$
$D=15^2+4⋅ 15⋅ 180= (15^2+15^2⋅ 48)=15^2 ⋅ 49=105^2. $
$x_1= 60, x_2=-45$ — не удовлетворяет условию $x>15$. Скорость дикого гуся $60$ ${км}/{ч}$.
Задача 14
Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvB\sin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈[0°;180°]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.
Решение
По условию должно выполняться равенство $F_л ≥ 3.15 · 10^{-7}$
$3.5 · 10^{-6} · 18 · 5 · 10^{-3}sin α ≥ 3.15 · 10^{-7}$
$sin α ≥ {3.15 · 10^2}/{3.5 · 18 · 5} $
$sin α ≥ 1$
Значит, $sin α ≥ 1; α = 90°$.
Наименьшее значение $α = 90°$.
Задача 15
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-7$ до $7$. По решению составителей формула приняла вид: $R={4In+9Op+7Tr+3Q} / {A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.
Решение
Если $In = Op = Tr = Q = x$, то и $R = x$ по условию. Тогда $x = {4x + 9x + 7x + 3x}/{A}, x = {23x}/{A}$. Отсюда, $A = 23$.
Задача 16
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.
Решение
Если $In=Op=Tr=4$, то $R={2⋅ 4+5⋅ 4+3⋅ 4} / {A}=$
$={4⋅(2+5+3)} / {A}$. Отсюда должно выполняться ${40} / {A}=50$, $A=0{,}8$.
Задача 17
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=900$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=400$ руб., постоянные расходы предприятия $f= 800000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $600000$ руб.
Решение
Операционная прибыль $π(q)$ равна $600 000$ тыс. руб., если выполнено равенство $π(q) = q(p - v) - f = 600 000$, то есть $q·500 = 1 400 000, q = 2800$. Таким образом, искомый месячный объём равен $2800$ единиц продукции.
Задача 18
Два тела, массой $m=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=30$ м/с под углом $2α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 α$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2α$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $3375$ джоулей.
Решение
Из условия следует, что $0° < 2α ≤ 180°$, отсюда $0° < α ≤ 90°$ и $sin α ≥ 0$. Должно выполняться неравенство $Q = mv^2sin^2α ≥ 3375; 5 · 30^2 · sin^2 α ≥ 3375; sin^2 α ≥ {3}/{4}; sin α ≥ {√3}/{2}$. Следовательно, $60° ≤ α ≤ 90°, 120° ≤ 2α ≤ 180°$. Наименьшим значением $2α$ является $120°$.
Задача 19
Плоский замкнутый контур площадью $S = 0{,}8$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $ϵ_{i} = aS\cos α$, где $α$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=7{,}5 ⋅ 10^{-5}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в $м^2$). При каком минимальном угле $α$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3√ 3⋅10^{-5}$ В?
Решение
По условию должно выполняться неравенство $ε_i ≤ 3√3 · 10^{-5}$, то есть $7.5 · 10^{-5} · 0.8 · cos α ≤ 3√3 · 10^{-5}$. Получим $cos α ≤ {√3}/{2}$. Известно, что угол $α$ — острый $(0° < α < 90°)$. С учётом этого, неравенство $cos α ≤ {√3}/{2}$ выполнено при $α ∈ [30°; 90°)$. Минимальное значение угла $α$ равно $30°$.
Задача 20
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ} = {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше ${80} / {9}$ Ом. Ответ выразите в омах.
Решение
Должно выполняться неравенство $ {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}⩾{80} / {9}$ (Ом), $R_1=80$. Тогда ${80R_2} / {80+R_2}⩾{80} / {9}$, ${R_2} / {80+R_2}⩾{1} / {9}$, $R_2⩾{80} / {9}+{1} / {9}R_2$; $8 R_2⩾ 80$; $R_2⩾10$ Ом. Наименьшее возможное значение $R_2$ равно $10$ Ом.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Получишь все формулы, которые нужны для решения ЛЮБОЙ задачи по теории вероятностей в ЕГЭ по профилю
- Научишься решать задачи №4.5 в ЕГЭ по профилю
- Улучшить свой результат на +15 вторичных баллов
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
