Бесплатный интенсив по математике (профильной)
3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.
Подробнее об интенсиве
Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2025 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 72.7%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Катер должен пересечь реку шириной м и со скоростью течения м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше с?
Решение
По условию должно выполняться неравенство . Учитывая, что угол — острый , получим . Минимальное значение угла равно .
Задача 2
Груз массой кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где — время с момента начала колебаний, с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия (в джоулях) груза вычисляется по формуле , где — масса груза в килограммах, — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Из условия следует, что через секунды после начала колебаний скорость м/с. Тогда джоулей.
Задача 3
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее километров?
Решение
Найдём высоту , стоя на которой, наблюдатель видит горизонт на расстоянии км. Решим уравнение м.
Найдём высоту , стоя на которой, наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии км. Решим уравнение м.
Таким образом, наблюдателю надо подняться на м. Учитывая, что высота одной ступеньки равна см = м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ступеньки.
Задача 4
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее километров?
Решение
Найдём высоту , стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии км.
Решим уравнение ;
;
(м).
Найдём высоту , стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии км.
Решим уравнение: ;
;
(м).
Таким образом, наблюдателю надо подняться на (м).
Учитывая, что высота одной ступеньки равна см м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на (ступенек).
Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот и . Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.
Задача 5
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от до см, а расстояние от линзы до экрана — в пределах от до см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение
Из условия следует, что должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство . Так как , то чем меньше , тем больше . Тогда нам нужно найти наибольшее значение . Числа и положительны, их сумма равна . Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение . Это значение равно . В этом случае . Число находится в пределах от до , следовательно, это значение является ответом.
Задача 6
Два тела, массой кг каждое, движутся с одинаковой скоростью м/с под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле , где — масса в килограммах, — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее джоулей.
Решение
Из условия следует, что , отсюда и . Должно выполняться неравенство . Следовательно, . Наименьшим значением является .
Задача 7
Плоский замкнутый контур площадью м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, Тл/с — постоянная, — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в ). При каком минимальном угле (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать В?
Решение
По условию должно выполняться неравенство , то есть . Получим . Известно, что угол — острый . С учётом этого, неравенство выполнено при . Минимальное значение угла равно .
Задача 8
Рейтинг интернет-магазина книг вычисляется по формуле
, где , — средняя оценка магазина покупателями, — оценка магазина, данная экспертами, — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно , их средняя оценка равна , а оценка экспертов равна .
Решение
Посчитаем m по формуле . Получим .
Тогда .
Задача 9
Рейтинг интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле , где , — средняя оценка магазина покупателями, — оценка магазина, данная экспертами, — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно , их средняя оценка равна , а оценка экспертов равна .
Решение
Посчитаем по формуле . Получим
.
Тогда .
Задача 10
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой C. Расход проходящей через трубу радиатора воды кг/с. Проходя по трубе расстояние м, вода охлаждается до температуры , причём , где — теплоёмкость воды, — коэффициент теплообмена, а — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна м.
Решение
По условию должно выполняться равенство .
Следовательно, .
Отсюда ;
;
;
.
Задача 11
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ом и Ом их общее сопротивление даётся формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше Ом. Ответ выразите в омах.
Решение
Должно выполняться неравенство (Ом), . Тогда , , ; ; Ом. Наименьшее возможное значение равно Ом.
Задача 12
Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции которого лежит в той же плоскости и составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в градусах.
Решение
По условию должно выполняться равенство
Значит, .
Наименьшее значение .
Задача 13
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени молей воздуха объёмом л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением , где — постоянная, а К — температура воздуха. Найдите, какой объём (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в Дж.
Решение
Из условия получаем, что . Отсюда . Следовательно, , то есть . Таким образом, искомый объём равен л.
Задача 14
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где (Па) — давление в газе, — объём газа в кубических метрах, — положительная константа. При каком наименьшем значении константы уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в раз?
Решение
По условию изначально выполняется равенство . Отсюда, . После уменьшения объёма выполняется , . Значит, . По условию должно выполняться неравенство . Следовательно, . Наименьшее значение , при котором это неравенство выполнено, равно .
Задача 15
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где кг — общая масса навеса и колонны, — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения м/с, а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше Па. Ответ выразите в метрах.
Решение
По условию должно выполняться неравенство (так как ). Наименьший возможный диаметр колонны равен м.
Задача 16
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решение
Мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, когда будет выполнено неравенство
;
.
;
.
Решим уравнение . Отсюда неравенство выполнимо при . Длина этого промежутка равна . Значит, мяч на высоте не менее четырёх метров был на протяжении секунд.
Задача 17
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций, а также качества сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от до . По решению составителей формула приняла вид: . Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.
Решение
Если , то и по условию. Тогда . Отсюда, .
Задача 18
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности , оперативности и объективности публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от до . По решению аналитиков формула приняла вид . Найдите, каким должно быть число , чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг .
Решение
Если , то
. Отсюда должно выполняться , .
Задача 19
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите месячный объём производства (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна руб.
Решение
Операционная прибыль равна тыс. руб., если выполнено равенство , то есть . Таким образом, искомый месячный объём равен единиц продукции.
Задача 20
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле , где - длина ребра куба в метрах, кг/м3 плотность воды, а - ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем ? Ответ выразите в метрах.
Решение
Решим неравенство
Максимальная длина ребра куба равна метрам.