Задание 9. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2025 по математике профильного уровня

Два тела, массой $\mathit{m}=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $\mathit{v}=30$ м/с под углом $2\mathit{\alpha }$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $\mathit{Q}=\mathit{m}{\mathit{v}}^2{\sin }^2\mathit{\alpha }$, где $\mathit{m}$ — масса в килограммах, $\mathit{v}$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2\mathit{\alpha }$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $3375$ джоулей.

Плоский замкнутый контур площадью $\mathit{S}=0,8$ м${}^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ${\mathit{ϵ}}_{\mathit{i}}=\mathit{a}\mathit{S}\cos \mathit{\alpha }$, где $\mathit{\alpha }$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $\mathit{a}=7,5\cdot {10}^{-5}$ Тл/с — постоянная, $\mathit{S}$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в ${\mathit{м}}^2$). При каком минимальном угле $\mathit{\alpha }$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3\sqrt{3}\cdot {10}^{-5}$ В?

Рейтинг $\mathit{R}$ интернет-магазина книг вычисляется по формуле
$\mathit{R}={\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}-\frac{{\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}-{\mathit{r}}_{\mathit{э}\mathit{к}\mathit{с}}}{{\left(\mathit{K}+2\right)}^{\mathit{m}}}$, где $\mathit{m}=\frac{0,05\mathit{K}}{{\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}+4,5}$, ${\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}$ — средняя оценка магазина покупателями, ${\mathit{r}}_{\mathit{э}\mathit{к}\mathit{с}}$ — оценка магазина, данная экспертами, $\mathit{K}$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $62$, их средняя оценка равна $4,8$, а оценка экспертов равна $3,2$.

Рейтинг $\mathit{R}$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $\mathit{R}={\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}-\frac{{\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}-{\mathit{r}}_{\mathit{э}\mathit{к}\mathit{с}}}{{\left(\mathit{K}+1\right)}^{\mathit{m}}}$, где $\mathit{m}=\frac{0,03\mathit{K}}{{\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}+0,9}$, ${\mathit{r}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{к}}$ — средняя оценка магазина покупателями, ${\mathit{r}}_{\mathit{э}\mathit{к}\mathit{с}}$ — оценка магазина, данная экспертами, $\mathit{K}$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $80$, их средняя оценка равна $3,9$, а оценка экспертов равна $2,1$.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне ${\mathit{T}}_{\mathit{п}}=15°$C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой ${\mathit{T}}_{\mathit{в}}=95°$C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $\mathit{m}=0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $\mathit{x}$ м, вода охлаждается до температуры $\mathit{T}$, причём $\mathit{x}=\mathit{\alpha }\frac{\mathit{c}\mathit{m}}{\mathit{\gamma }}{\log }_2\frac{{\mathit{T}}_{\mathit{в}}-{\mathit{T}}_{\mathit{п}}}{\mathit{T}-{\mathit{T}}_{\mathit{п}}}$, где $\mathit{c}=4200\frac{\mathit{В}\mathit{т}\cdot \mathit{с}}{\mathit{к}\mathit{г}\cdot °\mathit{C}}$ — теплоёмкость воды, $\mathit{\gamma }=35\frac{\mathit{В}\mathit{т}}{\mathit{м}\cdot °\mathit{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\mathit{\alpha }=2,5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $180$ м.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет ${\mathit{R}}_1=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление ${\mathit{R}}_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями ${\mathit{R}}_1$ Ом и ${\mathit{R}}_2$ Ом их общее сопротивление даётся формулой ${\mathit{R}}_{\mathit{о}\mathit{б}\mathit{щ}}=\frac{{\mathit{R}}_1{\mathit{R}}_2}{{\mathit{R}}_1+{\mathit{R}}_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $\frac{80}{9}$ Ом. Ответ выразите в омах.

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $\mathit{q}=3,5\cdot {10}^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $\mathit{v}=18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $\mathit{B}$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $\mathit{\alpha }$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $\mathit{B}=5\cdot {10}^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная ${\mathit{F}}_{\mathit{л}}=\mathit{q}\mathit{v}\mathit{B}\sin \mathit{\alpha }$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $\mathit{\alpha }\in \left[0°;180°\right]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила ${\mathit{F}}_{\mathit{л}}$ была не менее чем $3,15\cdot {10}^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\mathit{\upsilon }=8$ молей воздуха объёмом ${\mathit{V}}_1=80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\mathit{V}}_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $\mathit{A}=\mathit{\alpha }\mathit{\upsilon }\mathit{T}{\log }_2\frac{{\mathit{V}}_1}{{\mathit{V}}_2}$, где $\mathit{\alpha }=5,75$ $\frac{\mathit{Д}\mathit{ж}}{\mathit{м}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{ь}\cdot \mathit{К}}$ — постоянная, а $\mathit{T}=280$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\mathit{V}}_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $51520$ Дж.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $\mathit{p}{\mathit{V}}^{\mathit{a}}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{s}\mathit{t}$, где $\mathit{p}$ (Па) — давление в газе, $\mathit{V}$ — объём газа в кубических метрах, $\mathit{a}$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $\mathit{a}$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $\mathit{P}$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $\mathit{P}=\frac{4\mathit{m}\mathit{g}}{\mathit{\pi }{\mathit{D}}^2}$, где $\mathit{m}=2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $\mathit{D}$ — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $\mathit{g}=10$ м/с${}^2$, а $\mathit{\pi }=3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $576000$ Па. Ответ выразите в метрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $\mathit{h}\left(\mathit{t}\right)=2,25+8\mathit{t}-4{\mathit{t}}^2$, где $\mathit{h}$ — высота в метрах, $\mathit{t}$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $\mathit{I}\mathit{n}$, оперативности $\mathit{O}\mathit{p}$, объективности $\mathit{T}\mathit{r}$ публикаций, а также качества $\mathit{Q}$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-7$ до $7$. По решению составителей формула приняла вид: $\mathit{R}=\frac{4\mathit{I}\mathit{n}+9\mathit{O}\mathit{p}+7\mathit{T}\mathit{r}+3\mathit{Q}}{\mathit{A}}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $\mathit{A}$, при котором это условие будет выполняться.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $\mathit{I}\mathit{n}$, оперативности $\mathit{O}\mathit{p}$ и объективности $\mathit{T}\mathit{r}$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $\mathit{R}=\frac{2\mathit{I}\mathit{n}+5\mathit{O}\mathit{p}+3\mathit{T}\mathit{r}}{\mathit{A}}$. Найдите, каким должно быть число $\mathit{A}$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $\mathit{p}=900$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $\mathit{v}=400$ руб., постоянные расходы предприятия $\mathit{f}=800000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\mathit{\pi }\left(\mathit{q}\right)=\mathit{q}\left(\mathit{p}-\mathit{v}\right)-\mathit{f}$. Определите месячный объём производства $\mathit{q}$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $600000$ руб.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}=\mathit{\rho }\mathit{g}{\mathit{l}}^3$, где $\mathit{l}$ - длина ребра куба в метрах, $\mathit{\rho }=1000$ кг/м³ плотность воды, а $\mathit{g}$ - ускорение свободного падения (считайте $\mathit{g}=9.8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264600\mathit{Н}$? Ответ выразите в метрах.