Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная параллельна прямой $y=5x+4$, значит, её угловой коэффициент равен: $(5x+4)'=5$. Абсциссу точки касания найдём из уравнения $(x^2-4x-12)'=5$, $2x-4=5$, $x=4{,}5$.

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$. $f'(x)$ наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью $Ox$ («горка» в этом месте на вид «самая крутая»). Проведём касательные в заданных точках (см. рис.). Тупые углы (а значит, $f'(x)<0$) в точках $x=-3$ и $x=2$. $β<α$, значит, наименьшая производная в точке $2$.

На отрезке $[-4; 4]$ $f'(x)=0$ в единственной точке $x=-2$. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус (см. рис. ). Значит, $x=-2$ — точка максимума, следовательно, в ней функция принимает наибольшее значение на этом отрезке.

Производная равна нулю в тех точках, где касательная горизонтальна. В частности, в точках максимума и минимума. По графику находим искомые точки: $x_1$, $x_3$, $x_5$, $x_6$, всего четыре (см. рис. $$).

Найдём производную функции $g(x)$, $g'(x)=(4f(x)-12)'=4⋅ f'(x)$. Найдём значение $f'(x_0)$. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной $f'(x_0)=(0{,}8x+4)'=0{,}8$. Тогда искомое значение $g'(x_0)=4⋅0{,}8=3{,}2$ (см. рис.)

Скорость материальной точки — это производная пути по времени $v(t)=x'(t)=({2} / {3}t^3-4t^2-12t)'={3⋅2} / {3}t^2-8t-12=2t^2-8t-12$. $v(6)=2⋅ 36-8⋅6-12=72-48-12=12$.

По определению первообразной на интервале $(-6; 7)$ $f(x)=F'(x)$. Следовательно, решениями уравнения $f(x)=0$ являются точки экстремума (см. рис. $$). На отрезке $[-3; 4]$ таких точек три: $A$, $B$, $C$. Значит, уравнение $f(x)=0$ имеет три решения.

На отрезке $[-3; 2]$ производная функции $y=f(x)$ отрицательна, значит, $f(x)$ убывает (см. рис. $$). Тогда наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть в точке $2$.

$f'(x_0)=tgα={3}/{10}=0,3;$

т.к. $α<90°$, то $tgα>0$

Если касательная в точке возрастает, то производная будет положительной

$y=15x-300$

$k_1=15$

$y=2x^2-11x-73$

$y'=4x-11$

$15=4x_0-11$

$4x_0=26$

$x_0=26/4$

$x_0=6.5$

$f'(x_0)=tgα={5}/{4}=1.25;$

т.к. $α<90°$, то $tgα>0$

Если касательная в точке возрастает, то производная будет положительной

$x(t)=4t^2+53t+161; t=2$ c.

$v(t)=x'(t)=8t+53$

$v(2)=8·2+53=16+53=69$

$f'(x)=tg(a)=-4/8=-1/2$

$𝑔'(𝑥)=(12⋅𝑓(𝑥)−6𝑥)'=12𝑓'(𝑥)-6=12⋅(-1/2)-6=-12$

$f'(x_0)=tgα=-{6}/{6}=-1;$

т.к. $α>90°$, то $tgα<0$

Если касательная в точке убывает, то производная будет отрицательной

$f'(x)=tg(a)=-3/6=-1/2$

$𝑔'(𝑥)=({2𝑥}^3+𝑓(𝑥)−𝑥)'=2⋅3{𝑥}^2+𝑓'(𝑥)-1=6⋅(1)^2+(-1/2)-1=4.5$