Бесплатный интенсив по математике (профильной)
3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и
многое другое.
Курс стартует 27 января.
Подробнее об интенсиве
Задание 7. Вычисления и преобразования. ЕГЭ 2025 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 61.5%
Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения $\log_5 27 ⋅ \log_3 25$.
Решение
$ log_5 3^3· log_3 5^2 = 3 log_5 3 · 2 log_3 5 $
Воспользуемся свойством: $log _b (a)= 1/{log _a (b)}$
$6 · log_5 3 · {1}/{log_5 3} = 6$.
Задача 2
Найдите значение выражения $ {14} / {\sin^2 25°+ \cos^2 205°}$.
Решение
Учитывая, что $cos(180° + 25) = - cos 25$,
$cos^2 (180° + 25) = (- cos 25°)⋅(- cos 25°)=cos^2 25°$
получим ${14}/{sin^2 25° + cos^2 (180° + 25°)} = {14}/{sin^2 25° + cos^2 25°} = 14$.
Задача 3
Найдите значение выражения $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 123°}$.
Решение
Учитывая, что $cos(90°+α)=-sinα$, получим:
$cos^2 (123°)=cos^2 (90°+33°)=(-sin 33°)⋅(-sin 33°)=sin^2 33°$, таким образом
$ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 (90°+33°)}= {5} / {\cos^2 33°+ \sin^2 33°}= 5$.
Задача 4
Найдите значение выражения ${18(\sin^2 16°- \cos^2 16°)} / {\cos 32°}$.
Решение
Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α - sin^2 α$, получим
$cos 32°=cos^2 16° - sin^2 16°$
${18(sin^2 16° - cos^2 16°)}/{cos^2 16° - sin^2 16°} = {18(sin^2 16° - cos^2 16°)}/{-( sin^2 16°-cos^2 16° )}=-18$.
Задача 5
Найдите значение выражения $(1-\log_3 18)(1-\log_6 18)$.
Решение
$(log__3 3 - log_3 18)(log_6 6 - log_6 18) = log_3 {1}/{6} · log_6 {1}/{3} = log_3 6^(-1) · log_6 3^(-1) = log_3 6 · log_6 3 = log_3 6 · 1/(log_3 6) = 1$.
Задача 6
Найдите значение выражения $ {\log_{3} 36} / {2+\log_{3} 4}$.
Решение
$ {\log_{3} (9⋅4)} / {2+\log_{3}4} ={\log_{3} 9+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} ={2+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} =1$.
Задача 7
Найдите значение выражения $ \log_2 (\log_5 625)$.
Решение
$log_2(log_5 5^4) = log_2 4 = 2$.
Задача 8
Найдите значение выражения ${7^{\log_5 50}} / {7^{\log_{5}2 }}$.
Решение
${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 7^2 = 49$.
Задача 9
Найдите значение выражения ${\log_7 23} / {\log_{49}23} $.
Решение
Воспользуемся свойством логарифма: $log_a (b^m)=m⋅log_a (b)$
${\log_7 23} / {\log_{7^2}23} ={\log_7 23} / {{1} / {2}\log_{7}23}=2$.
Задача 10
Найдите значение выражения ${15 \cos 19°} / {\cos341°}$.
Решение
Применив формулу приведения $cos(360° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° - 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.
Задача 11
Найдите значение выражения ${3 \cos 39°} / {\sin51°}$.
Решение
Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${3cos39°}/{sin(90° - 39°)} = {3 cos 39°}/{cos 39°} = 3$.
Задача 12
Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.
Решение
${15√x}/{√x} - {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x - 8 = 15 - {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x - 8 = 7 + 2x$.
При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.
Задача 13
Найдите значение выражения ${f(x+3)} / {f(x-3)}$, если $f(x)=5^x$.
Решение
$f(x)=5^x$
${f(x+3)}/{f(x-3)}={5^{x+3}}/{5^{x-3}}=5^6=15 625$
Задача 14
Найдите значение выражения $(√ {23} - √ {15})(√ {23}+√ {15})$.
Решение
$(√{23} - √{15})(√{23} + √{15}) = (√{23})^2 - (√{15})^2 = 23 - 15 = 8$.
Задача 15
Найдите значение выражения ${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}$.
Решение
${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}=6^{3√2+2+2√2-(5√2-1)} = 6^{5√2+2-5√2+1} = 6^3 = 216$.
Задача 16
Найдите значение выражения $8^{3√ {5}-1}⋅ 8^{1-√ {5} }: 8^{2√ {5}-1}$.
Решение
$8^{(3√5-1)+(1-√5)-(2√5-1)} = 8^1 = 8$.
Задача 17
Найдите значение выражения $6x⋅(2x^9)^4:{(4x^{12})}^3$ при $x=5$.
Решение
$6x·(2x^9)^4 : (4^3 · (x^{12})^3) = 6x · (2^4 · x^{36}) : ((2^2)^3 · x^{36}) = {6x · 2^4 · x^{36}}/{2^6·x^{36}} = {6x}/{4} = 1.5x$.
При $х=5$, $1.5·х=1.5·5=7.5$
Задача 18
Найдите значение выражения $x⋅5^{2x+1}⋅ 25^{-x}$ при $x=3$.
Решение
$x⋅5^{2x+1}⋅ (5^2)^{-x}=x⋅5^{2x+1-2x}=x⋅5$. При $x=3$ получим $3⋅5=15$.
Задача 19
Найдите значение выражения ${3\sin β +15\cos β -8} / {\sinβ +5\cosβ +2}$, если $\tg β = - 5$.
Решение
$tgβ={sinβ}/{cosβ}=-5$
$ sinβ=-5cosβ$
$ (3sinβ+15cosβ−8)/(sinβ+5cosβ+2)=(3⋅(-5cosβ)+15cosβ-8)/(-5cosβ+5cosβ+2)=(-15cosβ+15cosβ-8)/2=-8/2=-4$
