Задание 6. Простейшие уравнения. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 6 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $32^{ 24-x}=8$.
Решение
$(2^5)^{24-x}=2^3, (2 )^{5(24-x)}=2^3, 5(24-x) = 3$, $120-5x=3$, $5x=117$,
$x=23{,}4$.
Задача 2
Найдите корень уравнения $\log_9(x+8)=\log_9(3x-34)$.
Решение
Найдите корень уравнения $\log_9(x+8)=\log_9(3x-34)$.
Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:
$x + 8 = 3x - 34$.
Решим это уравнение:
$8 + 34 = 3x - x$.
$2x = 42$.
$x = 21$.
Ответ: $21$.
Задача 3
Найдите корень уравнения $-2{8} / {9}x =4{1} / {3}$.
Решение
$x =4{1} / {3}:(-2{8} / {9}), x={13} / {3}:(- {26} / {9}), x=-{13} / {3}⋅ {9} / {26} , x=-1{,}5.$
Задача 4
Найдите корень уравнения $25^{18+x}=125$.
Решение
$25^{18+x}=125$
$(5^2)^{18+x}=5^3$
$5^{36+2x}=5^3$
$36+2x=3$
$2x=-33$
$x=-16,5$
Задача 5
Найдите корень уравнения $({1} / {25})^{-12+x}=125$.
Решение
Уравнение: $({1}/{25})^{-12+x} = 125$.
1. Преобразуем $125$ и $1/25$ к одинаковому основанию. Напомним, что $125 = 5^3$, а $1/25 = 5^{-2}$. Тогда уравнение примет вид:
$(5^{-2})^{-12+x} = 5^3$.
2. Применим свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m* n}$. Получим:
$5^{(-2)(-12+x)} = 5^3$.
3. Упростим показатель степени:
$5^{24 - 2x} = 5^3$.
4. Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$24 - 2x = 3$.
5. Решим линейное уравнение:
$-2x = 3 - 24$,
$-2x = -21$,
$x = 21 / 2$.
Ответ: $x = 10.5$.
Задача 6
Найдите корень уравнения $\log_8(5x-7)=\log_8( x+11)$.
Решение
Найдём ОДЗ: $ \{{\table {5x-7 >0{,}}; {x+11>0{;}};} \{{\table {5x >7{,}}; {x > -11 {;}};} \{{\table {x >1{,}4{,}}; {x > -11{;}};} x >1{,}4$. $5x-7= x+11, 5x-x=7+11, 4x= 18, x=4{,}5. 4{,}5> 1{,}4$.
Задача 7
Найдите корень уравнения $8^{\log_{64}(7x+35)}=21$.
Решение
Найдем ОДЗ: $7x+35>0 $, $ x>-5$.
$8^{\log_{64}(7x+35)}=21$,
$ 8^{{1} / {2}\log_{8}{(7x+35)}}=21 $,
$8^{\log_8(7x+35)^{{1} / {2}}}=21$,
$(7x+35)^{{1} / {2}}=21$.
Возведем обе части равенства в квадрат. $7x+35=441 $, $ 7x=406 $, $ x=58$ — входит в ОДЗ, значит, является корнем исходного уравнения.
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_9(3x^2-40x)=\log_9(3x^2+2 4)$.
Решение
Задача 9
Найдите корень уравнения $√ {38-5x}=11$.
Решение
$√ {38-5x}=11$.
$(√ {38-5x})^2=11^2$.
$38-5x=121$.
$-5x=83$.
$x=-16,6$.
Задача 10
Найдите корень уравнения $({1} / {81})^{7+x}=243$.
Решение
$3^{-4(7+x)}=3^{5}$, $-4(7+x)=5, $
$ -28-4x=5,$ $4x=-33,$ ${x}=-8{,}25.$
Задача 11
Найдите корень уравнения $\log_3(6-3x)=\log_3(-5-x)+2$.
Решение
Задача 12
Решите уравнение $\sin{π(x+8)} / {4}=-{√ {2}} / {2}$. В ответе укажите наибольший отрицательный корень.
Решение
$sin{(π(x+8)}/{4}=-√2/2$
1). ${π(x+8)}/{4}=-π/4+2πn, n∈Z$ или 2). ${π(x+8)}/{4}=-{3π}/{4}+2πn, n∈Z$
1). ${π(x+8)}/{4}=-π/4+2πn, n∈Z$ делим на π
${x+8}/{4}=-1/4+2n, n∈Z$ умножаем на 4
$x+8=-1+8n, n∈Z$
$x_{1}=-9+8n, n∈Z$
2). ${π(x+8)}/{4}=-{3π}/{4}+2πn, n∈Z$ делим на π
${x+8}/{4}=-{3}/{4}+2n, n∈Z$ умножаем на 4
$x+8=-3+8n, n∈Z$
$x_{2}=-11+8n, n∈Z$
При $n=0$ ⮕ $x_{1}=-9$ и $x_{2}=-11$
При $n=1$ ⮕ $x_{1}=-1$ и $x_{2}=-3$
Следовательно $x=-1$
Задача 13
Найдите корень уравнения $\log_2(9-2x)=\log_2(6+x)+3$.
Решение
Найдём ОДЗ: $\{{\table {9-2x>0{,}}; {6+x>0{;}};}$ $\{{\table {-2x>-9{,}}; {x>-6{;}};}$ $\{{\table {x<4{,}5{,}}; {x>-6{;}};}$ тогда, $ -6<{x}<4{,}5. $
$\log_2(9-2x)=\log_2(6+x)+ \log_2 8$, $\log_2(9-2x)=\log_2((6+x)⋅8)$, $9-2x=48+8x$, $10x=-39$,
$x=-3{,}9$, $-6<-3{,}9<4{,}5$.
Задача 14
Найдите корень уравнения $\log_{{1} / {2}}(7+2x)=-6 $.
Решение
Задача 15
Найдите корень уравнения $\log_{11}(-12-x)=4\log_{11}5$.
Решение
Найдите корень уравнения $\log_{11}(-12-x)=4\log_{11}5$.
Решаем уравнение. Перепишем правую часть, используя свойство логарифмов $a\log_b(c) = \log_b(c^a)$:
$\log_{11}(-12-x) = \log_{11}(5^4).$
Сравниваем аргументы логарифмов (так как основания одинаковые):
$-12 - x = 5^4.$
$5^4 = 625,$ поэтому:
$-12 - x = 625.$
Решаем относительно $x$:
$x = -12 - 625 = -637.$
Проверяем область определения: аргумент логарифма $-12-x$ должен быть больше $0$. Подставляем $x = -637$:
$-12 - (-637) = 625 > 0$ — условие выполнено.
Ответ: $-637$.
Задача 16
Найдите корень уравнения $\log_{11}(2x^2-6x )=\log_{11}(2x^2+123)$.
Решение
Приведя к виду $log_{a} b=log _{a} c$ , можем избавиться от логарифма, перейдя к равенству $b=c$
$\log_{11}(2x^2-6x )=\log_{11}(2x^2+123)$.
$2x^2-6x =2x^2+123$.
$-6x =123 $.
$ x =-20,5 $.
Задача 17
Найдите корень уравнения $1{3} / {11}x =-2{5} / {22}$.
Решение
$1{3} / {11}x =-2{5} / {22}$.
${14} / {11}x =-{49} / {22}$.
$14x⋅22 =11⋅(-49)$.
$x =-1,75$.
Задача 18
Найдите корень уравнения $9^{\log_{81}(5x-2)}=30$.
Решение
$9^{\log_{9^2}(5x-2)}=30,$
$9^{{1} / {2}\log_{9}(5x-2)}=30,$
$9^{\log_{9}(5x-2)^{{1} / {2}}}=30,$
$ (5x-2)^{1/2}=30, $
$5x-2=900, $
$5x=902,$
$x=180{,}4$.
Задача 19
Найдите корень уравнения $ √ {6- 5x}=-x$.
Решение
$ √ {6- 5x}=-x$
$\{\table\-x≥0; \6- 5x=x^2;$
$\{\table\x≤0; \x^2+5x-6=0;$
$\{\table\x≤0; \[\table\x_1=-6; \x_2=1;$ $⇒x=-6$
Задача 20
Найдите корень уравнения $√ {{75} / {5x-3}}={5} / {7}$.
Решение
$(√ {{75} / {5x-3}})^2=({5} / {7})^2$, ${75} / {5x-3} ={25} / {49}>0$, ${3} / {5x-3} ={1} / {49}$, $5x-3=49⋅3$, $5x=150, x=30.$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
