Бесплатный интенсив по математике (профильной)
3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и
многое другое.
Курс стартует 22 июля.
Подробнее об интенсиве
Задание 6. Простейшие уравнения. ЕГЭ 2024 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 6 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $\log_{x+5}{64} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$.
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$(x + 5)^2 = 64$,
$x + 5 = 8$ или $x + 5 = -8$,
$x = 3 $ или $x = -13 $
$x = -13$ — не входит в ОДЗ.
Задача 2
Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =\log_{√5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =log_{√5}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2}-log_{5}{25} =log_{5^{1/2}}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =2log_{5}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =log_{5}{(5x-7)^2}$,
$(x+13)^2/{25} =(5x-7)^2$,
$(x+13)/{5} =(5x-7)$ или $(x+13)/{5} =-(5x-7)$,
Откуда: $x=2$ или $x=11/13 - $ второй корень не удовлетворяет ОДЗ,
Задача 3
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3)$,
$4x - 15 = x + 3$,
$3x = 18, x = 6$.
Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство.
$x = 6$ — корень уравнения.
Задача 4
Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.
Решение
$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}$, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$
$5^{4x+4} = 5^{-1}$,
$4x + 4 = -1$,
$4x = -5$,
$x = -1.25$.
Задача 5
Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.
Решение
$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$
$ 3^{2x-24} = 3^{-1} $,
$2x-24=-1 $,
$ 2x=23 $,
$ x=11{,}5$.
Задача 6
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27$
$ (x-12)^3=(-3)^3 $,
$ x-12=-3 $,
$x=9$.
Задача 7
Найдите корень уравнения $\log_{2}{(12+x)} =-2$.
Решение
По определению логарифма $12+x = 2^{-2}, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.
Задача 8
Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$4-x = 3^5 $,
$ 4-x=243 $,
$x=-239$.
Задача 9
Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$,
$14x = -42$,
$x = -3$.
Задача 10
Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Таким образом:
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$,
$ 110x+20x=-117$,
$130x=-117$
$x=-117/130$
$x=-0.9$.
Задача 11
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна:
$-x ⩾ 0$, — домножим обе части на -1, в таком случае знак неравенства меняется
$ x ⩽ 0$.
Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$,
$x^2+5x-14=0$,
$ x_1=-7$,
$ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Пояснение: $(-x)^2=(-x)(-x)=x^2$
Задача 12
Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Найдем ОДЗ: $\{\table\2x-11 ≠ 0; \3x-7≠ 0;$ $\{\table\x ≠ 5.5; \x ≠7/3;$
Удобно домножить обе стороны равенства на знаменатели, проще говоря «крест накрест»
$(x+3)(3x-7)=(2x-11)(x+3)$
${3x}^2-7x+9x-21={2x}^2+6x-11x-33$
$x^2+7x+12=0$ $x_1=-3, x_2=-4$ — оба корня удовлетворяют ОДЗ Наибольший корень: $x=-3$Задача 13
Найдите корень уравнения ${9-5x} / {x+3}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
При $x ≠ -3$ получим
$x(x + 3) = 9 - 5x$,
$x^2 + 3x + 5x - 9 = 0$,
$x^2 + 8x - 9 = 0$
По теореме Виета $х_1=1$, $х_2=-9$.
Больший корень $x_1=1$
Задача 14
Найдите корень уравнения $√ {{4x-21} / {117}}={1} / {3}$.
Решение
ОДЗ: ${4x - 21}/{117}⩾0, 4x-21⩾0, x⩾21/4, x⩾5.25$
$(√{{4x - 21}/{117}})^2 = ({1}/{3})^2$,
${4x - 21}/{117} = {1}/{9}$,
$9(4x - 21) = 117$,
$36x - 189 = 117$,
$36x = 306$,
$x = 8.5$ — удовлетворяет ОДЗ.
Задача 15
Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.
Решение
ОДЗ: $13+x>0, x>-13$
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$(1/3)^(-2)=13+x$
$ 13+x=9$
$ x=-4$ — удовлетворяет ОДЗ
Задача 16
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$5+х=2^3$,
$5+х=8$,
$х=3$.
Задача 17
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них
Решение
Допустимые значения переменной: $3х-1≠0$, $х≠1/3$;
$х+33≠0$, $х≠-33$;
Домножим обе части уравнения на $(3х-1)(х+33)≠0 - $ говорят умножим "крест -накрест"
$(х-9)(х+33)=(х-9)(3х-1) - $ вынесем общий множитель
$(х-9)(х+33)-(х-9)(3х-1)=0$
$(х-9)(х+33-(3х-1))=0$
$(х-9)(х+33-3х+1)=0$
$(х-9)(-2х+34)=0$
$ х-9=0$, $х=9$ или
$-2х+34=0$, $х=17$;
$9<17$ - значит наименьший корень $x=9$
