desktop/math.jpg mobile/math.jpg

Задание 5. Простейшие уравнения. ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 93.6%
Ответом к заданию 5 по математике может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Задачи для практики

Задача 1

Найдите корень уравнения $\log_{x+5}{64} = 2$.

Решение

Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$.

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$(x + 5)^2 = 64$,

$x + 5 = 8$ или $x + 5 = -8$,

$x = 3 $ или $x = -13 $

$x = -13$ — не входит в ОДЗ.

Ответ: 3
Показать решение
Полный курс

Задача 2

Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =\log_{√5}{(5x-7)}$.

Решение

$log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =log_{√5}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2}-log_{5}{25} =log_{5^{1/2}}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =2log_{5}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =log_{5}{(5x-7)^2}$,

$(x+13)^2/{25} =(5x-7)^2$,

$(x+13)/{5} =(5x-7)$ или $(x+13)/{5} =-(5x-7)$,

Откуда: $x=2$ или $x=11/13 - $ второй корень не удовлетворяет ОДЗ,

Ответ: 2
Показать решение
Полный курс

Задача 3

Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.

Решение

$log_3 (4x - 15) = log_3 (x + 3)$,

$4x - 15 = x + 3$,

$3x = 18, x = 6$.

Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 - 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство.

$x = 6$ — корень уравнения.

Ответ: 6
Показать решение
Полный курс

Задача 4

Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.

Решение

$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}$, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$

$5^{4x+4} = 5^{-1}$,

$4x + 4 = -1$,

$4x = -5$,

$x = -1.25$.

Ответ: -1.25
Показать решение
Полный курс

Задача 5

Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.

Решение

$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$

$ 3^{2x-24} = 3^{-1} $,

$2x-24=-1 $,

$ 2x=23 $,

$ x=11{,}5$.

Ответ: 11.5
Показать решение
Полный курс

Задача 6

Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.

Решение

$(x-12)^3=-27$
$ (x-12)^3=(-3)^3 $,
$ x-12=-3 $,
$x=9$.

Ответ: 9
Показать решение
Полный курс

Задача 7

Найдите корень уравнения $\log_{2}{(12+x)} =-2$.

Решение

По определению логарифма $12+x = 2^{-2}, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.

Ответ: -11.75
Показать решение
Полный курс

Задача 8

Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.

Решение

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$4-x = 3^5 $,

$ 4-x=243 $,

$x=-239$.

Ответ: -239
Показать решение
Полный курс

Задача 9

Найдите корень уравнения $2^{5x-1}=8$.

Решение

$2^{5x-1} = 2^{3}$
$ 5x - 1 = 3$
$ 5x = 4$
$ x = 0.8$.

Ответ: 0.8
Показать решение
Полный курс

Задача 10

Найдите корень уравнения $6^{9-x}=36^x$.

Решение

$6^{9-x} = 6^{2x}$,

$9 - x = 2x$,

$3x = 9$,

$x = 3$.

Ответ: 3
Показать решение
Полный курс

Задача 11

Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$,
$14x = -42$,
$x = -3$.
Ответ: -3
Показать решение
Полный курс

Задача 12

Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение

Воспользуемся формулами сокращенного умножения:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Таким образом:
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$,
$ 110x+20x=-117$,
$130x=-117$
$x=-117/130$
$x=-0.9$.

Ответ: -0.9
Показать решение
Полный курс

Задача 13

Найдите корень уравнения $x^2-15x+56=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4·1·56 = 225- 224 = 1$,

$x_{1,2} = {-b±√D}/{2a}$,

$x_1 = {15 + 1}/{2} = 8$,

$x_2 = {15 - 1}/{2} = 7$.

$x = 8$ — больший корень.

Ответ: 8
Показать решение
Полный курс

Задача 14

Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна:

$-x ⩾ 0$, — домножим обе части на -1, в таком случае знак неравенства меняется

$ x ⩽ 0$.

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$,

$x^2+5x-14=0$,

$ x_1=-7$,

$ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.

Пояснение: $(-x)^2=(-x)(-x)=x^2$

Ответ: -7
Показать решение
Полный курс

Задача 15

Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

Найдем ОДЗ: $\{\table\2x-11 ≠ 0; \3x-7≠ 0;$ $\{\table\x ≠ 5.5; \x ≠7/4;$

Удобно домножить обе стороны равенства на знаменатели, проще говоря «крест накрест»

$(x+3)(3x-7)=(2x-11)(x+3)$

${3x}^2-7x+9x-21={2x}^2+6x-11x-33$

$x^2+7x+12=0$

$x_1=-3, x_2=-4$ — оба корня удовлетворяют ОДЗ

Наибольший корень: $x=-3$

Ответ: -3
Показать решение
Полный курс

Задача 16

Найдите корень уравнения ${9-5x} / {x+3}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

При $x ≠ -3$ получим

$x(x + 3) = 9 - 5x$,

$x^2 + 3x + 5x - 9 = 0$,

$x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета $х_1=1$, $х_2=-9$.

Больший корень $x_1=1$

Ответ: 1
Показать решение
Полный курс

Задача 17

Найдите корень уравнения $√ {{4x-21} / {117}}={1} / {3}$.

Решение

ОДЗ: ${4x - 21}/{117}>0, 4x-21>0, x>21/4, x>5.25$

$(√{{4x - 21}/{117}})^2 = ({1}/{3})^2$,

${4x - 21}/{117} = {1}/{9}$,

$9(4x - 21) = 117$,

$36x - 189 = 117$,

$36x = 306$,

$x = 8.5$ — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8.5
Показать решение
Полный курс

Задача 18

Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = - 2$.

Решение

ОДЗ: $13+x>0, x>-13$

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$(1/3)^(-2)=13+x$
$ 13+x=9$
$ x=-4$ — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: -4
Показать решение
Полный курс

Задача 19

Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.

Решение
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$5+х=2^3$,
$5+х=8$,
$х=3$.
Ответ: 3
Показать решение
Полный курс

Задача 20

Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них

Решение

Допустимые значения переменной: $3х-1≠0$, $х≠1/3$;

$х+33≠0$, $х≠-33$;

Домножим обе части уравнения на $(3х-1)(х+33)≠0 - $ говорят умножим "крест -накрест"

$(х-9)(х+33)=(х-9)(3х-1) - $ вынесем общий множитель

$(х-9)(х+33)-(х-9)(3х-1)=0$

$(х-9)(х+33-(3х-1))=0$

$(х-9)(х+33-3х+1)=0$

$(х-9)(-2х+34)=0$

$ х-9=0$, $х=9$ или

$-2х+34=0$, $х=17$;

$9<17$ - значит наименьший корень $x=9$

Ответ: 9
Показать решение
Полный курс
Показать еще

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе