Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $0{,}4$, а вероятность промаха составляет $1-0{,}4=0{,}6$. Тогда вероятность непопадания в цель за два выстрела равна $0{,}6⋅0{,}6=0{,}36$, а вероятность поражения отдельно взятой мишени равна $1-0{,}36=0{,}64$. Найдём вероятность события $A$ — «Онуфрий поразит ровно $3$ мишени». $3$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^3$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (вероятность того, что будет $3$ попадания по конкретным мишеням и $3$ промаха). Значит $P(A)=C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (схема Бернулли). Найдём вероятность события $B$ — «Онуфрий поразит ровно $4$ мишени». $4$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^4$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$ (вероятность того, что будет $4$ попадания по конкретным мишеням и $2$ промаха). Значит, $P(B)=C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$. Искомая величина ${P(A)} / {P(B)}={C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3} / {C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2}= {{6!} / {3!3!}⋅0{,}36} / {{6} / {4!2!}⋅0{,}64} = $
$ ={4!} / {3!}⋅{2!} / {3!}⋅{0{,}36} / {0{,}64}= {4} / {1}⋅{1} / {3}⋅{36} / {64}=0{,}75 $.

Вероятность того, что первым достанут зелёный пакетик:

$P_1 = 6 / 16 = 3 / 8.$

Вероятность того, что вторым достанут зелёный пакетик, если первый уже зелёный:

$P_2 = 5 / 15 = 1 / 3.$

Искомая вероятность:

$P = P_1 * P_2 = (3 / 8) ⋅ (1 / 3) = 1 / 8=0.125$

Ответ: $0.125$.

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.8$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$.

$P (A + B) = 0.8 + 0.8 - 0.72 = 0.88$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.88 = 0.12$.

Заметим, что красных шариков $21-8-6=7$. Будем считать все шарики различными. Результатом эксперимента является неупорядоченная пара шариков, которые достанет Юля. Всего есть $C_{21}^{2}={21!} / {19!⋅2!}={21⋅20} / {2}=210$ равновозможных способов выбрать два шарики. Пару из шариков красного цвета можно составить $C_{7}^{2}={7!} / {5!⋅2!}={7⋅6} / {2}=21$ способами. Следовательно, искомая вероятность равна ${21} / {210}=0{,}1$.

Эксперимент заключается в подбрасывании двух игральных костей, исходом является упорядоченная пара чисел, в которой на первом месте стоит число очков, выпавшее на первом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на втором кубике. Эксперимент имеет $6⋅6=36$ равновозможных исходов. Пусть событие $A$ — «ни разу не выпало четыре очка», это событие наступит, если при первом броске выпадет любое число очков, кроме $4$ (всего $5$ вариантов) и аналогично при втором броске. Всего $5⋅5=25$ исходов благоприятствуют событию $A$, отсюда $P(A)={25} / {36}$. Пусть событие $B$ — «в сумме выпало $12$ очков». Тогда $A∩ B$ — «в сумме выпало $12$ очков и ни разу не выпало $4$». Событию $A∩ B$ благоприятствует единственный исход $(6;6)$. $P(A∩ B)={1} / {36}$. Тогда $P(B A)={P(A∩ B)} / {P(A)}={{1} / {36}} / {{25} / {36}}={1} / {25}=0{,}04$. Можно рассуждать чуть-чуть иначе. Посчитаем вероятность события $B$ при условии, что $A$ наступило. Если $A$ наступило, то возможен любой из $25$ исходов, из которых $1$ благоприятствуют событию $A$. Искомая вероятность равна ${1} / {25}=0{,}04$.

Шестнадцать очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены последовательные результаты трёх бросков): $(4; 6; 6)$, $(6; 4; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(6; 5; 5)$, $(5; 6; 5)$, $(5; 5; 6)$ — всего $6$ равновозможных случаев. Событию «во второй раз выпало шесть очков» благоприятствует $3$ из них: $(4; 6; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(5; 6; 5)$. Искомая вероятность равна ${3} / {6}=0{,}5$.

Пусть всего в городе $n$ взрослых жителей. Тогда женщин — $0{,}56n$, мужчин — $0{,}44n$. Доля работающих среди взрослых мужчин по условию равна $0{,}95$. Долю работающих среди взрослых женщин обозначим через $x$, причём $0⩽ x ⩽ 1$, число $x$ равно искомой вероятности (отношение числа работающих женщин к общему числу взрослых женщин). Тогда $0{,}95⋅0{,}44n+x⋅0{,}56n=0{,}866n$. Отсюда $0{,}95⋅0{,}44+x⋅0{,}56=0{,}866$; $0{,}56x=0{,}448$; $x=0{,}8$.

Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна $10$. Требуется найти вероятность события, что во второй раз выпало $4$ очка.

1. Определим возможные комбинации, при которых сумма очков равна $10$:

Пусть первый бросок дал значение $x$, а второй — $y$. Тогда $x + y = 10$, Переберём все подходящие пары $(x, y)$:

• $(4, 6)$
• $(5, 5)$
• $(6, 4)$

Всего три подходящие пары.

2. Выделим те случаи, где во второй раз выпало $4$ очка:

Среди трёх пар только одна пара $(6, 4)$ удовлетворяет условию, что во второй раз выпало $4$ очка.

3. Найдём вероятность:

Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = 1 / 3 ≈ 0.33$.

Ответ: $0.33$.

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $86\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $89\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается отрицательным у $80\%$ пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В. не имеет этого заболевания?

Обозначим:

• Вероятность того, что пациент имеет заболевание = $x$;
• Вероятность того, что пациент не имеет заболевание = $1 - x$;
• Вероятность отрицательного теста при наличии заболевания = $1 - 0{,}86 = 0{,}14$;
• Вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания = $0{,}89$.

Известно, что вероятность отрицательного теста для всех пациентов равна $0{,}8$. Запишем уравнение для общей вероятности отрицательного теста:

$x * 0{,}14 + (1 - x) * 0{,}89 = 0{,}8.$

Решим уравнение:

$0{,}14x + 0{,}89 - 0{,}89x = 0{,}8,$

$-0{,}75x + 0{,}89 = 0{,}8,$

$-0{,}75x = 0{,}8 - 0{,}89,$

$-0{,}75x = -0{,}09,$

$x = -0{,}09 / -0{,}75 = 0{,}12.$

Таким образом, вероятность того, что пациент имеет заболевание, равна $0{,}12$, а вероятность того, что пациент не имеет заболевание, равна $1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Теперь найдём вероятность того, что пациент не имеет заболевание при отрицательном тесте. Для этого используем формулу условной вероятности:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = (вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания * вероятность отсутствия заболевания) / общая вероятность отрицательного теста.

Подставляем значения:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = ${{0{,}89} * {0{,}88}} / {0{,}8} = {0{,}7832} / {0{,}8} = 0{,}979.$

Ответ: $0{,}979$.

Рассмотрим событие $A$ — сумма всех очков равнялась $4$. Представим это событие как объединение нескольких несовместных событий. 1) $A_1$ — «1 бросок и сумма $4$ очка». $4$ очка выпало при первом броске с вероятностью ${1} / {6}$. 2) $A_2$ — «$2$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при двух бросках с вероятностью ${3} / {36}$ — это исходы $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(2; 2)$ — три из $36$ равновозможных исходов двух бросков. 3) $A_3$ — «$3$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при трёх бросках с вероятностью ${3} / {216}$ — это исходы $(1; 2; 1)$, $(1; 1; 2)$, $(2; 1; 1)$ — три из $216$ равновозможных исходов трёх бросков. 4) $A_4$ — «$4$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при четырёх бросках, если четыре раза подряд выпадет единица. Вероятность такого события равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {1296}$. Тогда $P(A)={1} / {6}+{3} / {36}+{3} / {216}+{1} / {1296}={343} / {1296}$. Следовательно, $P(A_3 A)={P(A_3∩ A)} / {P(A)}={P(A_3)} / {P(A)}={({3} / {216})} / {({343} / {1296})}= {18} / {343}=
=0{,}052…≈0{,}05$.

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

1. Обозначим переменные:

Пусть $m$ — доля мужчин в городе. Тогда доля женщин будет равна $1 - m$.

2. Преобразуем проценты в десятичные дроби:

• 35% мужчин имеют водительские удостоверения: $0.35$;
• 25% женщин имеют водительские удостоверения: $0.25$;
• 29.8% всех жителей города имеют водительские удостоверения: $0.298$.

3. Составим уравнение для всех жителей с водительскими удостоверениями:

Общее количество людей с водительскими удостоверениями — это сумма мужчин и женщин с удостоверениями:

$0.35m + 0.25(1 - m) = 0.298$.

4. Решим уравнение:

Раскроем скобки:

$0.35m + 0.25 - 0.25m = 0.298$.

Приведём подобные члены:

$0.1m + 0.25 = 0.298$.

Вычитаем 0.25 с обеих сторон:

$0.1m = 0.048$.

Теперь найдём $m$:

$m = 0.048 / 0.1 = 0.48$.

5. Найдём вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина:

Из 0.48 мужчин в городе, 35% имеют водительские удостоверения. Поэтому количество мужчин с удостоверениями равно:

$0.48 * 0.35 = 0.168$.

Теперь, вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина, будет отношением числа мужчин с удостоверениями к общему числу людей с удостоверениями:

$P = 0.168 / 0.298≈ 0.5638$.

Ответ: $0.56$

1). Найдём вероятность того, что в одном броске выпадет комбинация $4$ и $5$ (в любом порядке):

На первой кости может выпасть $4$, а на второй $5$ (один благоприятный исход), или на первой кости $5$, а на второй $4$ (ещё один благоприятный исход). Итого:

Число благоприятных исходов = $2$.

Общее число всех возможных исходов при броске двух костей равно $6 ⋅ 6 = 36$. Следовательно, вероятность комбинации $4$ и $5$ за одну попытку:

$P_{{одна попытка}} = {2}/{36} = {1}/{18}$.

2). Найдём вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет в одном броске:

$P_{{не выпадет}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 -{1}/{18} = {17}/{18}$.

3). Теперь определим вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет ни разу за две попытки:

$P_{{не выпадет за две попытки}} = P_{{не выпадет}} ⋅P_{{не выпадет}} = {17}/{18} ⋅ {17}/{18} = {289}/{324}$.

4). Найдём вероятность того, что комбинация $4$ и $5$ выпадет хотя бы один раз за две попытки:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} = 1 - P_{{не выпадет за две попытки}} = 1 - {289}/{324} = {35}/{324}≈0,1080...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} ≈ 0.11$.

Для решения задачи определим два условия:
1. Ни на одной из костей не выпало $5$ очков.
2. Сумма очков на костях равна $6$.

1. Найдем общее число комбинаций, при которых сумма очков на двух костях равна $6$:
Возможные пары: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ — всего $5$ комбинаций.

2. Учитывая условие, что $5$ очков не выпадает, исключим пары, где есть $5$:
$(1, 5)$ и $(5, 1)$.
Остаются только: $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$ — всего $3$ комбинации.

3. Общее число возможных комбинаций при условии, что на двух костях нет $5$:
Если $5$ исключено, на каждой кости остаются числа $1, 2, 3, 4, 6$, то всего $5*5 = 25$ комбинаций.

4. Найдем вероятность: это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
$P = 3 / 25$.

Ответ: $3 / 25=0.12$.