Чтобы абитуриент смог поступить только на специальность "Прикладная математика" он должен набрать больше 80 баллов по математике, русскому, информатике и не набрать по биологии:
$P_{1}=0,6·0,8·0,8·0,3=0,1152.$
Чтобы абитуриент смог поступить только на специальность "Психология" он должен набрать больше 80 баллов по математике, русскому, биологии и не набрать по информатике:
$P_{2}=0,6·0,8·0,7·0,2=0,0672.$
Еще абитуриент может набрать больше 80 баллов по всем предметам, тогда он сможет поступить на обе специальности:
$P_{3}=0,6·0,8·0,8·0,7=0,2688.$
В каждом из этих случаев абитуриент сможет поступить хотя бы на одну специальность.
Эти события несовместные, искомая вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
$P=P_{1}+P_{2}+P_{3}=0,1152+0,0672+0,2688=0,4512$

Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ — «был взят первый кубик», $H_2$ — «был взят второй кубик». По условию обязательно наступает ровно одна из этих гипотез и $P(H_1)=P(H_2)={1} / {2}$. Пусть событие $A$ — «в каком-то порядке выпали числа $1$ и $4$». Тогда $P(A H_1)={1} / {36}+{1} / {36}={1} / {18}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {36}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {36}$.) $P(A H_2)={1} / {4}+{1} / {4}={1} / {2}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {4}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {4}$.) По формуле полной вероятности получаем, что
$P(A)=P(A H_1)⋅ P(H_1)+P(A H_2)⋅ P(H_2)={1} / {18}⋅{1} / {2}+{1} / {2}⋅{1} / {2}={5} / {18}$. Искомая вероятность $P(H_2 A)={P(A H_2)P(H_2)} / {P(A)}={{1} / {2}⋅{1} / {2}} / {{5} / {18}}=0{,}9$.

Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $0{,}4$, а вероятность промаха составляет $1-0{,}4=0{,}6$. Тогда вероятность непопадания в цель за два выстрела равна $0{,}6⋅0{,}6=0{,}36$, а вероятность поражения отдельно взятой мишени равна $1-0{,}36=0{,}64$. Найдём вероятность события $A$ — «Онуфрий поразит ровно $3$ мишени». $3$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^3$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (вероятность того, что будет $3$ попадания по конкретным мишеням и $3$ промаха). Значит $P(A)=C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (схема Бернулли). Найдём вероятность события $B$ — «Онуфрий поразит ровно $4$ мишени». $4$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^4$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$ (вероятность того, что будет $4$ попадания по конкретным мишеням и $2$ промаха). Значит, $P(B)=C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$. Искомая величина ${P(A)} / {P(B)}={C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3} / {C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2}= {{6!} / {3!3!}⋅0{,}36} / {{6} / {4!2!}⋅0{,}64} = $
$ ={4!} / {3!}⋅{2!} / {3!}⋅{0{,}36} / {0{,}64}= {4} / {1}⋅{1} / {3}⋅{36} / {64}=0{,}75 $.

1). Найдём вероятность того, что в одном броске выпадет комбинация $4$ и $5$ (в любом порядке):

На первой кости может выпасть $4$, а на второй $5$ (один благоприятный исход), или на первой кости $5$, а на второй $4$ (ещё один благоприятный исход). Итого:

Число благоприятных исходов = $2$.

Общее число всех возможных исходов при броске двух костей равно $6 ⋅ 6 = 36$. Следовательно, вероятность комбинации $4$ и $5$ за одну попытку:

$P_{{одна попытка}} = {2}/{36} = {1}/{18}$.

2). Найдём вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет в одном броске:

$P_{{не выпадет}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 -{1}/{18} = {17}/{18}$.

3). Теперь определим вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет ни разу за две попытки:

$P_{{не выпадет за две попытки}} = P_{{не выпадет}} ⋅P_{{не выпадет}} = {17}/{18} ⋅ {17}/{18} = {289}/{324}$.

4). Найдём вероятность того, что комбинация $4$ и $5$ выпадет хотя бы один раз за две попытки:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} = 1 - P_{{не выпадет за две попытки}} = 1 - {289}/{324} = {35}/{324}≈0,1080...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} ≈ 0.11$.

1). Найдём вероятность того, что на двух игральных костях окажется одно и то же число очков за одну попытку:

На первой кости может выпасть любое число от $1$ до $6$, и для каждой из этих граней существует ровно одно совпадение на второй кости. Следовательно, благоприятных исходов $6$ из $36$ возможных:

$P_{{одна попытка}} = {6}/{36} = {1}/{6}$.

2). Найдём вероятность того, что на двух костях НЕ выпадет одинаковое число очков за одну попытку:

$P_{{не совпадение}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 - {1}/{6} = {5}/{6}$.

3). Найдём вероятность проигрыша в двух попытках. Для этого вероятность «не совпадения» должна реализоваться в обоих бросках:

$P_{{проигрыш}} = P_{{не совпадение}} ⋅ P_{{не совпадение}} = {5}/{6} ⋅ {5}/{6} = {25}/{36}$.

4). Найдём вероятность выигрыша хотя бы один раз. Для этого воспользуемся формулой:

$P_{{выигрыш}} = 1 - P_{{проигрыш}} = 1 - {25}/{36} = {11}/{36}≈0,3055...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выигрыш}} ≈ 0.31$.

Для решения задачи определим два условия:
1. Ни на одной из костей не выпало $5$ очков.
2. Сумма очков на костях равна $6$.

1. Найдем общее число комбинаций, при которых сумма очков на двух костях равна $6$:
Возможные пары: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ — всего $5$ комбинаций.

2. Учитывая условие, что $5$ очков не выпадает, исключим пары, где есть $5$:
$(1, 5)$ и $(5, 1)$.
Остаются только: $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$ — всего $3$ комбинации.

3. Общее число возможных комбинаций при условии, что на двух костях нет $5$:
Если $5$ исключено, на каждой кости остаются числа $1, 2, 3, 4, 6$, то всего $5*5 = 25$ комбинаций.

4. Найдем вероятность: это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
$P = 3 / 25$.

Ответ: $3 / 25=0.12$.

Вероятность того, что в течение месяца обе лампы перегорят:
$0{,}4⋅ 0{,}4=0{,}16$. Тогда вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна лампа не перегорит, равна $1-0{,}16=0{,}84$.

Девять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены результаты трёх бросков): 1) Числа $6$, $1$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 2) Числа $5$, $1$ и $3$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 3) Числа $5$, $2$ и $2$ в различном порядке — всего $3$ случая. 4) Числа $4$, $3$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 5) Числа $4$, $4$ и $1$ в различном порядке — всего $3$ случая. 6) Числа $3$, $3$ и $3$. Всего $25$ равновозможных случаев. Событию «хотя бы один раз выпало три очка» благоприятствуют $13$ из них. Искомая вероятность равна ${13} / {25}=0{,}52$.

1). Так как порядок выбора шариков не важен, рассмотрим следующее:

• Вероятность того, что первый шарик будет красным: $ P_{красный} = {13}/{40}; $
• После того, как первый шарик выбран (красный), остаётся $39$ шариков, из которых $15$ зелёных. Вероятность того, что второй шарик будет зелёным: $ P_{зелёный \, после \, красного} = {15}/{39}. $

Общая вероятность того, что первый шарик красный, а второй зелёный:

$ P_{красный, затем \, зелёный} = {13}/{40} ⋅{15}/{39}. $

2). Аналогично, вероятность того, что первый шарик будет зелёным, а второй — красным:

• Вероятность того, что первый шарик зелёный: $ P_{зелёный} = {15}/{40}; $
• После того, как первый шарик выбран (зелёный), остаётся $39$ шариков, из которых $13$ красных. Вероятность того, что второй шарик будет красным: $ P_{красный \, после \, зелёного} = {13}/{39}. $

Общая вероятность того, что первый шарик зелёный, а второй красный:

$ P_{зелёный, затем \, красный} = {15}/{40}⋅{13}/{39}. $

3). Суммируем вероятности двух независимых случаев (красный-зелёный или зелёный-красный):

$ P_{один \, красный, \, один \, зелёный} = P_{красный, затем \, зелёный} + P_{зелёный, затем \, красный}. $

Подставим значения:

$ P_{один \, красный, \, один \, зелёный} = {13}/{40} ⋅{15}/{39} + {15}/{40}⋅{13}/{39}={390}/{1560}={1}/{4}=0,25. $

Вероятность купить столовый набор первой фабрики равна $0{,}7$. Вероятность брака у первой фабрики равна $0{,}03$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор первой фабрики» равна: $0{,}7⋅0{,}03=0{,}021$. Вероятность купить столовый набор второй фабрики равна $0{,}3$. Вероятность брака у второй фабрики равна $0{,}02$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор второй фабрики» равна: $0{,}3⋅0{,}02=0{,}006$. Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместимых событий: $0{,}021+0{,}006=0{,}027$.

Пусть $x$ и $y$ — общее количество муки, закупленной в первом и втором кооперативах соответственно.

Составим уравнение для высшего сорта:

$0.5x + 0.3y = 0.45(x + y)$.

Раскроем скобки в правой части:

$0.5x + 0.3y = 0.45x + 0.45y$.

Переносим все члены с $x$ в левую часть, а с $y$ — в правую:

$0.5x - 0.45x = 0.45y - 0.3y$.

Упростим уравнение:

$0.05x = 0.15y$.

Найдём отношение $y$ к $x$:

$y = (0.05 / 0.15) * x = (1 / 3) * x$.

Общая вероятность того, что мука была закуплена в первом кооперативе, равна:

$x / (x + y) ={ x / {x + {1 / 3}x}} = x / {{4 / 3}x} = 3 / 4 = 0.75$.

Ответ: $0.75$.

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.8$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$.

$P (A + B) = 0.8 + 0.8 - 0.72 = 0.88$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.88 = 0.12$.

1. Обозначим переменные:

Пусть $m$ — доля мужчин в городе. Тогда доля женщин будет равна $1 - m$.

2. Преобразуем проценты в десятичные дроби:

• 35% мужчин имеют водительские удостоверения: $0.35$;
• 25% женщин имеют водительские удостоверения: $0.25$;
• 29.8% всех жителей города имеют водительские удостоверения: $0.298$.

3. Составим уравнение для всех жителей с водительскими удостоверениями:

Общее количество людей с водительскими удостоверениями — это сумма мужчин и женщин с удостоверениями:

$0.35m + 0.25(1 - m) = 0.298$.

4. Решим уравнение:

Раскроем скобки:

$0.35m + 0.25 - 0.25m = 0.298$.

Приведём подобные члены:

$0.1m + 0.25 = 0.298$.

Вычитаем 0.25 с обеих сторон:

$0.1m = 0.048$.

Теперь найдём $m$:

$m = 0.048 / 0.1 = 0.48$.

5. Найдём вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина:

Из 0.48 мужчин в городе, 35% имеют водительские удостоверения. Поэтому количество мужчин с удостоверениями равно:

$0.48 * 0.35 = 0.168$.

Теперь, вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина, будет отношением числа мужчин с удостоверениями к общему числу людей с удостоверениями:

$P = 0.168 / 0.298≈ 0.5638$.

Ответ: $0.56$

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $86\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $89\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается отрицательным у $80\%$ пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В. не имеет этого заболевания?

Обозначим:

• Вероятность того, что пациент имеет заболевание = $x$;
• Вероятность того, что пациент не имеет заболевание = $1 - x$;
• Вероятность отрицательного теста при наличии заболевания = $1 - 0{,}86 = 0{,}14$;
• Вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания = $0{,}89$.

Известно, что вероятность отрицательного теста для всех пациентов равна $0{,}8$. Запишем уравнение для общей вероятности отрицательного теста:

$x * 0{,}14 + (1 - x) * 0{,}89 = 0{,}8.$

Решим уравнение:

$0{,}14x + 0{,}89 - 0{,}89x = 0{,}8,$

$-0{,}75x + 0{,}89 = 0{,}8,$

$-0{,}75x = 0{,}8 - 0{,}89,$

$-0{,}75x = -0{,}09,$

$x = -0{,}09 / -0{,}75 = 0{,}12.$

Таким образом, вероятность того, что пациент имеет заболевание, равна $0{,}12$, а вероятность того, что пациент не имеет заболевание, равна $1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Теперь найдём вероятность того, что пациент не имеет заболевание при отрицательном тесте. Для этого используем формулу условной вероятности:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = (вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания * вероятность отсутствия заболевания) / общая вероятность отрицательного теста.

Подставляем значения:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = ${{0{,}89} * {0{,}88}} / {0{,}8} = {0{,}7832} / {0{,}8} = 0{,}979.$

Ответ: $0{,}979$.