Вероятность неудачи в случае одной отдельной попытки равна $0{,}5={1} / {2}$. Найдём вероятность противоположного события: «потребовалось более трёх попыток» или, что то же самое, «первые три попытки были неудачными». Вероятность этого события равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {8}$. Тогда искомая вероятность равна $1-{1} / {8}={7} / {8}=0{,}875$.

Вероятность того, что первым достанут зелёный пакетик:

$P_1 = 6 / 16 = 3 / 8.$

Вероятность того, что вторым достанут зелёный пакетик, если первый уже зелёный:

$P_2 = 5 / 15 = 1 / 3.$

Искомая вероятность:

$P = P_1 * P_2 = (3 / 8) ⋅ (1 / 3) = 1 / 8=0.125$

Ответ: $0.125$.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна $1-0{,}05=0{,}95$. В упаковке две батарейки, тогда вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна $0{,}95⋅0{,}95=0{,}9025$.

Эксперимент заключается в подбрасывании двух игральных костей, исходом является упорядоченная пара чисел, в которой на первом месте стоит число очков, выпавшее на первом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на втором кубике. Эксперимент имеет $6⋅6=36$ равновозможных исходов. Пусть событие $A$ — «ни разу не выпало четыре очка», это событие наступит, если при первом броске выпадет любое число очков, кроме $4$ (всего $5$ вариантов) и аналогично при втором броске. Всего $5⋅5=25$ исходов благоприятствуют событию $A$, отсюда $P(A)={25} / {36}$. Пусть событие $B$ — «в сумме выпало $12$ очков». Тогда $A∩ B$ — «в сумме выпало $12$ очков и ни разу не выпало $4$». Событию $A∩ B$ благоприятствует единственный исход $(6;6)$. $P(A∩ B)={1} / {36}$. Тогда $P(B A)={P(A∩ B)} / {P(A)}={{1} / {36}} / {{25} / {36}}={1} / {25}=0{,}04$. Можно рассуждать чуть-чуть иначе. Посчитаем вероятность события $B$ при условии, что $A$ наступило. Если $A$ наступило, то возможен любой из $25$ исходов, из которых $1$ благоприятствуют событию $A$. Искомая вероятность равна ${1} / {25}=0{,}04$.

Заметим, что красных шариков $21-8-6=7$. Будем считать все шарики различными. Результатом эксперимента является неупорядоченная пара шариков, которые достанет Юля. Всего есть $C_{21}^{2}={21!} / {19!⋅2!}={21⋅20} / {2}=210$ равновозможных способов выбрать два шарики. Пару из шариков красного цвета можно составить $C_{7}^{2}={7!} / {5!⋅2!}={7⋅6} / {2}=21$ способами. Следовательно, искомая вероятность равна ${21} / {210}=0{,}1$.

Рассмотрим событие $A$ — сумма всех очков равнялась $4$. Представим это событие как объединение нескольких несовместных событий. 1) $A_1$ — «1 бросок и сумма $4$ очка». $4$ очка выпало при первом броске с вероятностью ${1} / {6}$. 2) $A_2$ — «$2$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при двух бросках с вероятностью ${3} / {36}$ — это исходы $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(2; 2)$ — три из $36$ равновозможных исходов двух бросков. 3) $A_3$ — «$3$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при трёх бросках с вероятностью ${3} / {216}$ — это исходы $(1; 2; 1)$, $(1; 1; 2)$, $(2; 1; 1)$ — три из $216$ равновозможных исходов трёх бросков. 4) $A_4$ — «$4$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при четырёх бросках, если четыре раза подряд выпадет единица. Вероятность такого события равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {1296}$. Тогда $P(A)={1} / {6}+{3} / {36}+{3} / {216}+{1} / {1296}={343} / {1296}$. Следовательно, $P(A_3 A)={P(A_3∩ A)} / {P(A)}={P(A_3)} / {P(A)}={({3} / {216})} / {({343} / {1296})}= {18} / {343}=
=0{,}052…≈0{,}05$.

Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна $10$. Требуется найти вероятность события, что во второй раз выпало $4$ очка.

1. Определим возможные комбинации, при которых сумма очков равна $10$:

Пусть первый бросок дал значение $x$, а второй — $y$. Тогда $x + y = 10$, Переберём все подходящие пары $(x, y)$:

• $(4, 6)$
• $(5, 5)$
• $(6, 4)$

Всего три подходящие пары.

2. Выделим те случаи, где во второй раз выпало $4$ очка:

Среди трёх пар только одна пара $(6, 4)$ удовлетворяет условию, что во второй раз выпало $4$ очка.

3. Найдём вероятность:

Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = 1 / 3 ≈ 0.33$.

Ответ: $0.33$.

Вероятность уничтожения цели можно представить как сумму вероятностей того, что цель уничтожена на первом, втором, третьем и так далее выстрелах:

$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...,$

где:

• $P_1$ — вероятность уничтожения цели на первом выстреле: $P_1 = 0{,}2$;
• $P_2$ — вероятность уничтожения цели на втором выстреле: цель не уничтожена на первом выстреле (с вероятностью $1 - 0{,}2 = 0{,}8$) и уничтожена на втором (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_2 = 0{,}8 * 0{,}7 = 0{,}56$;
• $P_3$ — вероятность уничтожения цели на третьем выстреле: цель не уничтожена на первых двух выстрелах (с вероятностью $0{,}8 * 0{,}3 = 0{,}24$) и уничтожена на третьем (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_3 = 0{,}24 * 0{,}7 = 0{,}168$.

Таким образом, общая вероятность уничтожения цели до третьего выстрела включительно:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}2 + 0{,}56 + 0{,}168 = 0{,}928$.

Итак, вероятность уничтожения цели становится не менее $0{,}92$ после трёх выстрелов.

Ответ: 3 выстрела.

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

Обозначим:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x$,

Количество мужчин с водительскими удостоверениями: $0.40y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0.35x + 0.40y$ или $0,373(x+y)$.

Известно, что $0.373(x + y) = 0.35x + 0.40y$, решим это уравнение:

$0.373x + 0.373y = 0.35x + 0.40y$.

$0.023x =0.027y$.

$23x =27y$.

$x =27/23y$.

Подставляя $x =27/23y$, получаем:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x=945/2300y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0,373(x+y)=373/460y$.

Для того, чтобы найти вероятность, что автомобиль выиграет женщина, нужно разделить благоприятные исходы - количество женщин с водительским удостоверением, на все исходы - все люди, имеющие водительское удостоверение:

$P={945/2300y}/{373/460y}=189/373≈0,506...$

Округляем до сотых, получаем $P=0,51$

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.8$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$.

$P (A + B) = 0.8 + 0.8 - 0.72 = 0.88$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.88 = 0.12$.

1). Найдём вероятность того, что на двух игральных костях окажется одно и то же число очков за одну попытку:

На первой кости может выпасть любое число от $1$ до $6$, и для каждой из этих граней существует ровно одно совпадение на второй кости. Следовательно, благоприятных исходов $6$ из $36$ возможных:

$P_{{одна попытка}} = {6}/{36} = {1}/{6}$.

2). Найдём вероятность того, что на двух костях НЕ выпадет одинаковое число очков за одну попытку:

$P_{{не совпадение}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 - {1}/{6} = {5}/{6}$.

3). Найдём вероятность проигрыша в двух попытках. Для этого вероятность «не совпадения» должна реализоваться в обоих бросках:

$P_{{проигрыш}} = P_{{не совпадение}} ⋅ P_{{не совпадение}} = {5}/{6} ⋅ {5}/{6} = {25}/{36}$.

4). Найдём вероятность выигрыша хотя бы один раз. Для этого воспользуемся формулой:

$P_{{выигрыш}} = 1 - P_{{проигрыш}} = 1 - {25}/{36} = {11}/{36}≈0,3055...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выигрыш}} ≈ 0.31$.

Вероятность купить столовый набор первой фабрики равна $0{,}7$. Вероятность брака у первой фабрики равна $0{,}03$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор первой фабрики» равна: $0{,}7⋅0{,}03=0{,}021$. Вероятность купить столовый набор второй фабрики равна $0{,}3$. Вероятность брака у второй фабрики равна $0{,}02$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор второй фабрики» равна: $0{,}3⋅0{,}02=0{,}006$. Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместимых событий: $0{,}021+0{,}006=0{,}027$.