По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.8$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$.

$P (A + B) = 0.8 + 0.8 - 0.72 = 0.88$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.88 = 0.12$.

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $86\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $89\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается отрицательным у $80\%$ пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В. не имеет этого заболевания?

Обозначим:

• Вероятность того, что пациент имеет заболевание = $x$;
• Вероятность того, что пациент не имеет заболевание = $1 - x$;
• Вероятность отрицательного теста при наличии заболевания = $1 - 0{,}86 = 0{,}14$;
• Вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания = $0{,}89$.

Известно, что вероятность отрицательного теста для всех пациентов равна $0{,}8$. Запишем уравнение для общей вероятности отрицательного теста:

$x * 0{,}14 + (1 - x) * 0{,}89 = 0{,}8.$

Решим уравнение:

$0{,}14x + 0{,}89 - 0{,}89x = 0{,}8,$

$-0{,}75x + 0{,}89 = 0{,}8,$

$-0{,}75x = 0{,}8 - 0{,}89,$

$-0{,}75x = -0{,}09,$

$x = -0{,}09 / -0{,}75 = 0{,}12.$

Таким образом, вероятность того, что пациент имеет заболевание, равна $0{,}12$, а вероятность того, что пациент не имеет заболевание, равна $1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Теперь найдём вероятность того, что пациент не имеет заболевание при отрицательном тесте. Для этого используем формулу условной вероятности:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = (вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания * вероятность отсутствия заболевания) / общая вероятность отрицательного теста.

Подставляем значения:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = ${{0{,}89} * {0{,}88}} / {0{,}8} = {0{,}7832} / {0{,}8} = 0{,}979.$

Ответ: $0{,}979$.

Рассмотрим событие $A$ — сумма всех очков равнялась $4$. Представим это событие как объединение нескольких несовместных событий. 1) $A_1$ — «1 бросок и сумма $4$ очка». $4$ очка выпало при первом броске с вероятностью ${1} / {6}$. 2) $A_2$ — «$2$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при двух бросках с вероятностью ${3} / {36}$ — это исходы $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(2; 2)$ — три из $36$ равновозможных исходов двух бросков. 3) $A_3$ — «$3$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при трёх бросках с вероятностью ${3} / {216}$ — это исходы $(1; 2; 1)$, $(1; 1; 2)$, $(2; 1; 1)$ — три из $216$ равновозможных исходов трёх бросков. 4) $A_4$ — «$4$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при четырёх бросках, если четыре раза подряд выпадет единица. Вероятность такого события равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {1296}$. Тогда $P(A)={1} / {6}+{3} / {36}+{3} / {216}+{1} / {1296}={343} / {1296}$. Следовательно, $P(A_3 A)={P(A_3∩ A)} / {P(A)}={P(A_3)} / {P(A)}={({3} / {216})} / {({343} / {1296})}= {18} / {343}=
=0{,}052…≈0{,}05$.

Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $0{,}4$, а вероятность промаха составляет $1-0{,}4=0{,}6$. Тогда вероятность непопадания в цель за два выстрела равна $0{,}6⋅0{,}6=0{,}36$, а вероятность поражения отдельно взятой мишени равна $1-0{,}36=0{,}64$. Найдём вероятность события $A$ — «Онуфрий поразит ровно $3$ мишени». $3$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^3$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (вероятность того, что будет $3$ попадания по конкретным мишеням и $3$ промаха). Значит $P(A)=C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (схема Бернулли). Найдём вероятность события $B$ — «Онуфрий поразит ровно $4$ мишени». $4$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^4$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$ (вероятность того, что будет $4$ попадания по конкретным мишеням и $2$ промаха). Значит, $P(B)=C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$. Искомая величина ${P(A)} / {P(B)}={C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3} / {C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2}= {{6!} / {3!3!}⋅0{,}36} / {{6} / {4!2!}⋅0{,}64} = $
$ ={4!} / {3!}⋅{2!} / {3!}⋅{0{,}36} / {0{,}64}= {4} / {1}⋅{1} / {3}⋅{36} / {64}=0{,}75 $.

Вероятность уничтожения цели можно представить как сумму вероятностей того, что цель уничтожена на первом, втором, третьем и так далее выстрелах:

$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...,$

где:

• $P_1$ — вероятность уничтожения цели на первом выстреле: $P_1 = 0{,}2$;
• $P_2$ — вероятность уничтожения цели на втором выстреле: цель не уничтожена на первом выстреле (с вероятностью $1 - 0{,}2 = 0{,}8$) и уничтожена на втором (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_2 = 0{,}8 * 0{,}7 = 0{,}56$;
• $P_3$ — вероятность уничтожения цели на третьем выстреле: цель не уничтожена на первых двух выстрелах (с вероятностью $0{,}8 * 0{,}3 = 0{,}24$) и уничтожена на третьем (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_3 = 0{,}24 * 0{,}7 = 0{,}168$.

Таким образом, общая вероятность уничтожения цели до третьего выстрела включительно:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}2 + 0{,}56 + 0{,}168 = 0{,}928$.

Итак, вероятность уничтожения цели становится не менее $0{,}92$ после трёх выстрелов.

Ответ: 3 выстрела.

Пусть всего в городе $n$ взрослых жителей. Тогда женщин — $0{,}56n$, мужчин — $0{,}44n$. Доля работающих среди взрослых мужчин по условию равна $0{,}95$. Долю работающих среди взрослых женщин обозначим через $x$, причём $0⩽ x ⩽ 1$, число $x$ равно искомой вероятности (отношение числа работающих женщин к общему числу взрослых женщин). Тогда $0{,}95⋅0{,}44n+x⋅0{,}56n=0{,}866n$. Отсюда $0{,}95⋅0{,}44+x⋅0{,}56=0{,}866$; $0{,}56x=0{,}448$; $x=0{,}8$.

Заметим, что красных шариков $21-8-6=7$. Будем считать все шарики различными. Результатом эксперимента является неупорядоченная пара шариков, которые достанет Юля. Всего есть $C_{21}^{2}={21!} / {19!⋅2!}={21⋅20} / {2}=210$ равновозможных способов выбрать два шарики. Пару из шариков красного цвета можно составить $C_{7}^{2}={7!} / {5!⋅2!}={7⋅6} / {2}=21$ способами. Следовательно, искомая вероятность равна ${21} / {210}=0{,}1$.

Вероятность того, что первым достанут зелёный пакетик:

$P_1 = 6 / 16 = 3 / 8.$

Вероятность того, что вторым достанут зелёный пакетик, если первый уже зелёный:

$P_2 = 5 / 15 = 1 / 3.$

Искомая вероятность:

$P = P_1 * P_2 = (3 / 8) ⋅ (1 / 3) = 1 / 8=0.125$

Ответ: $0.125$.

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

Пусть событие $A_k$ — «$k$-й терминал неисправен», где $k$ принимает значения 1, 2, 3. По условию $p(A_k)=0{,}04$. Событие $A_1∩ A_2∩ A_3$ — все три терминала неисправны, а событие, противоположное этому событию, — хотя бы один терминал исправен. Его вероятность равна $1-p(A_1∩ A_2∩ A_3)$. По условию каждый терминал неисправен независимо от другого, значит, $p(A_1∩ A_2∩ A_3)=p(A_1)⋅ p(A_2)⋅ p(A_3)$. Тогда $1-p(A_1∩ A_2∩ A_3)=1-p(A_1)⋅ p(A_2)⋅ p(A_3)=1-0{,}04⋅0{,}04⋅0{,}04=$
$ =1-0{,}000064=0{,}999936$.

Вероятность неудачи в случае одной отдельной попытки равна $0{,}5={1} / {2}$. Найдём вероятность противоположного события: «потребовалось более трёх попыток» или, что то же самое, «первые три попытки были неудачными». Вероятность этого события равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {8}$. Тогда искомая вероятность равна $1-{1} / {8}={7} / {8}=0{,}875$.

Вероятность промаха равна $1 − 0,8  =  0,2$. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна $0,8^3  =  0,512$. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвертый раз промахивается равна $0,512 · 0,2  =  0,1024$. Округляем до десятых и получаем ответ $0,1$

Чтобы найти вероятность того, что на каждом из четырех кубиков выпадет более $3$ очков, определим сначала возможные исходы для одного кубика.

1. У кубика $6$ граней. Более $3$ очков можно получить на гранях $4$, $5$, $6$. Это $3$ благоприятных исхода из $6$ возможных.
Вероятность для одного кубика: $P = 3 / 6 = 1 / 2$.

2. Кубики бросаются независимо, поэтому вероятность того, что на всех четырех кубиках выпадет более $3$ очков, равна произведению вероятностей для каждого кубика:
$P = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2)^4 = 1 / 16$.

Ответ: $1 / 16=0.0625$.

Будем считать все пакетики различными. Результатом эксперимента является неупорядоченная пара пакетиков, которые достанет Егор. Всего есть $C_{25}^{2}={25!} / {23!⋅2!}={25⋅24} / {2!}=25⋅12=300$ равновозможных способов выбрать два пакетика. Пару из пакетиков чёрного и зелёного чая можно составить $11⋅9=99$ способами. Следовательно, искомая вероятность равна ${99} / {300}=0{,}33$.

Для решения задачи определим два условия:
1. Ни на одной из костей не выпало $5$ очков.
2. Сумма очков на костях равна $6$.

1. Найдем общее число комбинаций, при которых сумма очков на двух костях равна $6$:
Возможные пары: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ — всего $5$ комбинаций.

2. Учитывая условие, что $5$ очков не выпадает, исключим пары, где есть $5$:
$(1, 5)$ и $(5, 1)$.
Остаются только: $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$ — всего $3$ комбинации.

3. Общее число возможных комбинаций при условии, что на двух костях нет $5$:
Если $5$ исключено, на каждой кости остаются числа $1, 2, 3, 4, 6$, то всего $5*5 = 25$ комбинаций.

4. Найдем вероятность: это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
$P = 3 / 25$.

Ответ: $3 / 25=0.12$.