Пусть событие $A_k$ — «$k$-й терминал неисправен», где $k$ принимает значения 1, 2, 3. По условию $p(A_k)=0{,}04$. Событие $A_1∩ A_2∩ A_3$ — все три терминала неисправны, а событие, противоположное этому событию, — хотя бы один терминал исправен. Его вероятность равна $1-p(A_1∩ A_2∩ A_3)$. По условию каждый терминал неисправен независимо от другого, значит, $p(A_1∩ A_2∩ A_3)=p(A_1)⋅ p(A_2)⋅ p(A_3)$. Тогда $1-p(A_1∩ A_2∩ A_3)=1-p(A_1)⋅ p(A_2)⋅ p(A_3)=1-0{,}04⋅0{,}04⋅0{,}04=$
$ =1-0{,}000064=0{,}999936$.

Вероятность купить столовый набор первой фабрики равна $0{,}7$. Вероятность брака у первой фабрики равна $0{,}03$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор первой фабрики» равна: $0{,}7⋅0{,}03=0{,}021$. Вероятность купить столовый набор второй фабрики равна $0{,}3$. Вероятность брака у второй фабрики равна $0{,}02$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор второй фабрики» равна: $0{,}3⋅0{,}02=0{,}006$. Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместимых событий: $0{,}021+0{,}006=0{,}027$.

Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ — «был взят первый кубик», $H_2$ — «был взят второй кубик». По условию обязательно наступает ровно одна из этих гипотез и $P(H_1)=P(H_2)={1} / {2}$. Пусть событие $A$ — «в каком-то порядке выпали числа $1$ и $4$». Тогда $P(A H_1)={1} / {36}+{1} / {36}={1} / {18}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {36}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {36}$.) $P(A H_2)={1} / {4}+{1} / {4}={1} / {2}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {4}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {4}$.) По формуле полной вероятности получаем, что
$P(A)=P(A H_1)⋅ P(H_1)+P(A H_2)⋅ P(H_2)={1} / {18}⋅{1} / {2}+{1} / {2}⋅{1} / {2}={5} / {18}$. Искомая вероятность $P(H_2 A)={P(A H_2)P(H_2)} / {P(A)}={{1} / {2}⋅{1} / {2}} / {{5} / {18}}=0{,}9$.

Вероятность того, что первым достанут зелёный пакетик:

$P_1 = 6 / 16 = 3 / 8.$

Вероятность того, что вторым достанут зелёный пакетик, если первый уже зелёный:

$P_2 = 5 / 15 = 1 / 3.$

Искомая вероятность:

$P = P_1 * P_2 = (3 / 8) ⋅ (1 / 3) = 1 / 8=0.125$

Ответ: $0.125$.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна $1-0{,}05=0{,}95$. В упаковке две батарейки, тогда вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна $0{,}95⋅0{,}95=0{,}9025$.

Обозначим:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x$,

Количество мужчин с водительскими удостоверениями: $0.40y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0.35x + 0.40y$ или $0,373(x+y)$.

Известно, что $0.373(x + y) = 0.35x + 0.40y$, решим это уравнение:

$0.373x + 0.373y = 0.35x + 0.40y$.

$0.023x =0.027y$.

$23x =27y$.

$x =27/23y$.

Подставляя $x =27/23y$, получаем:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x=945/2300y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0,373(x+y)=373/460y$.

Для того, чтобы найти вероятность, что автомобиль выиграет женщина, нужно разделить благоприятные исходы - количество женщин с водительским удостоверением, на все исходы - все люди, имеющие водительское удостоверение:

$P={945/2300y}/{373/460y}=189/373≈0,506...$

Округляем до сотых, получаем $P=0,51$

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $86\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $89\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается отрицательным у $80\%$ пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В. не имеет этого заболевания?

Обозначим:

• Вероятность того, что пациент имеет заболевание = $x$;
• Вероятность того, что пациент не имеет заболевание = $1 - x$;
• Вероятность отрицательного теста при наличии заболевания = $1 - 0{,}86 = 0{,}14$;
• Вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания = $0{,}89$.

Известно, что вероятность отрицательного теста для всех пациентов равна $0{,}8$. Запишем уравнение для общей вероятности отрицательного теста:

$x * 0{,}14 + (1 - x) * 0{,}89 = 0{,}8.$

Решим уравнение:

$0{,}14x + 0{,}89 - 0{,}89x = 0{,}8,$

$-0{,}75x + 0{,}89 = 0{,}8,$

$-0{,}75x = 0{,}8 - 0{,}89,$

$-0{,}75x = -0{,}09,$

$x = -0{,}09 / -0{,}75 = 0{,}12.$

Таким образом, вероятность того, что пациент имеет заболевание, равна $0{,}12$, а вероятность того, что пациент не имеет заболевание, равна $1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Теперь найдём вероятность того, что пациент не имеет заболевание при отрицательном тесте. Для этого используем формулу условной вероятности:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = (вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания * вероятность отсутствия заболевания) / общая вероятность отрицательного теста.

Подставляем значения:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = ${{0{,}89} * {0{,}88}} / {0{,}8} = {0{,}7832} / {0{,}8} = 0{,}979.$

Ответ: $0{,}979$.

Чтобы найти вероятность того, что на каждом из четырех кубиков выпадет более $3$ очков, определим сначала возможные исходы для одного кубика.

1. У кубика $6$ граней. Более $3$ очков можно получить на гранях $4$, $5$, $6$. Это $3$ благоприятных исхода из $6$ возможных.
Вероятность для одного кубика: $P = 3 / 6 = 1 / 2$.

2. Кубики бросаются независимо, поэтому вероятность того, что на всех четырех кубиках выпадет более $3$ очков, равна произведению вероятностей для каждого кубика:
$P = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2)^4 = 1 / 16$.

Ответ: $1 / 16=0.0625$.

Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна $10$. Требуется найти вероятность события, что во второй раз выпало $4$ очка.

1. Определим возможные комбинации, при которых сумма очков равна $10$:

Пусть первый бросок дал значение $x$, а второй — $y$. Тогда $x + y = 10$, Переберём все подходящие пары $(x, y)$:

• $(4, 6)$
• $(5, 5)$
• $(6, 4)$

Всего три подходящие пары.

2. Выделим те случаи, где во второй раз выпало $4$ очка:

Среди трёх пар только одна пара $(6, 4)$ удовлетворяет условию, что во второй раз выпало $4$ очка.

3. Найдём вероятность:

Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = 1 / 3 ≈ 0.33$.

Ответ: $0.33$.

Рассмотрим событие $A$ — сумма всех очков равнялась $4$. Представим это событие как объединение нескольких несовместных событий. 1) $A_1$ — «1 бросок и сумма $4$ очка». $4$ очка выпало при первом броске с вероятностью ${1} / {6}$. 2) $A_2$ — «$2$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при двух бросках с вероятностью ${3} / {36}$ — это исходы $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(2; 2)$ — три из $36$ равновозможных исходов двух бросков. 3) $A_3$ — «$3$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при трёх бросках с вероятностью ${3} / {216}$ — это исходы $(1; 2; 1)$, $(1; 1; 2)$, $(2; 1; 1)$ — три из $216$ равновозможных исходов трёх бросков. 4) $A_4$ — «$4$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при четырёх бросках, если четыре раза подряд выпадет единица. Вероятность такого события равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {1296}$. Тогда $P(A)={1} / {6}+{3} / {36}+{3} / {216}+{1} / {1296}={343} / {1296}$. Следовательно, $P(A_3 A)={P(A_3∩ A)} / {P(A)}={P(A_3)} / {P(A)}={({3} / {216})} / {({343} / {1296})}= {18} / {343}=
=0{,}052…≈0{,}05$.

Вероятность уничтожения цели можно представить как сумму вероятностей того, что цель уничтожена на первом, втором, третьем и так далее выстрелах:

$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...,$

где:

• $P_1$ — вероятность уничтожения цели на первом выстреле: $P_1 = 0{,}2$;
• $P_2$ — вероятность уничтожения цели на втором выстреле: цель не уничтожена на первом выстреле (с вероятностью $1 - 0{,}2 = 0{,}8$) и уничтожена на втором (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_2 = 0{,}8 * 0{,}7 = 0{,}56$;
• $P_3$ — вероятность уничтожения цели на третьем выстреле: цель не уничтожена на первых двух выстрелах (с вероятностью $0{,}8 * 0{,}3 = 0{,}24$) и уничтожена на третьем (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_3 = 0{,}24 * 0{,}7 = 0{,}168$.

Таким образом, общая вероятность уничтожения цели до третьего выстрела включительно:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}2 + 0{,}56 + 0{,}168 = 0{,}928$.

Итак, вероятность уничтожения цели становится не менее $0{,}92$ после трёх выстрелов.

Ответ: 3 выстрела.

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

Пусть всего в городе $n$ взрослых жителей. Тогда женщин — $0{,}56n$, мужчин — $0{,}44n$. Доля работающих среди взрослых мужчин по условию равна $0{,}95$. Долю работающих среди взрослых женщин обозначим через $x$, причём $0⩽ x ⩽ 1$, число $x$ равно искомой вероятности (отношение числа работающих женщин к общему числу взрослых женщин). Тогда $0{,}95⋅0{,}44n+x⋅0{,}56n=0{,}866n$. Отсюда $0{,}95⋅0{,}44+x⋅0{,}56=0{,}866$; $0{,}56x=0{,}448$; $x=0{,}8$.

Пусть $x$ и $y$ — общее количество муки, закупленной в первом и втором кооперативах соответственно.

Составим уравнение для высшего сорта:

$0.5x + 0.3y = 0.45(x + y)$.

Раскроем скобки в правой части:

$0.5x + 0.3y = 0.45x + 0.45y$.

Переносим все члены с $x$ в левую часть, а с $y$ — в правую:

$0.5x - 0.45x = 0.45y - 0.3y$.

Упростим уравнение:

$0.05x = 0.15y$.

Найдём отношение $y$ к $x$:

$y = (0.05 / 0.15) * x = (1 / 3) * x$.

Общая вероятность того, что мука была закуплена в первом кооперативе, равна:

$x / (x + y) ={ x / {x + {1 / 3}x}} = x / {{4 / 3}x} = 3 / 4 = 0.75$.

Ответ: $0.75$.

Девять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены результаты трёх бросков): 1) Числа $6$, $1$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 2) Числа $5$, $1$ и $3$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 3) Числа $5$, $2$ и $2$ в различном порядке — всего $3$ случая. 4) Числа $4$, $3$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 5) Числа $4$, $4$ и $1$ в различном порядке — всего $3$ случая. 6) Числа $3$, $3$ и $3$. Всего $25$ равновозможных случаев. Событию «хотя бы один раз выпало три очка» благоприятствуют $13$ из них. Искомая вероятность равна ${13} / {25}=0{,}52$.