Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ — «был взят первый кубик», $H_2$ — «был взят второй кубик». По условию обязательно наступает ровно одна из этих гипотез и $P(H_1)=P(H_2)={1} / {2}$. Пусть событие $A$ — «в каком-то порядке выпали числа $1$ и $4$». Тогда $P(A H_1)={1} / {36}+{1} / {36}={1} / {18}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {36}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {36}$.) $P(A H_2)={1} / {4}+{1} / {4}={1} / {2}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {4}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {4}$.) По формуле полной вероятности получаем, что
$P(A)=P(A H_1)⋅ P(H_1)+P(A H_2)⋅ P(H_2)={1} / {18}⋅{1} / {2}+{1} / {2}⋅{1} / {2}={5} / {18}$. Искомая вероятность $P(H_2 A)={P(A H_2)P(H_2)} / {P(A)}={{1} / {2}⋅{1} / {2}} / {{5} / {18}}=0{,}9$.

Вероятность того, что в течение месяца обе лампы перегорят:
$0{,}4⋅ 0{,}4=0{,}16$. Тогда вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна лампа не перегорит, равна $1-0{,}16=0{,}84$.

1). Найдём вероятность того, что на двух игральных костях окажется одно и то же число очков за одну попытку:

На первой кости может выпасть любое число от $1$ до $6$, и для каждой из этих граней существует ровно одно совпадение на второй кости. Следовательно, благоприятных исходов $6$ из $36$ возможных:

$P_{{одна попытка}} = {6}/{36} = {1}/{6}$.

2). Найдём вероятность того, что на двух костях НЕ выпадет одинаковое число очков за одну попытку:

$P_{{не совпадение}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 - {1}/{6} = {5}/{6}$.

3). Найдём вероятность проигрыша в двух попытках. Для этого вероятность «не совпадения» должна реализоваться в обоих бросках:

$P_{{проигрыш}} = P_{{не совпадение}} ⋅ P_{{не совпадение}} = {5}/{6} ⋅ {5}/{6} = {25}/{36}$.

4). Найдём вероятность выигрыша хотя бы один раз. Для этого воспользуемся формулой:

$P_{{выигрыш}} = 1 - P_{{проигрыш}} = 1 - {25}/{36} = {11}/{36}≈0,3055...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выигрыш}} ≈ 0.31$.

Девять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены результаты трёх бросков): 1) Числа $6$, $1$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 2) Числа $5$, $1$ и $3$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 3) Числа $5$, $2$ и $2$ в различном порядке — всего $3$ случая. 4) Числа $4$, $3$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 5) Числа $4$, $4$ и $1$ в различном порядке — всего $3$ случая. 6) Числа $3$, $3$ и $3$. Всего $25$ равновозможных случаев. Событию «хотя бы один раз выпало три очка» благоприятствуют $13$ из них. Искомая вероятность равна ${13} / {25}=0{,}52$.

1). Так как порядок выбора шариков не важен, рассмотрим следующее:

• Вероятность того, что первый шарик будет красным: $ P_{красный} = {13}/{40}; $
• После того, как первый шарик выбран (красный), остаётся $39$ шариков, из которых $15$ зелёных. Вероятность того, что второй шарик будет зелёным: $ P_{зелёный \, после \, красного} = {15}/{39}. $

Общая вероятность того, что первый шарик красный, а второй зелёный:

$ P_{красный, затем \, зелёный} = {13}/{40} ⋅{15}/{39}. $

2). Аналогично, вероятность того, что первый шарик будет зелёным, а второй — красным:

• Вероятность того, что первый шарик зелёный: $ P_{зелёный} = {15}/{40}; $
• После того, как первый шарик выбран (зелёный), остаётся $39$ шариков, из которых $13$ красных. Вероятность того, что второй шарик будет красным: $ P_{красный \, после \, зелёного} = {13}/{39}. $

Общая вероятность того, что первый шарик зелёный, а второй красный:

$ P_{зелёный, затем \, красный} = {15}/{40}⋅{13}/{39}. $

3). Суммируем вероятности двух независимых случаев (красный-зелёный или зелёный-красный):

$ P_{один \, красный, \, один \, зелёный} = P_{красный, затем \, зелёный} + P_{зелёный, затем \, красный}. $

Подставим значения:

$ P_{один \, красный, \, один \, зелёный} = {13}/{40} ⋅{15}/{39} + {15}/{40}⋅{13}/{39}={390}/{1560}={1}/{4}=0,25. $

1). Найдём вероятность того, что в одном броске выпадет комбинация $4$ и $5$ (в любом порядке):

На первой кости может выпасть $4$, а на второй $5$ (один благоприятный исход), или на первой кости $5$, а на второй $4$ (ещё один благоприятный исход). Итого:

Число благоприятных исходов = $2$.

Общее число всех возможных исходов при броске двух костей равно $6 ⋅ 6 = 36$. Следовательно, вероятность комбинации $4$ и $5$ за одну попытку:

$P_{{одна попытка}} = {2}/{36} = {1}/{18}$.

2). Найдём вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет в одном броске:

$P_{{не выпадет}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 -{1}/{18} = {17}/{18}$.

3). Теперь определим вероятность того, что данная комбинация НЕ выпадет ни разу за две попытки:

$P_{{не выпадет за две попытки}} = P_{{не выпадет}} ⋅P_{{не выпадет}} = {17}/{18} ⋅ {17}/{18} = {289}/{324}$.

4). Найдём вероятность того, что комбинация $4$ и $5$ выпадет хотя бы один раз за две попытки:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} = 1 - P_{{не выпадет за две попытки}} = 1 - {289}/{324} = {35}/{324}≈0,1080...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выпадет хотя бы раз}} ≈ 0.11$.

Вероятность уничтожения цели можно представить как сумму вероятностей того, что цель уничтожена на первом, втором, третьем и так далее выстрелах:

$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...,$

где:

• $P_1$ — вероятность уничтожения цели на первом выстреле: $P_1 = 0{,}2$;
• $P_2$ — вероятность уничтожения цели на втором выстреле: цель не уничтожена на первом выстреле (с вероятностью $1 - 0{,}2 = 0{,}8$) и уничтожена на втором (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_2 = 0{,}8 * 0{,}7 = 0{,}56$;
• $P_3$ — вероятность уничтожения цели на третьем выстреле: цель не уничтожена на первых двух выстрелах (с вероятностью $0{,}8 * 0{,}3 = 0{,}24$) и уничтожена на третьем (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_3 = 0{,}24 * 0{,}7 = 0{,}168$.

Таким образом, общая вероятность уничтожения цели до третьего выстрела включительно:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}2 + 0{,}56 + 0{,}168 = 0{,}928$.

Итак, вероятность уничтожения цели становится не менее $0{,}92$ после трёх выстрелов.

Ответ: 3 выстрела.

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

Чтобы абитуриент смог поступить только на специальность "Прикладная математика" он должен набрать больше 80 баллов по математике, русскому, информатике и не набрать по биологии:
$P_{1}=0,6·0,8·0,8·0,3=0,1152.$
Чтобы абитуриент смог поступить только на специальность "Психология" он должен набрать больше 80 баллов по математике, русскому, биологии и не набрать по информатике:
$P_{2}=0,6·0,8·0,7·0,2=0,0672.$
Еще абитуриент может набрать больше 80 баллов по всем предметам, тогда он сможет поступить на обе специальности:
$P_{3}=0,6·0,8·0,8·0,7=0,2688.$
В каждом из этих случаев абитуриент сможет поступить хотя бы на одну специальность.
Эти события несовместные, искомая вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
$P=P_{1}+P_{2}+P_{3}=0,1152+0,0672+0,2688=0,4512$

Пусть всего в городе $n$ взрослых жителей. Тогда женщин — $0{,}56n$, мужчин — $0{,}44n$. Доля работающих среди взрослых мужчин по условию равна $0{,}95$. Долю работающих среди взрослых женщин обозначим через $x$, причём $0⩽ x ⩽ 1$, число $x$ равно искомой вероятности (отношение числа работающих женщин к общему числу взрослых женщин). Тогда $0{,}95⋅0{,}44n+x⋅0{,}56n=0{,}866n$. Отсюда $0{,}95⋅0{,}44+x⋅0{,}56=0{,}866$; $0{,}56x=0{,}448$; $x=0{,}8$.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна $1-0{,}05=0{,}95$. В упаковке две батарейки, тогда вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна $0{,}95⋅0{,}95=0{,}9025$.

Вероятность купить столовый набор первой фабрики равна $0{,}7$. Вероятность брака у первой фабрики равна $0{,}03$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор первой фабрики» равна: $0{,}7⋅0{,}03=0{,}021$. Вероятность купить столовый набор второй фабрики равна $0{,}3$. Вероятность брака у второй фабрики равна $0{,}02$. Вероятность события «куплен бракованный столовый набор второй фабрики» равна: $0{,}3⋅0{,}02=0{,}006$. Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместимых событий: $0{,}021+0{,}006=0{,}027$.

Пусть $x$ и $y$ — общее количество муки, закупленной в первом и втором кооперативах соответственно.

Составим уравнение для высшего сорта:

$0.5x + 0.3y = 0.45(x + y)$.

Раскроем скобки в правой части:

$0.5x + 0.3y = 0.45x + 0.45y$.

Переносим все члены с $x$ в левую часть, а с $y$ — в правую:

$0.5x - 0.45x = 0.45y - 0.3y$.

Упростим уравнение:

$0.05x = 0.15y$.

Найдём отношение $y$ к $x$:

$y = (0.05 / 0.15) * x = (1 / 3) * x$.

Общая вероятность того, что мука была закуплена в первом кооперативе, равна:

$x / (x + y) ={ x / {x + {1 / 3}x}} = x / {{4 / 3}x} = 3 / 4 = 0.75$.

Ответ: $0.75$.

Обозначим:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x$,

Количество мужчин с водительскими удостоверениями: $0.40y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0.35x + 0.40y$ или $0,373(x+y)$.

Известно, что $0.373(x + y) = 0.35x + 0.40y$, решим это уравнение:

$0.373x + 0.373y = 0.35x + 0.40y$.

$0.023x =0.027y$.

$23x =27y$.

$x =27/23y$.

Подставляя $x =27/23y$, получаем:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x=945/2300y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0,373(x+y)=373/460y$.

Для того, чтобы найти вероятность, что автомобиль выиграет женщина, нужно разделить благоприятные исходы - количество женщин с водительским удостоверением, на все исходы - все люди, имеющие водительское удостоверение:

$P={945/2300y}/{373/460y}=189/373≈0,506...$

Округляем до сотых, получаем $P=0,51$