Шестнадцать очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены последовательные результаты трёх бросков): $(4; 6; 6)$, $(6; 4; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(6; 5; 5)$, $(5; 6; 5)$, $(5; 5; 6)$ — всего $6$ равновозможных случаев. Событию «во второй раз выпало шесть очков» благоприятствует $3$ из них: $(4; 6; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(5; 6; 5)$. Искомая вероятность равна ${3} / {6}=0{,}5$.

Обозначим:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x$,

Количество мужчин с водительскими удостоверениями: $0.40y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0.35x + 0.40y$ или $0,373(x+y)$.

Известно, что $0.373(x + y) = 0.35x + 0.40y$, решим это уравнение:

$0.373x + 0.373y = 0.35x + 0.40y$.

$0.023x =0.027y$.

$23x =27y$.

$x =27/23y$.

Подставляя $x =27/23y$, получаем:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x=945/2300y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0,373(x+y)=373/460y$.

Для того, чтобы найти вероятность, что автомобиль выиграет женщина, нужно разделить благоприятные исходы - количество женщин с водительским удостоверением, на все исходы - все люди, имеющие водительское удостоверение:

$P={945/2300y}/{373/460y}=189/373≈0,506...$

Округляем до сотых, получаем $P=0,51$

Рассмотрим событие $A$ — сумма всех очков равнялась $4$. Представим это событие как объединение нескольких несовместных событий. 1) $A_1$ — «1 бросок и сумма $4$ очка». $4$ очка выпало при первом броске с вероятностью ${1} / {6}$. 2) $A_2$ — «$2$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при двух бросках с вероятностью ${3} / {36}$ — это исходы $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(2; 2)$ — три из $36$ равновозможных исходов двух бросков. 3) $A_3$ — «$3$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при трёх бросках с вероятностью ${3} / {216}$ — это исходы $(1; 2; 1)$, $(1; 1; 2)$, $(2; 1; 1)$ — три из $216$ равновозможных исходов трёх бросков. 4) $A_4$ — «$4$ броска и сумма $4$ очка». $4$ очка в сумме выпадет при четырёх бросках, если четыре раза подряд выпадет единица. Вероятность такого события равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {1296}$. Тогда $P(A)={1} / {6}+{3} / {36}+{3} / {216}+{1} / {1296}={343} / {1296}$. Следовательно, $P(A_3 A)={P(A_3∩ A)} / {P(A)}={P(A_3)} / {P(A)}={({3} / {216})} / {({343} / {1296})}= {18} / {343}=
=0{,}052…≈0{,}05$.

Пусть всего в городе $n$ взрослых жителей. Тогда женщин — $0{,}56n$, мужчин — $0{,}44n$. Доля работающих среди взрослых мужчин по условию равна $0{,}95$. Долю работающих среди взрослых женщин обозначим через $x$, причём $0⩽ x ⩽ 1$, число $x$ равно искомой вероятности (отношение числа работающих женщин к общему числу взрослых женщин). Тогда $0{,}95⋅0{,}44n+x⋅0{,}56n=0{,}866n$. Отсюда $0{,}95⋅0{,}44+x⋅0{,}56=0{,}866$; $0{,}56x=0{,}448$; $x=0{,}8$.

Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ — «был взят первый кубик», $H_2$ — «был взят второй кубик». По условию обязательно наступает ровно одна из этих гипотез и $P(H_1)=P(H_2)={1} / {2}$. Пусть событие $A$ — «в каком-то порядке выпали числа $1$ и $4$». Тогда $P(A H_1)={1} / {36}+{1} / {36}={1} / {18}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {6}⋅{1} / {6}={1} / {36}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {36}$.) $P(A H_2)={1} / {4}+{1} / {4}={1} / {2}$. (Вероятность того, что сначала выпало $1$, а затем $4$, равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {4}$. Аналогично, вероятность того, что сначала выпало $4$, а затем $1$, тоже равна ${1} / {4}$.) По формуле полной вероятности получаем, что
$P(A)=P(A H_1)⋅ P(H_1)+P(A H_2)⋅ P(H_2)={1} / {18}⋅{1} / {2}+{1} / {2}⋅{1} / {2}={5} / {18}$. Искомая вероятность $P(H_2 A)={P(A H_2)P(H_2)} / {P(A)}={{1} / {2}⋅{1} / {2}} / {{5} / {18}}=0{,}9$.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна $1-0{,}05=0{,}95$. В упаковке две батарейки, тогда вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна $0{,}95⋅0{,}95=0{,}9025$.

Чтобы найти вероятность того, что на каждом из четырех кубиков выпадет более $3$ очков, определим сначала возможные исходы для одного кубика.

1. У кубика $6$ граней. Более $3$ очков можно получить на гранях $4$, $5$, $6$. Это $3$ благоприятных исхода из $6$ возможных.
Вероятность для одного кубика: $P = 3 / 6 = 1 / 2$.

2. Кубики бросаются независимо, поэтому вероятность того, что на всех четырех кубиках выпадет более $3$ очков, равна произведению вероятностей для каждого кубика:
$P = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2)^4 = 1 / 16$.

Ответ: $1 / 16=0.0625$.

Вероятность того, что в течение месяца обе лампы перегорят:
$0{,}4⋅ 0{,}4=0{,}16$. Тогда вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна лампа не перегорит, равна $1-0{,}16=0{,}84$.

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $86\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $89\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается отрицательным у $80\%$ пациентов некоторой поликлиники, направленных на тестирование. При обследовании пациента А. врач направил его на ПЦР-тест, который оказался отрицательным. Какова вероятность того, что пациент В. не имеет этого заболевания?

Обозначим:

• Вероятность того, что пациент имеет заболевание = $x$;
• Вероятность того, что пациент не имеет заболевание = $1 - x$;
• Вероятность отрицательного теста при наличии заболевания = $1 - 0{,}86 = 0{,}14$;
• Вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания = $0{,}89$.

Известно, что вероятность отрицательного теста для всех пациентов равна $0{,}8$. Запишем уравнение для общей вероятности отрицательного теста:

$x * 0{,}14 + (1 - x) * 0{,}89 = 0{,}8.$

Решим уравнение:

$0{,}14x + 0{,}89 - 0{,}89x = 0{,}8,$

$-0{,}75x + 0{,}89 = 0{,}8,$

$-0{,}75x = 0{,}8 - 0{,}89,$

$-0{,}75x = -0{,}09,$

$x = -0{,}09 / -0{,}75 = 0{,}12.$

Таким образом, вероятность того, что пациент имеет заболевание, равна $0{,}12$, а вероятность того, что пациент не имеет заболевание, равна $1 - 0{,}12 = 0{,}88$.

Теперь найдём вероятность того, что пациент не имеет заболевание при отрицательном тесте. Для этого используем формулу условной вероятности:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = (вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания * вероятность отсутствия заболевания) / общая вероятность отрицательного теста.

Подставляем значения:

Вероятность не иметь заболевание при отрицательном тесте = ${{0{,}89} * {0{,}88}} / {0{,}8} = {0{,}7832} / {0{,}8} = 0{,}979.$

Ответ: $0{,}979$.

Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна $10$. Требуется найти вероятность события, что во второй раз выпало $4$ очка.

1. Определим возможные комбинации, при которых сумма очков равна $10$:

Пусть первый бросок дал значение $x$, а второй — $y$. Тогда $x + y = 10$, Переберём все подходящие пары $(x, y)$:

• $(4, 6)$
• $(5, 5)$
• $(6, 4)$

Всего три подходящие пары.

2. Выделим те случаи, где во второй раз выпало $4$ очка:

Среди трёх пар только одна пара $(6, 4)$ удовлетворяет условию, что во второй раз выпало $4$ очка.

3. Найдём вероятность:

Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = 1 / 3 ≈ 0.33$.

Ответ: $0.33$.

1. Обозначим переменные:

Пусть $m$ — доля мужчин в городе. Тогда доля женщин будет равна $1 - m$.

2. Преобразуем проценты в десятичные дроби:

• 35% мужчин имеют водительские удостоверения: $0.35$;
• 25% женщин имеют водительские удостоверения: $0.25$;
• 29.8% всех жителей города имеют водительские удостоверения: $0.298$.

3. Составим уравнение для всех жителей с водительскими удостоверениями:

Общее количество людей с водительскими удостоверениями — это сумма мужчин и женщин с удостоверениями:

$0.35m + 0.25(1 - m) = 0.298$.

4. Решим уравнение:

Раскроем скобки:

$0.35m + 0.25 - 0.25m = 0.298$.

Приведём подобные члены:

$0.1m + 0.25 = 0.298$.

Вычитаем 0.25 с обеих сторон:

$0.1m = 0.048$.

Теперь найдём $m$:

$m = 0.048 / 0.1 = 0.48$.

5. Найдём вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина:

Из 0.48 мужчин в городе, 35% имеют водительские удостоверения. Поэтому количество мужчин с удостоверениями равно:

$0.48 * 0.35 = 0.168$.

Теперь, вероятность того, что автомобиль выиграет мужчина, будет отношением числа мужчин с удостоверениями к общему числу людей с удостоверениями:

$P = 0.168 / 0.298≈ 0.5638$.

Ответ: $0.56$

Вероятность того, что решка выпадет ровно $11$ раз в серии испытаний из $19$ бросков (используем схему Бернулли), равна $C_{19}^{11}⋅({1} / {2})^{11}⋅({1} / {2})^8= {19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}$. Вероятность того, что решка выпадет ровно $7$ раз в серии испытаний из $19$ бросков, равна $C_{19}^{7}⋅({1} / {2})^{7}⋅({1} / {2})^{12}= {19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}$. Искомое отношение равно ${{19!} / {11!⋅8!}⋅({1} / {2})^{19}} / {{19!} / {12!⋅7!}⋅({1} / {2})^{19}}= {12!⋅7!} / {11!⋅8!}= {12!} / {11!}⋅{7!} / {8!}=
={12} / {1}⋅ {1} / {8}=1{,}5$.

Эксперимент заключается в подбрасывании двух игральных костей, исходом является упорядоченная пара чисел, в которой на первом месте стоит число очков, выпавшее на первом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на втором кубике. Эксперимент имеет $6⋅6=36$ равновозможных исходов. Пусть событие $A$ — «ни разу не выпало четыре очка», это событие наступит, если при первом броске выпадет любое число очков, кроме $4$ (всего $5$ вариантов) и аналогично при втором броске. Всего $5⋅5=25$ исходов благоприятствуют событию $A$, отсюда $P(A)={25} / {36}$. Пусть событие $B$ — «в сумме выпало $12$ очков». Тогда $A∩ B$ — «в сумме выпало $12$ очков и ни разу не выпало $4$». Событию $A∩ B$ благоприятствует единственный исход $(6;6)$. $P(A∩ B)={1} / {36}$. Тогда $P(B A)={P(A∩ B)} / {P(A)}={{1} / {36}} / {{25} / {36}}={1} / {25}=0{,}04$. Можно рассуждать чуть-чуть иначе. Посчитаем вероятность события $B$ при условии, что $A$ наступило. Если $A$ наступило, то возможен любой из $25$ исходов, из которых $1$ благоприятствуют событию $A$. Искомая вероятность равна ${1} / {25}=0{,}04$.