Обозначим:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x$,

Количество мужчин с водительскими удостоверениями: $0.40y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0.35x + 0.40y$ или $0,373(x+y)$.

Известно, что $0.373(x + y) = 0.35x + 0.40y$, решим это уравнение:

$0.373x + 0.373y = 0.35x + 0.40y$.

$0.023x =0.027y$.

$23x =27y$.

$x =27/23y$.

Подставляя $x =27/23y$, получаем:

Количество женщин с водительскими удостоверениями: $0.35x=945/2300y$,

Общее количество людей с водительскими удостоверениями: $0,373(x+y)=373/460y$.

Для того, чтобы найти вероятность, что автомобиль выиграет женщина, нужно разделить благоприятные исходы - количество женщин с водительским удостоверением, на все исходы - все люди, имеющие водительское удостоверение:

$P={945/2300y}/{373/460y}=189/373≈0,506...$

Округляем до сотых, получаем $P=0,51$

1). Найдём вероятность того, что на двух игральных костях окажется одно и то же число очков за одну попытку:

На первой кости может выпасть любое число от $1$ до $6$, и для каждой из этих граней существует ровно одно совпадение на второй кости. Следовательно, благоприятных исходов $6$ из $36$ возможных:

$P_{{одна попытка}} = {6}/{36} = {1}/{6}$.

2). Найдём вероятность того, что на двух костях НЕ выпадет одинаковое число очков за одну попытку:

$P_{{не совпадение}} = 1 - P_{{одна попытка}} = 1 - {1}/{6} = {5}/{6}$.

3). Найдём вероятность проигрыша в двух попытках. Для этого вероятность «не совпадения» должна реализоваться в обоих бросках:

$P_{{проигрыш}} = P_{{не совпадение}} ⋅ P_{{не совпадение}} = {5}/{6} ⋅ {5}/{6} = {25}/{36}$.

4). Найдём вероятность выигрыша хотя бы один раз. Для этого воспользуемся формулой:

$P_{{выигрыш}} = 1 - P_{{проигрыш}} = 1 - {25}/{36} = {11}/{36}≈0,3055...$.

Округлим результат до сотых:

$P_{{выигрыш}} ≈ 0.31$.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна $1-0{,}05=0{,}95$. В упаковке две батарейки, тогда вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна $0{,}95⋅0{,}95=0{,}9025$.

Эксперимент заключается в подбрасывании двух игральных костей, исходом является упорядоченная пара чисел, в которой на первом месте стоит число очков, выпавшее на первом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на втором кубике. Эксперимент имеет $6⋅6=36$ равновозможных исходов. Пусть событие $A$ — «ни разу не выпало четыре очка», это событие наступит, если при первом броске выпадет любое число очков, кроме $4$ (всего $5$ вариантов) и аналогично при втором броске. Всего $5⋅5=25$ исходов благоприятствуют событию $A$, отсюда $P(A)={25} / {36}$. Пусть событие $B$ — «в сумме выпало $12$ очков». Тогда $A∩ B$ — «в сумме выпало $12$ очков и ни разу не выпало $4$». Событию $A∩ B$ благоприятствует единственный исход $(6;6)$. $P(A∩ B)={1} / {36}$. Тогда $P(B A)={P(A∩ B)} / {P(A)}={{1} / {36}} / {{25} / {36}}={1} / {25}=0{,}04$. Можно рассуждать чуть-чуть иначе. Посчитаем вероятность события $B$ при условии, что $A$ наступило. Если $A$ наступило, то возможен любой из $25$ исходов, из которых $1$ благоприятствуют событию $A$. Искомая вероятность равна ${1} / {25}=0{,}04$.

Вероятность того, что в течение месяца обе лампы перегорят:
$0{,}4⋅ 0{,}4=0{,}16$. Тогда вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна лампа не перегорит, равна $1-0{,}16=0{,}84$.

Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $0{,}4$, а вероятность промаха составляет $1-0{,}4=0{,}6$. Тогда вероятность непопадания в цель за два выстрела равна $0{,}6⋅0{,}6=0{,}36$, а вероятность поражения отдельно взятой мишени равна $1-0{,}36=0{,}64$. Найдём вероятность события $A$ — «Онуфрий поразит ровно $3$ мишени». $3$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^3$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (вероятность того, что будет $3$ попадания по конкретным мишеням и $3$ промаха). Значит $P(A)=C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3$ (схема Бернулли). Найдём вероятность события $B$ — «Онуфрий поразит ровно $4$ мишени». $4$ мишени из $6$ можно выбрать $C_6^4$ способами. Вероятность каждого такого способа равна $(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$ (вероятность того, что будет $4$ попадания по конкретным мишеням и $2$ промаха). Значит, $P(B)=C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2$. Искомая величина ${P(A)} / {P(B)}={C_6^3⋅(0{,}64)^3⋅(0{,}36)^3} / {C_6^4⋅(0{,}64)^4⋅(0{,}36)^2}= {{6!} / {3!3!}⋅0{,}36} / {{6} / {4!2!}⋅0{,}64} = $
$ ={4!} / {3!}⋅{2!} / {3!}⋅{0{,}36} / {0{,}64}= {4} / {1}⋅{1} / {3}⋅{36} / {64}=0{,}75 $.

Вероятность уничтожения цели можно представить как сумму вероятностей того, что цель уничтожена на первом, втором, третьем и так далее выстрелах:

$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...,$

где:

• $P_1$ — вероятность уничтожения цели на первом выстреле: $P_1 = 0{,}2$;
• $P_2$ — вероятность уничтожения цели на втором выстреле: цель не уничтожена на первом выстреле (с вероятностью $1 - 0{,}2 = 0{,}8$) и уничтожена на втором (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_2 = 0{,}8 * 0{,}7 = 0{,}56$;
• $P_3$ — вероятность уничтожения цели на третьем выстреле: цель не уничтожена на первых двух выстрелах (с вероятностью $0{,}8 * 0{,}3 = 0{,}24$) и уничтожена на третьем (с вероятностью $0{,}7$), то есть $P_3 = 0{,}24 * 0{,}7 = 0{,}168$.

Таким образом, общая вероятность уничтожения цели до третьего выстрела включительно:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}2 + 0{,}56 + 0{,}168 = 0{,}928$.

Итак, вероятность уничтожения цели становится не менее $0{,}92$ после трёх выстрелов.

Ответ: 3 выстрела.

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.8$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$.

$P (A + B) = 0.8 + 0.8 - 0.72 = 0.88$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 - 0.88 = 0.12$.

Пусть $x$ и $y$ — общее количество муки, закупленной в первом и втором кооперативах соответственно.

Составим уравнение для высшего сорта:

$0.5x + 0.3y = 0.45(x + y)$.

Раскроем скобки в правой части:

$0.5x + 0.3y = 0.45x + 0.45y$.

Переносим все члены с $x$ в левую часть, а с $y$ — в правую:

$0.5x - 0.45x = 0.45y - 0.3y$.

Упростим уравнение:

$0.05x = 0.15y$.

Найдём отношение $y$ к $x$:

$y = (0.05 / 0.15) * x = (1 / 3) * x$.

Общая вероятность того, что мука была закуплена в первом кооперативе, равна:

$x / (x + y) ={ x / {x + {1 / 3}x}} = x / {{4 / 3}x} = 3 / 4 = 0.75$.

Ответ: $0.75$.

Для решения задачи определим два условия:
1. Ни на одной из костей не выпало $5$ очков.
2. Сумма очков на костях равна $6$.

1. Найдем общее число комбинаций, при которых сумма очков на двух костях равна $6$:
Возможные пары: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ — всего $5$ комбинаций.

2. Учитывая условие, что $5$ очков не выпадает, исключим пары, где есть $5$:
$(1, 5)$ и $(5, 1)$.
Остаются только: $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$ — всего $3$ комбинации.

3. Общее число возможных комбинаций при условии, что на двух костях нет $5$:
Если $5$ исключено, на каждой кости остаются числа $1, 2, 3, 4, 6$, то всего $5*5 = 25$ комбинаций.

4. Найдем вероятность: это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
$P = 3 / 25$.

Ответ: $3 / 25=0.12$.

Девять очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены результаты трёх бросков): 1) Числа $6$, $1$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 2) Числа $5$, $1$ и $3$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 3) Числа $5$, $2$ и $2$ в различном порядке — всего $3$ случая. 4) Числа $4$, $3$ и $2$ в различном порядке — всего $6$ случаев. 5) Числа $4$, $4$ и $1$ в различном порядке — всего $3$ случая. 6) Числа $3$, $3$ и $3$. Всего $25$ равновозможных случаев. Событию «хотя бы один раз выпало три очка» благоприятствуют $13$ из них. Искомая вероятность равна ${13} / {25}=0{,}52$.

Чтобы найти вероятность того, что на каждом из четырех кубиков выпадет более $3$ очков, определим сначала возможные исходы для одного кубика.

1. У кубика $6$ граней. Более $3$ очков можно получить на гранях $4$, $5$, $6$. Это $3$ благоприятных исхода из $6$ возможных.
Вероятность для одного кубика: $P = 3 / 6 = 1 / 2$.

2. Кубики бросаются независимо, поэтому вероятность того, что на всех четырех кубиках выпадет более $3$ очков, равна произведению вероятностей для каждого кубика:
$P = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2)^4 = 1 / 16$.

Ответ: $1 / 16=0.0625$.

Вероятность неудачи в случае одной отдельной попытки равна $0{,}5={1} / {2}$. Найдём вероятность противоположного события: «потребовалось более трёх попыток» или, что то же самое, «первые три попытки были неудачными». Вероятность этого события равна ${1} / {2}⋅{1} / {2}⋅{1} / {2}={1} / {8}$. Тогда искомая вероятность равна $1-{1} / {8}={7} / {8}=0{,}875$.

Шестнадцать очков в сумме могло выпасть в следующих случаях (в каждой «тройке» перечислены последовательные результаты трёх бросков): $(4; 6; 6)$, $(6; 4; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(6; 5; 5)$, $(5; 6; 5)$, $(5; 5; 6)$ — всего $6$ равновозможных случаев. Событию «во второй раз выпало шесть очков» благоприятствует $3$ из них: $(4; 6; 6)$, $(6; 6; 4)$, $(5; 6; 5)$. Искомая вероятность равна ${3} / {6}=0{,}5$.