Задание 4. Теория вероятностей. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 86.9%
Ответом к заданию 4 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Из множества натуральных чисел от $52$ до $61$ наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число делится на $7$?
Решение
На отрезке от $52$ до $61$ имеется $61-52+1=10$ натуральных чисел, значит, всего возможно $10$ исходов. На этом отрезке кратно семи только одно число — $56$. Искомая вероятность равна ${1} / {10}=0{,}1$.
Задача 2
Секцию по волейболу посещают $57$ человек, среди них Павел и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по $19$ человек в каждой. Найдите вероятность того, что Павел и Дмитрий окажутся в одной команде. Ответ округлите до сотых.
Решение
Предположим, что Павел уже находится в одной из команд. Каждая из трёх команд изначально имеет по 19 мест. После того как Павел занимает место в одной из команд, в этой команде остаётся 18 мест, а в двух других командах по 19 мест.
Вероятность того, что Дмитрий окажется в той же команде, что и Павел, равна отношению оставшихся мест в команде Павла к общему количеству оставшихся мест:
Вероятность = количество мест в команде Павла / общее количество оставшихся мест.
Общее количество оставшихся мест: 18 + 19 + 19 = 56.
Количество оставшихся мест в команде Павла: 18.
Подставляем значения:
Вероятность = 18 / 56 = 9 / 28 ≈ 0,32.
Ответ: 0,32.
Задача 3
Вероятность того, что в тесте по истории ученик Максим ответит верно более чем на $10$ вопросов, равна $0{,}72$. Вероятность того, что Максим ответит больше чем на $9$ вопросов, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что Максим ответит ровно на $10$ вопросов.
Решение
Вероятность того, что в тесте по истории ученик Максим ответит верно более чем на $10$ вопросов, равна $0{,}72$. Вероятность того, что Максим ответит больше чем на $9$ вопросов, равна $0{,}85$. Найдите вероятность того, что Максим ответит ровно на $10$ вопросов.
Вероятность того, что Максим ответит больше чем на $9$ вопросов, включает вероятности:
$P{10} + P{11} + ... = 0{,}85$.
Вероятность того, что Максим ответит более чем на $10$ вопросов, включает вероятности:
$P{11} + ... = 0{,}72$.
Разность между этими вероятностями дает вероятность события $P{10}$:
$P{10} = 0{,}85 - 0{,}72 = 0{,}13$.
Ответ: $0,13$.
Задача 4
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $5$ очков. Ответ округлите до сотых.
Решение
Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральных костях. Всего имеется $36$ равновозможных исходов (на первой кости число от $1$ до $6$, на второй — также число от $1$ до $6$). Событию «в сумме выпало $5$» благоприятствуют следующие исходы: $(1;4)$, $(4;1)$, $(2;3)$, $(3;2)$. Их количество равно $4$. Искомая вероятность равна ${4} / {36}={1} / {9}=0{,}111...≈0{,}11$.
Задача 5
В некотором городе на $6000$ появившихся на свет младенцев приходится $3360$ девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.
Решение
Из $6000$ младенцев $6000-3360=2640$ мальчиков. Тогда частота рождения мальчиков в этом городе равна ${2640} / {6000}={440} / {1000}=0{,}44$.
Задача 6
Вероятность того, что на тесте по математике ученица Настя верно решит больше $12$ задач, равна $0{,}84$. Вероятность того, что Настя решит больше $11$ задач, равна $0{,}96$. Найдите вероятность того, что Настя решит ровно $12$ задач.
Решение
Вероятность того, что Настя решит ровно $12$ задач, равна
$0{,}96-0{,}84=0{,}12$.
Задача 7
На тестирование по русскому языку пришли $90$ учеников, в том числе Пётр и Сергей. Ученикам предложили разместиться в двух аудиториях, разделив случайным образом на $2$ равные группы. Найдите вероятность того, что Пётр и Сергей окажутся в одной аудитории. Ответ округлите до сотых.
Решение
Пусть Пётр попал в какую-то аудиторию. Тогда для Сергея попасть в эту аудиторию имеется $44$ возможности: всего в аудитории $90:2=45$ мест, одно из которых занимает Пётр. Всего же возможных мест для Сергея $89$: из них $44$ в той же аудитории, в которой находится Петр, и $45$ — в другой. Значит, вероятность того, что Петр и Дмитрий окажутся в одной аудитории, равна ${44} / {89}=0{,}494...≈0{,}49$.
Задача 8
На тестирование по географии пришли $56$ учеников, в том числе Анна и Света. Ученикам предложили разместиться в двух аудиториях, разделив их случайным образом на $2$ равные группы. Найдите вероятность того, что Анна и Света окажутся в одной аудитории. Ответ округлите до сотых.
Решение
На тестирование пришли 56 учеников. 2 равные группы - это группы по 28 человек. Пусть Анна находится в одной из аудиторий. Тогда для Светы в аудитории Анны остается 27 мест из 55 возможных. Таким образом, вероятность того, что Анна и Света окажутся в одной аудитории: $P=27/55≈0,490...$. Округляем до сотых, ответ $0,49$
Задача 9
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $7$ очков. Ответ округлите до сотых.
Решение
Определим общее число всех возможных исходов при броске двух игральных костей.
Каждая кость имеет 6 граней, значит общее число комбинаций равно:
$6 ⋅ 6 = 36$.
Перечислим все возможные комбинации, при которых сумма очков равна $7$:
- $1 + 6$;
- $2 + 5$;
- $3 + 4$;
- $4 + 3$;
- $5 + 2$;
- $6 + 1$.
Итак, существует 6 благоприятных исходов.
Найдём вероятность события, что в сумме выпадет $7$ очков, по формуле:
$P = {число благоприятных исходов}/{общее число исходов} = {6}/{36}$.
Упростим дробь:
$P = {1}/{6}≈0.17$.
Задача 10
В $2020$ году $13 500$ учеников из $675 000$ не сдали итоговое сочинение. Найти вероятность того, что случайно выбранный ученик не сдал итоговое сочинение.
Решение
Вероятность события - это отношение благоприятных исходов ко всем исходам: $P={m}/{n}={13 500}/{675 000}=0,02$
Задача 11
В таксопарке "Гермес" в данный момент находится 25 машин: 5 желтых с черной полосой, остальные - черные с желтой полосой. Случайным образом на заказ была назначена машина. Чему равна вероятность того, что на заказ приедет черное такси с желтой полосой?
Решение
Такси черного цвета с желтой полосой в таксопарке 25-5=20. Искомая вероятность: 20/25=0.8
Задача 12
На подносе лежит 15 пирожков: 7 с творогом, 3 с капустой и 5 с мясом. Школьник выбирает пирожок наугад. Чему равна вероятность того, что выбранный пирожок окажется с капустой?
Решение
Пирожков с капустой 3, всего пирожков 15.Таким образом, искомая вероятность равна 3/15=0.2
Задача 13
У Зинаиды в кошельке лежит 4 монеты достоинством 1 рубль, 2 - достоинством 2 рубля, 3 - достоинством 5 рублей и 6 - достоинством 10 рублей. Девочка наугад достает из кошелька одну монету. Чему равна вероятность того, что в кошельке останутся монеты на сумму менее 80 рублей?
Решение
У Зинаиды в кошельке монет на общую сумму 83 рубля. При изъятии одной монеты из кошелька общая сумма оставшихся монет может быть меньше 80 рублей только в том случае, если была изъята монета в 10 рублей или монета в 5 рублей. Таких монет в кошельке 9. А всего монет 15. Искомая вероятность равна 9/15=0.6
Задача 14
Чтобы определить команду, начинающую футбольный матч, рефери в начале игры подбрасывает монетку. Если команде "Лидер" играть три игры, чему равна вероятность того, что ей удастся выиграть жеребьевку не более двух раз?
Решение
Заметим, что вероятность выигрыша жеребьевки (равно как и проигрыша) в одном матче равна 1/2=0.5. Событие А: "команда в трех матчах выиграет жеребьевку не более двух раз" противоположно событию В: "команда в трех матчах выиграет жеребьевку более двух раз". Событию В благоприятствует один исход: ВВВ, где В - выигрыш жеребьевки в одном матче. Так как вероятность выигрыша жеребьевки (равно как и проигрыша) в одном матче равна 1/2=0.5, то вероятность события В равна 0.5*0.5*0.5=0.125, откуда следует, что вероятность события А равна 1-0.125=0.875
Задача 15
Перед Новым годом родители учащихся 4Б класса закупили 35 пазлов, 28 из которых были с видами Пекина, а 7 - с видами Токио. Чему равна вероятность того, что ученик 4Б класса Вова Кузнецов получит в подарок на Новый год пазл с видом Токио? Считайте распределение подарков между детьми случайным.
Решение
Искомая вероятность равна 7/35=0.2
Задача 16
Ребенок включает случайный канал телевизора. Согласно программе передач на это время, на пяти каналах из пятидесяти транслируются музыкальные конкурсы. Чему равна вероятность того, что ребенок включит канал, на котором не показывают музыкальный конкурс?
Решение
Не показывают музыкальный конкурс на 50-5=45 каналах. Таким образом, искомая вероятность равна 45/50=0.9
Задача 17
В таксопарке "Гермес" в данный момент находится 35 машин: 21 черная, 6 желтых и 8 белых. Случайным образом на заказ была назначена машина. Чему равна вероятность того, что на заказ приедет такси черного цвета?
Решение
В таксопарке черных машин 21, всего машин 35. Таким образом, искомая вероятность равна 21/35=0.6
Задача 18
Маша и Миша решили сходить в городской парк и посетить аттракцион "Колесо обозрения". Всего у аттракциона 15 кабинок, 4 из которых - красного цвета, 2 - синего цвета, остальные - зеленого цвета. Кабинки последовательно проходят через зону посадки. Если ребята подойдут к платформе в случайный момент времени, какова вероятность того, что они прокатятся в кабинке зеленого цвета?
Решение
Зеленых кабинок на аттракционе 15-4-2=9. Таким образом, искомая вероятность равна 9/15=0.6
Задача 19
Для подготовки к зачету по стереометрии необходимо выучить 60 вопросов, Дима не выучил 9 из них. Чему равна вероятность того, что на зачете Диме достанется выученный вопрос?
Решение
Всего выученных вопросов: 60-9=51. Т.е. вероятность того, что на зачете попадется выученный вопрос равна 51/60=0.85
Задача 20
У Ярославы в кошельке лежит 3 монеты достоинством 1 рубль, 2 - достоинством 2 рубля, 4 - достоинством 5 рублей и 3 - достоинством 10 рублей. Девочка наугад достает из кошелька одну монету. Чему равна вероятность того, что в кошельке останутся монеты на сумму менее 50 рублей?
Решение
У Ярославы в кошельке монет на общую сумму 57 рублей. При изъятии одной монеты из кошелька общая сумма оставшихся монет может быть меньше 50 рублей только в том случае, если была изъята монета в 10 рублей. Таких монет в кошельке 3. А всего монет 12. Искомая вероятность равна 3/12=0.25
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
