Статистика

В задании №17 требуется решить текстовую задачу. Наиболее часто встречаются задачи экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.

Получить за решение этого задания можно 3 первичных балла, если обоснованно получен верный ответ. Если математическая модель построена верно, но решение недостаточно обоснованно, или допущена вычислительная ошибка – вы получите 2 первичных балла. А вот если решение не завершено, при правильно построенной математической модели, то вам достанется 1 первичный балл.

Виды платежей

1. Аннуитетный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа остаётся постоянным на всём периоде кредитования.

Ключевые фразы:

• известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года)
• он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей
• кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 56 507 рублей

2. Дифференцированный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда сумма долга каждый год уменьшается на одну и ту же сумму, а размер ежемесячного платежа по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования.

Ключевые фразы:

• должен быть на X тысяч рублей меньше долга на n-е число предыдущего месяца
• n-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на n-е число предыдущего месяца

3. Фиксированные платежи — долг уменьшается по заданным в таблице или в условии задачи параметрам.

Ключевые фразы:

• выплатили за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей во второй
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Пример

В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей необходимо будет отдать, если кредит будет погашен 4 равными платежами.

Решение:

Заметим, что долг был погашен 4 равными платежами, то есть это аннуитетный платеж. Введем обозначения:

• $x$ — ежегодный платеж
• $s$ — сумма кредита
• $r$ — процентная ставка
• $k=1+r/100$ — коэффициент.

Например, если долг через год увеличился на 20%, то стал $1,2⋅S$, где $k=1+20/100=1.2$. При помощи коэффициента удобно находить процентное увеличение в одно действие. То есть вместо $S+0.2⋅S=1.2⋅S$, мы сразу же находим итоговую величину (было 100%, стало 120%, то есть $1.2⋅S$). Составим таблицу на 4 года:

Мы знаем, что после последнего платежа долг должен быть полностью погашен:

Сразу отмечу, что обычно вместо 1,2 удобнее было бы подставить как дробь 6/5. Но в данном примере нам повезло и расчеты оказались относительно простые.

После того как мы нашли x — ежегодный платеж, необходимо ответить на вопрос задачи, то есть найти общую сумму выплат за все 4 года, то есть 4x.