а) Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, как показано на рисунке.

По свойству параллелограмма, верно равенство $2(AB^2 + AC^2) = AD^2 + BC^2$, или $2(AB^2 + AC^2) = (2AM)^2 + BC^2$. Так как по условию $AB = 2, AC = √{21}, AM = 2.5$, то $2(22 + √{21}^2) = (2 · 2.5)^2 + BC^2$, откуда $BC = 5$. Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник, значит, $∠BAC = 90°$ и $△ABC$ прямоугольный.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ выразим площадь двумя способами: $2S = AB · AC, 2S = BC · AH$, приравнивая правые части этих равенств, находим $AH = {AB·AC}/{BC} = {2 · √21}/{5}$. Катет $HM$ найдём из прямоугольного треугольника $AHM$ по теореме Пифагора: $HM = √{AM^2 − AH^2} = √{2.5^2 −({2 · √21}/{5})^2} = √{{25}/{4} − {84}/{25}} = √{{625 − 336}/{100}} = {17}/{10} = 1.7$.

а) $∠ABC = 180° - (60° + 15°) = 105°$.

$NH$ — медиана в прямоугольном треугольнике $AHB$, отсюда $NH = NB = AN$.

$∠ABH = 75°, ∠BHN = ∠NBH$ как углы при основании равнобедренного треугольника $NBH , ∠NBH = 75°$.

$FK = {1}/{2}AB, NK = {1}/{2}BC , FN = {1}/{2}AC$ по свойству средней линии треугольника, тогда $△FKN ∼ △ABC$ по трём пропорциональным сторонам, следовательно, $∠NKF = ∠ABC = 105°$.

В четырёхугольнике $NHFK$ найдём сумму противоположных углов: $∠FKN + ∠FHN = 105° + 75° = 180°$, значит, около этого четырёхугольника можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) По теореме синусов для $△NFK: {NK}/{sin∠NFK} = 2R$, где $R$ — радиус окружности, проходящей через точки $K , N , F$ и $H$. Так как $NK = {1}/{2}BC$, то ${BC}/{2sin60°} = 2R = {4√3}/{2} : {√3}/{2} = 4$.

В равнобедренном треугольнике $HNB$ $∠N = 180° - 75°· 2 = 30°$. $∠BNF = ∠BAC = 60°$ как соответственные углы при параллельных прямых $NF$ и $AC$ и секущей $AB$.

В $△HNF ∠HNF = ∠HNB + ∠BNF = 30° + 60° = 90°$, значит $HF$ — диаметр описанной окружности, $HF = 2R = 4$.

a) Обозначим радиусы окружностей $r_1 = 9, r_2 = {81}/{25}, r_3 = 1$, а центры этих окружностей $O_1, O_2, O_3$ соответственно, и проведём радиусы $O_1E, O_2D, O_3F$ к точкам касания со стороной $AC$. Эти радиусы перпендикулярны касательной $AC$.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, они образуют одинаковые углы с прямой, проходящей через центр окружности, то есть центры $O_1, O_2$ лежат на биссектрисе угла $A$, а центры $O_1, O_3$ — на биссектрисе угла $C$. Обозначим величину угла $C$ через $2β$. Тогда угол треугольника $O_1CA$ равен $β$.

Проведём $O_3N ⊥O_1E$, тогда $O_3N ‖ FE$ и $O_3N EF$ прямоугольник, $EN = r_3, O_1N = O_1E - EN = r_1 - r_3 = 8. ∠O_1CA = ∠O_1O_3N = β$ как соответственные при $O_3N ‖ AC$, секущая $CO_1$.

Треугольник $O_1O_3N$ прямоугольный, $O_3O_1= r_1 + r_3 = 10, O_3N = √{O_3O_1^2 - O_1N^2} = 6, tgβ = {O_1N}/{O_3N} = {8}/{6} = {4}/{3}$,

$tg 2β = {2 tg β}/{1 - tg^2 β} = {2 · {4}/{3}}/{1 - ({4}/{3})^2} = -{24}/{7}$.

Получили, что угол $C$ тупой. $∠C = π − arctg{24}/{7}$.

б) 1) $tg β = {O_1E}/{EC}, EC = r_1 : tg β = 9 : {4}/{3} = {27}/{4}$.

Обозначим величину угла $O_1AC$ треугольника через $α$. Найдём $EA = r_1 : tg α$.

Проведём $O_2M ⊥O_1E$, тогда аналогично пункту а) $EM = r_2$,

$O_1M = O_1E - EM = r_1 - r_2 = {144}/{25}, O_1O_2= r_1 + r_2 = {306}/{25}$.

$O_2M= √{O_1O_2^2 - O_1M^2} = {270}/{25}, tg α = {O_1M}/{O_2M} = {8}/{15}, AE = r_1 : tg α = 9 : {8}/{15} = {135}/{8}$.

$AC = AE + EC = {189}/{8}$.

$S_{AO_1O_3} = S_{AO_1C}-S_{ACO_3}={1}/{2}r_1· AC-{1}/{2}r_3·AC = {1}/{2}(r_1-r_3) ·AC = 94.5$.

а) Общая касательная, проведенная к окружностям в точке $K$, пересекает $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $AM = K M$ и $K M = BM$. Треугольник $AK B$, у которого медиана $K M$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена, прямоугольный, $∠AK B = 90°$. Вписанный угол $AK D$ прямой, поэтому он опирается на диаметр $AD$, значит, $AD ⊥ AB$. Аналогично, получаем, что $BC ⊥ AB$. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть первая окружность имеет радиус $8$, а вторая — радиус $2$.

Проведём $O_2H ⊥ AD$, тогда $O_2HAB$ — прямоугольник и $AH = O_2 B = 2, AB = O_2 H$. Из $△O_1O_2H$ получим $O_2 H^2 = O_1O_2^2 - O_1H^2 = (2 + 8)^2 - (8 - 2)^2 = 64, O_2 H = 8 = AB$.

$△O_2PB ∼ △O_1O_2H$ (по двум углам), ${O_2B}/{O_2P} = {O_1H}/{O_1O_2}; {2}/{O_2P} = {8 - 2}/{8 + 2}; O_2P = {10}/{3}$.

Проведём высоту $KE$ в $△AKB$, получим, что $△O_2BP ∼ △KEP$ (по двум углам). ${KE}/{O_2B} = {KP}/{O_2P}; {KE}/{2} = {2 + {10}/{3}}/{{10}/{3}}; KE = 1.6 · 2 = 3.2$.

$S_{AKB} = {1}/{2}AB · KE = {1}/{2} · 8 · 3.2 = 12.8$.

а) Проведём $CE ‖ BD$. $E$ - точка пересечения прямых $AD$ и $CE$. $BCED$ - параллелограмм: $BC ‖ DE$ как прямые, содержащие основания трапеции, $BD ‖ CE$ по построению. $BC = DE = 7$, тогда $AE = AD + DE = 34 + 7 = 41$. Заметим, что для треугольника $ACE$ выполнена теорема Пифагора: $AC^2 + CE^2 = AE^2$, следовательно, $AC ⊥ CE$, а так как $CE ‖ BD$, то $BD ⊥ AC$.

б) Проведём высоту $CH$ трапеции. $CH$ также является высотой треугольника $ACE. CH = {AC·CE}/{AE} = {9·40}/{41}. S_{ABCD} = {AD + BC}/{2}·CH = {34 + 7}/{2}·{9·40}/{41} = 9·20 = 180$.