Задание 16. Задача на планиметрию. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 15.4%
Ответом к заданию 16 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В октябре $2016$ года решили взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $8%$ по сравнению с долгом в октябре;
— с февраля по $30$ сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на $8324$ рубля.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.
В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 - x)·1.08 - x$ рублей.
Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.08 - x)·1.08 - x)1.08 - x = 0$;
$1.08^3K - 1.08^2·x - 1.08x - x = 0$.
$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.
Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;
${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;
$K = 50 725$
Задача 2
Вклад планируется открыть на $5$ лет. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 %$ по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего, четвёртого и пятого годов пополняется на $1$ млн рублей. Найдите наименьший размер вклада (в млн рублей), при котором через $5$ лет вклад будет больше $10$ млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад был N миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть в 1.1 раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце 1-ого года: 1.1 · N = 1.1N ;
В конце 2-ого года: 1.1N · 1,1 = 1.21N ;
В конце 3-его года: (1.21N + 1) · 1.1 = 1.331N + 1.1;
В конце 4-ого года: (1.331N + 2.1) · 1.1 = 1.4641N + 2.31;
В конце 5-ого года: (1.4641N + 3.31) · 1.1 = 1.61051N + 3.641;
Найдем наименьший размер первоначального вклада N, при котором через 5 лет вклад будет больше 10 млн. рублей.
1.61051N + 3.641 > 10; 1.61051N > 6.359, N > 3.9 . . ..
4 миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.
Задача 3
$15$ января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита на $50%$ больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Рассмотрим два способа решения.
I способ
Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму ${K}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:
$K; K - {K}/{n} = K·{n - 1}/{n}; K - 2·{K}/{n} = K·{n - 2}/{n}; ... ; K· {1}/{n}$.
2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.
Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $d - {K}/{n}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $(d + d·{12.5}/{100}) - (d - {K}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ выплат по месяцам:
$x_1 = K·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_2 = K·{n - 1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_3 = K·{n - 2}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
... ;
$x_n = K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; ... x_n$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$). Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2} ·n$.
3. По условию $S_n$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому $S_n = {3}/{2}K$:
$S_n = {K·{12.5}/{100} + {K}/{n} + K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}}/{2} ·n = {K ·{12.5}/{100}(1 + {1}/{n}) + {2K}/{n}/{2} ·n$;
$S_n = K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K$.
Отсюда, $K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K = {3}/{2}K, {12.5}/{200}(n + 1) = {1}/{2}, {1}/{16}(n + 1) = {8}/{16}, n + 1 = 8, n = 7$.
II способ
Пусть K - сумма планируемого кредита, n - число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма ${K}/{n}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.
Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.
Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $K; K - {K}/{n}; K - 2·{K}/{n}; . . . ; K - (n - 1)·{K}/{n}; K - n{K}/{n} = 0$.
$K·{n}/{n}; K·{n - 1}/{n}; K·{n - 2}/{n}; . . . ; K·{n - (n - 1)}/{n} = K·{1}/{n}; 0$.
Так как $12.5% = {12.5}/{100} = {1}/{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят
${1}/{8}K·{n}/{n}, {1}/{8}K·{n - 1}/{n}, {1}/{8}K ·{n - 2}/{n}, . . . , {1}/{8}K·{1}/{n}$.
Найдём сумму выплат $S$ за пользование кредитом: $S = {K}/{8n} (n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1) = {K}/{8n}· {n + 1}/{2}· n = {K(n + 1)}/{16}$.
По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $S = {1}/{2}K$.
${K(n + 1)}/{16} = {1}/{2}K, n + 1 = 8, n = 7$.
Кредит планируется взять на $7$ месяцев.
Задача 4
В банке взяли кредит на сумму $140000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили двумя платежами — $87000$ рублей и затем $63000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $140 000(1 + {r}/{100})$ рублей. После выплаты $87 000$ рублей долг станет равным $140 000 (1 + {r}/{100}) - 87 000$ рублей.
2. После увеличения в конце второго года на $r%$ долг станет равным $(140 000(1 + {r}/{100}) - 87 000)(1 + {r}/{100})$ рублей. А после выплаты $63 000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(140 000(1 + {r}/{100}) - 87 000)(1 + {r}/{100}) - 63 000 = 0$.
3. Пусть $(1 + {r}/{100}) = x$. Тогда уравнение принимает вид: $(140 000x- 87 000)x - 63 000 = 0$;
$140 000x^2 - 87 000x - 63 000 = 0; 140x^2 - 87x - 63 = 0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем
$x_{1,2} = {87±√{7569 + 35280}}/{280} = {87±√{42 849}}/{280} = {87±207}/{280}$.
$x_1 = {87 - 207}/{280} < 0$, что невозможно по условию.
$x_2 = {87 + 207}/{280} = {294}/{280} = 1{14}/{280} = 1 + {1}/{20} = 1 + {5}/{100}$.
Отсюда, $(1 + {r}/{100}) = 1 + {5}/{100}, r = 5$.
Задача 5
В банке взяли кредит на сумму $150000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили его двумя платежами — $95000$ рублей и затем $77000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $150000(1+{r} / {100})$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000(1+{r} / {100})-95000$ рублей.
2. После увеличения в конце года на $r%$ долг станет равным $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})-77000=0$.
3. Пусть $(1+{r} / {100})=x$.
Тогда уравнение принимает вид: $(150000x-95000)x-77000=0$; $150000x^2-95000x-77000=0$; $150x^2-95x-77=0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем: $x_{1,2}={95±√ {9025+46200}} / {300}={95±√ {55225}} / {300}={95±235} / {300}$.
$x_1={95-235} / {300}<0$, что невозможно по условию. $x_2={95+235} / {300}={330} / {300}=1{1} / {10}=1+{10} / {100}$. Отсюда, $(1+{r} / {100})=1+{10} / {100}$, $r=10$.
Задача 6
В апреле планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по март каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в апреле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на апрель предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $13{,}5$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ - число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$12; 12 - {12}/{n} = 12·{n - 1}/{n}; 12 - 2·{12}/{n} = 12·{n - 2}/{n}; ... ; 12·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ - долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.
Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d - {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) - (d - {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_2 = 12 · {n - 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_3 = 12 · {n - 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
... ;
$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:
$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;
$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.
Задача 7
В октябре планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по сентябрь каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года.
Чему будет равна переплата по кредиту (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты составит $5{,}75$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ - число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на октябрь месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на октябрь предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на октябрь месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$12; 12 - {12}/{n} = 12·{n - 1}/{n}; 12 - 2·{12}/{n} = 12·{n - 2}/{n}; ... ; 12·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ - долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к октябрю этого года он должен стать равным $d - {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {12.5}/{100}) - (d - {12}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {12}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 12 · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_2 = 12 · {n - 1}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_3 = 12 · {n - 2}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;
... ;
$x_n = 12 · {1}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 5.75$:
$12·{12.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {12}/{n} = 5.75; 1.5 + {25.5}/{n} = 5.75$;
${25.5}/{n} = 4.25; n = {25.5}/{4.25} = 6. S_n = 2.875 · 6 = 17.25, S_n - 12 = 17.25 - 12 = 5.25$.
Задача 8
В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму $18$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.
Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит $7{,}74$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на сентябрь каждого года, последующего за годом взятия кредита, становится меньше долга на сентябрь предыдущего года на сумму ${18} / n$. Согласно условию, последовательность долгов на сентябрь в млн рублей по годам имеет вид : 18; $18-{18} / {n}=18⋅{n-1} / {n}$; $18-2⋅{18} / {n}=18⋅{n-2} / {n}$; ... ; $18⋅{1} / {n}$. 2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита, долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года. Пусть $d$ -- долг, который образуется в конце предыдущего года. В январе последующего года он станет равным $d+d⋅{2{,}5} / {100}$. Согласно условию, к сентябрю этого года он должен стать равным $d-{18} / {n}$. Поэтому в этом году необходимо выплатить сумму $(d+d⋅{2{,}5} / {100})-(d-{18} / {n})=d⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$. Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ;x_n $ выплат по годам в млн рублей : $x_1=18⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; $x_2=18⋅{n-1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; $x_3=18⋅{n-2} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; ... ; $x_n=18⋅{1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$. Как видим, последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; … $x_n $ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n={x_1+x_n} / {2}⋅ n$. Согласно условию получаем: $S_n={7{,}74} / {2}⋅ n=3{,}87⋅ n$. 3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1+x_n=7{,}74$: $18⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}+18⋅{1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}=7{,}74$; $18⋅{2{,}5} / {100}(1+{1} / {n})+{36} / {n}=7{,}74$; $0{,}45+{36{,}45} / {n}=7{,}74$; ${36{,}45} / {n}=7{,}29$; $n={36{,}45} / {7{,}29}=5$. $S_n=3{,}87⋅ 5=19{,}35$.
Задача 9
В августе $2017$ года планируется взять кредит на $S$ млн рублей, где $S$ — целое число, на $4$ года. Условия его возврата таковы: — каждый февраль долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; — в августе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Год | $2017$ | $2018$ | $2019$ | $2020$ | $2021$ |
| Долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}3S$ | $0$ |
Найдите наименьшее целое $S$, чтобы общая сумма выплат была больше $5$ млн рублей.
Решение
В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.
С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.
2018 г: $1.25S - P_1 = 0.8S$;
2019 г: $1.25⋅0.8S - P_2 = 0.5S$;
2020 г: $1.25⋅0.5S - P_3 = 0.3S$;
2021 г: $1.25⋅0.3S - P_4 = 0$.
Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) - S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 - 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.
Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).
Задача 10
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет.
$- $В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $10%$ по сравнению с началом года.
$- $В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.
$- $В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $10$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.1S$, то за три года он выплатит $0.1S · 3 = 0.3S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.1S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.1S - x$, а в середине 5-го года долг равен $1.1(1.1S - x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.1(1.1S - x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.1(1.1S - x) = x, 2.1x = 1.21S, x = {121}/{210} S$.
Общий размер выплат равен ${3}/{10}S + {121}/{210} S + {121}/{210} S = {61}/{42} S$.
По условию ${61}/{42} S > 10, S > 6{54}/{61}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 7$. Наименьший размер кредита составляет $7$ млн рублей.
Задача 11
В начале года Пётр взял в банке кредит $3{,}6$ млн рублей с процентной ставкой $10%$ годовых на $3$ года с погашением кредита по следующей схеме:
— в начале года банк увеличивает долг на $10%$;
— выплаты производятся в конце каждого года;
— каждая следующая выплата на $10%$ больше предыдущей.
Сколько рублей переплатил Пётр банку, погасив свой кредит по указанной схеме за три года?
Решение
Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда
$1.1a - b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;
$1.1b - b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;
$1.1c - b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;
Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:
$a = {b_1}/{1.1} + {b_2}/{1.21} + {b_3}/{1.331} = {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} = {3b_1}/{1.1}$, поэтому $b_1 = {1.1a}/{3}$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = {1.1 ·3600}/{3} = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 - 3600 = 769.2$ тыс. рублей.
Задача 12
Вклад в размере $5$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $20 %$ по сравнению с его значением в начале года. Кроме того, в середине первого и второго годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $P$ млн руб., где $P$ — целое число. Найдите наименьшее значение $P$, при котором банк за $4$ года начислит на вклад больше $8$ млн рублей.
Решение
При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в ${100+20} / {100}=1{,}2$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($1{,}2⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)⋅ 1{,}2^2>5+2P+8$. $(7{,}2+2{,}2P)⋅ 1{,}44>13+2P$, $1{,}168P>2{,}632$, $P>{2632} / {1168}$, $P>2{296} / {1168}$. Наименьшее целое $P$ равно $3$.
Задача 13
В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн руб.) | $N$ | $0{,}6N$ | $0{,}4N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
Решение
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N - 0.6N; 0.72N - 0.4N; 0.48N - 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.
По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Задача 14
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $11$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}265$ млн рублей.
Решение
Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ${11} / {10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $r%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $({11} / {10}+{11} / {10}⋅ {r} / {100})$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1{,}265$ млн рублей. ${11} / {10}(1+{r} / {100})⩾ 1{,}265$, $1+{r} / {100}⩾ 1{,}15$, $r⩾ 15$. Наименьшая возможная ставка — $15%$.
Задача 15
Две сестры открыли вклады одинакового размера в одном из банков на три года. В конце первых двух лет банк увеличивал каждый вклад на $10 %$, а в конце третьего года — на $5 %$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале второго и третьего годов младшая сестра ежегодно пополняла вклад на $x$ тысяч рублей, где $x$ — натуральное число. Старшая сестра пополняла свой вклад только в начале третьего года, но на сумму $2x$ тыс. рублей. Найдите наименьшее значение $x$, при котором через три года на счету младшей сестры стало на чётное число тысяч рублей больше, чем у старшей.
Решение
Обозначим первоначальный вклад $S$ тыс. рублей. В конце первого года вклад старшей сестры составит $1.1S$ тыс. рублей, в конце второго — $1.21S$ тыс. рублей, а в конце третьего — $(1.21S + 2x) · 1.05$ тыс. рублей.
В конце первого года вклад младшей сестры составит $1.1S$ тыс. рублей, в конце второго — $(1.1S + x) · 1.1$ тыс. рублей, а в конце третьего — $(1.1(1.1S + x) + x) · 1.05$ тыс. рублей.
Через три года размеры сумм на счетах сестёр различались на чётное число тысяч рублей, обозначим это число $2k$, где $k$ — целое число. По условию, нужно найти наименьшее натуральное число $x$, при котором будет выполняться уравнение
$(1.1(1.1S + x) + x) · 1.05-(1.21S + 2x) · 1.05 = 2k$, где $k$ — целое число.
$1.05(1.21S + 2,1x - (1.21S + 2x)) = 2k, 1.05(0.1x) = 2k, 2k = 0.105x, k = {105x}/{2000} = {21x}/{400}$.
$k$ — целое число, поэтому $x$ должно делиться на $400$. Наименьшее натуральное $x$ равно $400$.
Задача 16
В июне $2022$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом в июне;
— с февраля по $31$ мая каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму планируют взять кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат будет больше суммы взятого кредита на $20295$ рублей.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.
В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 - x)·1.125 - x$ рублей.
Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.125 - x)·1.125 - x)1.125 - x = 0$;
$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8^2·9 + 8^3} = {K·729}/{8·217}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;
${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;
$K = 45·1736=78120$
Задача 17
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S - x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S - x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S - x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.2(1.2S - x) = x, 2.2x = 1.44S, x = {144}/{220} S={36}/{55}S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+{36}/{55}S + {36}/{55} S = {21}/{11} S$.
По условию ${21}/{11} S > 20, S > 10{10}/{21}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Задача 18
Вклад планируется открыть на $3$ года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 %$ по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на $1$ млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада (в млн рублей), при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад был $N$ миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10%$, то есть в $1{,}1$ раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце $1$-го года: $N⋅ 1{,}1=1{,}1N$.
В конце $2$-го года: $(1{,}1N+1)⋅ 1{,}1=1{,}21N + 1{,}1$.
В конце $3$-го года: $(1{,}21N+1{,}1+1)⋅ 1{,}1=1{,}331N + 2{,}31$.
Найдём наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
$1{,}331N + 2{,}31>5$,
$1{,}331N>2{,}69$, $N>2{28} / {1331}$.
По условию $N$ — целое число, значит, $3$ миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.
Задача 19
Марина и Надежда открыли вклады одинакового размера в одном из банков на четыре года. В конце первых трёх лет банк увеличивал каждый вклад на $10 %$, а в конце четвёртого года — на $12 %$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов Марина ежегодно пополняла вклад на $x$ рублей, где $x$ — натуральное число. Надежда пополняла свой вклад только в начале третьего года, но на сумму $2x$ рублей. Найдите наименьшее значение $x$, при котором через четыре года на счету Надежды стало на целое число десятков рублей больше, чем у Марины.
Решение
Обозначим первоначальный вклад $S$ рублей. В конце первого года вклад Надежды составит $1.1S$ рубля, в конце второго — $1.21S$ рубля, в конце третьего — $(1.21S + 2x) · 1.1$ рубля, а в конце четвёртого — $(1.21S + 2x) · 1.1 · 1.12$ рубля.
В конце первого года вклад Марины составит $1.1S$ рубля, в конце второго — $1.21S$ рубля, в конце третьего — $(1.21S + x) · 1.1$ рубля, а в конце четвёртого — $((1.21S + x) · 1.1 + x) · 1.12$ рубля.
Через четыре года размеры сумм на счетах Надежды и Марины различались на целое число десятков рублей, обозначим это число $10k$, где $k$ — целое число. По условию, нужно найти наименьшее натуральное число $x$, при котором будет выполняться уравнение
$(1.21S + 2x) · 1.1 · 1.12 - ((1.21S + x) · 1.1 + x) · 1.12 = 10k$, где $k$ — целое число.
$1.12(1.331S + 2,2x - (1.331S + 2.1x)) = 10k, 1.12(0.1x) = 10k, 10k = 0.112x, k = {112x}/{10000} = {7x}/{625}$.
$k$ — целое число, поэтому $x$ должно делиться на $625$. Наименьшее натуральное $x$ равно $625$.
Задача 20
Первого июля был взят кредит в банке на сумму $394400$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом на первое июля;
— с первого января по $30$ июня каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят «на четыре года равными платежами с $12{,}5$ процентами годовых»).
Чему будет равна переплата по кредиту в рублях после полного погашения кредита?
Решение
В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5%$ и станет равным $394 400·1.125$. Пусть $x$ - сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394 400·1.125 - x$ рублей.
В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей.
Первого июля третьего года долг составит $(394 400·1.125-x)·1.125-x$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен
$(((394 400·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:
$(((394 400·1.125 - x)·1.125 - x)·1.125 - x)·1.125 - x = 0$;
$394 400·(1.125)^4 - x((1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1) = 0$;
$x = {394 400·(1.125)^4}/{(1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
$x = {394 400·(1.125)^4}/{{(1.125)^4 - 1}/{1.125 - 1}} = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 - 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, а $0.125 = {1}/{8}$, поэтому
$x = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 - 1} = {394 400·9^4·8^4}/{8^4·8·(9^4 - 8^4)} = {394 400·6561}/{8·(6561 - 4096)}$;
$x = {394 400·6561}/{8·2465} = {394 400·6561}/{19720} = 20·6561 = 131 220$.
Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4·131 220 = 524 880$.
Сумма переплат по кредиту равна $524 880- 394 400 = 130 480$ рублей.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
