1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $140 000(1 + {r}/{100})$ рублей. После выплаты $87 000$ рублей долг станет равным $140 000 (1 + {r}/{100}) - 87 000$ рублей.

2. После увеличения в конце второго года на $r%$ долг станет равным $(140 000(1 + {r}/{100}) - 87 000)(1 + {r}/{100})$ рублей. А после выплаты $63 000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(140 000(1 + {r}/{100}) - 87 000)(1 + {r}/{100}) - 63 000 = 0$.

3. Пусть $(1 + {r}/{100}) = x$. Тогда уравнение принимает вид: $(140 000x- 87 000)x - 63 000 = 0$;

$140 000x^2 - 87 000x - 63 000 = 0; 140x^2 - 87x - 63 = 0$

По формуле корней квадратного уравнения получаем

$x_{1,2} = {87±√{7569 + 35280}}/{280} = {87±√{42 849}}/{280} = {87±207}/{280}$.

$x_1 = {87 - 207}/{280} < 0$, что невозможно по условию.

$x_2 = {87 + 207}/{280} = {294}/{280} = 1{14}/{280} = 1 + {1}/{20} = 1 + {5}/{100}$.

Отсюда, $(1 + {r}/{100}) = 1 + {5}/{100}, r = 5$.

1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $150000(1+{r} / {100})$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000(1+{r} / {100})-95000$ рублей.

2. После увеличения в конце года на $r%$ долг станет равным $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})-77000=0$.

3. Пусть $(1+{r} / {100})=x$.

Тогда уравнение принимает вид: $(150000x-95000)x-77000=0$; $150000x^2-95000x-77000=0$; $150x^2-95x-77=0$

По формуле корней квадратного уравнения получаем: $x_{1,2}={95±√ {9025+46200}} / {300}={95±√ {55225}} / {300}={95±235} / {300}$.

$x_1={95-235} / {300}<0$, что невозможно по условию. $x_2={95+235} / {300}={330} / {300}=1{1} / {10}=1+{10} / {100}$. Отсюда, $(1+{r} / {100})=1+{10} / {100}$, $r=10$.

1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.

В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 - x)·1.125 - x$ рублей.

Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:

$((K·1.125 - x)·1.125 - x)1.125 - x = 0$;

$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.

Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8^2·9 + 8^3} = {K·729}/{8·217}$;

Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.

Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;

${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;

$K = 45·1736=78120$

1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.

В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 - x)·1.08 - x$ рублей.

Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:

$((K·1.08 - x)·1.08 - x)1.08 - x = 0$;

$1.08^3K - 1.08^2·x - 1.08x - x = 0$.

$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.

Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;

Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.

Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;

${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;

$K = 50 725$

1. Пусть $n$ - число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:

$12; 12 - {12}/{n} = 12·{n - 1}/{n}; 12 - 2·{12}/{n} = 12·{n - 2}/{n}; ... ; 12·{1}/{n}$.

2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.

Пусть $d$ - долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.

Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d - {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) - (d - {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.

Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :

$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_2 = 12 · {n - 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_3 = 12 · {n - 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

... ;

$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.

Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.

3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:

$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;

$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.

1. Пусть $n$ - число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на октябрь месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на октябрь предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на октябрь месяц в млн рублей по годам имеет вид:

$12; 12 - {12}/{n} = 12·{n - 1}/{n}; 12 - 2·{12}/{n} = 12·{n - 2}/{n}; ... ; 12·{1}/{n}$.

2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего года.

Пусть $d$ - долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.

Согласно условию к октябрю этого года он должен стать равным $d - {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {12.5}/{100}) - (d - {12}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {12}/{n}$.

Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :

$x_1 = 12 · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_2 = 12 · {n - 1}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_3 = 12 · {n - 2}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$;

... ;

$x_n = 12 · {1}/{n} · {12.5}/{100} + {12}/{n}$.

Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; ... ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.

3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 5.75$:

$12·{12.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {12}/{n} = 5.75; 1.5 + {25.5}/{n} = 5.75$;

${25.5}/{n} = 4.25; n = {25.5}/{4.25} = 6. S_n = 2.875 · 6 = 17.25, S_n - 12 = 17.25 - 12 = 5.25$.

При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в ${100+20} / {100}=1{,}2$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($1{,}2⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)⋅ 1{,}2^2>5+2P+8$. $(7{,}2+2{,}2P)⋅ 1{,}44>13+2P$, $1{,}168P>2{,}632$, $P>{2632} / {1168}$, $P>2{296} / {1168}$. Наименьшее целое $P$ равно $3$.

Долг уменьшался равномерно 10 лет на $x$ млн руб. ежегодно. Тогда $6 - 10 · x = 0, x = 0.6$.

Каждый год долг уменьшался на $0.6$ млн рублей. Ниже приведена таблица за 10 лет.

Последний платёж по условию не меньше $0.684$ млн. руб.

$0.6 · (1 + 0.01p) ≥ 0.684$,

$1 + 0.01p ≥ 1.14$,

$p ≥ 14.$

Наименьшая ставка $p = 14%.$

Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ${11} / {10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $r%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $({11} / {10}+{11} / {10}⋅ {r} / {100})$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1{,}265$ млн рублей. ${11} / {10}(1+{r} / {100})⩾ 1{,}265$, $1+{r} / {100}⩾ 1{,}15$, $r⩾ 15$. Наименьшая возможная ставка — $15%$.

1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на сентябрь каждого года, последующего за годом взятия кредита, становится меньше долга на сентябрь предыдущего года на сумму ${18} / n$. Согласно условию, последовательность долгов на сентябрь в млн рублей по годам имеет вид : 18;   $18-{18} / {n}=18⋅{n-1} / {n}$;   $18-2⋅{18} / {n}=18⋅{n-2} / {n}$;    ...  ;   $18⋅{1} / {n}$. 2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита, долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года. Пусть $d$ -- долг, который образуется в конце предыдущего года. В январе последующего года он станет равным $d+d⋅{2{,}5} / {100}$. Согласно условию, к сентябрю этого года он должен стать равным $d-{18} / {n}$. Поэтому в этом году необходимо выплатить сумму $(d+d⋅{2{,}5} / {100})-(d-{18} / {n})=d⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$. Отсюда получается последовательность $x_1;  x_2;  x_3;  ...  ;x_n $ выплат по годам в млн рублей : $x_1=18⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; $x_2=18⋅{n-1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; $x_3=18⋅{n-2} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$; ... ; $x_n=18⋅{1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}$. Как видим, последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; … $x_n $ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n={x_1+x_n} / {2}⋅ n$. Согласно условию получаем: $S_n={7{,}74} / {2}⋅ n=3{,}87⋅ n$. 3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1+x_n=7{,}74$: $18⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}+18⋅{1} / {n}⋅{2{,}5} / {100}+{18} / {n}=7{,}74$;  $18⋅{2{,}5} / {100}(1+{1} / {n})+{36} / {n}=7{,}74$; $0{,}45+{36{,}45} / {n}=7{,}74$; ${36{,}45} / {n}=7{,}29$; $n={36{,}45} / {7{,}29}=5$. $S_n=3{,}87⋅ 5=19{,}35$.

Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r} / {100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS - x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 - x = q^2S - (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 - x = q^3S - (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 - x = q^4S - (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S - {(q^4 - 1)x} / {q - 1}$. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S - (q + 1)x_2 = 0$, $S = {(q + 1)x_2} / {q^2}$. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S - {(q^4 - 1)x_4} / {q - 1} = 0$, $S = {(q^4 - 1)x_4} / {q^4(q - 1)}$. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
${(q + 1)x_2} / {q^2} = {(q^4 - 1)x_4} / {q^4(q - 1)}$, $q^2 = {x_4} / {x_2 - x_4}$. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = {50000} / {82000 - 50000} = {25} / {16}$, $q = {5} / {4} = 1{,}25$, $r = 25 %$.

В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.

С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.

2018 г: $1.25S - P_1 = 0.8S$;

2019 г: $1.25⋅0.8S - P_2 = 0.5S$;

2020 г: $1.25⋅0.5S - P_3 = 0.3S$;

2021 г: $1.25⋅0.3S - P_4 = 0$.

Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.

$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;

$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) - S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 - 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.

Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).

Обозначим первоначальный вклад $S$ тыс. рублей. В конце первого года вклад старшей сестры составит $1.1S$ тыс. рублей, в конце второго — $1.21S$ тыс. рублей, а в конце третьего — $(1.21S + 2x) · 1.05$ тыс. рублей.

В конце первого года вклад младшей сестры составит $1.1S$ тыс. рублей, в конце второго — $(1.1S + x) · 1.1$ тыс. рублей, а в конце третьего — $(1.1(1.1S + x) + x) · 1.05$ тыс. рублей.

Через три года размеры сумм на счетах сестёр различались на чётное число тысяч рублей, обозначим это число $2k$, где $k$ — целое число. По условию, нужно найти наименьшее натуральное число $x$, при котором будет выполняться уравнение

$(1.1(1.1S + x) + x) · 1.05-(1.21S + 2x) · 1.05 = 2k$, где $k$ — целое число.

$1.05(1.21S + 2,1x - (1.21S + 2x)) = 2k, 1.05(0.1x) = 2k, 2k = 0.105x, k = {105x}/{2000} = {21x}/{400}$.

$k$ — целое число, поэтому $x$ должно делиться на $400$. Наименьшее натуральное $x$ равно $400$.

Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда

$1.1a - b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;

$1.1b - b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;

$1.1c - b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;

Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:

$a = {b_1}/{1.1} + {b_2}/{1.21} + {b_3}/{1.331} = {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} = {3b_1}/{1.1}$, поэтому $b_1 = {1.1a}/{3}$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = {1.1 ·3600}/{3} = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 - 3600 = 769.2$ тыс. рублей.

По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен

$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N - 0.6N; 0.72N - 0.4N; 0.48N - 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.

Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.

По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.

Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.