а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$cos(x + 3π)=-cosx,$ тогда

$4cos^2x - 10 cos x + 4 = 0$

Обозначим $cos x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, сократим на 2, тогда получим

$2t^2 -5t + 2 = 0.$

$t_1 = {5 + 3}/{2·2} = 2$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1$

$t_2 = {5 - 3}/{2· 2} = {1}/{2}$.

Вернёмся к исходной переменной: $cos x = {1}/{2}$,

$x = ±{π}/{3} + 2πn, n ∈ Z.$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{3π}/{2};0]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим число $-{π}/{3}$.

Ответ: а) $x = ±{π}/{3} + 2πn, n ∈ Z$; б) $-{π}/{3}$

а) Преобразуем уравнение:

${2cos2x⋅sin2x}/{2} = cos2x$

${cos2x⋅sin2x} = cos2x$

${cos2x⋅sin2x} - cos2x = 0$

${cos2x}⋅({sin2x} - 1) = 0$

Отсюда либо ${cos2x} = 0$, либо ${sin2x} = 1$

1. ${cos2x} = 0$; ${2x} = {π}/{2}+{πk}, k∈Z $; ${x} = {π}/{4}+{πk}/{2}: k∈Z $ - от точки ${π}/{4}$ шагаем по 90°

2. ${sin2x} = 1$; ${2x} = {π}/{2}+{2πk}, k∈Z$; ${x} = {π}/{4}+{πk}: k∈Z $ - содержится в предыдущей серии решений

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку $[{-π}/{2};{π}]$ с помощью единичной окружности:

$x_1 = {0}-{π}/4 =-{π}/4 $

$x_2 = {0}+{π}/4 ={π}/4 $

$x_3 = {π}-{π}/4 ={3π}/4$

Ответ: а) ${x} = {π}/{4}+{πk}/{2}, k∈Z $ б)$-{π}/4;{π}/4;{3π}/4$

a) Преобразуем уравнение:

$cosx(cos^{2}x - 1) + 3(cos^{2}x - 1)=0$

$(cosx + 3)(cos^{2}x - 1)=0$

$\[\table\cos{x}= -3 - нет, решений; \cos^{2}x = 1;$

$\[\table\cos{x}= 1 ; \cos{x }= -1;$

$x=πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{4π};{5π}]$, найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $4π$ и $5π$

Ответ: а) $x=πk, k ∈ Z; $ б) ${4π};{5π}$

a) Преобразуем уравнение:

$2cos^3x + cos^2{x} – 2cosx-1=0$

$cos^2x⋅(2cosx+1) – (2cosx +1)=0$

$(cos^2x – 1)⋅(2cosx +1)=0$

$Отсюда:$

$\[\table\cos^2x=1; \cosx = -{1}/{2};$

$\[\table\x= πk, k∈Z; \x = ±{2π}/{3}+2πk, k∈Z; $

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $(0;{π}]$ с помощью единичной окружности:

Получим числа ${2π}/{3}$ и ${π}. $

Ответ: а) $ x= πk, x = ±{2πk}/{3}, k ∈ Z$; б) ${2π}/{3} , {π}$.

a) $sin^{2}x = 2cos(2x)+3$,

$sin^{2}x =2(1-2sin^{2}x)+3$,

$sin^{2}x =2-4sin^{2}x+3$,

$5sin^{2}x =5$,

$sin^{2}x=1, \[\table\sinx=1; \sinx=-1;$ $\[\table\x={π}/{2}+2πk, k ∈ Z; \x=-{π}/{2}+2πk, k ∈ Z;$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$, найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежат числа $-{π}/{2}, {π}/{2}$.

Ответ: а) $-{π}/{2}+2πk, k ∈ Z;{π}/{2}+2πk, k ∈ Z$; б) $-{π}/{2}, {π}/{2}$

а)Решим уравнение:

$ log_26(2-x) = log_676{x^4} $

$ log_26(2-x) = log_26{x^2} $

$ \{\table\ 2-x = x^2 ;\ x ≠ 0 $

$ \{\table\ x^2 + x-2=0 ;\ x ≠ 0$

$\ [\table\ x = -2;\ x = 1 $

б) Корни, принадлежащие отрезку $ [log_5{π}; log_5{28}] $ , найдём с помощью числовой прямой.

Представим числа в виде логарифмов по основанию 5:

$ {\[\table\ x = -2; \ x = 1 } ⇔ {\[\table\ x = log_5{1/25};\ x = log_5{5}} $

Получим, что на заданном промежутке лежит только $ 1 $.

Ответ: а) $ x= -2; x= 1; б) 1 $.

а) $sinx≠0, x≠πk$

Пусть $ p =1/{sin{x}} $, тогда имеем:

$ p^2 – p – 2 = 0 $

$ p_1 = -1; p_2 = 2$

Вернемся к исходной переменной:

$ 1/{sin{x}}= -1; 1/{sin{x}}= 2$

$ {sin{x}}= -1; {sin{x}}= 1/2$

$ [\table\ x= {π}/{6}+2πk, k ∈ Z ; \ x= {5π}/{6}+2πk, k ∈ Z ; \ x= {3π}/{2}+2πk, k ∈ Z $

Объединим серии и получим, что $ x= {π}/{6}+{2πk}/3, k ∈ Z $

б) Корни, принадлежащие отрезку $ [-{3π}/2; 0) $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $ -{7π}/{6},-{π}/{2} $.

Ответ: а) $ x= {π}/{6}+{2πk}/3, k ∈ Z; б) -{7π}/{6},-{π}/{2} $.

a) Преобразуем уравнение:

$cosx = sinx$

$cosx = sinx | : cosx ≠ 0 $

$tgx = 1$

$x ={π}/{4} + πk, k ∈ Z$

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{-π};{π}/{2}]$ с помощью единичной окружности:

Получим числа ${-3π}/{4}, {π}/{4}. $

Ответ: а) $x={π}/{4}+πk, k ∈ Z$ б) $-{3π}/{4}, {π}/{4}$

a) Преобразуем уравнение:

$2sin^{2}{x} - √{3}sinx=0$

$(2sinx- √{3})sinx=0$

$\[\table\sinx=0; \sinx=√{3}/2;$

$\[\table\x=πk, k ∈ Z; \x={π}/{3}+2πk, k ∈ Z; \x={2π}/{3}+2πk, k ∈ Z;$

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{2π};{3π}]$ с помощью тригонометрической окружности:

Получим числа ${2π},{7π}/{3},{8π}/{3},{3π}. $

$x_1 = {2π}$

$x_2 = {2π} +{π}/{3} = {7π}/{3}$

$x_3 = {3π} -{π}/{3} = {8π}/{3}$

$x_4 = {3π}$

Ответ: а) $x=πk, x={π}/{3}+2πk, x={2π}/{3}+2πk, k ∈ Z$ б) ${2π},{7π}/{3},{8π}/{3},{3π}. $

а) Упростим выражение:

$ 25^{cosx} + 5^{{2cosx}/2} - 2 = 0 ⇔ 25^{cosx} + 5^{cosx} - 2 = 0 $

Пусть $5^{cosx} = t$, при $t >0$, тогда имеем:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

$ \[\table\ t = 1; t = -2 $

Так как $t=- 2$ не удовлетворяет ограничениям, имеем $t=1$

Вернемся к исходной переменной:

$ 5^{cosx} = 1 ⇔ 5^{cosx} = 5^{0} $

$ cos{x} = 0 ⇔ x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [{π}/2; {π}] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим ${π}/2.$

Ответ: $ а) x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; б) {π}/2 $.

а) $ 1/{{cos}^2{x}} - 2/{cos{x}} = 0 | · {cos}^2{x} ≠ 0 $

$ 1 – 2cos(x) = 0 $

$ cos{x} = 1/2 $

$x= ± {π}/{3}+2πk, k ∈ Z $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [{3π}/2; 3π] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $ {5π}/{3},{7π}/{3} $.

Ответ: а)$ x= ± {π}/{3}+2πk, k ∈ Z; б) {5π}/{3},{7π}/{3}$.

а) Упростим выражение:

$ 16^{cosx} + 16^{{cosx}/2} - 2 = 0 ⇔ 4^{2⋅{cosx}} + 4^{cosx} - 2 = 0 $

Пусть $4^{cosx} = t$, при $t >0$, тогда имеем:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

$ \[\table\ t = 1; t = -2 $

Так как $t=-2$ не удовлетворяет ограничению, имеем $t=1$

Вернемся к исходной переменной:

$ 4^{cosx} = 1 ⇔ 4^{cosx} = 4^{0} $

$ cos{x} = 0 ⇔ x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [0.5{π}; 1.5{π}] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа ${π}/2$ и ${3π}/2.$

Ответ: $а) x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; б) {π}/2, {3π}/2 $.

а) Применим формулы приведения и разложим на множители :

$ 2{sin}^2x – sin(2x) = 0 $

$ 2{sin}^2x - 2sin{x}cos{x} = 0 $

$ 2sinx · (sin{x} - cos{x}) = 0 $

$ \[\table\sinx=0; \ {sin{x} = cos{x} |: cos{x} ≠ 0}; $

$ \[\table\sin{x}=0; \ tg{x} =1 ; $

$ \[\table\x = πk, k ∈ Z; x = {π}/4 + πk, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ (0;{3π}/2) $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $ {π}/{4},{π},{5π}/{4} $.

Ответ: а) $ x=πk, x={π}/{4}+πk, k ∈ Z$; б) ${π}/{4},{π},{5π}/{4}$.

$2√{x^2-8x+15}+x^2=8x$

$2√{x^2-8x+15}+x^2-8x=0$

Чтобы заменить подкоренное выражение нужно к правой и левой части прибавить 15

$2√{x^2-8x+15}+x^2-8x+15=15$

Введем новую переменную: $t=√{x^2-8x+15}$, $t≥0$

$2t+t^2=15$

$t^2+2t-15=0$

Корни этого уравнения $t=3$, $t=-5$. Корень $t=-5$ не соответствует условию $t≥0$

Обратная замена: $√{x^2-8x+15}=3$

$x^2-8x+15=9$

$x^2-8x+6=0$

$x=4±√{10}$

Ответ: $4±√{10}$

a) ${sin 2x}/{cos(x + {π}/{2})} = √3$.

Применим формулу синуса двойного аргумента $sin2x = 2sinxcosx$ и формулу приведения $cos ({π}/{2} + x) = -sin x$.

Уравнение примет вид: ${2 sin x cos x}/{-sin x} = √3$.

Учитывая, что $sin x ≠ 0, x ≠ πk, k ∈ Z$, получим: $2 cos x = -√3$,

$cos x = -{√3}/{2}, x = ±{5π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{5π}/{2}; 4π)$, с помощью числовой окружности.

$x = 3π - {π}/{6} = {17π}/{6}$,

$x = 3π + {π}/{6} = {19π}/{6}$.