Задание 13. Уравнения. ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 2 балла. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 45.3%
Ответом к заданию 13 по математике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Что нужно знать, чтобы решить задание 13:

В задании требуется решить уравнение одного из видов: тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, которое может содержать в себе несколько видов, например, логарифмы и тригонометрию. После решения уравнения, часто необходимо отобрать корни, которые принадлежат определенному промежутку.

Задачи для практики

Задача 1

а) Решите уравнение $11\cos 2x=7\sin (x-{π} / {2})-9$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-π;0]$.

Решение

а) $11\cos 2x=7\sin (x-{π} / {2})-9$,

$11(2\cos^2 x-1)=-7\cos x-9$,

$22\cos^2 x -11+7\cos x +9=0$,

$22\cos^2 x+7\cos x -2=0$.

Обозначим $\cos x=t$, $|t|⩽1$.

Тогда уравнение примет вид: $22t^2+7t-2=0$.

Решим его. $22t^2+7t-2=0$,

$D=49+2⋅ 4⋅ 22=225$. $t_{1,2}={-7±15} / {44}$,

$t_1=-{1} / {2}$, $t_2={8} / {44}={2} / {11}$.

$1$. $\cos x=-{1} / {2}$, $x=±(π-{π} / {3})+2π n$;

$x=± {2π} / {3}+2π n$, $n∈ Z$.

$2$. $\cos x={2} / {11}$, $x=± \arccos {2} / {11}+2π k$, $k∈ Z$.

б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-π;0]$.

$x_1=-π+{π} / {3}=-{2π} / {3}$

$x_2=-\arccos {2} / {11}$.

Ответ: а)$± {2π} / {3}+2πn, n∈ Z; ± \arccos {2} / {11}+2π k, k∈ Z;б)-{2π}/{3}, -arccos{2}/{11}$
Показать решение

Задача 2

а) Решите уравнение $2 sin^2 x - 7 cos(x + {π}/{2})- 4 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-2π;-{π}/{2}]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$cos(x+{π}/{2})=-sinx,$

$2sin^2x + 7sinx -4 = 0$

Обозначим $sin x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим

$2t^2 + 7t -4 = 0.$

$t_1 = {−7 − 9}/{2·2} = −4$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. $

$t_2 = {−7 + 9}/{2·2} = {1}/{2}$.

Вернёмся к исходной переменной:

$sinx ={1}/{2}$,

$x = {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$

$x = {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-2π; -{π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим: ${π}/{6}-2π=-{11π}/{6}; {5π}/{6}-2π=-{7π}/{6}$.

Ответ: а) $ {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$; $ {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$ б) $-{11π}/{6};-{7π}/{6}$
Показать решение

Задача 3

а) Решите уравнение $2 cos^2 x - 5 sin(x + {3π}/{2})+ 2 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[{π}/{2};{3π}/{2}]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$sin(x+{3π}/{2})=-cosx,$

$2cos^2x + 5 cos x + 2 = 0$

Обозначим $cos x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим $2t^2 + 5t + 2 = 0. t_1 = {−5 − 3}/{2·2} = −2$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. t_2 = {−5 + 3}/{2· 2} = −{1}/{2}$.

Вернёмся к исходной переменной: $cos x = − {1}/{2}$,

$x = ±(π − {π}/{3}) + 2πn, n ∈ Z , x = ±{2π}/{3} + 2πn, n ∈ Z.$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{π}/{2}; {3π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа ${2π}/{3}; {4π}/{3}$.

Ответ: а)$±{2π}/{3}+2πn,n∈Z;$ б) ${2π}/{3};{4π}/{3}$
Показать решение

Задача 4

а) Решите уравнение $cos(x - {3π}/{2})= sin 2x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{3π}/{2};0]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение:

$−sin x = sin 2x,$

$sinx + 2 sin x cos x = 0,$

$sinx(1 + 2 cos x) = 0,$

$sin x = 0;x = πn, n ∈ Z,$

$cosx = -{1}/{2}; x = ±{2π}/{3} + 2πk, k ∈ Z .,$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{3π}/{2};0]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа $−{4π}/{3}; −π; −{2π}/{3}; 0$.

Ответ: а) $x=±{2π}/{3}+2πk;x=πn,k,n∈Z$ б) $-{4π}/{3};-π;-{2π}/{3};0$.
Показать решение

Задача 5

а) Решите уравнение $sin({π}/{2}+ x)= sin (-2x)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0; π]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение:

$cos x = − sin 2x,$

$cos x + 2 sin x cos x = 0,$

$cos x(1 + 2 sin x) = 0,$

$cos x = 0;$

$x = {π}/{2} + πn, n ∈ Z$

$sin x = −{1}/{2},$

$x = (−1)^{k+1}·{π}/{6} + πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[0; π]$, найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число ${π}/{2}$.

Ответ: а) ${π}/{2}+πn,n∈Z;(-1)^{k+1}{π}/{6}+πk,k∈Z$; б) ${π}/{2}$
Показать решение

Задача 6

а) Решите уравнение $sin x(2 sin x - 1) + √3 sin x + sin {4π}/{3}= 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{π}/{2};π]$.

Решение

а) Решим уравнение $sinx(2sinx-1) +√3sinx + sin{4π}/{3} = 0$.

Так как $sin{4π}/{3} = sin(π +{π}/{3}) = − sin{π}/{3} = −{√3}/{2}$, то уравнение примет вид $sin x(2 sin x-1) +√3 sin x-{√3}/{2} = 0$. Отсюда $2 sin x(sin x-{1}/{2})+ √3(sin x-{1}/{2}) = 0; (2sinx+√3)(sin x-{1}/{2}) = 0$.

Тогда $sin x = {1}/{2}; x = (−1)^n{π}/{6} + πn$ или $sin x = −{√3}/{2}; x = (−1)^{n+1}{π}/{3} + πn$, где $n ∈ Z.$

б) Корни, принадлежащие промежутку $[−{π}/{2}; π)$, найдём с помощью числовой окружности: $−{π}/{3}; {π}/{6}; {5π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn;(-1)^{n+1}{π}/{3}+πn,n∈Z$; б) $-{π}/{3};{π}/{6};{5π}/{6}$
Показать решение

Задача 7

а) Решите уравнение $4cos^{2}x = 3cos(2x) + 1$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-4π;-{5π}/{4})$.

Решение

a) $4cos^{2}x = 3cos(2x)+1$,

$4cos^{2}x = 3(2cos^{2}x-1)+1$,

$4cos^{2}x=6cos^{2}x-3+1$,

$cos^{2}x=1, \[\table\cosx=1; \cosx=-1;$ $\[\table\x=2πn, n ∈ Z; \x=π+2πk, k ∈ Z;$ $x=πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие промежутку $[-4π;-{5π}/{4})$, найдем из неравенства $-4π ≤ πk < -{5π}/{4}; k=-4, -3, -2$

$x_1=-4π, -x_2=-3π, x_3=-2π$.

Ответ: а)$πn,n∈Z$;б)$-4π;-3π;-π$
Показать решение

Задача 8

а) Решите уравнение $cos (2x) + 3 sin x - 2 = 0$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-3π;-π]$.

Решение

a) $cos(2x) + 3sinx-2=0$,

$1 - 2sin^{2}x + 3 sin x -2 = 0$,

$2 sin^{2}x - 3sin x +1 = 0$,

Пусть $sin x = y, |sinx| ≤ 1$, уравнение примет вид

$2y^2 - 3y + 1 = 0$,

$y_{1,2} = {3±√{9-8}}/{4} = {3±1}/{4};$

$ y_1=1, y_2={1}/{2}$.

$sin x = 1, x = {π}/{2}+2πn, n ∈ Z; sinx={1}/{2}, x=(-1)^{k}{π}/{6} + πk, k ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-3π;-π]$.

С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие $[-3π;-π]$.

Это числа $-{11π}/{6}, -{3π}/{2}, -{7π}/{6}$.

Ответ: а)${π}/{2}+2πn,n∈Z;(-1)^{k}{π}/{6}+πk,k∈Z$;б)$-{11π}/{6};-{3π}/{2};-{7π}/{6}$
Показать решение

Задача 9

а) Решите уравнение $2 cos^2 x + 19 sin x + 8 = 0$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-π;{π}/{2}]$.

Решение

a) $2 cos^{2}x + 19sinx+8=0$,

$2(1 - sin^{2}x) + 19 sin x +8 = 0$,

$-2 sin^{2}x + 19 sin x +10 = 0$,

$2 sin^{2}x - 19 sin x -10 = 0$.

Пусть $sin x = y, |y| ≤ 1$, уравнение примет вид $2y^2 - 19y -10 = 0$, решим его: $y_{1,2} = {19±√{361 + 80}}/{4} = {19±21}/{4}$.

$y_1 = 10$ или $y_2 = -{1}/{2}$. $y_1=10$ не удовлетворяет условию $|y| ≤ 1$. $sin x = -{1}/{2}, x = (-1)^{n+1}{π}/{6} + πn, n ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-π;{π}/{2}]$.

Это числа $-{5π}/{6}$ и $-{π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n+1}{π}/{6}+πn,n∈Z$; б) $-{5π}/{6},-{π}/{6}$
Показать решение

Задача 10

а) Решите уравнение $8sin x + 4 cos^2 x = 7$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-{3π}/{2};-{π}/{2}]$.

Решение

a) $8 sin x + 4 cos^{2} x = 7$,

$4(1 - sin^{2}x) + 8 sin x - 7 = 0$,

$-4 sin^{2}x + 8 sin x - 3 = 0$,

$4 sin^{2}x - 8 sin x + 3 = 0$.

Пусть $sin x = t, |t| ≤ 1$, уравнение примет вид $4t^2 - 8t + 3 = 0$, решим его: $t_{1,2} = {8±√{64 - 48}}/{8} = {8±√{16}}/{8} = {8±4}/{8} = 1±{1}/{2}$.

$t_1 = {1}/{2}$ или $t_2 = {3}/{2}$. $t_2$ не удовлетворяет условию $|t| ≤ 1$. $sin x = {1}/{2}, x = (-1)^{n}{π}/{6} + πn, n ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-{3π}/{2};-{π}/{2}]$.

Это число ${5π}/{6} - 2π = -{7π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn,n∈Z$;б)$-{7π}/{6}$
Показать решение

Задача 11

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin({3π}/{2}+ x)}= 1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(3π;{9π}/{2})$.

Решение

а) ${{sin2x}/{sin({3π}/{2} + x)} = 1$.

Зная, что $sin2x = 2sinxcosx$ и $sin({3π}/{2}+ x)= −cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{−cosx}= 1$, где $cosx≠0, x≠{π}/{2}+ πm, m ∈ Z$.

$−2sinx = 1, sinx =−{1}/{2}$.

$x=−{π}/{6}+2πn, n ∈ Z;$

$x=-{5π}/{6}+ 2πk, k ∈ Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(3π; {9π}/{2})$,с помощью числовой окружности.

$x_1=3π+{π}/{6}={19π}/{6}$,

$x_2=4π−{π}/{6}={23π}/{6}$.

Ответ: а)$-{π}/{6}+2πn,-{5π}/{6}+2πk,n,k∈Z$;б)${19π}/{6};{23π}/{6}$
Показать решение

Задача 12

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin(π - x)}= √2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$.

Решение

а)${sin2x}/{sin(π - x)}=√2$.

а) Применим формулу синуса двойного аргумента $sin2x = 2sinxcosx$ и формулу приведения $sin(π - x) = sin x$.

Уравнение примет вид: ${2sinxcosx}/{sinx} = √2$.

Учитывая, что $sinx≠0, x≠πn, n∈Z$, получим:

$2cosx=√2$,

$cosx = {√2}/{2}$,

$x = ±{π}/{4} + 2πk, k∈Z$;

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$, с помощью окружности.

$x_1=-2π+{π}/{4}=-{7π}/{4}$

$x_2=-2π-{π}/{4}=-{9π}/{4}$

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πk,k∈Z$;б)$-{9π}/{4};-{7π}/{4}$
Показать решение

Задача 13

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{cos(π + x)}= -√2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.

Решение

а)${sin2x}/{cos(π + x)}=-√2$.

Зная, что $sin2x = 2sinxcosx, cos(π + x)=-cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{-cosx}=-√2$.

Учитывая, что $cosx≠0, x≠{π}/{2} + πm, m∈Z$, имеем:

$2sinx=√2$,

$sinx = {√2}/{2}$,

$x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$;

$x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.

1. $x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$.

$-2π < {π}/{4} + 2πn < -{π}/{2},$

$-2 < {1}/{4} + 2n < -{1}/{2},$

$-2-{1}/{4} < 2n < -{1}/{2}-{1}/{4},$

$-{9}/{4} < 2n < -{3}/{4},$

$-{9}/{8} < n < -{3}/{8},$

$n = -1$.

При $n =-1$

$x = {π}/{4}-2π=-{7π}/{4}$.

2. $x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

$-2π < {3π}/{4} + 2πk < -{π}/{2}$,

$-2 < {3}/{4} + 2k < -{1}/{2}$,

$-2-{3}/{4} < 2k < -{1}/{2}-{3}/{4}$,

$-{11}/{4} < 2k < -{5}/{4}$,

$-{11}/{8} < k < -{5}/{8}$,

$k = -1$.

При $k = -1$

$x = {3π}/{4}-2π = -{5π}/{4}$.

Ответ: а)${π}/{4}+2πn,{3π}/{4}+2πk,n,k∈Z$;б)$-{7π}/{4};-{5π}/{4}$
Показать решение

Задача 14

а) Решите уравнение $9·3^{2 cos x} - 10√3·3^{cos x} + 3 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};4π]$.

Решение

а) После замены $t = 3^{cosx}$ исходное уравнение примет вид $9t^2 - 10√3t + 3 = 0$. Корни этого уравнения $t = √3; t = {√3}/{9}$. Возвращаясь к переменной $x$, получим

$\[\table\3^{cosx}=√3; \3^{cosx}={√3}/{9};$ $\[\table\3^{cosx}=3^{{1}/{2}}; \3^{cosx}=3^{-{3}/{2}};$ $\[\table\cosx={1}/{2}; \cosx=-{3}/{2};$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим $x =±{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x =-{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$ или $x ={π}/{3} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${3π}/{2}≤-{π}/{3}+2πn≤4π$ и ${3π}/{2}≤{π}/{3}+2πk≤4π$.

Получим ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}$ и ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.

Откуда следует, что два целых значения $n = 1$ и $n = 2$ удовлетворяют неравенству ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}; k = 1$ - единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.

При $n = 1$ $x = -{π}/{3} + 2π·1 = {5π}/{3}$.

При $n = 2$ $x = -{π}/{3} + 2π·2 = {11π}/{3}$.

При $k = 1$ $x = {π}/{3} + 2π·1 = {7π}/{3}$. Итак, ${5π}/{3}; {7π}/{3}; {11π}/{3}$ - корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{3π}/{2};4π]$.

Ответ: а)$x=±{π}/{3}+2πn,n∈Z$;б)${5π}/{3};{7π}/{3};{11π}/{3}$
Показать решение

Задача 15

а) Решите уравнение $log_2^2(2 sin x + 1) - 17 log_2(2 sin x + 1) + 16 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{π}/{4};2π]$.

Решение

а) После замены $t = log_2(2 sin x+1)$ исходное уравнение примет вид $t^2-17t+16 = 0$. Корни этого уравнения $t = 1, t = 16$. Возвращаясь к переменной $x$, получим:

$\[\table\log_2(2 sin x + 1) = 1; \log_2(2 sin x + 1) = 16;$ $\[\table\2 sin x + 1 = 2;; \2sin x + 1 = 2^{16};$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим: $sin x = {1}/{2}; x = (-1)^n{π}/{6} + πn; n ∈ Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x = {π}/{6} + 2πn; n ∈ Z$ или $x = {5π}/{6} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${π}/{4}≤{π}/{6}+2πn≤2π$ и ${π}/{4}≤{5π}/{6}+2πk≤2π$.

Получим: ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}$ и $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$, откуда следует, что нет целых значений $n$, удовлетворяющих неравенству ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}; k = 0$ - единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$.

При $k = 0$ $x = {5π}/{6} + 2π·0 = {5π}/{6}$. Итак, ${5π}/{6}$ - корень уравнения, принадлежащий отрезку $[{π}/{4};2π]$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn,n∈Z$;б)${5π}/{6}$
Показать решение

Задача 16

а) Решите уравнение $6 log_2^2(2 cos x) - 9 log_2(2 cos x) + 3 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$.

Решение

а) Решим уравнение $6log_2^2(2 cos x)-9 log_2(2 cos x)+3 = 0$. Обозначим $log_2(2 cos x) = t$ и решим получившееся квадратное уравнение.

$6t^2 - 9t + 3 = 0, t = {9±3}/{12}; t_1 = {1}/{2}; t_2 = 1$.

$\[\table\log_2(2 cos x) ={1}/{2}; \log_2(2 cos x) = 1;$ $\[\table\2 cos x = √2; \2 cos x = 2;$

$\[\table\cos x = {√2}/{2}; \cos x= 1;$ $\[\table\x = ±{π}/{4}+ 2π n; n ∊ Z; \x = 2πk; k ∊ Z;$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$, найдём с помощью числовой окружности:

$x_1 = -{π}/{4}; x_2 = 0; x_3 ={π}/{4}$.

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πn,n∈Z;2πk,k∈Z$;б)$-{π}/{4};0;{π}/{4}$
Показать решение

Задача 17

а) Решите уравнение $2log_2^2(2 sin x) - 3 log_2(2 sin x) + 1 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2}; 3π]$.

Решение

а) Решим уравнение $2log_2^2(2 sin x) - 3 log_2(2 sin x) + 1 = 0$. Обозначим $log_2(2 sin x) = t$ и решим получившееся уравнение. $2t^2 - 3t + 1 = 0, t = {3±1}/{4}; t_1 = 1; t_2 ={1}/{2}$

$\[\table\log_2(2 sin x) = 1; \log_2(2 sin x) ={1}/{2};$ $\[\table\2 sin x = 2; \2 sin x=√2;$

$\[\table\sin x = 1; \sin x = {√2}/{2};$ $\[\table\x={π}/{2}+2πn; \x=(-1)^k{π}/{4}+πk;$ $n,k∈Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2}; 3π]$, найдём с помощью числовой окружности:

$x_1 = 2π + {π}/{4} = {9π}/{4}; x_2 = 2π + {π}/{2} ={5π}/{2}; x_3 = 3π -{π}/{4} = {11π}/{4}$.

Ответ: а)${π}/{2}+2πn,n∈Z;(-1)^k{π}/{4}+πk,k∈Z$;б)${9π}/{4};{5π}/{2};{11π}/{4}$
Показать решение

Задача 18

а) Решите уравнение $27^{x} - 5·9^{x} - 3^{x+4} + 405 = 0$.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$.

Решение

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

$3^{3x} - 5·3^{2x} - 81·3^x + 405 = 0$,

$3^{2x}(3^x - 5) - 81(3^x - 5) = 0$,

$(3^{2x} - 81)(3^x - 5) = 0$.

Получаем: $3^{2x} -81 = 0$ или $3^x -5 = 0$. Значит, $3^{2x} = 81$, откуда $x = 2$ или $3^x = 5$, откуда $x = log_{3}5$.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$. Заметим, что $2 = log_{3}9$. Тогда $log_{3}5 < log_{3}6 < 2 < log_{3}10$. Значит, указанному отрезку принадлежит корень $x = 2$.

Ответ: а)$2;log_{3}5$; б)$2$
Показать решение

Задача 19

а) Решите уравнение $3√{2}sin({π}/{2}+x)-2=2cos^{2}x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$.

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде $2 cos^2 x - 3√2 cos x + 2 = 0$.

Решая это уравнение как квадратное относительно $cos x$, получим $(cos x)_{1,2} ={3√2±√{18 - 16}}/{4}={3√2± √2}/{4}$.

Значит, $(cos x)_1 = {√2}/{2}$, откуда $x =π/4 + 2πn, n ∈ Z$ или $x =-π/4 + 2πn, n ∈ Z$.

Уравнение $(cosx)_2 = √2$ корней не имеет.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$ с помощью числовой окружности.

Получим числа

$2π -{π}/{4} ={7π}/{4}$;

$2π + {π}/{4} = {9π}/{4}$.

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πn,n∈Z$;б)${7π}/{4},{9π}/{4}$
Показать решение

Задача 20

а) Решите уравнение $3√{3}cos({3π}/{2}+x)-3=2sin^{2}x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2π; 3π]$.

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде $2sin^2 x - 3√3 sin x + 3 = 0$.

Решая это уравнение как квадратное относительно $sin x$, получим $(sin x)_{1,2} = {3√3±√{27-24}}/{4}= {3√3±√3}/{4}$.

Значит,$(sin x)_1 ={√3}/{2}$, откуда $x ={π}/{3} +2πn, n ∈ Z$ или $x ={2π}/{3}+2πm, m ∈ Z$.

Уравнение $(sin x)_2 = √3$ корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку: $[2π; 3π]$

Получим числа:

$2π +{π}/{3}={7π}/{3}$;

$3π -{π}/{3}={8π}/{3}$.

Ответ: а)${π}/{3}+2πn,n∈Z;{2π}/{3}+2πm,m∈Z$;б)${7π}/{3},{8π}/{3}$
Показать решение
Показать еще

Статистика

Задание №13 является мостиком между 1 и 2 частями и от ее выполнения часто зависит, сможешь ли ты набрать выше 70 баллов, для многих это решающие баллы при получении золотой медали, так или иначе эти 2 первичных балла – фундамент для поступления, особенно на бюджет.

Статистика выполнения задания 13 ЕГЭ по профилю по годам
Статистика выполнения задания №13 по годам

Алгоритм решения задания №13

  1. Находить ОДЗ — область допустимых значений переменной. Например, если мы видим в задаче √x, нужно отметить, что x⩾0. Также нужно быть аккуратным с логарифмами, знаменателем, tg(x) и ctg(x), которые существуют не при всех значениях переменной x.
  2. Хорошо знать тригонометрию. В 95% случаев на ЕГЭ дают либо чисто тригонометрическое уравнение, либо уравнение смешанного типа, в котором присутствует тригонометрия.

    Что тебе точно пригодится: табличные значения, формулы приведения, знаки тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений, формулы двойного аргумента, синус и косинус суммы (разности), основное тригонометрическое тождество.
  3. Сделать замену. Большинство уравнений сводится к замене. Например, если перед тобой уравнение:
    то удобнее сделать замену и продолжать решение для другой переменной, а затем вернуться к исходной. В данном примере необходимо написать:
    Не забываем об ограничении на показательную функцию. То есть если у нас получится корень t=-5, то он нам не подойдет.
  4. Владеть представлением об ограничениях для стандартных функций. Как показал пример выше, необходимо проявить бдительность и знать ограничение на показательную функцию. А вот функция логарифма может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. У нас есть ограничения на основания логарифма и на число, стоящее под логарифмом, но если мы заменяем логарифм, то на новую переменную никаких ограничений накладывать не будем.
  5. Отбирать полученные корни. Есть множество способов отбора и у каждого свои критерии. Сегодня в примере разберем самый распространенный способ — отбор окружностью

Пример

Как было отмечено ранее, сделаем замену и решим квадратное уравнение для новой переменной:

Оба корня получились неотрицательными, значит нам подойдут Сделаем обратную замену и найдем решения для исходной переменной:

В пункте (а) рисовать окружность не обязательно, здесь она приведена только для вашего удобства. Вот мы и набрали 1 балл, теперь давайте воспользуемся способом отбора корней при помощи единичной окружности и заработаем максимальное количество баллов за задачу.

Давайте разберем критерии такого отбора. Это очень важно, потому что при их невыполнении эксперт может посчитать отбор недостаточно обоснованным:

Критерии отбора корней с помощью окружности

  1. Отметь на окружности граничные точки
  2. Заштрихуй область об меньшего значения к большему (против часовой стрелки)
  3. Отметь все подходящие корни на окружности и обязательно подпиши их значения. Желательно отдельно распиши, как ты их получил.

Вот тебе аналогичный пример для решения дома, потренируйся и я уверен, что практика задания 13 принесет тебе 2 балла на экзамене.

Еще больше крутых лайфхаков, разборов, ловушек ЕГЭ и теории в нашей группе вконтакте и инсте преподавателей @turboegemath и @turbomath

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе