а) $3\cos({3π} / {2}-2x)-2\cos(π+x)=0$

$3⋅(-sin2x)-2⋅(-cosx)=0 |⋅(-1)$

$3sin2x-2cosx=0$

$3⋅2sinx⋅cosx-2cosx=0$

$6sinx⋅cosx-2cosx=0$

$2cosx⋅(3sinx-1)=0$

1). $2cosx=0$

$cosx=0$

$x=π/2+πn, n∈Z$

2). $3sinx-1=0$

$sinx=1/3$

$x=(-1)^{n}arcsin(1/3)+πn, n∈Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{5π}/2; 4{π}]$, найдём с помощью единичной окружности.



Указанному промежутку принадлежат корни: ${5π}/{2}; {7π}/{2} ; 3π-arcsin(1/3)$.

Ответ: а). $π/2+πn, n∈Z; (-1)^{n}arcsin(1/3)+πn, n∈Z.$ б).${5π}/{2}; {7π}/{2} ; 3π-arcsin(1/3)$

а) $\cos2(x+{π} / {6})+4\sin(x+{π} / {6})={5} / {2}$

Замена: $y=x+{π} / {6}$

$cos2y+4siny=5/2$

$cos^2y-sin^2y+4siny=5/2$

$1-sin^2y-sin^2y+4siny=5/2$

$1-2sin^2y+4siny=5/2 |⋅(-2)$

$4sin^2y-8siny-2=-5$

$4sin^2y-8siny+3=0$

Замена: $siny=t, -1≤t≤1$

$4t^2-8t+3=0$

$D=8^2-4⋅4⋅3=16=4^2$

$t_1={8+4}/8=3/2>1$ не подходит

$t_2={8-4}/8={1}/{2} $

Обратная замена:

$siny=1/2$ ⇒ $y={π/6}+2πn, n∈Z$ и $y={5π/6}+2πn, n∈Z$

Обратная замена:

1). $x+{π} / {6}={π/6}+2πn, n∈Z$

$x=2πn, n∈Z$

2). $x+{π} / {6}={5π/6}+2πn, n∈Z$

$x={{2π}/3}+2πn, n∈Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};3π]$, найдём с помощью единичной окружности.



Указанному промежутку принадлежат корни: $2π; {8π}/{3}$.

Ответ: а). $2πn, n∈Z; {{2π}/3}+2πn, n∈Z.$ б).$2π; {8π}/{3}$

а) $2\cos ({3π} / {2}-x)\sin({π} / {2}-x)=√ 3\sin(2π+x)$,
$-2\sin x⋅\cos x=√ 3\sin x$, $√ 3\sin x+2\sin x⋅\cos x=0$,
$\sin x(√ 3+2\cos x)=0$.
$\{{\table {\sin x=0{,}}; {√ 3+2\cos x=0;};}$ $\{{\table {x=π n, n∈ Z,}; {\cos x=-{√ 3} / {2};};}$ $\{{\table {x=π n, n∈ Z,}; {x=±{5π} / {6}+2π k, k∈ Z.};}$ б) Найдём корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[-11{π}/2; -3{π}]$ с помощью единичной окружности (см. рис.). $x_1=-5π-{π} / {6}=-{31π} / {6}$, $x_2=-5π$, $x_3=-5π+{π} / {6}=-{29π} / {6}$, $x_4=-4π$, $x_5=-3π-{π} / {6}=-{19π} / {6}$. $x_6=-3π$.

а) $2\log_2(-\cos2x-\cos x+2√ 2)=3$, при $-\cos 2x-\cos x+2√ 2>0$.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:
$-\cos2x-\cos x+2√ 2=1-2\cos^2x-\cos x+2√ 2$.

Тогда уравнение примет вид:
$\log_2(-2\cos^2x-\cos x+1+2√ 2)={3} / {2}$;
$-2\cos^2x-\cos x+1+2√ 2=2^{{3} / {2}}=2√ 2$;
$-2\cos^2x-\cos x+1=0$, при этом корни этого уравнения удовлетворяют условию $-\cos 2x-\cos x+2√ 2=-2\cos^2x-\cos x+1+2√ 2>0$. $-2\cos^2x-\cos x+1=0$, $2\cos^2x+\cos x-1=0$. Обозначим $\cos x=t$, $|t|⩽1$, получим $2t^2+t-1=0$, $D=9$, $t_{1,2}={-1±3} / {4}$; $t_1=-1$; $t_2={1} / {2}$. $\{{\table {\cos x=-1{,}}; {\cos x={1} / {2}{;}};}$ $\{{\table {x=π+2π n, n∈ Z;}; {x=±{π} / {3}+2π k, k∈ Z.};}$ б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $ [-3{π}/2; 0] $, с помощью единичной окружности (см. рис.).

а) $2√ 3⋅\cos^2(x-{3π} / {2})-\sin2x=0$

Косинус четная функция: $cos(-x)=cosx$

$2√ 3⋅\cos^2({3π} / {2}-x)-\sin2x=0$

$2√ 3⋅sin^2x-2sinx⋅cosx=0$


$2sinx(√ 3sinx-cosx)=0$

1). $2sinx=0$

$sinx=0$

$x=πn, n∈Z$

2). $√ 3sinx-cosx=0 |:cosx≠0$

$√ 3 tgx-1=0$

$tgx=1/{√ 3 }$

$tgx={√ 3 }/3$

$x=π/6+πn, n∈Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{9π}/2; -3{π}] $, найдём с помощью единичной окружности.



Указанному промежутку принадлежат корни: $-{23π}/{6}; -3π ; -4π$.

Ответ: а). $πn, n∈Z; π/6+πn, n∈Z.$ б).$-{23π}/{6}; -3π ; -4π$

a) $sin^{2}x = 2cos(2x)+3$,

$sin^{2}x =2(1-2sin^{2}x)+3$,

$sin^{2}x =2-4sin^{2}x+3$,

$5sin^{2}x =5$,

$sin^{2}x=1, \[\table\sinx=1; \sinx=-1;$ $\[\table\x={π}/{2}+2πk, k ∈ Z; \x=-{π}/{2}+2πk, k ∈ Z;$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$, найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежат числа $-{π}/{2}, {π}/{2}$.

Ответ: а) $-{π}/{2}+2πk, k ∈ Z;{π}/{2}+2πk, k ∈ Z$; б) $-{π}/{2}, {π}/{2}$

а) Упростим выражение:

$ 16^{cosx} + 16^{{cosx}/2} - 2 = 0 ⇔ 4^{2⋅{cosx}} + 4^{cosx} - 2 = 0 $

Пусть $4^{cosx} = t$, при $t >0$, тогда имеем:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

$ \[\table\ t = 1; t = -2 $

Так как $t=-2$ не удовлетворяет ограничению, имеем $t=1$

Вернемся к исходной переменной:

$ 4^{cosx} = 1 ⇔ 4^{cosx} = 4^{0} $

$ cos{x} = 0 ⇔ x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [0.5{π}; 1.5{π}] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа ${π}/2$ и ${3π}/2.$

Ответ: $а) x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; б) {π}/2, {3π}/2 $.

а) Преобразуем уравнение:

${2cos2x⋅sin2x}/{2} = cos2x$

${cos2x⋅sin2x} = cos2x$

${cos2x⋅sin2x} - cos2x = 0$

${cos2x}⋅({sin2x} - 1) = 0$

Отсюда либо ${cos2x} = 0$, либо ${sin2x} = 1$

1. ${cos2x} = 0$; ${2x} = {π}/{2}+{πk}, k∈Z $; ${x} = {π}/{4}+{πk}/{2}: k∈Z $ - от точки ${π}/{4}$ шагаем по 90°

2. ${sin2x} = 1$; ${2x} = {π}/{2}+{2πk}, k∈Z$; ${x} = {π}/{4}+{πk}: k∈Z $ - содержится в предыдущей серии решений

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку $[{-π}/{2};{π}]$ с помощью единичной окружности:

$x_1 = {0}-{π}/4 =-{π}/4 $

$x_2 = {0}+{π}/4 ={π}/4 $

$x_3 = {π}-{π}/4 ={3π}/4$

Ответ: а) ${x} = {π}/{4}+{πk}/{2}, k∈Z $ б)$-{π}/4;{π}/4;{3π}/4$

a) Преобразуем уравнение:

$cosx = sinx$

$cosx = sinx | : cosx ≠ 0 $

$tgx = 1$

$x ={π}/{4} + πk, k ∈ Z$

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{-π};{π}/{2}]$ с помощью единичной окружности:

Получим числа ${-3π}/{4}, {π}/{4}. $

Ответ: а) $x={π}/{4}+πk, k ∈ Z$ б) $-{3π}/{4}, {π}/{4}$

a) Преобразуем уравнение:

$2cos^3x + cos^2{x} – 2cosx-1=0$

$cos^2x⋅(2cosx+1) – (2cosx +1)=0$

$(cos^2x – 1)⋅(2cosx +1)=0$

$Отсюда:$

$\[\table\cos^2x=1; \cosx = -{1}/{2};$

$\[\table\x= πk, k∈Z; \x = ±{2π}/{3}+2πk, k∈Z; $

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $(0;{π}]$ с помощью единичной окружности:

Получим числа ${2π}/{3}$ и ${π}. $

Ответ: а) $ x= πk, x = ±{2πk}/{3}, k ∈ Z$; б) ${2π}/{3} , {π}$.

а) $ 1/{{cos}^2{x}} - 2/{cos{x}} = 0 | · {cos}^2{x} ≠ 0 $

$ 1 – 2cos(x) = 0 $

$ cos{x} = 1/2 $

$x= ± {π}/{3}+2πk, k ∈ Z $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [{3π}/2; 3π] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $ {5π}/{3},{7π}/{3} $.

Ответ: а)$ x= ± {π}/{3}+2πk, k ∈ Z; б) {5π}/{3},{7π}/{3}$.

а) Применим формулы приведения и разложим на множители :

$ 2{sin}^2x – sin(2x) = 0 $

$ 2{sin}^2x - 2sin{x}cos{x} = 0 $

$ 2sinx · (sin{x} - cos{x}) = 0 $

$ \[\table\sinx=0; \ {sin{x} = cos{x} |: cos{x} ≠ 0}; $

$ \[\table\sin{x}=0; \ tg{x} =1 ; $

$ \[\table\x = πk, k ∈ Z; x = {π}/4 + πk, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ (0;{3π}/2) $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим числа $ {π}/{4},{π},{5π}/{4} $.

Ответ: а) $ x=πk, x={π}/{4}+πk, k ∈ Z$; б) ${π}/{4},{π},{5π}/{4}$.

а) Упростим выражение:

$ 25^{cosx} + 5^{{2cosx}/2} - 2 = 0 ⇔ 25^{cosx} + 5^{cosx} - 2 = 0 $

Пусть $5^{cosx} = t$, при $t >0$, тогда имеем:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

$ \[\table\ t = 1; t = -2 $

Так как $t=- 2$ не удовлетворяет ограничениям, имеем $t=1$

Вернемся к исходной переменной:

$ 5^{cosx} = 1 ⇔ 5^{cosx} = 5^{0} $

$ cos{x} = 0 ⇔ x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; $

б) Корни, принадлежащие промежутку $ [{π}/2; {π}] $ , найдём с помощью единичной окружности.

Получим ${π}/2.$

Ответ: $ а) x= {π}/{2}+{πk}, k ∈ Z; б) {π}/2 $.

а)Решим уравнение:

$ log_26(2-x) = log_676{x^4} $

$ log_26(2-x) = log_26{x^2} $

$ \{\table\ 2-x = x^2 ;\ x ≠ 0 $

$ \{\table\ x^2 + x-2=0 ;\ x ≠ 0$

$\ [\table\ x = -2;\ x = 1 $

б) Корни, принадлежащие отрезку $ [log_5{π}; log_5{28}] $ , найдём с помощью числовой прямой.

Представим числа в виде логарифмов по основанию 5:

$ {\[\table\ x = -2; \ x = 1 } ⇔ {\[\table\ x = log_5{1/25};\ x = log_5{5}} $

Получим, что на заданном промежутке лежит только $ 1 $.

Ответ: а) $ x= -2; x= 1; б) 1 $.

a) Преобразуем уравнение:

$2sin^{2}{x} - √{3}sinx=0$

$(2sinx- √{3})sinx=0$

$\[\table\sinx=0; \sinx=√{3}/2;$

$\[\table\x=πk, k ∈ Z; \x={π}/{3}+2πk, k ∈ Z; \x={2π}/{3}+2πk, k ∈ Z;$

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{2π};{3π}]$ с помощью тригонометрической окружности:

Получим числа ${2π},{7π}/{3},{8π}/{3},{3π}. $

$x_1 = {2π}$

$x_2 = {2π} +{π}/{3} = {7π}/{3}$

$x_3 = {3π} -{π}/{3} = {8π}/{3}$

$x_4 = {3π}$

Ответ: а) $x=πk, x={π}/{3}+2πk, x={2π}/{3}+2πk, k ∈ Z$ б) ${2π},{7π}/{3},{8π}/{3},{3π}. $