Задание 15. Неравенства. ЕГЭ 2025 по математике профильного уровня

Преобразуем исходное неравенство: ${(3log_9x +1)- (3-log_9x)(2log_9x + 3)}/{2log_9x +3} ≤ 0$.

Обозначим $log_9x = t$.

Тогда неравенство примет вид: ${3t + 1- (3-t)(2t+3)}/{2t+3} ≤ 0$.

${2t^2 − 8}/{2t +3} ≤ 0, {(t − 2)(t + 2)}/{t +{3}/{2}} ≤ 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$(t − 2)(t + 2) = 0, t = -2; t = 2.$

$t +{3}/{2} ≠ 0, t ≠-{3}/{2}.$

Получим $t ∈ (−∞; -2] ∪ (-{3}/{2}; 2].$

Вернёмся к исходной переменной.

$\[\table{\{\table\log_9x >-{3}/{2}; \log_9x ≤2;}; \log_9x ≤-2;$ $\[\table{\{\table\x >(9^{{3}/{2}})^{-1}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ 9^{-2};$

$\[\table{\{\table\x >(27)^{-1}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ {1}/{81};$ $\[\table{\{\table\x > {1}/{27}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ {1}/{81};$ $x ∈ (0; {1}/{81}] ∪ ({1}/{27}; 81].$

Преобразуем исходное неравенство: ${11log_4x − 28 + (3log_4x − 4)(2log_4x − 1)}/{2log_4x − 1} ≥ 0$.

Обозначим $log_4x = t$.

Тогда неравенство примет вид: ${11t − 28 + 6t^2 − 11t + 4}/{2t − 1} ≥ 0$.

${6t^2 − 24}/{2t − 1} ≥ 0, {(t − 2)(t + 2)}/{t −{1}/{2}} ≥ 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$(t − 2)(t + 2) = 0, t = 2; t = −2.$

$t −{1}/{2} ≠ 0, t ≠{1}/{2}.$

Получим $t ∈ [−2; {1}/{2}) ∪ [2; +∞).$

Вернёмся к исходной переменной.

$\[\table{\{\table\log_4x ≥-2; \log_4x <{1}/{2};}; \log_4x ≥2;$ $\[\table{\{\table\x ≥{1}/{16}; \0 < x < 4^{{1}/{2}};}; \x ≥16;$

$\[\table{\{\table\x ≥{1}/{16}; \0 < x < 2;}; \x ≥16;$ $x ∈ [{1}/{16}; 2) ∪ [16; +∞).$

ОДЗ уравнения $\{\table\x > 0; \x≠1; \x≠{1}/{4};$.

Т.к. ${1}/{log_x0.5}=-{1}/{log_x2}=-log_2x$, а $log_{4x}2 = {1}/{{log_{2} x} + 2}$, то неравенство примет вид $-log_{2}x + 6 ≥ {16}/{{log_{2}x} + 2}$. Пусть $log_2x = t$, тогда ${16}/{t +2}+t-6 ≤ 0, {(t − 2)^2}/{t + 2} ≤ 0, t = 2$ или $t < −2$.

$log_2x = 2$, откуда $x = 4$ или $log_2x < −2$, откуда $x < {1}/{4}$. Учитывая ОДЗ, получим $0 < x < {1}/{4}, x = 4$.

ОДЗ уравнения $\{\table\x-1 > 0; \9(x-1)≠1;$ то есть $x > 1, x ≠{10}/{9}$.

Используя формулу $log_ab ={log_cb}/{log_ca}$, получаем $log_{9(x−1)}3 = {1}/{log_3(x − 1) + 2}$.

Неравенство примет вид $log_3(x − 1) ≤ 4 − {9}/{log_3(x − 1) + 2}$. Пусть $log_3(x − 1) = t$, тогда $t − 4 + {9}/{t + 2} ≤ 0, {(t − 1)^2}/{t + 2} ≤ 0, t = 1$ или $t < −2$.

$log_3(x − 1) = 1$, откуда $x − 1 = 3, x = 4$ или $log_3(x − 1) < −2$, откуда $x − 1 < {1}/{9}, x < {10}/{9}$. Учитывая ОДЗ, получим $1 < x < {10}/{9}, x = 4$.

Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{3}, x ≠ 1$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

${2}/{log_{3}x} + {3}/{log_{3}3x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} + {3}/{log_{3}3 + log_{3}x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} + {3}/{1 + log_{3}x} ≤ 2$

Пусть $log_{3}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

${2}/{t} + {3}/{1 + t} ≤ 2$,

${2(1 + t) + 3t − 2t(1 + t)}/{t(1 + t)} ≤ 0$,

${2t^2 − 3t − 2}/{t(1 + t)} ≥ 0$,

${(2t + 1)(t − 2)}/{t(t + 1)} ≥ 0.$

Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $x$:

$t < -1, −{1}/{2}≤t<0, t ≥ 2,$

$log_3x < -1, log_3 {1}/{√3} ≤ log_3x < log_{3}1, log_{3}x ≥ log_{3}9,$

$0 < x<{1}/{3}, {1}/{√3}≤ x <1, x≥9.$

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $(0; {1}/{3})∪[{1}/{√3};1) ∪ [9; +∞)$.

$(x^2 + 2x − 3) log_{2x−1}(4x^2 − 11x + 7) ≤ 0$

ОДЗ: $\{\table\2x − 1 > 0; \2x − 1 ≠ 1; \4x^2 − 11x + 7 > 0;$ $\{\table\x > {1}/{2}; \x ≠ 1; \[\table\x < 1; \x > {7}/{4};$ $x ∈({1}/{2}; 1)∪({7}/{4}; +∞)$

Применяя метод рационализации, получим, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству:

$(x^2 + 2x − 3)(2x − 1 − 1)(4x^2 − 11x + 7 − 1) ≤ 0;$

$(x − 1)(x + 3)(2x − 2)(4x^2 − 11x + 6) ≤ 0;$

$(x − 1)^2(x + 3)(x − 2)(x − {3}/{4})≤ 0.$

Из рисунка следует, что ${3}/{4}≤ x < 1; {7}/{4} < x ≤ 2$.

Будем использовать метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ и нули левой части неравенства. Преобразуем неравенство.

Найдём ОДЗ неравенства:

$-x^2 - 2x + 15 ≥ 0; x^2 + 2x - 15 ≤ 0; (x - 3)(x + 5) ≤ 0; x ∈ [-5; 3].$

Выражение $√{15 - x^2 - 2x}$ неотрицательно при любом допустимом значении $x$, значит неравенство выполняется при $6^x ≥ 36, 6^x ≥ 6^2, x ≥ 2$, а также если $√{15 - x^2 - 2x}=0; x^2 + 2x - 15 = 0; x_1 = -5, x_2 = 3$.

Учтём ОДЗ и найдём знаки левой части неравенства.

$x ∈ [2; 3] ∪$ {$-5$}.

$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2) ≥ 2$.

ОДЗ:

$\{\table\ 4 + 7x−2x^2 > 0;\ x -2≠0;\ {|x -2|} ≠ 1;$

$\{\table\ 2x^2 −7x−4 < 0;\ x≠2;\ x≠3;\ x≠1;$

$\{\table\ (x + 0.5)(x−4) < 0;\ x≠2;\ x≠3;\ x≠1;$

$x ∈ (−0.5;1)∪(1;2)∪(2;3)∪(3;4)$.

$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2) ≥ log_{|x-2|}(x -2)^2$.

$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2)−log_{|x-2|}(x -2)^2 ≥ 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f −log_{a}g$ совпадает со знаком $(a−1)(f −g)$.

2) знак $|f|−|g|$ совпадает со знаком $(f − g)(f + g)$.

Применяем 1: $(|x -2|−1)(4 + 7x−2x^2 −x^2 +4x−4) ≥ 0, (|x -2|−1)(−3x^2 + 11x) ≥ 0$.

Разделим обе части неравенства на $−3$.

$(|x -2|−1)(x^2 −{11x}/{3}) ≤ 0$.

Применяем 2: $(x -2−1)(x -2 + 1)x(x−{11}/{3}) ≤ 0, x(x - 3)(x -1)(x−{11}/{3}) ≤ 0$.

$0 ≤ x ≤ 1, 3 ≤ x ≤ {11}/{3}$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$0 ≤ x < 1; 3< x ≤ {11}/{3}$.

$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2) ≥ 2$.

ОДЗ:

$\{\table\ 16 + 14x−2x^2 > 0;\ x + 4≠0;\ {|x + 4|} ≠ 1;$

$\{\table\ x^2 −7x−8 < 0;\ x≠−4;\ x≠−3;\ x≠−5;$

$\{\table\ (x + 1)(x−8) < 0;\ x≠−4;\ x≠−3;\ x≠−5;$

$x ∈ (−1;8)$.

$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2) ≥ log_{|x+4|}(x + 4)^2$.

$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2)−log_{|x+4|}(x + 4)^2 ≥ 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f −log_{a}g$ совпадает со знаком $(a−1)(f −g)$.

2) знак $|f|−|g|$ совпадает со знаком $(f − g)(f + g)$.

Согласно 1: $(|x + 4|−1)(16 + 14x−2x^2 −x^2 −8x−16) ≥ 0, (|x + 4|−1)(−3x^2 + 6x) ≥ 0$.

Разделим обе части неравенства на $−3$.

$(|x + 4|−1)(x^2 −2x) ≤ 0$.

Согласно 2: $(x + 4−1)(x + 4 + 1)x(x−2) ≤ 0, x(x + 3)(x + 5)(x−2) ≤ 0$.

$−5 ≤ x ≤ −3, 0 ≤ x ≤ 2$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$0 ≤ x ≤ 2$.

С помощью замены $3^x = t$, где $t > 0$ приведём неравенство к виду

${35t}/{4 + 10t - 6t^2} ≥ {t + 2}/{3t + 1}- {3t - 1}/{t - 2}$.

$-6t^2 + 10t + 4 = -2(3t^2 - 5t - 2) = -2(t - 2)(3t + 1)$.

${35t}/{-2(t - 2)(3t + 1)} ≥ {(t + 2)(t - 2) - (3t - 1)(3t + 1)}/{(3t + 1)(t - 2)}$

${35t}/{-2(t - 2)(3t + 1)} ≥ {(t^2 - 4) - (9t^2 - 1)}/{(3t + 1)(t - 2)}$

${35t}/{-2(t - 2)(3t + 1)} ≥ {-8t^2 - 3}/{(3t + 1)(t - 2)};$

${35t}/{(t - 2)(3t + 1)} ≤ {16t^2 + 6}/{(3t + 1)(t - 2)};$

${16t^2 - 35t + 6}/{(3t + 1)(t - 2)}≥ 0;$

${16(t - 2)(t - {3}/{16})}/{(3t + 1)(t - 2)}≥ 0;$

${(t - {3}/{16})}/{(3t + 1)} ≥ 0, t ≠ 2.$

$t < -{1}/{3}$ или ${3}/{16} ≤ t < 2, t > 2$. С учётом условия $t > 0, {3}/{16} ≤ t < 2, t > 2$. Возвращаясь к переменной $x$, получим, что ${3}/{16} ≤ 3^x < 2$ или $3^x > 2$, откуда $log_3{3}/{16} ≤ x < log_{3}2$ или $x > log_{3}2$.

${4^x + 27·2^x + 18}/{2^{2x} + 8·2^x + 12} ≥ 1 + 2^x - {2^x - 3}/{2^x + 6}$.

Обозначим $2^x = t, t > 0$. Неравенство примет вид:

${t^2 + 27t + 18}/{t^2 + 8t + 12} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

${t^2 + 8t + 12 + 19t + 6}/{t^2 + 8t + 12} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

$1 + {19t + 6}/{(t + 2)(t + 6)} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

${19t + 6}/{(t + 2)(t + 6)} - t + {t - 3}/{t + 6} ≥ 0$,

$-{t(t^2 + 7t - 6)}/{(t + 2)(t + 6)} ≥ 0$.

Полученное неравенство при условии $t > 0$ равносильно неравенству $t^2 + 7t - 6 ≤ 0$ (так как $t> 0, t + 2 > 0$ и $t + 6 > 0$),

$0 < t ≤ {√{73} - 7}/{2}$,

$0 < 2^x ≤ {√{73} - 7}/{2}$,

$x ≤ log_2 {√{73} - 7}/{2}$.

${3^{2x} + 2·3^x + 2}/{3^{2x} + 2·3^x} ≤ 4 + {1}/{3^x}-{3·3^x + 1}/{3^x - 1}$.

Обозначим $3^x = t, t > 0$. Неравенство примет вид:

${t^2 + 2t + 2}/{t^2 + 2t}≤4 + {1}/{t}-{3t + 1}/{t - 1}$,

$1 + {2}/{t(t + 2)} - 4 - {1}/{t} + {3t + 1}/{t - 1} ≤ 0$,

${3(t + 3)t}/{t(t - 1)(t + 2)} ≤ 0$. Воспользуемся условием $t > 0$.

Так как при этом $t + 3 > 0$ и $t + 2> 0$, то неравенство верно при $t - 1 < 0$, то есть $0 < t < 1$. Тогда $0 < 3^x < 1, x < 0$.

В правой части неравенства стоит $0$, в левой - произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей.

При $x ={7}/{3}$ выражение $3x - 7 = 0$, при $x > {7}/{3}$ выражение $3x - 7 > 0$, а при $x < {7}/{3}$ выражение $3x - 7 < 0$.

Рассмотрим выражение $log_{5x-11}(x^2 - 8x + 17)$ и определим его знаки. Заметим, что $x^2 - 8x + 17 = (x - 4)^2 + 1 ≥ 1$ при любых значениях $x$. Значит, при $5x - 11 > 1$, то есть при $x > 2.4$, выражение $log_{5x-11}(x^2 - 8x + 17) > 0$; при $0 < 5x - 11 < 1$, то есть при $2.2 < x < 2.4, log_{5x-11}(x^2 - 8x + 17) < 0$ и не определено при $x ≤ 2.2$ и $x = 2.4$.

Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых.

Таким образом, решение исходного неравенства: ${11}/{5} < x ≤{7}/{3}; x > 2.4$.

В правой части неравенства стоит $0$, в левой - произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей.

При $x ={10}/{7}$ выражение $7x-10 = 0$, при $x > {10}/{7}$ выражение $7x-10 > 0$, а при $x < {10}/{7}$ выражение $7x - 10 < 0$.

Рассмотрим выражение $log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9)$. Заметим, что $x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 + 5 ≥ 5$ при любых значениях $x$. Значит, при $4x - 3 > 1$, то есть при $x > 1$, выражение $log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9) >0$, при $0 < 4x - 3 < 1$, то есть при ${3}/{4} < x < 1, log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9) < 0$ и не определено при $x ≤{3}/{4}$ и $x = 1$.

Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых.

Таким образом, решение исходного неравенства: ${3}/{4} < x < 1; x ≥ {10}/{7}$.