${4^x+16}/{4^x - 16} + {4^x - 16}/{4^x +16} ≥ {4·4^{x+1} + 480}/{16^x - 256}$;

${(4^x +16)^2 + (4^x - 16)^2}/{(4^x - 16)(4^x +16)} ≥ {4·4^{x+1} + 480}/{(4^x - 16)(4^x + 16)}$,

${4^{2x} +32 · 4^x + 256 + 4^{2x} - 32 · 4^x + 256-480-16· 4^x}/{(4^x - 16)(4^x +16)} ≥ 0$,

${4^{2x} - 8 · 4^x + 16}/{(4^x - 16)(4^x +16)} ≥ 0$,

${(4^x - 4)^2}/{(4^x - 16)(4^x +16)} ≥ 0$.

Обозначим $4^x = t, t > 0$ и найдём решения неравенства ${(t - 4)^2}/{(t - 16)(t +16)} ≥ 0$.

Числитель положительное число, либо равное нулю при $t = 4$, то есть $4^x = 4, x = 1$.

Знаменатель - положительное число при $t < -16$ или $t > 16$.

А так как $t > 0$, то $t > 16$, то есть $4^x > 16, x > 2$.

Итак, $x ∈ {1}∪(2; +∞)$.

${45(2^x+2^{-x}-2)} / {2^x+2^{-x}+2}-{21(2^x+1)} / {2^x+1}⩽ {2^3(2^x-1)} / {2^x+1}$

Выполним преобразования, обозначим $2^x=t$, $t>0$

Тогда неравенство примет вид: ${45(t+{1} / {t}-2)} / {t+{1} / {t}+2}-{21(t+1)} / {t+1}⩽ {8(t-1)} / {t+1}$, ${45⋅ (t-1)^2} / {(t+1)^2}-21⩽ {8(t-1)} / {t+1}$, ${45(t-1)^2} / {(t+1)^2}-{8(t-1)} / {t+1}-21⩽0$, ${45(t-1)^2-8(t^2-1)-21(t+1)^2} / {(t+1)^2}⩽ 0$; $(t+1)^2>0$

Cледовательно, $45(t-1)^2-8(t^2-1)-21(t+1)^2⩽ 0$, $45t^2-90t+45-8t^2+8-21t^2-42t-21⩽ 0$, $16t^2-132t+32⩽ 0$, $16t^2-132t+32=0$, $4t^2-33t+8=0$, $D=33^2-32⋅ 4=961=31^2$. $t_{1, 2}={33±31} / {8}$, $t_1=8$; $t_2={2} / {8}={1} / {4}$

Решением неравенства $4t^2-33t+8⩽ 0$ будет $t∈ [{1} / {4};8]$, то есть, переходя к переменной $x$, получаем $2^x∈ [{1} / {4};8]$, $x∈ [-2;3]$.

$log_7^2(9 - x^2) - 10 log_7(9 - x^2) + 21 ≥ 0$.

Обозначим $log_7 (9 - x^2) = t$. Неравенство примет вид: $t^2 - 10t + 21 ≥ 0, (t - 3)(t - 7) ≥ 0$, отсюда $t ≤ 3, t ≥ 7$.

$\{\table\log_7 (9 - x^2) ≤ 3; \9 - x^2 > 0;$ или $\{\table\log_7 (9 - x^2) ≥ 7; \9 - x^2 > 0;$ $\{\table\9-x^2 ≤ 7^3; \x^2 < 9;$или $\{\table\9-x^2 ≥ 7^7; \x^2 < 9;$

$\{\table\x^2 ≥ 9 - 7^3; \x^2 < 9;$ или $\{\table\x^2 ≤ 9-7^7; \x^2 < 9;$, система решений не имеет $\{\table\x^2 ≥ 9-7^3; \-3 < x < 3;$

Отсюда $x ∈ (-3; 3)$.

С помощью замены $2^x = t$, где $t > 0$, приведём неравенство к виду ${1}/{1 + t} - {2}/{t^2 - t + 1} < {1 - 2t}/{t^3 + 1}$.

${1}/{1 + t} - {2}/{t^2 - t + 1} < {1 - 2t}/{(t + 1)(t^2 - t + 1)}$;

${t^2 - t + 1 - 2 - 2t - 1 + 2t}/{(1 + t)(t^2 - t + 1)} < 0$;

${t^2 - t - 2}/{(1 + t)(t^2 - t + 1)} < 0$;

${(1 + t)(t - 2)}/{(1 + t)(t^2 - t + 1)} < 0$;

${t - 2}/{t^2 - t + 1} < 0; t < 2; t ≠ -1$,

Учитывая условие $t > 0$, имеем $0 < t < 2$. Возвращаясь к переменной $x$, получим, что $0 < 2^x < 2$, откуда $x < 1$.

Введём обозначение $7^x = t, t > 0$. Неравенство примет вид $t^2 - 7t + 3|t - 5| ≥ 6$.

$\[\table{\{\table\ t^2-7t+3(t-5) ≥ 6; \ t ≥ 5}; {\{\table\ t^2-7t+3(-t+5) ≥ 6; \ 0 < t ≤ 5};$

$\[\table{\{\table\ t^2-4t-21 ≥ 0; \ t ≥ 5}; {\{\table\ t^2-10t+9 ≥ 0; \ 0 < t ≤ 5};$

$\[\table{\{\table\ t ≤ -3, t ≥ 7; \ t ≥ 5}; {\{\table\ t ≤ 1, t ≥ 9; \ 0 < t ≤ 5};$ $\[\table\ t ≥ 7; \ 0 < t ≤ 1;$

1) $0 < 7^x ≤ 1, x ≤ 0$.

2) $7^x ≥ 7, x ≥ 1$.

Значит, объединением решений будут промежутки $(-∞; 0]$ и $[1;+∞)$.

ОДЗ уравнения $\{\table\x > 0; \x≠1; \x≠{1}/{4};$.

Т.к. ${1}/{log_x0.5}=-{1}/{log_x2}=-log_2x$, а $log_{4x}2 = {1}/{{log_{2} x} + 2}$, то неравенство примет вид $-log_{2}x + 6 ≥ {16}/{{log_{2}x} + 2}$. Пусть $log_2x = t$, тогда ${16}/{t +2}+t-6 ≤ 0, {(t − 2)^2}/{t + 2} ≤ 0, t = 2$ или $t < −2$.

$log_2x = 2$, откуда $x = 4$ или $log_2x < −2$, откуда $x < {1}/{4}$. Учитывая ОДЗ, получим $0 < x < {1}/{4}, x = 4$.

План решения.

1. Отдельно преобразуем числитель и знаменатель.

1.1. В числителе избавимся от $log_{3}10$ в показателе степени (преобразуем его в множитель). После этого получим квадратичное выражение от $3^x$ (если сделать замену $t = 3^x$, то получим квадратичное выражение от $t$). Квадратичное выражение разложим на множители.

1.2. В знаменателе вынесем за скобки $2^x$, чтобы в скобке осталась разность некоторого числа в степени $x$ и константы (вместо этого можно вынести за скобки $7^x$, а потом дополнительно преобразовать, или сразу вынести за скобки $7^{x+3}$).

2. Все множители в числителе и знаменателе заменим более простыми, совпадающими по знаку (в том числе равными нулю одновременно с исходными - таким образом, не надо будет дополнительно думать об ОДЗ).

3. Решим неравенство, полученное на предыдущем шаге, методом интервалов.

Решение.

1. ${9^x - 3^{x+log_{3}10} + 9}/{7^x - 2^{x+3}} ≤ 0; {3^{2x} - 10 · 3^x + 9}/{2^x·(({7}/{2})^x - 8)} ≤ 0; {(3^x - 1)(3^x - 9)}/{({7}/{2})^x-8} ≤ 0; {(3^x - 3^0)(3^x - 3^2)}/{({7}/{2})^x - ({7}/{2})^{log_{{7}/{2}}8 ≤ 0$.

2. Выражения $3^x -1, 3^x -9, ({7}/{2})^x - 8$ совпадают по знаку с выражениями $(3-1)(x-0), (3 - 1)(x - 2), ({7}/{2} - 1)(x - log_{{7}/{2}}8)$ соответственно.

${(3 - 1)(x - 0)(3 - 1)(x - 2)}/{({7}/{2} - 1)(x - log_{{7}/{2}}8)} ≤ 0$.

3. ${x(x - 2)}/{x - log_{{7}/{2}}8)} ≤ 0$.

Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{2}, x ≠ 1$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

${1}/{log_{2}x} + {2}/{log_{2}2x} ≥ 2,$

${1}/{log_{2}x} + {2}/{log_{2}2 + log_{2}x} ≥ 2,$

${1}/{log_{2}x} + {2}/{1 + log_{2}x} ≥ 2$

Пусть $log_{2}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

${1}/{t} + {2}/{1 + t} ≥ 2$,

${(1 + t) + 2t − 2t(1 + t)}/{t(1 + t)} ≥ 0$,

${2t^2 − t − 1}/{t(1 + t)} ≤ 0$,

${(2t + 1)(t − 1)}/{t(t + 1)} ≤ 0.$

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной $x$:

$−1 < t ≤ − {1}/{2}, 0 < t ≤ 1,$

$log_2{1}/{2} < log_{2}x ≤ log_2 {1}/{√2}, log_{2}1 < log_2x ≤ log_2{2},$

${1}/{2} < x ≤ {1}/{√2}, 1 < x ≤ 2.$

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $({1}/{2};{1}/{√2}] ∪ (1; 2]$.

$log_{|x+2|}(12 + 4x - x^2) ≤ 2$.

ОДЗ:

$\{\table\ 12+4x-x^2 > 0; \ x+2 ≠ 0; \ {|x+2|} ≠ 1;$ $\{\table\ x^2 - 4x -12 < 0; \ x ≠ -2; \ x ≠ -1; \ x ≠ -3;$

$\{\table\ (x+2)(x-6) < 0; \ x ≠ -2; \ x ≠ -1; \ x ≠ -3;$

$x ∈ (-2;-1) ∪ (-1; 6)$.

$log_{|x+2|}(12 + 4x - x^2) ≤ log_{|x+2|}(x + 2)^2$.

$log_{|x+2|}(12 + 4x - x^2) - log_{|x+2|}(x + 2)^2 ≤ 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f - log_{a}g$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$,

2) знак $|f| - |g|$ совпадает со знаком $f^2 - g^2 = (f - g)(f + g)$.

Согласно 1: $(|x + 2| - 1)(12 + 4x - x^2 - x^2 - 4x - 4) ≤ 0, (|x + 2| - 1)(-2x^2 + 8) ≤ 0$.

Разделим обе части неравенства на $-2$.

$(|x + 2| - 1)(x^2 - 4) ≥ 0$.

Согласно 2: $(x + 2 - 1)(x + 2 + 1)(x^2 - 4) ≥ 0, (x + 1)(x + 3)(x - 2)(x + 2) ≥ 0$.

Решение неравенства показано на рисунке.

$x ≤ -3, -2 ≤ x ≤ -1, x ≥ 2$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$-2 < x < -1; 2 ≤ x < 6$.

${4^x + 27·2^x + 18}/{2^{2x} + 8·2^x + 12} ≥ 1 + 2^x - {2^x - 3}/{2^x + 6}$.

Обозначим $2^x = t, t > 0$. Неравенство примет вид:

${t^2 + 27t + 18}/{t^2 + 8t + 12} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

${t^2 + 8t + 12 + 19t + 6}/{t^2 + 8t + 12} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

$1 + {19t + 6}/{(t + 2)(t + 6)} ≥ 1 + t - {t - 3}/{t + 6}$,

${19t + 6}/{(t + 2)(t + 6)} - t + {t - 3}/{t + 6} ≥ 0$,

$-{t(t^2 + 7t - 6)}/{(t + 2)(t + 6)} ≥ 0$.

Полученное неравенство при условии $t > 0$ равносильно неравенству $t^2 + 7t - 6 ≤ 0$ (так как $t> 0, t + 2 > 0$ и $t + 6 > 0$),

$0 < t ≤ {√{73} - 7}/{2}$,

$0 < 2^x ≤ {√{73} - 7}/{2}$,

$x ≤ log_2 {√{73} - 7}/{2}$.

Преобразуем исходное неравенство: ${11log_4x − 28 + (3log_4x − 4)(2log_4x − 1)}/{2log_4x − 1} ≥ 0$.

Обозначим $log_4x = t$.

Тогда неравенство примет вид: ${11t − 28 + 6t^2 − 11t + 4}/{2t − 1} ≥ 0$.

${6t^2 − 24}/{2t − 1} ≥ 0, {(t − 2)(t + 2)}/{t −{1}/{2}} ≥ 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$(t − 2)(t + 2) = 0, t = 2; t = −2.$

$t −{1}/{2} ≠ 0, t ≠{1}/{2}.$

Получим $t ∈ [−2; {1}/{2}) ∪ [2; +∞).$

Вернёмся к исходной переменной.

$\[\table{\{\table\log_4x ≥-2; \log_4x <{1}/{2};}; \log_4x ≥2;$ $\[\table{\{\table\x ≥{1}/{16}; \0 < x < 4^{{1}/{2}};}; \x ≥16;$

$\[\table{\{\table\x ≥{1}/{16}; \0 < x < 2;}; \x ≥16;$ $x ∈ [{1}/{16}; 2) ∪ [16; +∞).$

Преобразуем исходное неравенство: ${(3log_9x +1)- (3-log_9x)(2log_9x + 3)}/{2log_9x +3} ≤ 0$.

Обозначим $log_9x = t$.

Тогда неравенство примет вид: ${3t + 1- (3-t)(2t+3)}/{2t+3} ≤ 0$.

${2t^2 − 8}/{2t +3} ≤ 0, {(t − 2)(t + 2)}/{t +{3}/{2}} ≤ 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$(t − 2)(t + 2) = 0, t = -2; t = 2.$

$t +{3}/{2} ≠ 0, t ≠-{3}/{2}.$

Получим $t ∈ (−∞; -2] ∪ (-{3}/{2}; 2].$

Вернёмся к исходной переменной.

$\[\table{\{\table\log_9x >-{3}/{2}; \log_9x ≤2;}; \log_9x ≤-2;$ $\[\table{\{\table\x >(9^{{3}/{2}})^{-1}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ 9^{-2};$

$\[\table{\{\table\x >(27)^{-1}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ {1}/{81};$ $\[\table{\{\table\x > {1}/{27}; \0 < x ≤ 81;}; \0 < x ≤ {1}/{81};$ $x ∈ (0; {1}/{81}] ∪ ({1}/{27}; 81].$

В правой части неравенства стоит $0$, в левой - произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей.

При $x ={10}/{7}$ выражение $7x-10 = 0$, при $x > {10}/{7}$ выражение $7x-10 > 0$, а при $x < {10}/{7}$ выражение $7x - 10 < 0$.

Рассмотрим выражение $log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9)$. Заметим, что $x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 + 5 ≥ 5$ при любых значениях $x$. Значит, при $4x - 3 > 1$, то есть при $x > 1$, выражение $log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9) >0$, при $0 < 4x - 3 < 1$, то есть при ${3}/{4} < x < 1, log_{4x-3}(x^2 - 4x + 9) < 0$ и не определено при $x ≤{3}/{4}$ и $x = 1$.

Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых.

Таким образом, решение исходного неравенства: ${3}/{4} < x < 1; x ≥ {10}/{7}$.

ОДЗ уравнения $\{\table\x-1 > 0; \9(x-1)≠1;$ то есть $x > 1, x ≠{10}/{9}$.

Используя формулу $log_ab ={log_cb}/{log_ca}$, получаем $log_{9(x−1)}3 = {1}/{log_3(x − 1) + 2}$.

Неравенство примет вид $log_3(x − 1) ≤ 4 − {9}/{log_3(x − 1) + 2}$. Пусть $log_3(x − 1) = t$, тогда $t − 4 + {9}/{t + 2} ≤ 0, {(t − 1)^2}/{t + 2} ≤ 0, t = 1$ или $t < −2$.

$log_3(x − 1) = 1$, откуда $x − 1 = 3, x = 4$ или $log_3(x − 1) < −2$, откуда $x − 1 < {1}/{9}, x < {10}/{9}$. Учитывая ОДЗ, получим $1 < x < {10}/{9}, x = 4$.

План решения.

1. Отдельно преобразуем числитель и знаменатель.

1.1. В числителе вынесем за скобки $5^x$, чтобы в скобке осталась разность некоторого числа в степени $x$ и константы (вместо этого можно вынести за скобки $3^x$, а потом дополнительно преобразовать, или сразу вынести за скобки $3^{x+1}$).

1.2. В знаменателе "избавимся" от $log_{2}5$ в показателе степени (преобразуем его в множитель). После этого получим квадратичное выражение от $2^x$ (если сделать замену $t = 2^x$, то получим квадратичное выражение от $t$). Квадратичное выражение разложим на множители.

2. Все множители в числителе и знаменателе заменим более простыми, совпадающими по знаку (в том числе равными нулю одновременно с исходными -таким образом, не надо будет дополнительно думать об ОДЗ).

3. Решим неравенство, полученное на предыдущем шаге, методом интервалов.

Решение.

1. ${3^x - 5^{x+1}}/{4^x - 2^{x+log_{2 }5} + 4} ≤ 0; {(({3}/{5})^x - 5)·5^x}/{2^{2x} - 5 · 2^x + 4} ≤ 0; {({3}/{5})^x - 5}/{(2^x - 4)(2^x - 1)} ≤ 0$.

2. ${({3}/{5})^x - ({3}/{5})^{log_{{3}/{5}}5}/{(2^x - 2^2)(2^x - 2^0) ≤ 0$.

Выражения $({3}/{5})^x - 5, 2^x - 2^2, 2^x - 2^0$ совпадают по знаку с выражениями $({3}/{5} - 1)·(x - log_{{3}/{5}}5), (2 - 1)·(x - 2)$ и $(2 - 1) ·(x - 0)$ соответственно.

${({3}/{5} - 1)·(x - log_{{3}/{5}}5)}/{(2 - 1)·(x - 2)·(2 - 1) · (x - 0) ≤ 0$.

3. ${x - log_{{3}/{5}}5}/{(x - 2)·x} ≥ 0$.

$x∈[log_{{3}/{5}}5;0)∪(2;+∞)$