Функция $y(x)$ определена, непрерывна и дифференцируема на промежутке $[28; 36]$. $y'={2} / {3}⋅{3} / {2}√ {x}-6=√ {x}-6$. $y'=0$ при $x=36$.Так как $y'<0$ на промежутке $[28; 36]$, то функция $y={2} / {3} x√ {x}-6x+2$ является убывающей, следовательно, наименьшее значение принимает в правом конце отрезка $[28; 36]$. $y(36)={2} / {3}⋅ 36⋅√ {36}-6⋅36+2=144-216+2=-70$.

$y'=5\cos x-(5x-7)\sin x-5\cos x=-(5x-7)\sin x$. $y'=0$ при $x=1{,}4∈(0; {π} / {2})$ ($\sin x≠0$ на заданном промежутке). При переходе через точку $x=1{,}4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=1{,}4$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y'=3x^2-16x+13$. Находим стационарные точки из условия $y'=0$: $3x^2-16x+13=0$, откуда $x=1$, $x={13} / {3}$. Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x=1$, значит, эта точка является точкой максимума (см. рис. $$).

$y'=2(x-3)(x-4)+(x-3)^2=(x-3)(2x-8+x-3)= (x-3)(3x-11)$. $y'=0$ при $x=3$ и $x={11} / {3}$.

Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$y'=-e^{5-x}-(5-x)e^{5-x}=e^{5-x}(-1-5+x)=(x-6)e^{5-x}$. $y'=0$ при $x=6$, $y'<0$ при $x<6$, $y'>0$ при $x>6$. При переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ — точка минимума функции.

В силу возрастания функции $y=3^t$ точки максимума функций $y=3^{9x-x^2}$ и $y=9x-x^2$ совпадают. Точка максимума функции $y=9x-x^2$ — это абсцисса вершины параболы, ветви которой направлены вниз, то есть ${-9} / {-2}=4{,}5$. Значит, $x=4{,}5$ — точка максимума функции $y=3^{9x-x^2}$.

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций, производной линейной, тригонометрической и степенной функций.

$y′ = (5x - 14)′·sin x + (sin x)′·(5x - 14) - 5 sin x$,

$y′ = 5 sin x + cos x(5x - 14) - 5 sin x = cos x(5x - 14)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $cos x < 0$ на заданном интервале, то $5x - 14 = 0, x = 2.8. {π}/{2} ≈ 1.57, π ≈ 3.14$, поэтому $2.8 ∈ ({π}/{2}; π)$.

3. $cos x < 0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $y = -(5x -14) = -5x+ 14. -5x+ 14 > 0$ при $x < 2.8, -5x + 14 < 0$ при $x > 2.8$, поэтому производная $y′$ имеет знак "плюс" при $x < 2.8$ и знак "минус" при $x > 2.8$.

Следовательно, точка $x = 2.8$ будет точкой максимума.

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y'>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x - x^2}}·(77 + 4x - x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x - x^2}} = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}, y′ = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x - 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x - x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞)$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln(x+7)^3=3\ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3\ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3\ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $\ln 1=0$.

Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.

2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.

3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {1}/{4 - 2x} · (4 - 2x)′ + (2x)′ - (7)' = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x - 3}/{x - 2}$.

$y′ = {2x - 3}/{x - 2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x - 3}/{x - 2} = 0,$

$2x - 3 = 0,$

$x = {3}/{2}$.

Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x - 3)(x - 2) = 2x^2 - 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».

При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y({3}/{2}) = ln (4 - 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} - 7 = ln 1 + 3 - 7 = -4$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

Тем самым производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.