Задание 12. Графики функций. ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 12 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 12:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $f(219)$
Решение
Подставим точку с координатами $(4;0)$ в данную функцию и получим $b=-3$,
После этого подставим точку $(9;1)$ и найдем $a=6$, получим функцию ${f(x) = log_6(x -3)}$
Тогда, ${f(219) = log_6(219 -3)=3}$
Задача 2
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_a(x) + b}$. Найдите $f(27)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_3(x) -1}$
Тогда, $f(27)={log_3(27) -1=2}$
Задача 3
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $f(2)$
Решение
Подставим точку с координатами $(0;-3)$ в данную функцию и получим $b=-4$,
После этого подставим точку $(1;1)$ и найдем $a=5$, получим функцию $f(x)={{5^x}-{4}}$
Тогда, $f(2)={{5^2}-{4}=21}$
Задача 4
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√x}+{p}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-9$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-6}{√x}+{3}}$
Тогда ${{-6}{√x}+{3}}={-9} ⇒ x=4$.
Задача 5
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 6
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}}$ и $g(x)={{-4x}+{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${-{5/x}}={{-4x}+{8}} ⇒ x_1 = -0,5; x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5$ - абсцисса точки $A$, $x_1 = -0,5$ - абсцисса точки $B$
Задача 7
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 8
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $f(-4)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2/x}+{3}}$
Тогда, $f(-4)={{2/(-4)}+{3}=2,5}$
Задача 9
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(-15)$
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(-3;-2)$, значит $m=3; n=-2$.
Получаем уравнение: $y=a(x+3)^2-2$.
Возьмем точку $(-1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(-1+3)^2-2 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x+3)^2-2$
Найдем $f(-15)={{(-15+3)^2}-{2}=142}$
Задача 10
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x}-{6}}$ и $g(x)={{0,4x}+{7,2}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{x}-{6}}={{0,4x}+{7,2}} ⇒ {x=22}$ - абсцисса точки пересечения
Задача 11
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2x}+{2}}$ и $g(x)={{-0,5x}+{1,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{2x}+{2}}={{-0,5x}+{1,5}} ⇒ {x=-0,2}$ - абсцисса точки пересечения
Задача 12
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 13
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(-22) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(-4) = -1 $, значит:
$ f(-4) = {a}/{-4 + 2} - 2 = -1 $
$ a = -2 $
$ f(-22) = {-2}/{-22 + 2} - 2 = 0.1 - 2 = -1.9 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 14
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 15
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 4 $, значит $ a = 4 $
Задача 16
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Задача 17
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = log_2(ax + b) + 2 $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ -a + b = 0 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 4 $, значит:
$ f(0) = log_2(a·0 + b) + 2= 4 $
$ \{\table\-a + b = 0; \ log_2{b} = 2;$
$ b = 4 $
$ a = 4 $
$ a+b = 8$
Задача 18
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -8 $, значит $ с = -8 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = -15 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 5} - 8 = -15 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 - 5 - 8 = -6 $
Задача 19
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(6) = 0 $, значит:
$ f(6) = {a}/{6 - 5} - 2 = 0 $
$ a = 2 $
Сумма равна: $ 2 - 5 -2 = -5 $
Задача 20
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее 1. При пересечении оси $Oy$ функция принимает наименьшее значение, значит коэффициент $a=-0,5$ Функция принимает вид ${f(x) = {-0,5}cos{x}+b}$. Функция достигает наибольшего значения при $cos{x}=1 ⇒ b=1,5$
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
