В силу возрастания функции $y=3^t$ точки максимума функций $y=3^{9x-x^2}$ и $y=9x-x^2$ совпадают. Точка максимума функции $y=9x-x^2$ — это абсцисса вершины параболы, ветви которой направлены вниз, то есть ${-9} / {-2}=4{,}5$. Значит, $x=4{,}5$ — точка максимума функции $y=3^{9x-x^2}$.

$y'=(8x-48)e^{x-48}+(4x^2-48x+48)e^{x-48}=(4x^2-40x)e^{x-48} =4x(x-10)e^{x-48}$. $y'=0$ при $x=0$, $x=10$.

$y=-y={x^2+4} / {x}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(f/g)'={f'·g-f·g'}/{g^2}$

$y'={2x·x-(x^2+4)·1}/{x^2}={x^2-4}/{x^2}$

$y'=0; {x^2-4}/{x^2}=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x_1=2, x_2=-2, x≠0$



$x_{max}=-2$

$y'=2(x-3)(x-4)+(x-3)^2=(x-3)(2x-8+x-3)= (x-3)(3x-11)$. $y'=0$ при $x=3$ и $x={11} / {3}$.

Функция определена для всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно. Решая неравенство $12-x^2-4x>0$, находим область определения функции $y=\log_3(12-x^2-4x)+10$:
$x^2+4x-12<0$, $(x+6)(x-2)<0$, откуда $-6 $y'(x)=(\log_3(12-x^2-4x)+10)'={-2x-4} / {(12-x^2-4x)\ln3}$. $y'(x)=0$ при $x=-2$. $-2∈(-6; 2)$. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-2$ — точка максимума (см. рис. $$).

$√ {20-8x-x^2}=√ {36-(x+4)^2}$. Подкоренное выражение неотрицательно при любом допустимом значении $x∈$ и принимает наибольшее значение, равное $36$, при $x=-4$. Наибольшее значение арифметический корень принимает при наибольшем значении подкоренного выражения, значит, наибольшее значение функции $y=√ {20-8x-x^2}$ равно $√ {36}=6$.

Функция $y(x)$ определена, непрерывна и дифференцируема на промежутке $[28; 36]$. $y'={2} / {3}⋅{3} / {2}√ {x}-6=√ {x}-6$. $y'=0$ при $x=36$.Так как $y'<0$ на промежутке $[28; 36]$, то функция $y={2} / {3} x√ {x}-6x+2$ является убывающей, следовательно, наименьшее значение принимает в правом конце отрезка $[28; 36]$. $y(36)={2} / {3}⋅ 36⋅√ {36}-6⋅36+2=144-216+2=-70$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y^′=5x^4-30x^2-135$

2. Решаем уравнение $y^′ =0$. Сделаем подстановку $x^2=t$ ($t⩾0$), получим уравнение $5t^2-30t-135=0$ или $t^2-6t-27=0$. $t_1=-3$, $t_2=9$. $t_1=-3$ не удовлетворяет условию $t⩾0$

Уравнение $x^2=9$ имеет два корня $x_1=-3$, $x_2=3$

На промежуток $[-5 ;0]$, указанный в условии, попадает лишь одно число $x=-3$

Получаем единственную стационарную точку

3. Найдём знак производной на двух интервалах $(-5;-3)$ и $(-3;0)$, на которые точка $x=-3$ разбивает интервал $(-5 ;0)$

Для этого найдем значения производной в точке $x=-4$ из первого интервала, и в точке $x=-1$ из второго интервала. $y^′(-4)=5⋅(-4)^4-30⋅(-4)^2-135=1280-480-135>0$, $y^′(-1)=5⋅(-1)^4-30⋅(-1)^2-135=5-30-135<0$

Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-3$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения. $y(-3)=(-3)^5-10⋅(-3)^3-135⋅(-3)=-243+270+405=432$.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 - {25}/{x^2} = {25x^2 - 25}/{x^2} = {25(x^2 - 1)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = -9x-{9}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = -9 + {9}/{x^2} = {-9x^2 +9}/{x^2} = {-9(x^2 - 1)}/{x^2}, y′ = {-9(x^2 - 1)}{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного двучлена $-x^2 +1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ > 0$ при $-1 < x < 0, y′ > 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ < 0$ при $x > 1$.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "плюса" на "минус". Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 - 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.

Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} - {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 - √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 - √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 - √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 - √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 - 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.3]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {-7}/{2 - x} · (2 - x)′ - (7x)′ + 10 = {7}/{2-x} - 7 = {7x - 7}/{2-x}={-7(x-1)}/{x-2}$.

$y′ = {-7(x-1)}/{x-2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. x - 1 = 0, x=1$.

Получили одну стационарную точку $x = 1$, которая принадлежит промежутку $[0; 1.3]$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-7(x - 1)(x - 2) = -7x^2 + 21x - 14$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $1$ и $2$. Поэтому при $0 < x < 1$ его знак «минус», а при $1 < x < 1.3$ знак «плюс».

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x = 1$ является точкой минимума и в ней достигается наименьшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y(1) = -7ln (2 - 1)-7 · 1 + 10 = -7ln 1 - 7 + 10 = 3$.

Областью определения этой функции является интервал $(1; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций. $y^′={5} / {2√ x}-{12} / {x-1}= {5(x-1)-24√ x} / {2√ x (x-1)}= {5x-5-24√ x} / {2√ x (x-1)}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$; $5x-5-24√ x=0$. Сделаем замену $√ x=t$ ($t>1$). Получим уравнение $5t^2-24t-5=0$.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: $t_{1,2}={12±√ {144+25}} / {5}={12± 13} / {5}$, $t_1=-{1} / {25}$, $t_2=5$. $t_1=-{1} / {25}$ не удовлетворяет условию $t>1$. Уравнение $√ x =5$ имеет решение $x =25$. Получили единственную стационарную точку $x =25$, принадлежащую промежутку $(1;+∞)$.

Так как $x>1$, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-5-24√ x$.

Для определения её знака на интервале $(1; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x =25$ и другая, больше, чем $x =25$. $y_1(9)=5⋅ 9-5-24√ 9=45-5-72<0$, а $y_1(36)=5⋅ 36-5-24√ 36=180-5-144>0$.

3. Получаем, что производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через единственную стационарную точку $x =25$. Поэтому точка $x=25$ будет точкой минимума.