Задание 12. Наименьшее и наибольшее значение функции. ЕГЭ 2024 по математике профильного уровня

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 - 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.

Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 - 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:

$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.

Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.

При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 - sin x), y′ = -4(1 - sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 - sin x > 1$ и $-4(1 - sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x - 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 - 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ \sin x+(\sin x)^′⋅(12-5x)+5\sin x$, $y^′=-5\sin x+\cos x(12-5x)+5\sin x=-\cos x(5x-12)$, $y^′=-\cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $\cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $\cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

Тем самым производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-5)′·(x^2+144)-(x^2+144)′·(x-5)}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {x^2+144-2x·(x-5)}/{(x^2+144)^2}={x^2+144-2x^2+10x}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {-x^2+10x+144}/{(x^2+144)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 10x+144 = 0, x^2-10x-144=0, x_{1,2} = 5±√{25+144}=5±√{169}=5±13, x_1=-8, x_2=18$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +10x+144$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-8$ и $18$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-8)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-8; 18)$ она больше нуля и на промежутке $(18;+∞)$ меньше нуля.

Тем самым производная меняет знак с "плюса" на "минус" при переходе через точку $x = 18$, которая и будет точкой максимума.

Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема

Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции

1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$

По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$

2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $

Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет

3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает

Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$

$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 - {25}/{x^2} = {25x^2 - 25}/{x^2} = {25(x^2 - 1)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 - 15x^2 - 270$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 - 15t - 270 = 0$ или $t^2 - 3t - 54 = 0$.

$t_1 = -6, t_2 = 9$.

$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.

3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.

$y′(1) = 5·1^4 - 15·1^2 - 270 = 5 - 15 - 270 < 0$,

$y′(4) = 5·4^4 - 15·4^2 - 270 = 1280- 240 - 270 > 0$.

Производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(3) = 3^5 - 5·3^3 - 270·3 = 243-135-810 = -702$.

Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 - (x + 4)^2}$.

Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 - 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].

При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.

$y(-1) = √{121} = 11$.

Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x - x^2}}·(77 + 4x - x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x - x^2}} = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}, y′ = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x - 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x - x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y'>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.