$y'=5\cos x-(5x-7)\sin x-5\cos x=-(5x-7)\sin x$. $y'=0$ при $x=1{,}4∈(0; {π} / {2})$ ($\sin x≠0$ на заданном промежутке). При переходе через точку $x=1{,}4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=1{,}4$ — точка максимума (см. рис. $$).

Функция определена для всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно. Решая неравенство $12-x^2-4x>0$, находим область определения функции $y=\log_3(12-x^2-4x)+10$:
$x^2+4x-12<0$, $(x+6)(x-2)<0$, откуда $-6 $y'(x)=(\log_3(12-x^2-4x)+10)'={-2x-4} / {(12-x^2-4x)\ln3}$. $y'(x)=0$ при $x=-2$. $-2∈(-6; 2)$. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-2$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y=-y={x^2+4} / {x}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(f/g)'={f'·g-f·g'}/{g^2}$

$y'={2x·x-(x^2+4)·1}/{x^2}={x^2-4}/{x^2}$

$y'=0; {x^2-4}/{x^2}=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x_1=2, x_2=-2, x≠0$



$x_{max}=-2$

Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$√ {20-8x-x^2}=√ {36-(x+4)^2}$. Подкоренное выражение неотрицательно при любом допустимом значении $x∈$ и принимает наибольшее значение, равное $36$, при $x=-4$. Наибольшее значение арифметический корень принимает при наибольшем значении подкоренного выражения, значит, наибольшее значение функции $y=√ {20-8x-x^2}$ равно $√ {36}=6$.

Функция $y(x)$ определена, непрерывна и дифференцируема на промежутке $[28; 36]$. $y'={2} / {3}⋅{3} / {2}√ {x}-6=√ {x}-6$. $y'=0$ при $x=36$.Так как $y'<0$ на промежутке $[28; 36]$, то функция $y={2} / {3} x√ {x}-6x+2$ является убывающей, следовательно, наименьшее значение принимает в правом конце отрезка $[28; 36]$. $y(36)={2} / {3}⋅ 36⋅√ {36}-6⋅36+2=144-216+2=-70$.

$y'=(8x-48)e^{x-48}+(4x^2-48x+48)e^{x-48}=(4x^2-40x)e^{x-48} =4x(x-10)e^{x-48}$. $y'=0$ при $x=0$, $x=10$.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 - {25}/{x^2} = {25x^2 - 25}/{x^2} = {25(x^2 - 1)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y^′=5x^4-30x^2-135$

2. Решаем уравнение $y^′ =0$. Сделаем подстановку $x^2=t$ ($t⩾0$), получим уравнение $5t^2-30t-135=0$ или $t^2-6t-27=0$. $t_1=-3$, $t_2=9$. $t_1=-3$ не удовлетворяет условию $t⩾0$

Уравнение $x^2=9$ имеет два корня $x_1=-3$, $x_2=3$

На промежуток $[-5 ;0]$, указанный в условии, попадает лишь одно число $x=-3$

Получаем единственную стационарную точку

3. Найдём знак производной на двух интервалах $(-5;-3)$ и $(-3;0)$, на которые точка $x=-3$ разбивает интервал $(-5 ;0)$

Для этого найдем значения производной в точке $x=-4$ из первого интервала, и в точке $x=-1$ из второго интервала. $y^′(-4)=5⋅(-4)^4-30⋅(-4)^2-135=1280-480-135>0$, $y^′(-1)=5⋅(-1)^4-30⋅(-1)^2-135=5-30-135<0$

Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-3$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения. $y(-3)=(-3)^5-10⋅(-3)^3-135⋅(-3)=-243+270+405=432$.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 - 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = -9x-{9}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = -9 + {9}/{x^2} = {-9x^2 +9}/{x^2} = {-9(x^2 - 1)}/{x^2}, y′ = {-9(x^2 - 1)}{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного двучлена $-x^2 +1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ > 0$ при $-1 < x < 0, y′ > 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ < 0$ при $x > 1$.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "плюса" на "минус". Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 - sin x), y′ = -4(1 - sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 - sin x > 1$ и $-4(1 - sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x - 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 - 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y'>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞)$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln(x+7)^3=3\ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3\ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3\ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $\ln 1=0$.