$y'=2(x-3)(x-4)+(x-3)^2=(x-3)(2x-8+x-3)= (x-3)(3x-11)$. $y'=0$ при $x=3$ и $x={11} / {3}$.

$y'=-e^{x-3}+(4-x)e^{x-3}=e^{x-3}(-1+4-x)=(3-x)e^{x-3}$. $y'=0$ при $x=3$. Знак производной $y'$ совпадает со знаком выражения $3-x$. Наибольшее значение на отрезке $[1; 9]$ функция принимает в точке максимума, то есть при $x=3$ (см. рис. ). $y(3)=(4-3)e^{3-3}=1$.

$y'=-e^{5-x}-(5-x)e^{5-x}=e^{5-x}(-1-5+x)=(x-6)e^{5-x}$. $y'=0$ при $x=6$, $y'<0$ при $x<6$, $y'>0$ при $x>6$. При переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ — точка минимума функции.

$√ {20-8x-x^2}=√ {36-(x+4)^2}$. Подкоренное выражение неотрицательно при любом допустимом значении $x∈$ и принимает наибольшее значение, равное $36$, при $x=-4$. Наибольшее значение арифметический корень принимает при наибольшем значении подкоренного выражения, значит, наибольшее значение функции $y=√ {20-8x-x^2}$ равно $√ {36}=6$.

Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$y'=(8x-48)e^{x-48}+(4x^2-48x+48)e^{x-48}=(4x^2-40x)e^{x-48} =4x(x-10)e^{x-48}$. $y'=0$ при $x=0$, $x=10$.

В силу возрастания функции $y=3^t$ точки максимума функций $y=3^{9x-x^2}$ и $y=9x-x^2$ совпадают. Точка максимума функции $y=9x-x^2$ — это абсцисса вершины параболы, ветви которой направлены вниз, то есть ${-9} / {-2}=4{,}5$. Значит, $x=4{,}5$ — точка максимума функции $y=3^{9x-x^2}$.

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.3]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {-7}/{2 - x} · (2 - x)′ - (7x)′ + 10 = {7}/{2-x} - 7 = {7x - 7}/{2-x}={-7(x-1)}/{x-2}$.

$y′ = {-7(x-1)}/{x-2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. x - 1 = 0, x=1$.

Получили одну стационарную точку $x = 1$, которая принадлежит промежутку $[0; 1.3]$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-7(x - 1)(x - 2) = -7x^2 + 21x - 14$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $1$ и $2$. Поэтому при $0 < x < 1$ его знак «минус», а при $1 < x < 1.3$ знак «плюс».

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x = 1$ является точкой минимума и в ней достигается наименьшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y(1) = -7ln (2 - 1)-7 · 1 + 10 = -7ln 1 - 7 + 10 = 3$.

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞)$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln(x+7)^3=3\ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3\ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3\ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $\ln 1=0$.

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} - {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 - √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 - √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 - √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 - √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:

$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.

Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.

При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении x. Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(0; 1)$ и концах отрезка $[0; 1]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной сложной и показательной функций: $y′ = 4e^{2x} - 10e^x = 2e^x(2e^x - 5). y′ = 2e^x(2e^x - 5)$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $2e^x - 5 = 0, e^x = {5}/{2} = 2.5, x = ln 2.5$. Но, $1 < 2.5 < e$, поэтому $0 < ln 2.5 < 1, 0 < x < 1$.

Получили одну стационарную точку $x = ln 2.5$, которая принадлежит промежутку $(0; 1)$.

3. Знак производной совпадает со знаком функции $y = 2e^x - 5$. Эта функция возрастающая, поэтому при $x < ln 2.5$ её знак — «минус», а при $ln 2.5 < x < 1$ её знак — «плюс».

При переходе через точку $x = ln 2.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x = ln 2.5$ является точкой минимума и в ней достигается наименьшее значение (других точек экстремума нет, функция убывает при $x ≤ ln 2.5$ и возрастает при $x ≥ ln 2.5$, поэтому значение на концах отрезка можно не искать).

4. $y(ln 2.5) = 2e^{2·ln 2.5} - 10e^{ln 2.5} + 8, y(ln 2.5) = 2 · (2.5)^2 - 10 · 2.5 + 8 = 12.5 - 25 + 8 = -4.5$.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 - 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.

Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x - x^2}}·(77 + 4x - x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x - x^2}} = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}, y′ = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x - 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x - x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема

Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции

1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$

По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$

2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $

Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет

3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает

Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$

$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.