Функция определена для всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно. Решая неравенство $12-x^2-4x>0$, находим область определения функции $y=\log_3(12-x^2-4x)+10$:
$x^2+4x-12<0$, $(x+6)(x-2)<0$, откуда $-6 $y'(x)=(\log_3(12-x^2-4x)+10)'={-2x-4} / {(12-x^2-4x)\ln3}$. $y'(x)=0$ при $x=-2$. $-2∈(-6; 2)$. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-2$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y'=2(x-3)(x-4)+(x-3)^2=(x-3)(2x-8+x-3)= (x-3)(3x-11)$. $y'=0$ при $x=3$ и $x={11} / {3}$.

$y'=-e^{x-3}+(4-x)e^{x-3}=e^{x-3}(-1+4-x)=(3-x)e^{x-3}$. $y'=0$ при $x=3$. Знак производной $y'$ совпадает со знаком выражения $3-x$. Наибольшее значение на отрезке $[1; 9]$ функция принимает в точке максимума, то есть при $x=3$ (см. рис. ). $y(3)=(4-3)e^{3-3}=1$.

Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$y'=3x^2-16x+13$. Находим стационарные точки из условия $y'=0$: $3x^2-16x+13=0$, откуда $x=1$, $x={13} / {3}$. Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x=1$, значит, эта точка является точкой максимума (см. рис. $$).

$y'=-e^{5-x}-(5-x)e^{5-x}=e^{5-x}(-1-5+x)=(x-6)e^{5-x}$. $y'=0$ при $x=6$, $y'<0$ при $x<6$, $y'>0$ при $x>6$. При переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ — точка минимума функции.

$y=-y={x^2+4} / {x}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(f/g)'={f'·g-f·g'}/{g^2}$

$y'={2x·x-(x^2+4)·1}/{x^2}={x^2-4}/{x^2}$

$y'=0; {x^2-4}/{x^2}=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x_1=2, x_2=-2, x≠0$



$x_{max}=-2$

Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 - (x + 4)^2}$.

Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} - {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 - √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 - √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 - √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 - √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ \sin x+(\sin x)^′⋅(12-5x)+5\sin x$, $y^′=-5\sin x+\cos x(12-5x)+5\sin x=-\cos x(5x-12)$, $y^′=-\cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $\cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $\cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y^′=5x^4-30x^2-135$

2. Решаем уравнение $y^′ =0$. Сделаем подстановку $x^2=t$ ($t⩾0$), получим уравнение $5t^2-30t-135=0$ или $t^2-6t-27=0$. $t_1=-3$, $t_2=9$. $t_1=-3$ не удовлетворяет условию $t⩾0$

Уравнение $x^2=9$ имеет два корня $x_1=-3$, $x_2=3$

На промежуток $[-5 ;0]$, указанный в условии, попадает лишь одно число $x=-3$

Получаем единственную стационарную точку

3. Найдём знак производной на двух интервалах $(-5;-3)$ и $(-3;0)$, на которые точка $x=-3$ разбивает интервал $(-5 ;0)$

Для этого найдем значения производной в точке $x=-4$ из первого интервала, и в точке $x=-1$ из второго интервала. $y^′(-4)=5⋅(-4)^4-30⋅(-4)^2-135=1280-480-135>0$, $y^′(-1)=5⋅(-1)^4-30⋅(-1)^2-135=5-30-135<0$

Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-3$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения. $y(-3)=(-3)^5-10⋅(-3)^3-135⋅(-3)=-243+270+405=432$.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 - 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].

При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.

$y(-1) = √{121} = 11$.

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема.

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 3x+{243}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 3 - {243}/{x^2} = {3x^2 - 243}/{x^2} = {3(x^2 - 81)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 81 = 0, x_1 = -9, x_2 = 9$. Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на интервал $[1;8]$. Значит, на заданном промежутке стационарных точек нет.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -81$. Поэтому $y′ < 0$ при $1 < x < 8$, значит, функция $y = {3x^2 + 243}/{x}$ на отрезке $[1; 8]$ убывает.

Наибольшее значение она принимает в точке $x = 1$.

$y(1) = 3·1 + {243}/{1} = 3 + 243 = 246$.

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 - 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y'>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.