$y'=-e^{5-x}-(5-x)e^{5-x}=e^{5-x}(-1-5+x)=(x-6)e^{5-x}$. $y'=0$ при $x=6$, $y'<0$ при $x<6$, $y'>0$ при $x>6$. При переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ — точка минимума функции.

$√ {20-8x-x^2}=√ {36-(x+4)^2}$. Подкоренное выражение неотрицательно при любом допустимом значении $x∈$ и принимает наибольшее значение, равное $36$, при $x=-4$. Наибольшее значение арифметический корень принимает при наибольшем значении подкоренного выражения, значит, наибольшее значение функции $y=√ {20-8x-x^2}$ равно $√ {36}=6$.

Функция определена для всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно. Решая неравенство $12-x^2-4x>0$, находим область определения функции $y=\log_3(12-x^2-4x)+10$:
$x^2+4x-12<0$, $(x+6)(x-2)<0$, откуда $-6 $y'(x)=(\log_3(12-x^2-4x)+10)'={-2x-4} / {(12-x^2-4x)\ln3}$. $y'(x)=0$ при $x=-2$. $-2∈(-6; 2)$. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-2$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y'=(8x-48)e^{x-48}+(4x^2-48x+48)e^{x-48}=(4x^2-40x)e^{x-48} =4x(x-10)e^{x-48}$. $y'=0$ при $x=0$, $x=10$.

$y'=5\cos x-(5x-7)\sin x-5\cos x=-(5x-7)\sin x$. $y'=0$ при $x=1{,}4∈(0; {π} / {2})$ ($\sin x≠0$ на заданном промежутке). При переходе через точку $x=1{,}4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=1{,}4$ — точка максимума (см. рис. $$).

Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$y=-y={x^2+4} / {x}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(f/g)'={f'·g-f·g'}/{g^2}$

$y'={2x·x-(x^2+4)·1}/{x^2}={x^2-4}/{x^2}$

$y'=0; {x^2-4}/{x^2}=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x_1=2, x_2=-2, x≠0$



$x_{max}=-2$

Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 - (x + 4)^2}$.

Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 - 15x^2 - 270$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 - 15t - 270 = 0$ или $t^2 - 3t - 54 = 0$.

$t_1 = -6, t_2 = 9$.

$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.

3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.

$y′(1) = 5·1^4 - 15·1^2 - 270 = 5 - 15 - 270 < 0$,

$y′(4) = 5·4^4 - 15·4^2 - 270 = 1280- 240 - 270 > 0$.

Производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(3) = 3^5 - 5·3^3 - 270·3 = 243-135-810 = -702$.

Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.

2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.

3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

Тем самым производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций, производной линейной, тригонометрической и степенной функций.

$y′ = (5x - 14)′·sin x + (sin x)′·(5x - 14) - 5 sin x$,

$y′ = 5 sin x + cos x(5x - 14) - 5 sin x = cos x(5x - 14)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $cos x < 0$ на заданном интервале, то $5x - 14 = 0, x = 2.8. {π}/{2} ≈ 1.57, π ≈ 3.14$, поэтому $2.8 ∈ ({π}/{2}; π)$.

3. $cos x < 0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $y = -(5x -14) = -5x+ 14. -5x+ 14 > 0$ при $x < 2.8, -5x + 14 < 0$ при $x > 2.8$, поэтому производная $y′$ имеет знак "плюс" при $x < 2.8$ и знак "минус" при $x > 2.8$.

Следовательно, точка $x = 2.8$ будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении x. Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(0; 1)$ и концах отрезка $[0; 1]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной сложной и показательной функций: $y′ = 4e^{2x} - 10e^x = 2e^x(2e^x - 5). y′ = 2e^x(2e^x - 5)$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $2e^x - 5 = 0, e^x = {5}/{2} = 2.5, x = ln 2.5$. Но, $1 < 2.5 < e$, поэтому $0 < ln 2.5 < 1, 0 < x < 1$.

Получили одну стационарную точку $x = ln 2.5$, которая принадлежит промежутку $(0; 1)$.

3. Знак производной совпадает со знаком функции $y = 2e^x - 5$. Эта функция возрастающая, поэтому при $x < ln 2.5$ её знак — «минус», а при $ln 2.5 < x < 1$ её знак — «плюс».

При переходе через точку $x = ln 2.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x = ln 2.5$ является точкой минимума и в ней достигается наименьшее значение (других точек экстремума нет, функция убывает при $x ≤ ln 2.5$ и возрастает при $x ≥ ln 2.5$, поэтому значение на концах отрезка можно не искать).

4. $y(ln 2.5) = 2e^{2·ln 2.5} - 10e^{ln 2.5} + 8, y(ln 2.5) = 2 · (2.5)^2 - 10 · 2.5 + 8 = 12.5 - 25 + 8 = -4.5$.

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {1}/{4 - 2x} · (4 - 2x)′ + (2x)′ - (7)' = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x - 3}/{x - 2}$.

$y′ = {2x - 3}/{x - 2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x - 3}/{x - 2} = 0,$

$2x - 3 = 0,$

$x = {3}/{2}$.

Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x - 3)(x - 2) = 2x^2 - 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».

При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y({3}/{2}) = ln (4 - 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} - 7 = ln 1 + 3 - 7 = -4$.

Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 - sin x), y′ = -4(1 - sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 - sin x > 1$ и $-4(1 - sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x - 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 - 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.