Область определения функции $(-6; +∞)$. $y'={1} / {x+6}-4={-4x-23} / {x+6}$. $y'=0$ при $-4x-23=0$, $x=-5{,}75$. $-5{,}75∈(-6; +∞)$. При переходе через точку $x=-5{,}75$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-5{,}75$ — точка максимума (см. рис. ).

$y'=-e^{5-x}-(5-x)e^{5-x}=e^{5-x}(-1-5+x)=(x-6)e^{5-x}$. $y'=0$ при $x=6$, $y'<0$ при $x<6$, $y'>0$ при $x>6$. При переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ — точка минимума функции.

$y'=2(x-3)(x-4)+(x-3)^2=(x-3)(2x-8+x-3)= (x-3)(3x-11)$. $y'=0$ при $x=3$ и $x={11} / {3}$.

$y'=5\cos x-(5x-7)\sin x-5\cos x=-(5x-7)\sin x$. $y'=0$ при $x=1{,}4∈(0; {π} / {2})$ ($\sin x≠0$ на заданном промежутке). При переходе через точку $x=1{,}4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=1{,}4$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y'=3x^2-16x+13$. Находим стационарные точки из условия $y'=0$: $3x^2-16x+13=0$, откуда $x=1$, $x={13} / {3}$. Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x=1$, значит, эта точка является точкой максимума (см. рис. $$).

Функция определена для всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно. Решая неравенство $12-x^2-4x>0$, находим область определения функции $y=\log_3(12-x^2-4x)+10$:
$x^2+4x-12<0$, $(x+6)(x-2)<0$, откуда $-6 $y'(x)=(\log_3(12-x^2-4x)+10)'={-2x-4} / {(12-x^2-4x)\ln3}$. $y'(x)=0$ при $x=-2$. $-2∈(-6; 2)$. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=-2$ — точка максимума (см. рис. $$).

$y=-y={x^2+4} / {x}$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(f/g)'={f'·g-f·g'}/{g^2}$

$y'={2x·x-(x^2+4)·1}/{x^2}={x^2-4}/{x^2}$

$y'=0; {x^2-4}/{x^2}=0$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x_1=2, x_2=-2, x≠0$



$x_{max}=-2$

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Областью определения этой функции является интервал $(1; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций. $y^′={5} / {2√ x}-{12} / {x-1}= {5(x-1)-24√ x} / {2√ x (x-1)}= {5x-5-24√ x} / {2√ x (x-1)}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$; $5x-5-24√ x=0$. Сделаем замену $√ x=t$ ($t>1$). Получим уравнение $5t^2-24t-5=0$.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: $t_{1,2}={12±√ {144+25}} / {5}={12± 13} / {5}$, $t_1=-{1} / {25}$, $t_2=5$. $t_1=-{1} / {25}$ не удовлетворяет условию $t>1$. Уравнение $√ x =5$ имеет решение $x =25$. Получили единственную стационарную точку $x =25$, принадлежащую промежутку $(1;+∞)$.

Так как $x>1$, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-5-24√ x$.

Для определения её знака на интервале $(1; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x =25$ и другая, больше, чем $x =25$. $y_1(9)=5⋅ 9-5-24√ 9=45-5-72<0$, а $y_1(36)=5⋅ 36-5-24√ 36=180-5-144>0$.

3. Получаем, что производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через единственную стационарную точку $x =25$. Поэтому точка $x=25$ будет точкой минимума.

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞)$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln(x+7)^3=3\ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3\ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3\ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $\ln 1=0$.

Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.

2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.

3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении x. Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(0; 1)$ и концах отрезка $[0; 1]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной сложной и показательной функций: $y′ = 4e^{2x} - 10e^x = 2e^x(2e^x - 5). y′ = 2e^x(2e^x - 5)$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $2e^x - 5 = 0, e^x = {5}/{2} = 2.5, x = ln 2.5$. Но, $1 < 2.5 < e$, поэтому $0 < ln 2.5 < 1, 0 < x < 1$.

Получили одну стационарную точку $x = ln 2.5$, которая принадлежит промежутку $(0; 1)$.

3. Знак производной совпадает со знаком функции $y = 2e^x - 5$. Эта функция возрастающая, поэтому при $x < ln 2.5$ её знак — «минус», а при $ln 2.5 < x < 1$ её знак — «плюс».

При переходе через точку $x = ln 2.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x = ln 2.5$ является точкой минимума и в ней достигается наименьшее значение (других точек экстремума нет, функция убывает при $x ≤ ln 2.5$ и возрастает при $x ≥ ln 2.5$, поэтому значение на концах отрезка можно не искать).

4. $y(ln 2.5) = 2e^{2·ln 2.5} - 10e^{ln 2.5} + 8, y(ln 2.5) = 2 · (2.5)^2 - 10 · 2.5 + 8 = 12.5 - 25 + 8 = -4.5$.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y^′=5x^4-30x^2-135$

2. Решаем уравнение $y^′ =0$. Сделаем подстановку $x^2=t$ ($t⩾0$), получим уравнение $5t^2-30t-135=0$ или $t^2-6t-27=0$. $t_1=-3$, $t_2=9$. $t_1=-3$ не удовлетворяет условию $t⩾0$

Уравнение $x^2=9$ имеет два корня $x_1=-3$, $x_2=3$

На промежуток $[-5 ;0]$, указанный в условии, попадает лишь одно число $x=-3$

Получаем единственную стационарную точку

3. Найдём знак производной на двух интервалах $(-5;-3)$ и $(-3;0)$, на которые точка $x=-3$ разбивает интервал $(-5 ;0)$

Для этого найдем значения производной в точке $x=-4$ из первого интервала, и в точке $x=-1$ из второго интервала. $y^′(-4)=5⋅(-4)^4-30⋅(-4)^2-135=1280-480-135>0$, $y^′(-1)=5⋅(-1)^4-30⋅(-1)^2-135=5-30-135<0$

Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-3$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения. $y(-3)=(-3)^5-10⋅(-3)^3-135⋅(-3)=-243+270+405=432$.

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} - {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 - √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 - √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 - √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 - √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 - 15x^2 - 270$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 - 15t - 270 = 0$ или $t^2 - 3t - 54 = 0$.

$t_1 = -6, t_2 = 9$.

$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.

3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.

$y′(1) = 5·1^4 - 15·1^2 - 270 = 5 - 15 - 270 < 0$,

$y′(4) = 5·4^4 - 15·4^2 - 270 = 1280- 240 - 270 > 0$.

Производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(3) = 3^5 - 5·3^3 - 270·3 = 243-135-810 = -702$.