Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=-{1} / {x+a}+c$, где $a$, $c$ — целые числа. Найдите $a$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -3 $, значит $ с = -3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ a = 1 $
Значит уравнение функции принимает вид: $y=-{1} / {x+1}-3$
Ответ: 1
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $b$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y=ax^2+bx+c$, где $a<0$,
так как ветви параболы направлены вниз. Если по горизонтальной оси отступить от вершины на $1$ вправо или влево, то можно заметить, что значение функции при этом уменьшается на $3$. Поэтому заданный график получается из графика параболы $y=-3x^2$, смещением на $4$ единицы вправо и на $2$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=-3(x-4)^2+2=-3x^2+24x-46$. Отсюда $b=24$.
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(22)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(2;1)$, значит $m=-2; n=1$.
Получаем уравнение: $y=a(x-2)^2+1$.
Возьмем точку $(1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(1-2)^2+1 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x-2)^2+1$
Найдем $f(22)={{(22-2)^2}+{1}=401}$
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 5
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $f(219)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_6(x -3)}$
Тогда, ${f(219) = log_6(219 -3)=3}$
Задача 6
На рисунке изображен график функции $f(x)={log_{a}{x} + b}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=6$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/2}{x} +4}$
Тогда $log_{1/2}{x} +{4}={6} ⇒ x=0,25$.
Задача 7
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=27$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(√3)^{x-2}}}$.
Тогда ${{(√3)^{x-2}}}={27} ⇒ x=8$.
Задача 8
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $f(-6)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/4)^{x+3}}}$
Тогда, $f(-6)={{(1/4)^{-6+3}}=64}$
Задача 9
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее -4. Справа оси $Oy$ точка максимума, значит коэффициент $a=3$
Задача 10
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$. Найдите $f(14)$
Решение
Функция задана уравнением: $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$, где $(-a,b)$ - координаты начала графика.
По графику определяем координаты начала: $(-2;-4)$, значит $a=2; b=-4$.
Получаем уравнение: $f(x)={{k}{√(x+2)}-{4}}$.
Возьмем точку $(2;0)$ чтобы определить коэффициент $k$. $0={{k}{√(2+2)}-{4}}$
Получаем: $f(x)={{2}{√(x+2)}-{4}}$
Найдем $f(14)$: $f(14)={{2}{√(14+2)}-{4}=4}$
Задача 11
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 12
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}}$ и $g(x)={{-4x}+{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${-{5/x}}={{-4x}+{8}} ⇒ x_1 = -0,5; x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5$ - абсцисса точки $A$, $x_1 = -0,5$ - абсцисса точки $B$
Задача 13
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Задача 14
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{-3x^2}+{7x}-{2}}$ и $g(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $g(x)={{-x^2}-{2x}+{2}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-3x^2}+{7x}-{2}}={{-x^2}-{2x}+{2}} ⇒ {{2x^2}-{9x}+{4}=0} ⇒ x_1 = 0,5; x_2 = 4$
$x_1 = 0,5$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = 4$ - абсцисса точки $B$
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(2,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-4x^2}+{3x}+{6}}$
Тогда, $f(2,5)={{-4×(2,5)^2}+{3×2,5}+{6}=-11,5}$
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(13)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2(x-6)^2}+{5}}$
Тогда, $f(13)={{-2(13-6)^2}+{5}=-93}$
Задача 17
на рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}-{7x}+{c}}$. Найдите $f(-1,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-3x^2}-{7x}+{5}}$
Тогда, $f(-1,5)={{-3⋅(-1,5)^2}-{7×(-1,5)}+{5}=8,75}$
Задача 18
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-17$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2,75x}-{6}}$.
Тогда ${{-2,75x}-{6}}={-17} ⇒ x=4$.
Задача 19
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $f(2)$
Решение
Подставим точку с координатами $(0;-3)$ в данную функцию и получим $b=-4$,
После этого подставим точку $(1;1)$ и найдем $a=5$, получим функцию $f(x)={{5^x}-{4}}$
Тогда, $f(2)={{5^2}-{4}=21}$
Задача 20
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
