Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график функции $y=√ {x+c}$ получается из графика функции $y=√ {x}$, смещением на $4$ единицы влево. Таким образом, изображён график функции $y=√ {x-(-4)}=√ {x+4}$ и $c=4$.
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $x$, при котором $ f(x) = 21 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(-2) = 4 $, значит:
$ f(-2) = {a}/{-2 -2} + 5 = 4 $, значит $ a = 4 $.
Тогда $ f(x) = {4}/{x-2} + 5 $, значит:
$ f(x) = 21 $.
${4}/{x-2} + 5 = 21 $.
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = log_2(ax + b) + 2 $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ -a + b = 0 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 4 $, значит:
$ f(0) = log_2(a·0 + b) + 2= 4 $
$ \{\table\-a + b = 0; \ log_2{b} = 2;$
$ b = 4 $
$ a = 4 $
$ a+b = 8$
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {x - 1} / {x + a} + d $. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $, если функцию записать в виде $ f(x) = b/{x+a} + c $, где числа $a$, $b$,$c$ и $d$ — целые.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = -2 $, значит $ a = 2 $
Преобразуем функцию:
$ f(x) = {x - 1} / {x + 2} + d = 1 - {3}/{x+2} + d $
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ 1 + d = 3 $
$ d = 2 $
$ f(x) = {-3}/ {x + 2} + 3 $
$ b = -3; a = 2; c = 3 $
Задача 7
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение дискриминанта уравнения $f(x)=0$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(x+1)^2}-{4}={x^2}+{2x}-{3}}$, значит, $a=1, b=2, c=-3$. Тогда $D=4+12=16$.
Задача 8
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение дискриминанта уравнения $f(x)=3$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{(x+1)^2}+{5}=-{x^2}-{2x}+{4}}$, значит, $a=-1, b=-2, c=4$. Тогда $-{x^2}-{2x}+{4}={3}$ → ${x^2}+{2x}-{1}={0}$ → $D=4+4=8$
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(22)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(2;1)$, значит $m=-2; n=1$.
Получаем уравнение: $y=a(x-2)^2+1$.
Возьмем точку $(1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(1-2)^2+1 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x-2)^2+1$
Найдем $f(22)={{(22-2)^2}+{1}=401}$
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(11) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 3 $, значит $ b = -3 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 5 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 3} + 3 = 5 $, значит $ a = 2 $.
Тогда $ f(x) = {2}/{x-3} + 3 $, значит:
$ f(11) = {2}/{11-3} + 3 = 1/4 + 3 = 3.25 $.
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-18)$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график получается из графика параболы $y=-x^2$, смещённой на $3$ единицы влево и на $3$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=3-(x+3)^2$. Отсюда $y(-18)=3-(15)^2=-222$.
Задача 12
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Задача 13
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 4, наименьшее -5 Коэффициент $a=4,5$
Задача 14
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$. Найдите $f(14)$
Решение
Функция задана уравнением: $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$, где $(-a,b)$ - координаты начала графика.
По графику определяем координаты начала: $(-2;-4)$, значит $a=2; b=-4$.
Получаем уравнение: $f(x)={{k}{√(x+2)}-{4}}$.
Возьмем точку $(2;0)$ чтобы определить коэффициент $k$. $0={{k}{√(2+2)}-{4}}$
Получаем: $f(x)={{2}{√(x+2)}-{4}}$
Найдем $f(14)$: $f(14)={{2}{√(14+2)}-{4}=4}$
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 16
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x^2}-{4x}+{3}}$ и $g(x)={{-3x}+{5}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{x^2}-{4x}+{3}}={{-3x}+{5}} ⇒ {{x^2}-{x}-{2}=0} ⇒ x_1 = 2; x_2 = -1$
$x_1 = 2$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$
Задача 17
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 4 $, значит $ a = 4 $
Задача 18
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(15) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 1 $, значит $ с = 1 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 2 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 -5} + 1 = 2 $, значит $ a = -1 $.
Тогда $ f(x) = {-1}/{x-5} + 1 $, значит:
$ f(15) = {-1}/{15 - 5} + 1 = 0.9 $.
Задача 19
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(2,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-4x^2}+{3x}+{6}}$
Тогда, $f(2,5)={{-4×(2,5)^2}+{3×2,5}+{6}=-11,5}$
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
