Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(11) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 3 $, значит $ b = -3 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 5 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 3} + 3 = 5 $, значит $ a = 2 $.
Тогда $ f(x) = {2}/{x-3} + 3 $, значит:
$ f(11) = {2}/{11-3} + 3 = 1/4 + 3 = 3.25 $.
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$.
Найдите $y(-14)$.
Решение
По рисунку в условии задачи определяем координаты выделенных точек: $(-4;-2)$ и $(4;-4)$. Тангенс угла наклона $k={-2-(-4)} / {-4-4}=-{1} / {4}$. $b=y(0)=-3$. Уравнение прямой имеет вид: $y=-{x} / {4}-3$. Отсюда $y(-14)=-{-14} / {4}-3=0{,}5$.
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -8 $, значит $ с = -8 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = -15 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 5} - 8 = -15 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 - 5 - 8 = -6 $
Задача 4
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее 1. При пересечении оси $Oy$ функция принимает наименьшее значение, значит коэффициент $a=-0,5$ Функция принимает вид ${f(x) = {-0,5}cos{x}+b}$. Функция достигает наибольшего значения при $cos{x}=1 ⇒ b=1,5$
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$. Найдите $y(-18)$.
Решение
Посмотри на формулу функции $y = kx + b$. Здесь $k$ — это тангенс угла наклона прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. 📈
1. Определи, в какой точке прямая пересекает ось $y$, чтобы найти $b$.
2. Найди $k$, вычислив тангенс угла наклона прямой. Пользуйся выделенными точками, лежащими в узлах клеток 🌟
3. Как найдешь $k$ и $b$, подставляй $x = -18$ в уравнение функции, чтобы найти $y(-18)$.
Получили $y=0.6x-1.6$
Получили $y(-18)=0.6*(-18)-1.6=-12.4$
Задача 6
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=27$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(√3)^{x-2}}}$.
Тогда ${{(√3)^{x-2}}}={27} ⇒ x=8$.
Задача 7
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $ f(3.5) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 1 $, значит $ b = -1 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 12 $, значит:
$ f(0) = {a}/{0 - 1} + 5 = 12 $
$ a = -7 $
$ f(3.5) = 2.2 $
Задача 8
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=4$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1,5x}+{2,5}}$.
Тогда ${{-1,5x}+{2,5}}={4} ⇒ x=-1$.
Задача 9
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;2) ⇒ b=2 $
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $y=a^x$, где $a$ — целое число. Найдите $y(4)$.
Решение
Подставим точку с координатами $(1;5)$ в данную функцию и получим $5=a^1$, значит ${a=5}$
Получим функцию $f(x)={5^x}$
Тогда, $f(4)={{5^4}=625}$
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $b$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y=ax^2+bx+c$, где $a<0$,
так как ветви параболы направлены вниз. Если по горизонтальной оси отступить от вершины на $1$ вправо или влево, то можно заметить, что значение функции при этом уменьшается на $3$. Поэтому заданный график получается из графика параболы $y=-3x^2$, смещением на $4$ единицы вправо и на $2$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=-3(x-4)^2+2=-3x^2+24x-46$. Отсюда $b=24$.
Задача 12
На рисунке (см. с. ) изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-17)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(-3;5)$, значит $m=3; n=5$.
Получаем уравнение: $y=a(x+3)^2+5$.
Возьмем точку $(-1;1)$ чтобы определить коэффициент $a$. $1=a(-1+3)^2+5 ⇒ a=-1$
Получаем: $y=-(x+3)^2+5$
Найдем $y(-17)$: $y(-17)=-(-17+3)^2+5=-196+5=-191$
Задача 13
На рисунке изображен график функции $f(x)={log_{a}{x} + b}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=6$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/2}{x} +4}$
Тогда $log_{1/2}{x} +{4}={6} ⇒ x=0,25$.
Задача 14
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k}{√x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{0,5}{√x}}$ и $g(x)={{0,25x}-{6}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{0,5}{√x}}={{0,25x}-{6}} ⇒ x = 36;$
Задача 15
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 16
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 17
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 18
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $x$, при котором $ f(x) = 21 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(-2) = 4 $, значит:
$ f(-2) = {a}/{-2 -2} + 5 = 4 $, значит $ a = 4 $.
Тогда $ f(x) = {4}/{x-2} + 5 $, значит:
$ f(x) = 21 $.
${4}/{x-2} + 5 = 21 $.
Задача 19
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {x - 1} / {x + a} + d $. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $, если функцию записать в виде $ f(x) = b/{x+a} + c $, где числа $a$, $b$,$c$ и $d$ — целые.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = -2 $, значит $ a = 2 $
Преобразуем функцию:
$ f(x) = {x - 1} / {x + 2} + d = 1 - {3}/{x+2} + d $
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ 1 + d = 3 $
$ d = 2 $
$ f(x) = {-3}/ {x + 2} + 3 $
$ b = -3; a = 2; c = 3 $
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
