Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $ f(3.5) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 1 $, значит $ b = -1 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 12 $, значит:
$ f(0) = {a}/{0 - 1} + 5 = 12 $
$ a = -7 $
$ f(3.5) = 2.2 $
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $y=a^x$, где $a$ — целое число. Найдите $y(4)$.
Решение
Подставим точку с координатами $(1;5)$ в данную функцию и получим $5=a^1$, значит ${a=5}$
Получим функцию $f(x)={5^x}$
Тогда, $f(4)={{5^4}=625}$
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $b$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y=ax^2+bx+c$, где $a<0$,
так как ветви параболы направлены вниз. Если по горизонтальной оси отступить от вершины на $1$ вправо или влево, то можно заметить, что значение функции при этом уменьшается на $3$. Поэтому заданный график получается из графика параболы $y=-3x^2$, смещением на $4$ единицы вправо и на $2$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=-3(x-4)^2+2=-3x^2+24x-46$. Отсюда $b=24$.
Задача 5
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Задача 6
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;2) ⇒ b=2 $
Задача 7
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/2)^x}+{1}}$.
Тогда ${(1/2)^x}+{1}={5} ⇒ x=-2$.
Задача 8
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}}$ и $g(x)={{-4x}+{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${-{5/x}}={{-4x}+{8}} ⇒ x_1 = -0,5; x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5$ - абсцисса точки $A$, $x_1 = -0,5$ - абсцисса точки $B$
Задача 9
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1/{x+4}}}$
Тогда ${{-1/{x+4}}}={5} ⇒ x=-4,2$.
Задача 10
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 11
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Задача 12
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A(1;-5)$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-(x+2)^2}+{4}}$ и $g(x)={{3x}-{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-(x+2)^2}+{4}}={{3x}-{8}} ⇒ {{x^2}+{7x}-{8}=0} ⇒ x_1 = 1; x_2 = -8$
$x_1 = 1$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -8$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-8)={{3×(-8)}-{8}=-32}$
Задача 13
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(-8)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-0,5x^2}+{x}+{1,5}}$
Тогда, $f(-8)={{-0,5×(-8)^2}+{(-8)}+{1,5}=-38,5}$
Задача 14
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(13)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2(x-6)^2}+{5}}$
Тогда, $f(13)={{-2(13-6)^2}+{5}=-93}$
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(-15)$
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(-3;-2)$, значит $m=3; n=-2$.
Получаем уравнение: $y=a(x+3)^2-2$.
Возьмем точку $(-1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(-1+3)^2-2 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x+3)^2-2$
Найдем $f(-15)={{(-15+3)^2}-{2}=142}$
Задача 16
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=4$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1,5x}+{2,5}}$.
Тогда ${{-1,5x}+{2,5}}={4} ⇒ x=-1$.
Задача 17
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $x$, при котором $ f(x) = 21 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(-2) = 4 $, значит:
$ f(-2) = {a}/{-2 -2} + 5 = 4 $, значит $ a = 4 $.
Тогда $ f(x) = {4}/{x-2} + 5 $, значит:
$ f(x) = 21 $.
${4}/{x-2} + 5 = 21 $.
Задача 18
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {x - 1} / {x + a} + d $. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $, если функцию записать в виде $ f(x) = b/{x+a} + c $, где числа $a$, $b$,$c$ и $d$ — целые.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = -2 $, значит $ a = 2 $
Преобразуем функцию:
$ f(x) = {x - 1} / {x + 2} + d = 1 - {3}/{x+2} + d $
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ 1 + d = 3 $
$ d = 2 $
$ f(x) = {-3}/ {x + 2} + 3 $
$ b = -3; a = 2; c = 3 $
Задача 19
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 0 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 2} - 2 = 0 $
$ a = 4 $
Сумма равна: $ 4 - 2 - 2 = 0 $
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
