Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 2
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $f(2)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{5^x}-{4}}$
Тогда, $f(2)={{5^2}-{4}=21}$
Задача 3
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 4
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}}$ и $g(x)={{-4x}+{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${-{5/x}}={{-4x}+{8}} ⇒ x_1 = -0,5; x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5$ - абсцисса точки $A$, $x_1 = -0,5$ - абсцисса точки $B$
Задача 5
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{-3x^2}+{7x}-{2}}$ и $g(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $g(x)={{-x^2}-{2x}+{2}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-3x^2}+{7x}-{2}}={{-x^2}-{2x}+{2}} ⇒ {{2x^2}-{9x}+{4}=0} ⇒ x_1 = 0,5; x_2 = 4$
$x_1 = 0,5$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = 4$ - абсцисса точки $B$
Задача 6
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x}-{6}}$ и $g(x)={{0,4x}+{7,2}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{x}-{6}}={{0,4x}+{7,2}} ⇒ {x=22}$ - абсцисса точки пересечения
Задача 7
На рисунке изображены графики двух функций вида $f(x)={{kx}+{b}}$ и $g(x)={{kx}+{b}}$. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3x}+{4}}$ и $g(x)={{0,2x}-{3}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{3x}+{4}}={{0,2x}-{3}} ⇒ {x=-2,5}$
Чтобы найти ординату точки пересечения графиков, подставляем найденный ${x}$ в любую из функций: $f(-2,5)={{3×(-2,5)}+{4}} ⇒ {y=-3,5}$
Задача 8
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-17$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2,75x}-{6}}$.
Тогда ${{-2,75x}-{6}}={-17} ⇒ x=4$.
Задача 9
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите $f(-5)-?$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{5,5x}+{1,5}}$.
Тогда $f(-5)={{5,5×(-5)}+{1,5}=-26}$.
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 12
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -8 $, значит $ с = -8 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = -15 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 5} - 8 = -15 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 - 5 - -8 = -6 $
Задача 13
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 7 $, значит $ с = 7 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(3) = 14 $, значит:
$ f(3) = {a}/{3 - 2} +7 = 14 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 -2 + 7 = 12 $
Задача 14
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график функции $y=√ {x+c}$ получается из графика функции $y=√ {x}$, смещением на $4$ единицы влево. Таким образом, изображён график функции $y=√ {x-(-4)}=√ {x+4}$ и $c=4$.
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $f(-4)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2/x}+{3}}$
Тогда, $f(-4)={{2/(-4)}+{3}=2,5}$
Задача 17
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A(1;-5)$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-(x+2)^2}+{4}}$ и $g(x)={{3x}-{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-(x+2)^2}+{4}}={{3x}-{8}} ⇒ {{x^2}+{7x}-{8}=0} ⇒ x_1 = 1; x_2 = -8$
$x_1 = 1$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -8$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-8)={{3×(-8)}-{8}=-32}$
Задача 18
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x^2}-{4x}+{3}}$ и $g(x)={{-3x}+{5}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{x^2}-{4x}+{3}}={{-3x}+{5}} ⇒ {{x^2}-{x}-{2}=0} ⇒ x_1 = 2; x_2 = -1$
$x_1 = 2$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$
Задача 19
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(2,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-4x^2}+{3x}+{6}}$
Тогда, $f(2,5)={{-4×(2,5)^2}+{3×2,5}+{6}=-11,5}$
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
