Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
Задача 2
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x^2}-{4x}+{3}}$ и $g(x)={{-3x}+{5}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{x^2}-{4x}+{3}}={{-3x}+{5}} ⇒ {{x^2}-{x}-{2}=0} ⇒ x_1 = 2; x_2 = -1$
$x_1 = 2$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$. Найдите $y(-18)$.
Решение
Посмотри на формулу функции $y = kx + b$. Здесь $k$ — это тангенс угла наклона прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. 📈
1. Определи, в какой точке прямая пересекает ось $y$, чтобы найти $b$.
2. Найди $k$, вычислив тангенс угла наклона прямой. Пользуйся выделенными точками, лежащими в узлах клеток 🌟
3. Как найдешь $k$ и $b$, подставляй $x = -18$ в уравнение функции, чтобы найти $y(-18)$.
Получили $y=0.6x-1.6$
Получили $y(-18)=0.6*(-18)-1.6=-12.4$
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(6) = 0 $, значит:
$ f(6) = {a}/{6 - 5} - 2 = 0 $
$ a = 2 $
Сумма равна: $ 2 - 5 -2 = -5 $
Задача 5
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3$
Решение
Посмотри на уравнение $f(x) = -3$. Это значит, что «$\log_{a}(x + b)= -3$. 🔍
1. Определи, какое основание логарифма (a) подходит графику. Если основание меньше 1, логарифм убывает.
2. Вырази $x + b$ через основание логарифма. Помни, что логарифмы переводят степень основания в числа.
3. Из полученного уравнения найди $x$.
Используй свойства логарифмов: $\log_{a}b = c$ означает то же, что $a^{c}= b$.
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/5}(x + 2)}$.
Тогда ${log_{1/5}(x + 2)}={-3} ⇒ x=123$.
Задача 6
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $f(219)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_6(x -3)}$
Тогда, ${f(219) = log_6(219 -3)=3}$
Задача 7
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 8
На рисунке изображён график функции вида $y=-{1} / {x+a}+c$, где $a$, $c$ — целые числа. Найдите $a$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -3 $, значит $ с = -3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ a = 1 $
Значит уравнение функции принимает вид: $y=-{1} / {x+1}-3$
Ответ: 1
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $b$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y=ax^2+bx+c$, где $a<0$,
так как ветви параболы направлены вниз. Если по горизонтальной оси отступить от вершины на $1$ вправо или влево, то можно заметить, что значение функции при этом уменьшается на $3$. Поэтому заданный график получается из графика параболы $y=-3x^2$, смещением на $4$ единицы вправо и на $2$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=-3(x-4)^2+2=-3x^2+24x-46$. Отсюда $b=24$.
Задача 11
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение $f(4,5)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{(x+1)^2}+{5}={-x^2}-{2x}+{4}}$, значит, $a=-1, b=-2, c=4$. Тогда $f(4,5)={{-(4,5+1)^2}+5=-25,25}$.
Задача 12
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(22)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(2;1)$, значит $m=-2; n=1$.
Получаем уравнение: $y=a(x-2)^2+1$.
Возьмем точку $(1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(1-2)^2+1 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x-2)^2+1$
Найдем $f(22)={{(22-2)^2}+{1}=401}$
Задача 13
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-18)$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график получается из графика параболы $y=-x^2$, смещённой на $3$ единицы влево и на $3$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=3-(x+3)^2$. Отсюда $y(-18)=3-(15)^2=-222$.
Задача 14
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Задача 15
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график функции $y=√ {x+c}$ получается из графика функции $y=√ {x}$, смещением на $4$ единицы влево. Таким образом, изображён график функции $y=√ {x-(-4)}=√ {x+4}$ и $c=4$.
Задача 16
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение $f(6)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(x-3)^2}+{2}={x^2}-{6x}+{11}}$, значит, $a=1, b=-6, c=11$. Тогда $f(6)={{(6-3)^2}+2=11}$.
Задача 17
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 4, наименьшее -5 Коэффициент $a=4,5$
Задача 18
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_a(x) + b}$. Найдите $f(27)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_3(x) -1}$
Тогда, $f(27)={log_3(27) -1=2}$
Задача 19
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $f(-6)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/4)^{x+3}}}$
Тогда, $f(-6)={{(1/4)^{-6+3}}=64}$
Задача 20
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(2,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-4x^2}+{3x}+{6}}$
Тогда, $f(2,5)={{-4×(2,5)^2}+{3×2,5}+{6}=-11,5}$
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
