Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=-{1} / {x+a}+c$, где $a$, $c$ — целые числа. Найдите $a$.
Решение
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что $y(4)=1$. Тогда $\log_a{4}=1$ и $a=4$.
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $y=a^x$, где $a$ — целое число. Найдите $y(4)$.
Решение
Подставим точку с координатами $(1;5)$ в данную функцию и получим $5=a^1$, значит ${a=5}$
Получим функцию $f(x)={5^x}$
Тогда, $f(4)={{5^4}=625}$
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$.
Найдите $y(-14)$.
Решение
По рисунку в условии задачи определяем координаты выделенных точек: $(-4;-2)$ и $(4;-4)$. Тангенс угла наклона $k={-2-(-4)} / {-4-4}=-{1} / {4}$. $b=y(0)=-3$. Уравнение прямой имеет вид: $y=-{x} / {4}-3$. Отсюда $y(-14)=-{-14} / {4}-3=0{,}5$.
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(22)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(2;1)$, значит $m=-2; n=1$.
Получаем уравнение: $y=a(x-2)^2+1$.
Возьмем точку $(1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(1-2)^2+1 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x-2)^2+1$
Найдем $f(22)={{(22-2)^2}+{1}=401}$
Задача 7
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-18)$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график получается из графика параболы $y=-x^2$, смещённой на $3$ единицы влево и на $3$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=3-(x+3)^2$. Отсюда $y(-18)=3-(15)^2=-222$.
Задача 8
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $y=√ {x+c}$, где $c$ — целое число. Найдите $c$.
Решение
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$. Найдите $y(-18)$.
Решение
Посмотри на формулу функции $y = kx + b$. Здесь $k$ — это тангенс угла наклона прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. 📈
1. Определи, в какой точке прямая пересекает ось $y$, чтобы найти $b$.
2. Найди $k$, вычислив тангенс угла наклона прямой. Пользуйся выделенными точками, лежащими в узлах клеток 🌟
3. Как найдешь $k$ и $b$, подставляй $x = -18$ в уравнение функции, чтобы найти $y(-18)$.
Получили $y=0.6x-1.6$
Получили $y(-18)=0.6*(-18)-1.6=-12.4$
Задача 11
На рисунке (см. с. ) изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-17)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(-3;5)$, значит $m=3; n=5$.
Получаем уравнение: $y=a(x+3)^2+5$.
Возьмем точку $(-1;1)$ чтобы определить коэффициент $a$. $1=a(-1+3)^2+5 ⇒ a=-1$
Получаем: $y=-(x+3)^2+5$
Найдем $y(-17)$: $y(-17)=-(-17+3)^2+5=-196+5=-191$
Задача 12
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A(1;-5)$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-(x+2)^2}+{4}}$ и $g(x)={{3x}-{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-(x+2)^2}+{4}}={{3x}-{8}} ⇒ {{x^2}+{7x}-{8}=0} ⇒ x_1 = 1; x_2 = -8$
$x_1 = 1$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -8$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-8)={{3×(-8)}-{8}=-32}$
Задача 13
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;2) ⇒ b=2 $
Задача 14
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3$
Решение
Посмотри на уравнение $f(x) = -3$. Это значит, что «$\log_{a}(x + b)= -3$. 🔍
1. Определи, какое основание логарифма (a) подходит графику. Если основание меньше 1, логарифм убывает.
2. Вырази $x + b$ через основание логарифма. Помни, что логарифмы переводят степень основания в числа.
3. Из полученного уравнения найди $x$.
Используй свойства логарифмов: $\log_{a}b = c$ означает то же, что $a^{c}= b$.
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/5}(x + 2)}$.
Тогда ${log_{1/5}(x + 2)}={-3} ⇒ x=123$.
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a, b$, и $c$ - целые числа. Найдите $f(-15)$
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(-3;-2)$, значит $m=3; n=-2$.
Получаем уравнение: $y=a(x+3)^2-2$.
Возьмем точку $(-1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(-1+3)^2-2 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x+3)^2-2$
Найдем $f(-15)={{(-15+3)^2}-{2}=142}$
Задача 16
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $f(-3)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{5x}-{7}}$. Тогда $f(-3)={{5×(-3)}-{7}=-22}$.
Задача 17
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 18
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 19
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 4 $, значит $ a = 4 $
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = log_{1.4}(x-a) + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите $ ab $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = 1 $, значит $ a = 1 $
По рисунку видно, что $ f(2.4) = 2 $, значит:
$ f(2.4) = log_{1.4}(2.4 - 1) + b = 2 $
$ b = 1 $
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
