Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$.
Найдите $y(-14)$.
Решение
По рисунку в условии задачи определяем координаты выделенных точек: $(-4;-2)$ и $(4;-4)$. Тангенс угла наклона $k={-2-(-4)} / {-4-4}=-{1} / {4}$. $b=y(0)=-3$. Уравнение прямой имеет вид: $y=-{x} / {4}-3$. Отсюда $y(-14)=-{-14} / {4}-3=0{,}5$.
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 4 $, значит $ a = 4 $
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(15) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 1 $, значит $ с = 1 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 2 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 -5} + 1 = 2 $, значит $ a = -1 $.
Тогда $ f(x) = {-1}/{x-5} + 1 $, значит:
$ f(15) = {-1}/{15 - 5} + 1 = 0.9 $.
Задача 7
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $x$, при котором $ f(x) = 21 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(-2) = 4 $, значит:
$ f(-2) = {a}/{-2 -2} + 5 = 4 $, значит $ a = 4 $.
Тогда $ f(x) = {4}/{x-2} + 5 $, значит:
$ f(x) = 21 $.
${4}/{x-2} + 5 = 21 $.
Задача 8
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(11) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 3 $, значит $ b = -3 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 5 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 3} + 3 = 5 $, значит $ a = 2 $.
Тогда $ f(x) = {2}/{x-3} + 3 $, значит:
$ f(11) = {2}/{11-3} + 3 = 1/4 + 3 = 3.25 $.
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = ln(a + x) + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $A( 0 ; ln2e ) $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ a = 2 $
По рисунку видно, что $ f(0) = ln(2e) $, значит:
$ f(0) = ln(2 + 0) + b = ln(2e) $
$ ln(2) + b = ln(2) + ln (e) $
$ ln(2) + b = ln(2) + 1 $
$ b = 1 $
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -8 $, значит $ с = -8 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = -15 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 5} - 8 = -15 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 - 5 - -8 = -6 $
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 0 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 2} - 2 = 0 $
$ a = 4 $
Сумма равна: $ 4 - 2 - 2 = 0 $
Задача 12
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(6) = 0 $, значит:
$ f(6) = {a}/{6 - 5} - 2 = 0 $
$ a = 2 $
Сумма равна: $ 2 - 5 -2 = -5 $
Задача 13
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее 1. При пересечении оси $Oy$ функция принимает наименьшее значение, значит коэффициент $a=-0,5$ Функция принимает вид ${f(x) = {-0,5}cos{x}+b}$. Функция достигает наибольшего значения при $cos{x}=1 ⇒ b=1,5$
Задача 14
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $f(219)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_6(x -3)}$
Тогда, ${f(219) = log_6(219 -3)=3}$
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/2)^x}+{1}}$.
Тогда ${(1/2)^x}+{1}={5} ⇒ x=-2$.
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√x}+{p}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-9$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-6}{√x}+{3}}$
Тогда ${{-6}{√x}+{3}}={-9} ⇒ x=4$.
Задача 17
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 18
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}}$ и $g(x)={{-4x}+{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${-{5/x}}={{-4x}+{8}} ⇒ x_1 = -0,5; x_2 = 2,5$
$x_2 = 2,5$ - абсцисса точки $A$, $x_1 = -0,5$ - абсцисса точки $B$
Задача 19
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1/{x+4}}}$
Тогда ${{-1/{x+4}}}={5} ⇒ x=-4,2$.
Задача 20
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Получишь все формулы, которые нужны для решения ЛЮБОЙ задачи по теории вероятностей в ЕГЭ по профилю
- Научишься решать задачи №4.5 в ЕГЭ по профилю
- Улучшить свой результат на +15 вторичных баллов
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
