Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(-22) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(-4) = -1 $, значит:
$ f(-4) = {a}/{-4 + 2} - 2 = -1 $
$ a = -2 $
$ f(-22) = {-2}/{-22 + 2} - 2 = 0.1 - 2 = -1.9 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $x$, при котором $ f(x) = 21 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(-2) = 4 $, значит:
$ f(-2) = {a}/{-2 -2} + 5 = 4 $, значит $ a = 4 $.
Тогда $ f(x) = {4}/{x-2} + 5 $, значит:
$ f(x) = 21 $.
${4}/{x-2} + 5 = 21 $.
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(-18)$.
Решение
По рисунку в условии задачи заметим, что график получается из графика параболы $y=-x^2$, смещённой на $3$ единицы влево и на $3$ вверх. Таким образом, изображён график функции $y=3-(x+3)^2$. Отсюда $y(-18)=3-(15)^2=-222$.
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {x - 1} / {x + a} + d $. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $, если функцию записать в виде $ f(x) = b/{x+a} + c $, где числа $a$, $b$,$c$ и $d$ — целые.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = -2 $, значит $ a = 2 $
Преобразуем функцию:
$ f(x) = {x - 1} / {x + 2} + d = 1 - {3}/{x+2} + d $
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ 1 + d = 3 $
$ d = 2 $
$ f(x) = {-3}/ {x + 2} + 3 $
$ b = -3; a = 2; c = 3 $
Задача 7
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(15) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 1 $, значит $ с = 1 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 2 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 -5} + 1 = 2 $, значит $ a = -1 $.
Тогда $ f(x) = {-1}/{x-5} + 1 $, значит:
$ f(15) = {-1}/{15 - 5} + 1 = 0.9 $.
Задача 8
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = log_2(ax + b) + 2 $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ -a + b = 0 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 4 $, значит:
$ f(0) = log_2(a·0 + b) + 2= 4 $
$ \{\table\-a + b = 0; \ log_2{b} = 2;$
$ b = 4 $
$ a = 4 $
$ a+b = 8$
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $ f(3.5) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 5 $, значит $ с = 5 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 1 $, значит $ b = -1 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 12 $, значит:
$ f(0) = {a}/{0 - 1} + 5 = 12 $
$ a = -7 $
$ f(3.5) = 2.2 $
Задача 10
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 0 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 2} - 2 = 0 $
$ a = 4 $
Сумма равна: $ 4 - 2 - 2 = 0 $
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 7 $, значит $ с = 7 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(3) = 14 $, значит:
$ f(3) = {a}/{3 - 2} +7 = 14 $
$ a = 7 $
Сумма равна: $ 7 -2 + 7 = 12 $
Задача 12
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(6) = 0 $, значит:
$ f(6) = {a}/{6 - 5} - 2 = 0 $
$ a = 2 $
Сумма равна: $ 2 - 5 -2 = -5 $
Задача 13
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Задача 14
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{x^2/a}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$- целые. Найдите значение $f(-4)-f(-1)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{{(x+3)^2}/{2}}+{3}}$. Тогда $f(-4)-f(-1)=2,5-1=1,5$.
Задача 15
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = 2^{ax} + b $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $, если $ f(1) = 10$.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ b = 2 $
По условию $ f(1) = 10$, значит:
$ f(1) = 2^{a} + 2 = 10 $
$ a = 3 $
Сумма равна: $ 2 + 3 = 5 $
Задача 16
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее -4. Справа оси $Oy$ точка максимума, значит коэффициент $a=3$
Задача 17
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 18
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $f(-4)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2/x}+{3}}$
Тогда, $f(-4)={{2/(-4)}+{3}=2,5}$
Задача 19
на рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}-{7x}+{c}}$. Найдите $f(-1,5)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-3x^2}-{7x}+{5}}$
Тогда, $f(-1,5)={{-3⋅(-1,5)^2}-{7×(-1,5)}+{5}=8,75}$
Задача 20
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x}-{6}}$ и $g(x)={{0,4x}+{7,2}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{x}-{6}}={{0,4x}+{7,2}} ⇒ {x=22}$ - абсцисса точки пересечения
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
