Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ a = 3 $
Задача 2
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(15) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 1 $, значит $ с = 1 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 2 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 -5} + 1 = 2 $, значит $ a = -1 $.
Тогда $ f(x) = {-1}/{x-5} + 1 $, значит:
$ f(15) = {-1}/{15 - 5} + 1 = 0.9 $.
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(11) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 3 $, значит $ b = -3 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 5 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 3} + 3 = 5 $, значит $ a = 2 $.
Тогда $ f(x) = {2}/{x-3} + 3 $, значит:
$ f(11) = {2}/{11-3} + 3 = 1/4 + 3 = 3.25 $.
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {x - 1} / {x + a} + d $. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $, если функцию записать в виде $ f(x) = b/{x+a} + c $, где числа $a$, $b$,$c$ и $d$ — целые.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ x = -2 $, значит $ a = 2 $
Преобразуем функцию:
$ f(x) = {x - 1} / {x + 2} + d = 1 - {3}/{x+2} + d $
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ 1 + d = 3 $
$ d = 2 $
$ f(x) = {-3}/ {x + 2} + 3 $
$ b = -3; a = 2; c = 3 $
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 2 $, значит $ b = -2 $
По рисунку видно, что $ f(4) = 0 $, значит:
$ f(4) = {a}/{4 - 2} - 2 = 0 $
$ a = 4 $
Сумма равна: $ 4 - 2 - 2 = 0 $
Задача 7
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b + c $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = 5 $, значит $ b = -5 $
По рисунку видно, что $ f(6) = 0 $, значит:
$ f(6) = {a}/{6 - 5} - 2 = 0 $
$ a = 2 $
Сумма равна: $ 2 - 5 -2 = -5 $
Задача 8
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение $f(6)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(x-3)^2}+{2}={x^2}-{6x}+{11}}$, значит, $a=1, b=-6, c=11$. Тогда $f(6)={{(6-3)^2}+2=11}$.
Задача 9
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, где $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение дискриминанта уравнения $f(x)=0$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(x+1)^2}-{4}={x^2}+{2x}-{3}}$, значит, $a=1, b=2, c=-3$. Тогда $D=4+12=16$.
Задача 10
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее -4. Справа оси $Oy$ точка максимума, значит коэффициент $a=3$
Задача 11
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_a(x) + b}$. Найдите $f(27)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_3(x) -1}$
Тогда, $f(27)={log_3(27) -1=2}$
Задача 12
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=27$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(√3)^{x-2}}}$.
Тогда ${{(√3)^{x-2}}}={27} ⇒ x=8$.
Задача 13
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/2)^x}+{1}}$.
Тогда ${(1/2)^x}+{1}={5} ⇒ x=-2$.
Задача 14
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $f(2)$
Решение
Подставим точку с координатами $(0;-3)$ в данную функцию и получим $b=-4$,
После этого подставим точку $(1;1)$ и найдем $a=5$, получим функцию $f(x)={{5^x}-{4}}$
Тогда, $f(2)={{5^2}-{4}=21}$
Задача 15
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$. Найдите $f(14)$
Решение
Функция задана уравнением: $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$, где $(-a,b)$ - координаты начала графика.
По графику определяем координаты начала: $(-2;-4)$, значит $a=2; b=-4$.
Получаем уравнение: $f(x)={{k}{√(x+2)}-{4}}$.
Возьмем точку $(2;0)$ чтобы определить коэффициент $k$. $0={{k}{√(2+2)}-{4}}$
Получаем: $f(x)={{2}{√(x+2)}-{4}}$
Найдем $f(14)$: $f(14)={{2}{√(14+2)}-{4}=4}$
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $f(-4)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2/x}+{3}}$
Тогда, $f(-4)={{2/(-4)}+{3}=2,5}$
Задача 17
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{-3x^2}+{7x}-{2}}$ и $g(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $g(x)={{-x^2}-{2x}+{2}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-3x^2}+{7x}-{2}}={{-x^2}-{2x}+{2}} ⇒ {{2x^2}-{9x}+{4}=0} ⇒ x_1 = 0,5; x_2 = 4$
$x_1 = 0,5$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = 4$ - абсцисса точки $B$
Задача 18
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(13)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2(x-6)^2}+{5}}$
Тогда, $f(13)={{-2(13-6)^2}+{5}=-93}$
Задача 19
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите решение уравнения $ f(x) = 18 $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 3 $, значит $ с = 3 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(1) = 2 $, значит:
$ f(1) = {a}/{1 + 2} + 3 = 2 $
$ a = -3 $
$ f(x) = 18 ⇔ {-3}/{x+2} + 3 = 18 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {ax + b}/{x+c} $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {ax + b}/{x+c} = { ax + ac + b - ac }/{x+c} = {ax + ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 4 $, значит $ a = 4 $
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
