Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 2
На рисунке изображены графики двух функций вида f(x)=kx+b и g(x)=kx+b, которые пересекаются в точке $A$. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2x}-{1}}$ и $g(x)={{0,5x}-{1,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{-2x}-{1}}={{0,5x}-{1,5}} ⇒ {x=0,2}$
Чтобы найти ординату точки пересечения графиков, подставляем найденный {x} в любую из функций: $f(0,2)={{-2×(0,2)}-{1}} ⇒ {y=-1,4}$
Задача 3
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3$
Решение
Посмотри на уравнение $f(x) = -3$. Это значит, что «$\log_{a}(x + b)= -3$. 🔍
1. Определи, какое основание логарифма (a) подходит графику. Если основание меньше 1, логарифм убывает.
2. Вырази $x + b$ через основание логарифма. Помни, что логарифмы переводят степень основания в числа.
3. Из полученного уравнения найди $x$.
Используй свойства логарифмов: $\log_{a}b = c$ означает то же, что $a^{c}= b$.
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/5}(x + 2)}$.
Тогда ${log_{1/5}(x + 2)}={-3} ⇒ x=123$.
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {a}/{x+b} + c $, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $ f(-22) $.
Решение
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = -2 $, значит $ с = -2 $
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -2 $, значит $ b = 2 $
По рисунку видно, что $ f(-4) = -1 $, значит:
$ f(-4) = {a}/{-4 + 2} - 2 = -1 $
$ a = -2 $
$ f(-22) = {-2}/{-22 + 2} - 2 = 0.1 - 2 = -1.9 $
$ {-3}/{x+2} = 15 ⇔ 15x = - 33 $
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = {2ax + b}/{x+c} $, где числа a, b и c — целые. Найдите $ a $.
Решение
Преобразуем данную функцию
$ f(x) = {2ax + b}/{x+c} = { 2ax + 2ac + b - 2ac }/{x+c} = {2ax + 2ac}/{x+c} + {b - ac}/{x+c} = 2a + {b-ac}/{x+c} $.
График функции имеет горизонтальную асимптоту $ y = 2 $, значит $ 2a = 2 ⇔ a = 1$
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $ f(x) = log_2(ax + b) + 2 $, где числа $a$, $b$ — целые. Найдите сумму коэффициентов $ a + b $.
Решение
График функции имеет вертикальную асимптоту $ х = -1 $, значит $ -a + b = 0 $
По рисунку видно, что $ f(0) = 4 $, значит:
$ f(0) = log_2(a·0 + b) + 2= 4 $
$ \{\table\-a + b = 0; \ log_2{b} = 2;$
$ b = 4 $
$ a = 4 $
$ a+b = 8$
Задача 7
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2x}+{2}}$ и $g(x)={{-0,5x}+{1,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, приравняем правые части функций: ${{2x}+{2}}={{-0,5x}+{1,5}} ⇒ {x=-0,2}$ - абсцисса точки пересечения
Задача 8
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 9
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$.
Найдите $y(-14)$.
Решение
По рисунку в условии задачи определяем координаты выделенных точек: $(-4;-2)$ и $(4;-4)$. Тангенс угла наклона $k={-2-(-4)} / {-4-4}=-{1} / {4}$. $b=y(0)=-3$. Уравнение прямой имеет вид: $y=-{x} / {4}-3$. Отсюда $y(-14)=-{-14} / {4}-3=0{,}5$.
Задача 10
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;2) ⇒ b=2 $
Задача 11
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=-3,5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={-{5/x}-{3}}$.
Тогда ${-{5/x}-{3}}={-3,5} ⇒ x=10$.
Задача 12
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=4$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1,5x}+{2,5}}$.
Тогда ${{-1,5x}+{2,5}}={4} ⇒ x=-1$.
Задача 13
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k/x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{4/x}}$ и $g(x)={{1,5x}-{2,5}}$.
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{4/x}}={{1,5x}-{2,5}} ⇒ {{1,5x^2}-{2,5x}-{4}=0} ⇒ x_1 = {8/3}; x_2 = -1$
$x_1 = {8/3}$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-1)={{1,5×(-1)}-{2,5}=-4}$
Задача 14
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{-3x^2}+{7x}-{2}}$ и $g(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $g(x)={{-x^2}-{2x}+{2}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-3x^2}+{7x}-{2}}={{-x^2}-{2x}+{2}} ⇒ {{2x^2}-{9x}+{4}=0} ⇒ x_1 = 0,5; x_2 = 4$
$x_1 = 0,5$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = 4$ - абсцисса точки $B$
Задача 15
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-17$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-2,75x}-{6}}$.
Тогда ${{-2,75x}-{6}}={-17} ⇒ x=4$.
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={log_{a}{x} + b}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=6$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/2}{x} +4}$
Тогда $log_{1/2}{x} +{4}={6} ⇒ x=0,25$.
Задача 17
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(-8)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-0,5x^2}+{x}+{1,5}}$
Тогда, $f(-8)={{-0,5×(-8)^2}+{(-8)}+{1,5}=-38,5}$
Задача 18
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=5$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-1/{x+4}}}$
Тогда ${{-1/{x+4}}}={5} ⇒ x=-4,2$.
Задача 19
На рисунке изображен график функции вида $f(x)={{kx}+{b}}$. Найдите значение $f(-3)$.
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{5x}-{7}}$. Тогда $f(-3)={{5×(-3)}-{7}=-22}$.
Задача 20
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$. Найдите $y(-18)$.
Решение
Посмотри на формулу функции $y = kx + b$. Здесь $k$ — это тангенс угла наклона прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. 📈
1. Определи, в какой точке прямая пересекает ось $y$, чтобы найти $b$.
2. Найди $k$, вычислив тангенс угла наклона прямой. Пользуйся выделенными точками, лежащими в узлах клеток 🌟
3. Как найдешь $k$ и $b$, подставляй $x = -18$ в уравнение функции, чтобы найти $y(-18)$.
Получили $y=0.6x-1.6$
Получили $y(-18)=0.6*(-18)-1.6=-12.4$
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
