Задание 11. Графики функций. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 79%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 11:
Выделить из условия величины и зависимости между ними.
Ввести обозначения и записать зависимость между величинами формулой.
Если в задаче дана функция, установить, какие свойства или график функции нужно использовать по условию.
Построить или преобразовать график функции, если это требуется для решения.
Свести требование задачи к уравнению или системе, соответствующей найденной зависимости.
Найти решения, используя свойства функции и/или график (пересечения, промежутки, расположение графиков).
Проверить, что полученные значения удовлетворяют исходной зависимости и условиям задачи.
Сформулировать итоговый результат в терминах исходной задачи (какая величина и чему равна).
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A(1;-5)$ и $B$. Найдите ординату точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-(x+2)^2}+{4}}$ и $g(x)={{3x}-{8}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-(x+2)^2}+{4}}={{3x}-{8}} ⇒ {{x^2}+{7x}-{8}=0} ⇒ x_1 = 1; x_2 = -8$
$x_1 = 1$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -8$ - абсцисса точки $B$.
Найдем ординату точки $B$: $g(-8)={{3×(-8)}-{8}=-32}$
Задача 2
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$ и $g(x)={{kx}+{d}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{x^2}-{4x}+{3}}$ и $g(x)={{-3x}+{5}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{x^2}-{4x}+{3}}={{-3x}+{5}} ⇒ {{x^2}-{x}-{2}=0} ⇒ x_1 = 2; x_2 = -1$
$x_1 = 2$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = -1$ - абсцисса точки $B$
Задача 3
На рисунке изображён график функции вида $y=\log_a{x}$, где $a$ — целое число. Найдите $a$.
Решение
На рисунке изображён график функции $y = \log_a{x}$, где $a$ — целое число. Для определения основания $a$ воспользуемся подстановкой известной точки, лежащей на графике.
График проходит через точку (5; 1). Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$y = \log_a{x}$
Подставляем $x = 5$ и $y = 1$:
$1 = \log_a{5}$
По определению логарифма это равенство эквивалентно:
$a^1 = 5$
Следовательно, основание $a = 5$.
Проверка:
Если $a = 5$, то функция $y = \log_5{x}$ проходит через точку {1; 0}, так как $\log_5{1} = 0$, и через точку {5; 1}, так как $\log_5{5} = 1$.
Ответ: $a = 5$.
Задача 4
На рисунке изображён график функции вида $y=-{1} / {x+a}+c$, где $a$, $c$ — целые числа. Найдите $a$.
Решение
Задача 5
На рисунке изображён график функции вида $y=kx+b$. Найдите $y(-18)$.
Решение
Посмотри на формулу функции $y = kx + b$. Здесь $k$ — это тангенс угла наклона прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. 📈
1. Определи, в какой точке прямая пересекает ось $y$, чтобы найти $b$.
2. Найди $k$, вычислив тангенс угла наклона прямой. Пользуйся выделенными точками, лежащими в узлах клеток 🌟
3. Как найдешь $k$ и $b$, подставляй $x = -18$ в уравнение функции, чтобы найти $y(-18)$.
Получили $y=0.6x-1.6$
Получили $y(-18)=0.6*(-18)-1.6=-12.4$
Задача 6
На рисунке изображён график функции вида $y=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите $y(22)$.
Решение
Заметим, что у параболы можно определить координаты вершины, значит мы можем воспользоваться уравнением $y=a(x+m)^2+n$, где $(-m,n)$ - координаты вершины параболы.
По графику определяем координаты вершины: $(2;1)$, значит $m=-2; n=1$.
Получаем уравнение: $y=a(x-2)^2+1$.
Возьмем точку $(1;2)$ чтобы определить коэффициент $a$. $2=a(1-2)^2+1 ⇒ a=1$
Получаем: $y=(x-2)^2+1$
Найдем $f(22)={{(22-2)^2}+{1}=401}$
Задача 7
График функции $y={k} / {x}+b$ проходит через точки $(6; 8)$ и $(-2; 12)$. Найдите $b$.
Решение
Подставляя в уравнение $y={k} / {x}+b$ в качестве значения $x$ первую координату точки, вместо $y$ — вторую координату, получим систему уравнений $\{{\table {8={k} / {6}+b{,}}; {12={k} / {-2}+b{.}};}$ Вычтем из первого уравнения второе: $-4={k} / {6}+{k} / {2}$; $-4={2k} / {3}$; $k=-6$. Тогда $8={-6} / {6}+b$; $b=9$.
Задача 8
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}sin{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;2) ⇒ b=2 $
Задача 9
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $b$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 2, наименьшее 1. При пересечении оси $Oy$ функция принимает наименьшее значение, значит коэффициент $a=-0,5$ Функция принимает вид ${f(x) = {-0,5}cos{x}+b}$. Функция достигает наибольшего значения при $cos{x}=1 ⇒ b=1,5$
Задача 10
На рисунке изображен график функции ${f(x) = {a}cos{x}+b}$. Найдите $a$
Решение
По рисунку определяем, что наибольшее значение функции 4, наименьшее -5 Коэффициент $a=4,5$
Задача 11
На рисунке изображен график функции ${f(x) = log_{a}(x + b)}$. Найдите $f(219)$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_6(x -3)}$
Тогда, ${f(219) = log_6(219 -3)=3}$
Задача 12
На рисунке изображен график функции $f(x)={log_{a}{x} + b}$. Найдите $x$, при котором $f(x)=6$
Решение
По рисунку определяем, что ${f(x) = log_{1/2}{x} +4}$
Тогда $log_{1/2}{x} +{4}={6} ⇒ x=0,25$.
Задача 13
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^{x+b}}}$. Найдите $f(-6)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{(1/4)^{x+3}}}$
Тогда, $f(-6)={{(1/4)^{-6+3}}=64}$
Задача 14
На рисунке изображен график функции $f(x)={{a^x}+{b}}$. Найдите $f(2)$
Решение
Подставим точку с координатами $(0;-3)$ в данную функцию и получим $b=-4$,
После этого подставим точку $(1;1)$ и найдем $a=5$, получим функцию $f(x)={{5^x}-{4}}$
Тогда, $f(2)={{5^2}-{4}=21}$
Задача 15
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{k}{√x}}$ и $g(x)={{ax}+{b}}$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{0,5}{√x}}$ и $g(x)={{0,25x}-{6}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{0,5}{√x}}={{0,25x}-{6}} ⇒ x = 36;$
Задача 16
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$. Найдите $f(14)$
Решение
Функция задана уравнением: $f(x)={{k}{√(x+a)}+{b}}$, где $(-a,b)$ - координаты начала графика.
По графику определяем координаты начала: $(-2;-4)$, значит $a=2; b=-4$.
Получаем уравнение: $f(x)={{k}{√(x+2)}-{4}}$.
Возьмем точку $(2;0)$ чтобы определить коэффициент $k$. $0={{k}{√(2+2)}-{4}}$
Получаем: $f(x)={{2}{√(x+2)}-{4}}$
Найдем $f(14)$: $f(14)={{2}{√(14+2)}-{4}=4}$
Задача 17
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/{x+a}}}$. Найдите $f(-3)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{3/{x-7}}}$
Тогда, $f(-3)={{3/{-3-7}}=-0,3}$
Задача 18
На рисунке изображен график функции $f(x)={{k/x}+{a}}$. Найдите $f(-4)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{2/x}+{3}}$
Тогда, $f(-4)={{2/(-4)}+{3}=2,5}$
Задача 19
На рисунке изображены графики функции $f(x)={{-3x^2}+{7x}-{2}}$ и $g(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$
Решение
По рисунку определяем, что $g(x)={{-x^2}-{2x}+{2}}$
Чтобы найти абсциссу точки пересечения, приравниваем правые части функций:
${{-3x^2}+{7x}-{2}}={{-x^2}-{2x}+{2}} ⇒ {{2x^2}-{9x}+{4}=0} ⇒ x_1 = 0,5; x_2 = 4$
$x_1 = 0,5$ - абсцисса точки $A$, $x_2 = 4$ - абсцисса точки $B$
Задача 20
На рисунке изображен график функции $f(x)={{ax^2}+{bx}+{c}}$. Найдите $f(-8)$
Решение
По рисунку определяем, что $f(x)={{-0,5x^2}+{x}+{1,5}}$
Тогда, $f(-8)={{-0,5×(-8)^2}+{(-8)}+{1,5}=-38,5}$
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
