Задание 11. Текстовые задачи. ЕГЭ 2020 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 72.7%
Ответом к заданию 11 по математике профильного уровня может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Свежие подосиновики содержат $78%$ воды, а сушёные — $12%$. Сколько килограммов свежих подосиновиков требуется для получения $3$ кг сушёных грибов?
Решение
Предположим, что подосиновики состоят из воды и «сухого остатка». В сушёных грибах содержится 100% - 12% = 88% «сухого остатка», в свежих — 100% - 78% = 22% «сухого остатка». В 3 кг сушёных грибов содержится 3 · 0.88 = 2,64 кг «сухого остатка», в свежих грибах, из которых приготовили сушёные, этого остатка было столько же, но в процентах это составляет уже 22%.
Если 2.64 кг — это 22%, то 100% это 2.64 : 0,22 = 12 кг. Требуется 12 килограммов свежих подосиновиков.
Задача 2
Смешали некоторое количество $12 $-процентного раствора уксуса с вчетверо большим количеством $9 $-процентного раствора уксуса. Сколько процентов составляет концентрация уксуса в получившемся растворе?
Решение
Чтобы найти концентрацию уксуса в растворе, надо найти отношение массы уксуса к массе раствора и умножить это отношение на $100%$. Найдем, сколько уксуса содержится в каждом растворе, обозначим количество 12-процентного раствора уксуса через $x$. При этом 9-процентного раствора уксуса вчетверо больше, то есть $4x$.Тогда в первом растворе $x · {12}/{100}$ кг уксуса, а во втором $4x · {9}/{100} = 0.36x$ кг уксуса. Масса получившегося раствора $5x$ кг, и в нём $0.12x + 0.36x = 0.48x$ кг уксуса.
Концентрация уксуса в получившемся растворе равна ${0.48x}/{5x} · 100% = 9.6%.$
Задача 3
Смешали некоторое количество $12 $-процентного раствора уксуса с таким же количеством $6 $-процентного раствора уксуса. Сколько процентов составляет концентрация уксуса в получившемся растворе?
Решение
Чтобы найти концентрацию уксуса в растворе, надо найти отношение массы уксуса к массе раствора и умножить это отношение на $100%$. Найдем, сколько уксуса содержится в каждом растворе ($a_1$ кг — в первом растворе и $a_2$ кг — во втором растворе), обозначим количество каждого раствора через $x$ кг. $a_1 = x · {12}/{100}, a_2 = x · {6}/{100}$. Количество получившегося раствора $2x$ кг, и в нём $a_1 + a_2 = 0.12x + 0.06x = 0.18x$.
Концентрация уксуса в получившемся растворе равна ${0.18x}/{2x} · 100% = 9%.$
Задача 4
Теплоход в 6:00 вышел из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $204$ км по реке от пункта $A$. Пробыв в пункте $B$ 2 часа 20 минут, теплоход отправился назад и вернулся в пункт отправления в 20:00 того же дня. Найдите скорость течения, если собственная скорость теплохода равна $35$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки — $(35 + x)$ км/ч, а скорость теплохода против течения реки $(35 - x)$ км/ч.
По условию на весь путь теплоход затратил $20-6-2{1}/{3} = 11{2}/{3} = {35}/{3}$ (ч).
Составим и решим уравнение:
${204}/{35 + x} + {204}/{35 - x} = {35}/{3}$,
$204·3(35-x+35+x) = 35(35-x)(35+x)$,
$204·3·70= 35(35-x)(35+x) $ | $:35$,
$1224 = 1225-x^2$,
$x^2 = 1$,
$x_1 = 1, x_2 = -1$.
Скорость течения положительна, она равна $1$ км/ч.
Задача 5
От продовольственного склада до супермаркета, расстояние между которыми $240$ км, с постоянной скоростью выехала фура. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на $20$ км/ч больше прежней. По дороге фура сделала остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь до супермаркета. Найдите скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета через $x$ км/ч, тогда путь $240$ км она проедет за ${240}/{x}$ ч. Скорость фуры на обратном пути равна $(x + 20)$ км/ч, таким образом, время, затраченное на обратный путь, равно ${240}/{x + 20}$ ч. Составим и решим уравнение: ${240}/{x} - {240}/{x+20} = 2, 240 · 20 = 2x(x + 20), x^2 + 20x - 2400 = 0, x_1 = 40, x_2 = -60$.
Скорость $-60$ км/ч не удовлетворяет условию, поэтому скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета равна $40$ км/ч.
Задача 6
От замка А к замку В, расстояние между которыми $20$ км, одновременно вылетели два почтовых голубя. Известно, что за час первый голубь пролетает на $20$ км меньше, чем второй. Найдите скорость второго голубя, если он прилетел в замок В на $ 5$ минут раньше первого голубя. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость второго голубя через $x$ км/ч, тогда по условию скорость первого голубя $(x - 20)$ км/ч. Время, затраченное на полёт первым голубем, равно ${20}/{x - 20}$ ч. Время, затраченное на полёт вторым голубем, равно ${20}/{x}$ ч.
Составим и решим уравнение: ${20}/{x - 20} - {20}/{x} = {5}/{60}, {4}/{x - 20} - {4}/{x} = {1}/{60}, 4x - 4(x - 20) = {x(x - 20)}/{60}, x^2 - 20x - 4800 = 0, x_1 = 80, x_2 = -60$.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго голубя $80$ км/ч.
Задача 7
Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы вдвое, а если бы зарплата жены сократилась впятеро, то общий доход семьи сократился бы на $ 32%$. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия их сына-студента?
Решение
Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, то есть прибавилось бы ещё две зарплаты, то общий доход семьи вырос бы вдвое, то есть увеличился на $100%$. Из этого можно сделать вывод, что одна зарплата мужа составляет ${100%}/{2} = 50%$ общего дохода семьи. Если бы зарплата жены сократилась бы впятеро, то есть стала равной ${1}/{5}$ имеющейся её зарплаты, то общий доход семьи сократился бы на ${4}/{5}$ имеющейся зарплаты, что по условию составляет $32%$ общего дохода семьи. Значит вся зарплата жены составляет ${32%}/{4/5} = 40%$ общего дохода семьи. На долю стипендии сына остаётся $100% - 50% - 40% = 10%$.
Задача 8
Цена мультиварки в магазине ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена мультиварки, если выставленная на продажу за $6800$ рублей через два месяца она была продана за $5508$ рублей?
Решение
Стоимость мультиварки первоначально была $6800$ рублей. Через месяц она стала $6800-6800·0.01x = 6800(1-0.01x)$ рублей, где $x$ — количе ство процентов, на которые уменьшается ежемесячно цена мультиварки. Тогда через два месяца её стоимость стала $6800(1 - 0.01x)(1 - 0.01x) = 6800(1 - 0.01x)^2$.
Составим и решим уравнение: $6800(1 - 0.01x)^2 = 5508, 1 - 0.01x = 0.9, x = 10$. Цена мультиварки уменьшалась на $10$ процентов.
Задача 9
В сентябре в магазине продали товаров на $585000$ рублей. В октябре сумма продаж возросла на $8%$, а в ноябре — на $10%$ по сравнению с октябрём. На сколько рублей продал магазин товаров в ноябре?
Решение
В октябре сумма продаж возросла на $8%$, то есть стала $108%=1{,}08$, что равно $585000⋅ 1{,} 08 $ (рублей). В ноябре сумма продаж возросла на $10%$ (стала $110%=1{,}1$) по сравнению с октябрём, то есть сумма продаж стала равна $585000⋅ 1{,}08⋅1{,}1=694 980$ (рублей).
Задача 10
Три трубы наполняют бак за $2$ минуты, первая труба — за $9$ минут, а вторая — за $18$ минут. За сколько минут наполнит бак третья труба?
Решение
Объём бака примем за 1, тогда за 1 минуту три трубы заполнят ${1}/{2}$ часть бака, первая труба за 1 минуту заполнит ${1}/{9}$ часть бака, вторая труба - ${1}/{18}$ часть бака. Тогда третья труба за 1 минуту заполнит ${1}/{2} - {1}/{9} - {1}/{18} = {1}/{3}$ часть бака. Весь бак третья труба заполнит за $1 : {1}/{3} = 3$ минуты.
Задача 11
Роберт покрасит стену дома за $10$ часов, а Давид — за $15$ часов. За сколько часов покрасят эту стену Роберт и Давид, работая вместе?
Решение
Весь объём работы примем за $1$, тогда ${1}/{10}$ - часть стены, которую красит Роберт за $1$ час, ${1}/{15}$ - часть стены, которую красит Давид за $1$ час. Тогда оба мальчика за $1$ час покрасят ${1}/{10} + {1}/{15} = {1}/{6}$. Всю стену мальчики покрасят за $1 : {1}/{6} = 6$ часов.
Задача 12
Гаянэ и Милена выполняют одинаковый тест. Гаянэ отвечает за час на $16$ вопросов теста, а Милена — на $18$. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Гаянэ закончила свой тест позже Милены на $20$ минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение
Пусть в тесте $x$ вопросов. В среднем, Гаянэ отвечает на ${16}/{60}$ вопроса в минуту, а Милена на ${18}/{60}$ вопроса в минуту. На все вопросы теста Гаянэ ответит за $x : {16}/{60} = {60x}/{16}$ минут, а Милена за $x : {18}/{60} = {60x}/{18}$ минуты. По условию Гаянэ закончила свой тест позже Милены на $20$ минут, можно составить уравнение ${60x}/{16} - {60x}/{18} = 20$. Получаем $x = 48$.
Задача 13
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $84$ км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна $250$ метров, за $2$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Обозначим длину поезда $x$ км. Длина здания равна $250$ метров, то есть $0.25$ км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен $(x + 0.25)$ км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно ${x + 0.25}/{84}$ ч. По условию это $2$ минуты ($2$ мин = ${2}/{60}$ часа).
Составим и решим уравнение: ${x + 0.25}/{84} = {2}/{60}; x = 2.55$ (км).
Длина поезда равна $2550$ м.
Задача 14
Электричка, двигаясь равномерно со скоростью $50$ км/ч, проезжает мимо семафора за $45$ секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Обозначим длину электрички $x$ км. Тогда время, за которое электричка проезжает мимо семафора, равно ${x} / {50}$ ч. По условию это $45$ секунд, то есть ${45} / {3600}$ ч. ${x} / {50}={45} / {3600}$, $x= {50⋅ 45} / {3600}, x=0{,} 625$ (км). Длина электрички равна $625$ м.
Задача 15
Первые $180$ км автомобиль двигался со скоростью $60$ км/ч, следующие $45$ км — со скоростью $90$ км/ч, а затем $66$ км — со скоростью $44$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Автомобиль был в пути $180 : 60+45 : 90+66 : 44 = 3+0.5+1.5 = 5$ часов, за это время он проехал $180 + 45 + 66 = 291$ (км). Так как средняя скорость равна $v_{ср} = {S}/{t}$, где $S$ - пройденный путь, $t$ - время, затраченное на весь путь, то $v_{ср} = {291}/{5} = 58.2$ (км/ч).
Задача 16
Первые два часа снегоход ехал со скоростью $15$ км/ч, следующие три часа — со скоростью $20$ км/ч, а затем один час — со скоростью $18$ км/ч. Найдите среднюю скорость снегохода на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Снегоход был в пути $2 + 3 + 1 = 6$ часов, за это время он проехал $15·2 + 20·3 + 18 = 108$ км. Т.к. средняя скорость снегохода равна $v_{ср} ={S}/{t}$, где $S$ - пройденный путь, $t$ - время, затраченное на весь путь, то $v_{ср} = {108}/{6} = 18$ (км/ч).
Задача 17
Первые три часа грузовик ехал со скоростью $40$ км/ч, следующий час — со скоростью $60$ км/ч, а затем два часа — со скоростью $45$ км/ч. Найдите среднюю скорость грузовика на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Грузовик был в пути $3+1+2=6$ часов, за это время он проехал $40⋅3+60 +45⋅2=270$ км. Так как средняя скорость автомобиля равна $v_{ср}={S} / {t}$, где $S$ — пройденный путь, $t$ — время, затраченное на весь путь, то $v_{ср}={270} / {6}=45$ (км/ч).
Задача 18
Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $160$ км, навстречу друг другу одновременно выехали велосипед и мопед и встретились через $4$ часа на расстоянии $64$ км от города $B$. Найдите скорость мопеда, выехавшего из города $A$. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Мопед и велосипед встретились через 4 часа на расстоянии 160 - 64 = 96 км от города A. Тогда скорость мопеда, выехавшего из города A, равна 96 : 4 = 24 км/ч.
Задача 19
Из городов $M$ и $N$, расстояние между которыми равно $490$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два скутера и встретились через $7$ часов на расстоянии $210$ км от города $M$. Найдите скорость скутера, выехавшего из города $N$. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Скутеры встретились через 7 часов на расстоянии 490-210 = 280 км от города N. Тогда скорость скутера, выехавшего из города N, равна 280 : 7 = 40 км/ч.
Задача 20
Из двух городов, расстояние между которыми равно $720$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $56$ км/ч и $64$ км/ч?
Решение
Скорость сближения автомобилей равна сумме скоростей 56 + 64 = 120 (км/ч). Автомобили встретятся через 720 : 120 = 6 (ч).