Бесплатный интенсив по математике (профильной)
3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и
многое другое.
Курс стартует 19 июля.
Подробнее об интенсиве
Задание 11. Наименьшее и наибольшее значение функции. ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Найдите наименьшее значение функции $y=-2\ln(x+3)^5+10x$ на отрезке $[-2{,}5 ;-1]$.
Решение
Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.
Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:
$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.
2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.
3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.
Задача 2
Найдите наибольшее значение функции $y=\ln(x+7)^3-3x$ на отрезке $[-6{,}5 ;-4]$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞ )$, на котором она дифференцируема
Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения
Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln(x+7)^3=3\ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3\ln(x+7)-3x$
1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$
2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку
3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$
$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$
Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения
$y(-6)=3\ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $\ln 1=0$.
Задача 3
Найдите наибольшее значение функции $y=\ln(4-2x)+2x-7$ на отрезке $[0;1{,}7]$.
Решение
Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:
$y′ = {1}/{4 - 2x} · (4 - 2x)′ + (2x)′ - (7)' = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x - 3}/{x - 2}$.
$y′ = {2x - 3}/{x - 2}$.
2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x - 3}/{x - 2} = 0,$
$2x - 3 = 0,$
$x = {3}/{2}$.
Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x - 3)(x - 2) = 2x^2 - 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».
При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).
4. $y({3}/{2}) = ln (4 - 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} - 7 = ln 1 + 3 - 7 = -4$.
Задача 4
Найдите точку максимума функции $y=-8√ x+12\ln(x-4)-11$.
Решение
Областью определения этой функции является интервал $(4; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.
$y′ = {-8}/{2√x} + {12}/{x - 4} = {-8(x - 4) + 24√x}/{2√x(x - 4)} = {-4x + 16 + 12√x}/{√x(x - 4)}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x + 16 + 12√x = 0$.
Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 + 12t + 16 = 0; t^2 - 3t - 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:
$t_{1,2} = {3± √{9 + 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,
$t_1 = -1, t_2 = 4$.
$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.
Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; +∞)$.
При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x+16+12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.
$y_1 (9) = -4 · 9 + 16 + 12√9 = -36 + 16 + 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 + 16 + 12√25 = -100 + 16 + 60 < 0$.
3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.
Задача 5
Найдите точку максимума функции $y=2\ln x-√ {x}-17$.
Решение
Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:
$y′ = {2}/{x} - {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 - √x = 0. √x = 4, x = 16$.
Получили одну стационарную точку.
3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 - √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.
Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 - √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 - √{25} = -1 < 0$
Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.
Задача 6
Найдите наибольшее значение функции $y=√ {-2\log_{0{,}5} (5x+1)}$ на отрезке $[12{,}6;51]$.
Решение
Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.
1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.
2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.
Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.
Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.
Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.
3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.
Задача 7
Найдите точку минимума функции $y=x^2-21x+6+55\ln x$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.
$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 - 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.
Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.
| (0;5) | 5 | (5; 5.5) | 5.5 | (5.5;+∞) | |
| y′ | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Задача 8
Найдите точку максимума функции $y=x^2-11x-17+15\ln x$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.
$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 - 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.
Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.
| (0;2.5) | 2.5 | (2.5; 3) | 3 | (3;+∞) | |
| y′ | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Задача 9
Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-3x-3)e^{x+5}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:
$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.
Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.
| (-∞;-2) | -2 | (-2; 0.6) | 0.6 | (0.6;+∞) | |
| y′ | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Задача 10
Найдите наименьшее значение функции $y=-4x-4\cos x+5$ на отрезке $[- {π} ;0]$.
Решение
Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:
$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 - sin x), y′ = -4(1 - sin x)$.
2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 - sin x > 1$ и $-4(1 - sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x - 4 cos x + 5$ убывает.
3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.
$y(0) = -4 · 0 - 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.
Задача 11
Найдите точку минимума функции $y=(12-5x)\sin x-5\cos x-10$, принадлежащую интервалу $({π} / {2};π)$.
Решение
Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ \sin x+(\sin x)^′⋅(12-5x)+5\sin x$, $y^′=-5\sin x+\cos x(12-5x)+5\sin x=-\cos x(5x-12)$, $y^′=-\cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $\cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $\cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.
Задача 12
Найдите точку минимума функции $y={x-8} / {x^2+225}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".
1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:
$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.
$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.
$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.
Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.
| (-∞;-9) | -9 | (-9; 25) | 25 | (25;+∞) | |
| y′ | - | + | - | ||
| y | ↘ | 0 | ↗ | 0 | ↘ |
Тем самым производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.
Задача 13
Найдите точку максимума функции $y={x-5} / {x^2+144}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".
1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:
$y′ = {(x-5)′·(x^2+144)-(x^2+144)′·(x-5)}/{(x^2+144)^2}$.
$y′ = {x^2+144-2x·(x-5)}/{(x^2+144)^2}={x^2+144-2x^2+10x}/{(x^2+144)^2}$.
$y′ = {-x^2+10x+144}/{(x^2+144)^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 10x+144 = 0, x^2-10x-144=0, x_{1,2} = 5±√{25+144}=5±√{169}=5±13, x_1=-8, x_2=18$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +10x+144$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-8$ и $18$.
Поэтому на промежутке $(-∞;-8)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-8; 18)$ она больше нуля и на промежутке $(18;+∞)$ меньше нуля.
| (-∞;-8) | -8 | (-8; -18) | 18 | (18;+∞) | |
| y′ | - | + | - | ||
| y | ↘ | 0 | ↗ | 0 | ↘ |
Тем самым производная меняет знак с "плюса" на "минус" при переходе через точку $x = 18$, которая и будет точкой максимума.
Задача 14
Найдите наименьшее значение функции $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$.
Решение
Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема
Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции
1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$
По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$
2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $
Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет
3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает
Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$
$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.
Задача 15
Найдите точку минимума функции $y={25x^2+25} / {x}$.
Решение
Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".
1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 - {25}/{x^2} = {25x^2 - 25}/{x^2} = {25(x^2 - 1)}/{x^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 - 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.
3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.
| (-∞;-1) | -1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0;+∞) | |
| y′ | + | 0 | - | Не сущ. | - | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Задача 16
Найдите наименьшее значение функции $y=x^5-5x^3-270x$ на отрезке $[0 ;5]$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 - 15x^2 - 270$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 - 15t - 270 = 0$ или $t^2 - 3t - 54 = 0$.
$t_1 = -6, t_2 = 9$.
$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.
3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.
$y′(1) = 5·1^4 - 15·1^2 - 270 = 5 - 15 - 270 < 0$,
$y′(4) = 5·4^4 - 15·4^2 - 270 = 1280- 240 - 270 > 0$.
Производная меняет знак с "минуса" на "плюс" при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(3) = 3^5 - 5·3^3 - 270·3 = 243-135-810 = -702$.
Задача 17
Найдите наибольшее значение функции $y=√ {240-8x-x^2}$ на отрезке $[-18;10]$.
Решение
Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 - (x + 4)^2}$.
Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.
Задача 18
Найдите наименьшее значение функции $y=√ {x^2+2x+122}$ на отрезке $[-50;150]$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 - 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].
При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.
При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.
Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.
$y(-1) = √{121} = 11$.
Задача 19
Найдите точку максимума функции $y=√ {77+4x-x^2}$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.
$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.
Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).
Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
$y′ = {1}/{2√{77 + 4x - x^2}}·(77 + 4x - x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x - x^2}} = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}, y′ = {-(x - 2)}/{√{77 + 4x - x^2}}$,
2. Решаем уравнение $y′ = 0, x - 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.
3. Так как $√{77 + 4x - x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.
Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Задача 20
Найдите точку минимума функции $y=√ {x^2-12x+40}$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$
$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.
2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.
3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y'>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.
Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.