Задание 10. Задачи с физическим смыслом. ЕГЭ 2020 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 86.9%
Ответом к заданию 10 по математике профильного уровня может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Задача 1
Катер должен пересечь реку шириной $L = 50$ м и со скоростью течения $u =2$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = {L} / {u}\\ctgα$, где $α$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $α$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $25$ с?
Решение
По условию должно выполняться неравенство $t ≤ 25, {L}/{u}ctgα ≤ 25, {50}/{2}ctg α ≤ 25, ctg α ≤ 1$. Учитывая, что угол $α$ — острый $(0° < α < 90°)$, получим $45° ≤ α < 90°$. Минимальное значение угла равно $45°$.
Задача 2
Груз массой $0{,}6$ кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v=v_0\sin {2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=24$ с — период колебаний, $v_0=1{,}4$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = {mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через $2$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Из условия следует, что через $2$ секунды после начала колебаний скорость $v = 1.4 sin {2π· 2}/{24} = 1.4 sin{π}/{6} = 1.4 · {1}/{2} = 0.7$ м/с. Тогда $E = {mv^2}/{2} = {0.6 ·0.7^2}/{2} = 0.147$ джоулей.
Задача 3
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = √ {{Rh} / {500}}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $2{,}4$ км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $20$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $4$ километров?
Решение
Найдём высоту $h_1$, стоя на которой, наблюдатель видит горизонт на расстоянии $2.4$ км. Решим уравнение $√{{6400h_1}/{500}} = 2.4; {64h_1}/{5} = 2.4^2; h_1 = {2.4^2 · 5}/{64} = 0.45$ м.
Найдём высоту $h_2$, стоя на которой, наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $4$ км. Решим уравнение $√{{6400h_2}/{500}} = 4; {64h_2}/{5} = {4}/{2}; h_2 = {4^2· 5}/{64} = 1.25$ (м).
Таким образом, наблюдателю надо подняться на $1.25 - 0.45 = 0.8$ м. Учитывая, что высота одной ступеньки равна $20$ см = $0.2$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${0.8}/{0.2} = 4$ ступеньки.
Задача 4
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = √ {{Rh} / {500}}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $15$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $5{,}6$ километров?
Решение
Найдём высоту $h_1$, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км.
Решим уравнение $√ {{6400h_1} / {500}}=3{,}2$;
${64h_1} / {5}=3{,}2^2$;
$h_1={3{,}2^2⋅5} / {64}={3{,}2⋅5} / {20}=0{,}8$ (м).
Найдём высоту $h_2$, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $5{,}6$ км.
Решим уравнение: $√ {{6400h_2} / {500}}=5{,}6$;
${64h_2} / {5}=5{,}6^2$;
$h_2={5{,}6^2⋅5} / {8^2}=0{,}7^2⋅5=2{,}45$ (м).
Таким образом, наблюдателю надо подняться на $2{,}45-0{,}8=1{,}65$ (м).
Учитывая, что высота одной ступеньки равна $15$ см $= 0{,}15$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${1{,}65} / {0{,}15}={165} / {15}=11$ (ступенек).
Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот $h_1$ и $h_2$. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.
Задача 5
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 25$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $10$ до $80$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $100$ до $150$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение ${1} / {d_1} + {1} / {d_2} = {1} / {f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение
Из условия следует, что $d_1$ должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство ${1}/{d_1} + {1}/{d_2} = {1}/{25}$. Так как $d_1 > 0$, то чем меньше $d_1$, тем больше ${1}/{d_1}$. Тогда нам нужно найти наибольшее значение ${1}/{d_1}$. Числа ${1}/{d_1}$ и ${1}/{d_2}$ положительны, их сумма равна ${1}/{25}$. Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение ${1}/{d_2}$. Это значение равно ${1}/{150}$. В этом случае ${1}/{d_1} = {1}/{25} - {1}/{150} = {1}/{30} , d_1 = 30$. Число $30$ находится в пределах от $10$ до $80$, следовательно, это значение является ответом.
Задача 6
Два тела, массой $m=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=30$ м/с под углом $2α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 α$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2α$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $3375$ джоулей.
Решение
Из условия следует, что $0° < 2α ≤ 180°$, отсюда $0° < α ≤ 90°$ и $sin α ≥ 0$. Должно выполняться неравенство $Q = mv^2sin^2α ≥ 3375; 5 · 30^2 · sin^2 α ≥ 3375; sin^2 α ≥ {3}/{4}; sin α ≥ {√3}/{2}$. Следовательно, $60° ≤ α ≤ 90°, 120° ≤ 2α ≤ 180°$. Наименьшим значением $2α$ является $120°$.
Задача 7
Плоский замкнутый контур площадью $S = 0{,}8$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $ϵ_{i} = aS\cos α$, где $α$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=7{,}5 ⋅ 10^{-5}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в $м^2$). При каком минимальном угле $α$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3√ 3⋅10^{-5}$ В?
Решение
По условию должно выполняться неравенство $ε_i ≤ 3√3 · 10^{-5}$, то есть $7.5 · 10^{-5} · 0.8 · cos α ≤ 3√3 · 10^{-5}$. Получим $cos α ≤ {√3}/{2}$. Известно, что угол $α$ — острый $(0° < α < 90°)$. С учётом этого, неравенство $cos α ≤ {√3}/{2}$ выполнено при $α ∈ [30°; 90°)$. Минимальное значение угла $α$ равно $30°$.
Задача 8
Рейтинг $R$ интернет-магазина книг вычисляется по формуле
$R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+2)^m}$, где $m={0{,}05K} / {r_{пок}+4{,}5}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $62$, их средняя оценка равна $4{,}8$, а оценка экспертов равна $3{,}2$.
Решение
Посчитаем m по формуле $m = {0.05K}/{r_{пок} + 4.5}$. Получим $m = {0.05 · 62}/{4.8 + 4.5} = {1}/{3}$.
Тогда $R = r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}}/{(K + 2)^m} = 4.8 - {4.8 - 3.2}/{64^{{1}/{3}}} = 4.8 - {1.6}/{4} = 4.4$.
Задача 9
Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $80$, их средняя оценка равна $3{,}9$, а оценка экспертов равна $2{,}1$.
Решение
Посчитаем $m$ по формуле $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$. Получим
$m={0{,}03⋅ 80} / {3{,}9+0{,}9}=0{,}5$.
Тогда $R=r_{пок} - {r_{пок} - r_{экс}} / {(K+1)^m}=3{,}9 - {3{,}9 - 2{,}1} / {81^{0,5}}=3{,}9-{1{,}8} / {9}=3{,}7$.
Задача 10
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{п} = 15 ^°$C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $T_{в} = 95 ^°$C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$ м, вода охлаждается до температуры $T$, причём $x = α {cm} / {γ}\log _2 {T_{в} - T_{п}} / {T - T_{п}}$, где $c = 4200{Вт⋅с} / {кг ⋅ °C\!{}}$ — теплоёмкость воды, $γ = 35{Вт} / {м ⋅ °C\!{}}$ — коэффициент теплообмена, а $α=2{,}5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $180$ м.
Решение
По условию должно выполняться равенство $α · {cm}/{γ} · log_2{T в - Tп}/{T - Tп} = 180$.
Следовательно, $2.5 · {4200 · 0.3}/{35} · log_2{95 - 15}/{T - 15} = 180$.
Отсюда $log_2{80}/{T - 15} = 2$;
${80}/{T - 15} = 4$;
$4(T - 15) = 80$;
$T = 35$.
Задача 11
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ} = {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше ${80} / {9}$ Ом. Ответ выразите в омах.
Решение
Должно выполняться неравенство $ {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}⩾{80} / {9}$ (Ом), $R_1=80$. Тогда ${80R_2} / {80+R_2}⩾{80} / {9}$, ${R_2} / {80+R_2}⩾{1} / {9}$, $R_2⩾{80} / {9}+{1} / {9}R_2$; $8 R_2⩾ 80$; $R_2⩾10$ Ом. Наименьшее возможное значение $R_2$ равно $10$ Ом.
Задача 12
Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом
$q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvB\sin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.
Решение
По условию должно выполняться равенство $F_л ≥ 3.15 · 10^{-7}; 3.5 · 10^{-6} · 18 · 5 · 10^{-3}sin α ≥ 3.15 · 10^{-7}; sin α ≥ {3.15 · 10^2}/{3.5 · 18 · 5} = 1$. Значит, $sin α ≥ 1; α = 90°$. Наименьшее значение $α = 90°$.
Задача 13
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $υ= 8$ молей воздуха объёмом $V_1=80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = α υ T\log _2 {V_1} / {V_2}$, где $α=5{,}75$ $ {Дж} / {моль ⋅ К}$ — постоянная, а $T = 280$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $51520$ Дж.
Решение
Из условия получаем, что $51520 = 5.75·8·280·log_2{V_1}/{V_2}$. Отсюда $log_2{V_1}/{V_2} = {51520}/{5.75·8·280} = 4$. Следовательно, ${V_1}/{V_2} = 2^4 = 16$, то есть ${80}/{V_2} = 16, V_2 = 5$. Таким образом, искомый объём равен $5$ л.
Задача 14
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?
Решение
По условию изначально выполняется равенство $p_1V_1^a = const$. Отсюда, $p_1={const} / {V_1^a}$. После уменьшения объёма выполняется $p_2={const} / {V_2^a}$, $V_2={V_1} / {5}$. Значит, ${p_2} / {p_1}={{const} / {V_2^a}} / {{const} / {V_1^a}}=({V_1} / {V_2})^a=5^a$. По условию должно выполняться неравенство ${p_2} / {p_1}⩾ 125$. Следовательно, $5^a⩾125$. Наименьшее значение $a$, при котором это неравенство выполнено, равно $3$.
Задача 15
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = {4mg} / {π D^2}$, где $m = 2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$, а $π = 3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $576000$ Па. Ответ выразите в метрах.
Решение
По условию должно выполняться неравенство ${4mg}/{πD^2} ≤ 576000; {4 ·2700·10}/{3·D^2} ≤ 576 000; {1}/{D^2} ≤ 16, D^2 ≥ {1}/{16}, D ≥ 0.25$ (так как $D > 0$). Наименьший возможный диаметр колонны равен $0.25$ м.
Задача 16
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=2{,}25 + 8t - 4t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решение
Мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, когда будет выполнено неравенство
$h(t) ≥ 4$;
$2.25 + 8t - 4t^2 ≥ 4$.
$4t^2-8t+1.75 ≤ 0$;
$16t^2-32t+7 ≤ 0$.
Решим уравнение $16t^2-32t+7 = 0, t_{1,2} = {16±√{256 - 112}}/{16}, t_{1,2} = {16±12}/{16}, t_1 = {1}/{4}, t_2 = {7}/{4}$. Отсюда неравенство $16t^2-32t+7 ≤ 0$ выполнимо при ${1}/{4} ≤ t ≤ {7}/{4}$. Длина этого промежутка равна ${7}/{4} - {1}/{4} = {3}/{2} = 1.5$. Значит, мяч на высоте не менее четырёх метров был на протяжении $1.5$ секунд.
Задача 17
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-7$ до $7$. По решению составителей формула приняла вид: $R={4In+9Op+7Tr+3Q} / {A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.
Решение
Если $In = Op = Tr = Q = x$, то и $R = x$ по условию. Тогда $x = {4x + 9x + 7x + 3x}/{A}, x = {23x}/{A}$. Отсюда, $A = 23$.
Задача 18
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.
Решение
Если $In=Op=Tr=4$, то $R={2⋅ 4+5⋅ 4+3⋅ 4} / {A}=$
$={4⋅(2+5+3)} / {A}$. Отсюда должно выполняться ${40} / {A}=50$, $A=0{,}8$.
Задача 19
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=900$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=400$ руб., постоянные расходы предприятия $f= 800000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $600000$ руб.
Решение
Операционная прибыль $π(q)$ равна $600 000$ тыс. руб., если выполнено равенство $π(q) = q(p - v) - f = 600 000$, то есть $q·500 = 1 400 000, q = 2800$. Таким образом, искомый месячный объём равен $2800$ единиц продукции.
Задача 20
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_A = ρgl^3$, где $l$ - длина ребра куба в метрах, $ρ = 1000$ кг/м3 плотность воды, а $g$ - ускорение свободного падения (считайте $g = 9.8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264 600 Н$? Ответ выразите в метрах.
Решение
Решим неравенство $F_{A} ≤ 264 600; 1000·9.8·l^3 ≤ 264 600, 98l^3 ≤ 2646, l^3 ≤ 27, l ≤ 3$. Максимальная длина ребра куба равна $3$ метрам.