Задание 10. Текстовые задачи. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 10 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В помощь насосу, перекачивающему $200$ литров воды за $4$ минуты, подключили второй насос, который перекачивает тот же объём воды за $6$ минут. За сколько минут два эти насоса перекачают $5000$ литров воды, работая вместе?
Решение
За $1$ минуту первый насос перекачает ${200} / {4}$ литра воды, второй насос за $1$ минуту перекачает ${200} / 6$ литра. Тогда за $1$ минуту два насоса перекачают ${200} / {4}+{200} / {6} = {1000} / {12}$ литров воды. Два эти насоса, работая вместе, $5000$ литров воды перекачают за $5000:{1000} / {12}= 60$ минут.
Задача 2
Скоростной поезд, двигаясь равномерно со скоростью $150$ км/ч, проезжает мимо семафора за $15$ секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Обозначим длину поезда $x$ км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно ${x} / {150}$ ч. По условию это $15$ секунд, то есть ${15} / {3600}$ часа. ${x} / {150}={15} / {3600}$, $x= {150⋅ 15} / {3600}, x=0{,} 625$ (км). Длина поезда равна $625$ м.
Задача 3
Смешали некоторое количество $18$-процентного раствора кислоты с таким же количеством $9$-процентного раствора кислоты. Сколько процентов составляет концентрация кислоты в получившемся растворе?
Решение
Концентрация кислоты в растворе равна отношению массы кислоты к массе раствора, умноженной на $100%$. Найдём, сколько кислоты содержится в каждом растворе ($a_1$ и $a_2$), обозначив массу каждого раствора через $x$. $a_1=x⋅ {18} / {100}$, $a_2=x⋅ {9} / {100}$. Масса получившегося раствора $2x$, и в нём $a_1+a_2=0{,}18x+0{,}09 x=0{,}27x$ кислоты. Концентрация кислоты в получившемся растворе равна
${0{,}27x} / {2x}⋅ 100%=13{,}5%.$
Задача 4
Из одной точки круговой трассы, длина которой $5$ км, одновременно в одном направлении стартовали два сити-кара. Скорость одного из них $110$ км/ч, и через $6$ минут после старта он опережал второй сити-кар на один круг. Найдите скорость второго сити-кара. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость второго сити-кара равна $x$ км/ч, тогда за $6$ минут $={1} / {10}$ часа он проедет расстояние, равное ${1} / {10} x$ км. Первый сити-кар проедет за это время ${1} / {10}⋅ 110=11$ (км). Разность между расстояниями, которые проехали сити-кары за ${1} / {10}$ часа, и есть круг трассы, то есть $5$ км.
Составим и решим уравнение: $11 - {1} / {10}x=5, {1} / {10}x=6, x=60$.
Скорость второго сити-кара $60$ км/ч.
Задача 5
От острова $A$ к острову $B$, расстояние между которыми равно $70$ км, одновременно вышли две яхты. Известно, что за час первая яхта проходит на $6$ км больше, чем вторая. Найдите скорость второй яхты, если она прибыла к острову $B$ на $1,5$ часа позже первой яхты. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость второй яхты через $x$ км/ч, тогда по условию скорость первой яхты равна $(x+6)$ км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первой яхтой, равно ${70} / {x+6}$ ч. Время, затраченное на прохождение всего пути второй яхтой, равно ${70} / {x}$ ч.
Составим и решим уравнение: ${70} / {x} - {70} / {x+6}=1{,} 5$, где $x>0$.
${140} / {x} - {140} / {x+6}=3$,
$140(x+6) - 140x=3 x(x+6), 280= x^2+6x$,
$x^2+6x - 280 =0, x_1=14, x_2= - 20$ — не удовлетворяет условию $x>0$. Скорость второй яхты $14$ км/ч.
Задача 6
В мае в магазине продали товаров на $325000$ рублей. В июне сумма продаж возросла на $12%$, а в июле — снизилась на $10%$ по сравнению с июнем. На сколько рублей продал магазин товаров в июле?
Решение
В июне сумма продаж возросла на $12%$, то есть стала $112%$, что равно $325000⋅ 1{,}12 $ (рублей). В июле сумма продаж снизилась на $10%$ и стала $90%$ по сравнению с июнем, то есть сумма продаж стала равна
$325000⋅ 1{,}12⋅0{,}9=327600$ (рублей).
Задача 7
Из одной точки круговой трассы, длина которой $12$ км, одновременно в одном направлении стартовали два мотоцикла. Скорость одного из них $105$ км/ч, и через $20$ минут после старта он опережал второй мотоцикл на один круг. Найдите скорость второго мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость второго мотоцикла равна $x$ км/ч, тогда за $20$ минут $= {1}/{3}$ часа он проедет расстояние равное ${1}/{3}x$ км. Первый мотоцикл проедет за это время ${1}/{3} · 105 = 35$ (км). Разность между расстояниями, которые проехали мотоциклы за ${1}/{3}$ часа, и есть круг трассы, то есть $12$ км. Составим и решим уравнение: $35 - {1}/{3}x = 12, {1}/{3}x = 23, x = 69$. Скорость второго мотоцикла $69$ км/ч.
Задача 8
Из одной точки круговой трассы, длина которой $15$ км, одновременно в одном направлении стартовали два мотоцикла. Скорость одного из них $96$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй мотоцикл на два круга. Найдите скорость второго мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость второго мотоцикла равна $x$ км/ч, тогда за $45$ минут $= {3}/{4}$ часа он проедет расстояние равное ${3}/{4}x$ км. Первый мотоцикл проедет за это время ${3}/{4} · 96 = 72$ (км). Разность между расстояниями, которые проехали мотоциклы за ${3}/{4}$ часа, и есть 2 круга трассы, то есть $30$ км. Составим и решим уравнение: $72 - {3}/{4}x = 30, {3}/{4}x = 42, x = 56$. Скорость второго мотоцикла $56$ км/ч.
Задача 9
Крот роет ход длиной $720$ метров. Ежедневно он роет на одно и то же число метров больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день крот прорыл $15$ метров. Определите, сколько метров хода крот прорыл в последний день, если весь ход он вырыл за $16$ дней.
Решение
Из условия следует, что количество ежедневно вырытых метров образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен $15$. По формуле суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии получаем:
$a_1+a_2+a_3+…+a_{16}=(a_1+a_{16}):2⋅ 16=720$,
$15+a_{16}=90$,
$a_{16}=90 - 15=75$.
Крот в последний день вырыл $75$ метров хода.
Задача 10
Имеется два раствора. Первый содержит $10%$ соли, второй — $20%$ соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой $ 50$ кг, содержащий $12%$ соли. На сколько килограммов масса второго раствора меньше массы первого раствора?
Решение
Пусть масса первого раствора x кг, а масса второго — (50 - x) кг. В первом растворе 0.1x кг соли, во втором — 0.2(50 - x) кг соли. В 50 кг получившегося раствора 0.12 · 50 = 6 кг соли.
Составим и решим уравнение 0.1x + 0.2(50 - x) = 6. Из этого уравнения x = 40.
Масса первого раствора равна 40 кг, масса второго раствора 10 кг, масса второго раствора меньше массы первого раствора на 30 килограммов.
Задача 11
Смешали некоторое количество $12 $-процентного раствора уксуса с вчетверо большим количеством $9 $-процентного раствора уксуса. Сколько процентов составляет концентрация уксуса в получившемся растворе?
Решение
Чтобы найти концентрацию уксуса в растворе, надо найти отношение массы уксуса к массе раствора и умножить это отношение на $100%$. Найдем, сколько уксуса содержится в каждом растворе, обозначим количество 12-процентного раствора уксуса через $x$. При этом 9-процентного раствора уксуса вчетверо больше, то есть $4x$.Тогда в первом растворе $x · {12}/{100}$ кг уксуса, а во втором $4x · {9}/{100} = 0.36x$ кг уксуса. Масса получившегося раствора $5x$ кг, и в нём $0.12x + 0.36x = 0.48x$ кг уксуса.
Концентрация уксуса в получившемся растворе равна ${0.48x}/{5x} · 100% = 9.6%.$
Задача 12
Из пункта $A$ кольцевой трассы выехал велосипедист. Через $30$ минут, когда он ещё не вернулся в пункт $A$, следом за ним из пункта $A$ отправился мотоциклист. Через $10$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через $30$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна $30$ км. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость велосипедиста — $x$ км/ч, скорость мотоциклиста — $y$ км/ч. До первой встречи велосипедист ехал $40$ минут $={40} / {60}$ часа и проехал расстояние, равное ${40} / {60} x$ км, а мотоциклист ехал $10$ минут $={10} / {60}$ часа и проехал расстояние, равное ${10} / {60} y$ км. Составим уравнение ${40} / {60}x={10} / {60}y$. После упрощения получим: $y=4 x$. До второй встречи велосипедист ехал $70$ минут $={70} / {60}$ часа и проехал расстояние, равное ${70} / {60} x$ км, а мотоциклист ехал $40$ минут $={40} / {60}$ часа и проехал расстояние, равное ${40} / {60} y$ км. Разность между расстояниями, которые проехали велосипедист и мотоциклист, равна длине трассы, то есть $30$ км. Составим и решим уравнение: $30+ {70} / {60}x= {40} / {60}y, 180+7x= 4y$. Учитывая, что $y=4x$, получаем: $180+7x=4⋅4x, x=20, y=80$. Скорость мотоцикла — $80$ км/ч.
Задача 13
Из двух городов, расстояние между которыми равно $720$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $56$ км/ч и $64$ км/ч?
Решение
Скорость сближения автомобилей равна сумме скоростей 56 + 64 = 120 (км/ч). Автомобили встретятся через 720 : 120 = 6 (ч).
Задача 14
Три трубы наполняют бак за $2$ минуты, первая труба — за $9$ минут, а вторая — за $18$ минут. За сколько минут наполнит бак третья труба?
Решение
Объём бака примем за 1, тогда за 1 минуту три трубы заполнят ${1}/{2}$ часть бака, первая труба за 1 минуту заполнит ${1}/{9}$ часть бака, вторая труба - ${1}/{18}$ часть бака. Тогда третья труба за 1 минуту заполнит ${1}/{2} - {1}/{9} - {1}/{18} = {1}/{3}$ часть бака. Весь бак третья труба заполнит за $1 : {1}/{3} = 3$ минуты.
Задача 15
Имеется два сплава. Первый содержит $20%$ олова, второй — $40%$ олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $250$ кг, содержащий $36%$ олова. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого сплава?
Решение
Пусть масса первого сплава $x$ кг, а масса второго $(250 - x)$ кг. В первом сплаве $0.2x$ кг олова, во втором $0.4(250 - x)$ кг олова. В 250 кг получившегося сплава 0.36 · 250 = 90 кг олова.
Составим и решим уравнение $0.2x + 0.4(250 - x) = 90$. Из этого уравнения $x = 50$.
Масса первого сплава равна 50 кг, масса второго сплава 200 кг, масса второго сплава больше массы первого сплава на 150 килограммов.
Задача 16
Свежие подосиновики содержат $78%$ воды, а сушёные — $12%$. Сколько килограммов свежих подосиновиков требуется для получения $3$ кг сушёных грибов?
Решение
Предположим, что подосиновики состоят из воды и «сухого остатка». В сушёных грибах содержится 100% - 12% = 88% «сухого остатка», в свежих — 100% - 78% = 22% «сухого остатка». В 3 кг сушёных грибов содержится 3 · 0.88 = 2,64 кг «сухого остатка», в свежих грибах, из которых приготовили сушёные, этого остатка было столько же, но в процентах это составляет уже 22%.
Если 2.64 кг — это 22%, то 100% это 2.64 : 0,22 = 12 кг. Требуется 12 килограммов свежих подосиновиков.
Задача 17
От продовольственного склада до супермаркета, расстояние между которыми $240$ км, с постоянной скоростью выехала фура. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на $20$ км/ч больше прежней. По дороге фура сделала остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь до супермаркета. Найдите скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета через $x$ км/ч, тогда путь $240$ км она проедет за ${240}/{x}$ ч. Скорость фуры на обратном пути равна $(x + 20)$ км/ч, таким образом, время, затраченное на обратный путь, равно ${240}/{x + 20}$ ч. Составим и решим уравнение: ${240}/{x} - {240}/{x+20} = 2, 240 · 20 = 2x(x + 20), x^2 + 20x - 2400 = 0, x_1 = 40, x_2 = -60$.
Скорость $-60$ км/ч не удовлетворяет условию, поэтому скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета равна $40$ км/ч.
Задача 18
Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $160$ км, навстречу друг другу одновременно выехали велосипед и мопед и встретились через $4$ часа на расстоянии $64$ км от города $B$. Найдите скорость мопеда, выехавшего из города $A$. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Мопед и велосипед встретились через 4 часа на расстоянии 160 - 64 = 96 км от города A. Тогда скорость мопеда, выехавшего из города A, равна 96 : 4 = 24 км/ч.
Задача 19
Из пункта $A$ кольцевой трассы выехал мотоцикл. Через $20$ минут, когда он ещё не вернулся в пункт $A$, следом за ним из пункта $A$ отправился гоночный автомобиль. Через $30$ минут после отправления он догнал мотоцикл в первый раз, а ещё через $40$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоцикла, если длина трассы равна $40$ км. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость мотоцикла $x$ км/ч, скорость автомобиля $y$ км/ч. До первой встречи мотоцикл ехал $50$ минут $= {50}/{60}$ часа и проехал расстояние равное ${50}/{60}x$ км, а автомобиль ехал $30$ минут $= {30}/{60}$ часа и проехал расстояние равное ${30}/{60}y$ км. Составим уравнение ${50}/{60}x = {30}/{60}y$. После упрощения получим $x = 0.6y$.
До второй встречи мотоцикл ехал $90$ минут $= {90}/{60}$ часа и проехал расстояние равное ${90}/{60}x$ км, а автомобиль ехал $70$ минут $= {70}/{60}$ часа и проехал расстояние равное ${70}/{60}y$ км. Разность между расстояниями, которые проехали автомобиль и мотоцикл, равна длине трассы, то есть $40$ км. Составим и решим уравнение: $40 + {90}/{60}x = {70}/{60}y, 240 + 9x = 7y$.
Учитывая, что $x = 0.6y$, получаем $240 + 9 · 0.6y = 7y, 1.6y = 240, y = 150, x = 90$.
Скорость мотоцикла $90$ км/ч.
Задача 20
Антилопа каждую минуту пробегает на $200 $ метров больше, чем зебра, и на путь $90$ км тратит времени на $15$ минут меньше, чем зебра. Найдите скорость зебры. Ответ дайте в км/ч.
Решение
$200$ м/мин$={200 · 60}/{1000}$ км/ч$=12$ км/ч. Обозначим скорость зебры через $x$ км/ч, тогда по условию скорость антилопы $(x +12)$ км/ч. Время, затраченное на весь путь зеброй, равно ${90}/{x}$ ч, что на $15$ мин$= {1}/{4}$ ч больше, чем время антилопы.
Составим и решим уравнение: ${90}/{x} - {90}/{x+12} = {1}/{4}$,
$4·90(x+12)-4·90x = x(x + 12), x^2 + 12x - 4·90 · 12 = 0$,
$x^2+12x-60·72=0, x_1=60, x_2=-72$.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость зебры $60$ км/ч.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
