Уравнение $(x - 3)^2 = (y - 1)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$\[\table\ x-3=y-1; \x-3=-y+1;$ $\[\table\ y=x-2; \y=-x+4;$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x - 2$ и $y = -x + 4$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(3; 1)$, так как система $\{\table\ y = x - 2; \ y = -x + 4;$ имеет единственное решение $(3; 1)$.

При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 3a^2 - 8a + 9$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(a; 1)$, лежащей на прямой $y = 1$, и радиусом $√{3a^2 - 8a + 9}$ (заметим, что $3a^2 - 8a + 9 > 0$ для любого $a$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(3; 1)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(3 - a)^2 + (1 - 1)^2 = 3a^2 - 8a + 9$.

Отсюда получаем: $9 - 6a + a^2 = 3a^2 - 8a + 9; 2a^2 - 2a = 0; 2a ·(a - 1) = 0; a = 0$ или $a = 1$.

${(x - 3a)(x - a) + (x + 3)(x - 2)-(x + 3)(x - a)}/{(x + 3)(x - a)} = 0$,

${x^2 - ax - 3ax + 3a^2 + x^2 + x - 6 - x^2 + ax - 3x + 3a}/{(x + 3)(x - a)} = 0$,

${x^2 - x(3a + 2) + 3a^2 + 3a - 6}/{(x + 3)(x - a)} = 0$.

$\{\table\x^2 - x(3a + 2) + 3a^2 + 3a - 6 = 0; \(x + 3)(x - a) ≠ 0;$

Решим уравнение $x^2 - x(3a + 2) + 3a^2 + 3a - 6 = 0$,

$x_{1,2}={(3a + 2)±√{-3a^2 + 28}}/{2}$.

1. При $D < 0$ уравнение корней не имеет.

2. При $D = 0$ $-3a^2 + 28 = 0, a =±2√{{7}/{3}}$. Уравнение имеет единственный корень $x = {3a + 2}/{2}$ при $a =±2√{{7}/{3}}$.

Проверим условие $x ≠ -3, x ≠ a$.

${3a + 2}/{2} = -3, a = -{8}/{3}≠±2√{{7}/{3}}$,

${3a + 2}/{2} = a, a = -2≠ ±2√{{7}/{3}}$.

Значит, $a=±2√{{7}/{3}}$ удовлетворяет условию.

3. При $D > 0$ уравнение имеет два корня $x_{1,2} ={(3a + 2)±√{28 - 3a^2}/{2}$. Проверим, при каких значениях $a$ значения $x = -3$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 - x(3a + 2) + 3a^2 + 3a - 6 = 0$.

При $x = -3$ должно выполняться равенство $9 + 3(3a + 2) + 3a^2 + 3a - 6 = 0, 3a^2 + 12a + 9 = 0, a^2 + 4a + 3 = 0, a = -1, a = -3$.

При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 - 2a + 3a - 6 = 0, a^2 + a - 6 = 0, a_1 = -3, a_2 = 2$.

При $a = -3, a = -1$ и $a = 2$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Построим график уравнения $y = √{−8−6x−x^2}$.

Преобразовав подкоренное выражение, получим: $y = √{1−(x^2 + 6x + 9)}, y =√{1−(x + 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 1−(x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 1$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $1$ с центром в точке $(−3;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y + ax = a + 1$ запишем в виде $y = −a(x−1) + 1$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $−a$, проходящих через точку $M(1;1)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая $MC$ касается полуокружности, поэтому $−a = a_1 = 0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом $a_2 < −a ≤ a_3$.

Найдём $a_2$ из условия, что прямая $y = a_2(x−1) + 1$ проходит через точку $A(−4;0)$.

$a_2(−4−1) + 1 = 0, a_2 ={1}/{5}$.

Найдём $a_3$ из условия, что прямая $y = a_3(x−1) + 1$ проходит через точку $B(−2;0)$.

$a_3(−2−1) + 1 = 0, a_3 ={1}/{3}$.

Имеем ${1}/{5} < −a ≤ {1}/{3}$, значит, $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$.

Следовательно, система имеет единственное решение, если $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$ и $a = 0$.

Построим график уравнения $y = √{−7−8x−x^2}$.

Преобразовав подкоренное уравнение, получим: $y = √{9−(x^2 + 8x + 16)}, y = √{3^2 −(x + 4)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 9−(x + 4)^2, (x + 4)^2 + y^2 = 9$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $3$ с центром в точке $(−4;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y − ax = 3 − a$ запишем в виде $y = a(x −1) + 3$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $N(1;3)$.

Рассмотрим рисунок. Видно,что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если:

1) прямая касается полуокружности, при этом $a = a_1 = 0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом $a_2 < a ≤ a_3$.

Найдём $a_2$ из условия, что прямая $y = a(x−1) + 3$ проходит через точку $A(−7;0)$.

$a(−7−1) + 3 = 0, a = {3}/{8}$, значит, $a_2 = {3}/{8}$.

Найдём $a_3$ из условия, что прямая $y = a(x−1) + 3$ проходит через точку $C(−1;0)$.

$a(−1−1) + 3 = 0, a = {3}/{2}$, значит, $a_3 = {3}/{2}$.

Имеем ${3}/{8} < a ≤ {3}/{2}$.

Система имеет единственное решение, если ${3}/{8} < a ≤ {3}/{2}$ и $a = 0$.

Построим график уравнения $y = √{-5 - 6x - x^2}$,

Преобразовав подкоренное выражение, получим $y = √{4 - (x^2 + 6x + 9)}, y = √{2^2 - (x + 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 2^2 - (x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 2^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3; 0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y-ax = 2-3a$ запишем в виде $y = a(x-3)+2$ - семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M (3; 2)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_1 < a ≤ a_2$. Прямая $BM$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $AM$ $y = a(x - 3) + 2$ проходит через точку $A(-5; 0)$.

$a(-5 - 3) + 2 = 0, a = {1}/{4}$, значит, $a_2 = {1}/{4}$.

Следовательно, система имеет ровно два решения при $0 < a ≤ {1}/{4}$.

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение ${xy^2 - 5xy - 5y + 25}/{√{x + 5}}= 0$ параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде ${(y - 5)(xy - 5)}/{√{x + 5}} = 0$, разложив числитель на множители.

При $x ≤ -5$ первое уравнение системы не имеет смысла. При $x > -5$ уравнение задаёт прямую $y = 5$ и гиперболу $y ={5}/{x}$.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ с прямой $y = ax$ при условии $x>-5$.

Найдём координаты точек $A, B$ и $C$.

$B$ - точка пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$, чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений $\{\table\y = 5; \y ={5}/{x};$
Получаем $B(1; 5)$.

У точек $A$ и $C$ абсцисса равна $-5$, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. $A(-5; 5)$ и $C(-5;-1)$.

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение $a$, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки $A(-5; 5)$ получаем $x = -5; y = 5; 5 = a·(-5); a = -1$. Аналогично для $B(1; 5)$ получим $a = 5$. Для $C(-5;-1)$ получим $a ={1}/{5}$.

При $x>-5$ прямая $y = ax$ пересекает прямую $y = 5$ при $a<-1$ и $a>0$, пересекает правую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>0$, пересекает левую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>{1}/{5}$. При этом прямая $y = ax$ проходит через точку пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a = 5$.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0< a ≤0.2; a = 5$.

В левой части уравнения выделим целую часть

${3x + a - x^2 + 4a^{2}x - x^3}/{4a^{2}x - x^3} = {4a^{2}x - x^3}/{4a^{2}x - x^3} + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3} = 1 + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3}$.

Тогда уравнение примет вид ${-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3} = 0$. Оно равносильно системе

$\{\table\ -x^2 + 3x + a = 0; \4a^{2}x - x^3 ≠ 0;$ $\{\table\ a = x^2 - 3x; \ x ≠ 0, x ≠ ±2a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого строим графики функций $a = x^2 - 3x$ и $a = ±{x}/{2}$.

Графиком функции $a = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы - точка $({3}/{2}; -{9}/{4})$, точки $(0; 0)$ и $(3; 0)$ принадлежат параболе. Графиками функций $a = ±{x}/{2}$ являются прямые.

Решая уравнение $x^2 - 3x = {x}/{2}$, находим точки пересечения прямой $a = {x}/{2}$ и параболы $a = x^2 - 3x: x = 0, x = {7}/{2}$, откуда $a = 0, a = {7}/{4}$. Аналогично, решая уравнение $x^2 - 3x = - {x}/{2}$, находим $x = 0, x = {5}/{2}$. Тогда $a = 0, a = - {5}/{4}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых при $a = - {9}/{4}, a = - {5}/{4}, a = 0, a = {7}/{4}$.

Уравнение ${x^2 + ax + 2}/{2} = √{4x^2 + ax + 1}$ при ${x^2 + ax + 2}/{2} < 0$ не имеет корней. При $x^2 + ax + 2 ≥ 0$ обе части уравнения можно возвести в квадрат.

$(x^2 + ax + 2)^2 = 4(4x^2 + ax + 1)$,

$x^4 + ax^3 + 2x^2 + ax^3 + a^2x^2 + 2ax + 2x^2 + 2ax + 4 = 16x^2 + 4ax + 4$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 - 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 - 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 - 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x + a - √{12})(x + a + √{12}) = 0$,

$x_2 = -a + √{12}, x_3 = -a - √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_1, x_2, x_3$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^2+ax+2 ≥ 0$.

$x_2≠0$ и $x_3≠0$, если $a≠√{12}=2√3$ и $a≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 2. g(0) = 2 > 0$. Числа $x_2 = -a + 2√3$ и $x_3 = -a - 2√3$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

$\{\table\g(x_2) ≥ 0; \g(x_3) ≥ 0;$ $\{\table\(-a + 2√3)^2 + a(-a + 2√3) + 2 ≥ 0; \(-a - 2√3)^2 + a(-a - 2√3) + 2 ≥ 0;$

$\{\table\-2a√3 + 14 ≥ 0; \2a√3 + 14 ≥ 0;$ $\{\table\a≤{7}/{√3}; \a≥-{7}/{√3};$

Таким образом, $a∊[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$.

Если $x ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(3; 3)$ радиуса $2$, а если $x < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(−3; 3)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (−3; 0)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Из точки $C$ проведём луч $CC_1$ и обозначим $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $∅_1$, где $A_1$ лежит между $C$ и $C_1$.

Так как $CC_1 = √{6^2 + 3^2} = √{45} = 3√5$, то $CA_1 = 3√5 − 2, CB_1 = 3√5 + 2$.

При $a < CA_1$ или $a > CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются. При $CA_1 < a < CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_1 = 3√5 − 2$ или $a = CB_1 = 3√5 + 2$, окружности $∅$ и $∅_1$ касаются.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_2(−3; 1)$ и $B_2(−3; 5)$. То есть при $a = 1$ и $a = 5$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При остальных значениях параметра $a$ окружности $∅$ и $∅_2$ либо имеют $2$ общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $∅$ касается ровно одной из двух окружностей $∅_1$ и $∅_2$ и не пересекается с другой.

Так как $1 < 3√5 − 2 < 5 < 3√5 + 2$, то условию задачи удовлетворяют только числа $a = 1$ и $a = 3√5 + 2$.

В левой части уравнения выделим целую часть

${x^3 + x^2 - 16a^2x - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = {x^3 - 16a^2x}/{x^3 - 16a^2x} + {x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = 1 + {x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x}$.

Тогда уравнение примет вид ${x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = 0$.

Оно равносильно системе

$\{\table\x^2 - 5x + a = 0; \x^3 - 16a^2x ≠ 0;$ $\{\table\a = -x^2 + 5x; \x ≠ 0, x ≠±4a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого построим графики функций $a = -x^2 + 5x$ и $a =±{x}/{4}$.

Графиком функции $a = -x^2+5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы - точка $({5}/{2}; {25}/{4})$, точки (0; 0) и (5; 0) принадлежат параболе. Графиками функций $a =±{x}/{4}$ являются прямые.

Решая уравнение $-x^2 + 5x = {x}/{4}$, находим точки пересечения прямой $a ={x}/{4}$ и параболы $a = -x^2 + 5x: x = 0, x = {19}/{4}$, откуда $a = 0, a = {19}/{16}$. Аналогично, решая уравнение $-x^2 + 5x = -{x}/{4}$, находим $a = 0, a = -{21}/{16}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при $a = -{21}/{16}, a = 0, a = {19}/{16}; a = {25}/{4}$.

Если $y ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(4; 4)$ радиуса $3$, а если $y < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(4; -4)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (0; 4)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет ровно две общие точки с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_1(1; 4)$ и $B_1(7; 4)$. То есть при $a = CA_1=1$ и $a = CB_1=7$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При $a > 7$ и $a < 1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются, при $1 < a < 7$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки.

Из точки $C$ проведём луч $CC_2$ и обозначим $A_2$ и $B_2$ точки его пересечения с окружностью $∅_2$, где $A_2$ лежит между $C$ и $C_2$. Заметим, что длина отрезка $CC_2 = √{4^2 + (4-(-4))^2} = √{80} = 4√5$.

При $a < CA_2$ или $a > CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ не пересекаются. При $CA_2 < a < CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_2 = 4√5 − 3$ или $a = CB_2 = 4√5 + 3$, окружности $∅$ и $∅_2$ касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность $∅$ с одной из окружностей $∅_1$ и $∅_2$ имеет $2$ общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как $1 < 4√5 − 3 < 7 < 4√5 + 3$, то условию задачи удовлетворяют значения $a ∈ (1; 4√5 − 3) ∪ (7; 4√5 + 3).$.

Построим график уравнения $y = √{5 + 4x - x^2}$. Преобразовав подкоренное выражение, получим: $y = √{9 - (x^2 - 4x + 4)}, y = √{3^2 - (x - 2)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 3^2 - (x - 2)^2, (x - 2)^2 + y^2 = 3^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(2; 0)$ радиусом $3$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y - ax = 4a + 3$ запишем в виде $y = a(x + 4) + 3$ - семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M(-4; 3)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_2 ≤ a < a_1$. Прямая $BM$ касается окружности, её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $MC$: $y = a(x + 4) + 3$ проходит через точку $C(5; 0)$, то есть $y(5) = 0$.

$a(5 + 4) + 3 = 0, a = -{1}/{3}$, значит, $a_2 = -{1}/{3}$.

Значит, система имеет ровно два решения при $-{1}/{3} ≤ a < 0$.

Изобразим множество решений первого неравенства на координатной плоскости $Oxa$, используя метод областей.

1) Пусть $F(x; a) = (a - x^2)(a + x - 2)$.

2) Выражение $F(x; a)$ определено при всех действительных значениях $a$ и $x$.

3) Найдём нули: $F(x; a) = 0$.

$(a - x^2)(a + x - 2) = 0; a - x^2 = 0$ или $a + x - 2 = 0; a = x^2$ или $a = -x + 2$.

4) Построим параболу $a = x^2$ и прямую $a = -x + 2$ (пунктирными линиями) в системе координат $Oxa$.

Далее определяем знак значения выражения $F(x; a)$ в одной из областей $F(0; 1) < 0$, затем расставляем знаки в других областях, используя правило знакочередования. Области, выделенные знаком "минус", представляют графически множество решений первого неравенства.

Второе неравенство системы $x^2 ≤ 1$ или $(x - 1)(x + 1) ≤ 0$ задаёт на координатной плоскости $Oxa$ вертикальную полосу вместе с границами $x = -1$ и $x = 1$. Множества решений первого и второго неравенств системы на плоскости $Oxa$ не имеют общих точек при $a ∈ (-∞; 0]∪[3;+∞)$.

$√{a-2xy}=y-x+5$

ОДЗ:$\{\table\y≥x-5; \a ≥ 2xy;$

$a-2xy=y^2+x^2+5^2-2xy+2·5y-2·5·x$

$a=x^2+y^2+10y-10x+25$

$a=(x-5)^2+(y+5)^2-25$

$(x-5)^2+(y+5)^2=a+25$ - уравнение окружности с центром в т.О(5;-5) и радиусом R; $R^2=a+25$

Уравнение имеет единственное решение на ОДЗ, если окружность будет касаться прямой $y=x-5$, в т.А(${5}/{2}; -{5}/{2}$), тогда

$OA=R; OA={5√2}/{2}; R={5√2}/{2}$

$a+25=R^2$

$a+25=({5√2}/{2})^2$

$a+25={25}/{2}$

$a={25}/{2}-25$

$a=-12.5$

Проверка: $-12.5 ≥ 2·{5}/{2}·(-{5}/{2})$

$-12.5 ≥ -12.5$