desktop/math.jpg mobile/math.jpg

Задание 18. Задача с параметром. ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 4 балла. На решение дается около 35 минут. Уровень сложности: высокий.
Средний процент выполнения: 4.2%
Ответом к заданию 18 по математике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задачи для практики

Задача 1

При каком значении $a$ множеством решений неравенства
${1+3^x} / {1+3^{-x}}>{3} / {|x+a|}$ является множество всех положительных чисел?

Решение

Сократив левую часть неравенства на $1 + 3^x$, получим равносильное неравенство $3^x > {3}/{|x + a|}$ или $3^{x-1} > {1}/{|x + a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то ${1}/{3^{x-1}} < |x + a| (x ≠ -a)$ или $({1}/{3})^{x-1} < |x + a|$.

Графиком функции $y = ({1}/{3})^{x-1}$ является график функции $y = ({1}/{3})^x$ сдвинутый на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y = |x + a|$ является график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x ≠ -a$, точка $(-a; 0)$ на графиках функций $y = |x + a|$ выколота.

Множество положительных чисел будет решением этого неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдет при $a = 3$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

Ответ: 3
Показать решение
Полный курс

Задача 2

При каком значении $a$ множеством решений неравенства
${1+2^{-x}} / {1+2^x}>{4} / {√ {x^2+2ax+a^2}}$ является множество всех отрицательных чисел?

Решение

Сократив левую часть неравенства на $1+2^x$ и применив свойство квадратного корня $√ {m^2}=|m|$, получим равносильное неравенство ${1} / {2^x}>{4} / {|x+a|}$ или ${1} / {2^{x+2}}>{1} / {|x+a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то $2^{x+2}<|x+a|$, при условии $x≠ -a$. Графиком функции $y=2^{x+2}$ является график функции $y=2^x$, сдвинутый на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y=|x+a|$ является график функции $y=|x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x≠ -a$, точка $(-a;0)$ на графиках функций $y=|x+a|$ является выколотой (см. рис.). Множество отрицательных чисел будет решением неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдёт при $a=-4$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

Ответ: -4
Показать решение
Полный курс

Задача 3

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\{{\table {y=a-x{,}}; {|x-2|(y+5x-10)=(x-2)^3};}$ имеет ровно четыре различных решения.

Решение

При замене $y + x = t$ получим систему уравнений $\{{\table t=a; {|x - 2|(t + 4x - 10) = (x - 2)^3};}$ которая имеет, столько же решений, что и заданная система.

График первого уравнения системы $t = a$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

Построим график второго уравнения.

1) При $x ≥ 2$ получим $(x - 2)(t + 4x - 10) = (x - 2)^3$,

$(x - 2)(t + 4x - 10 - (x - 2)^2) = 0$,

$(x - 2)(t - x^2 + 8x - 14) = 0$,

$x - 2 = 0$ или $t - x^2 + 8x - 14 = 0$.

$x = 2$ — вертикальная прямая.

$t = x^2 - 8x + 14$ — парабола с вершиной $(4; -2), t(2) = 2$.

2) При $x < 2$ получим $-(x - 2)(t + 4x - 10) = (x - 2)^3$,

$(x - 2)(t + 4x - 10 + (x - 2)^2) = 0$.

$x - 2 = 0$ не выполняется при $x < 2$.

$t + 4x - 10 + (x - 2)^2 = 0, t = -x^2 + 6$ — парабола с вершиной $(0; 6), t(2) = 2$.

На рисунке изображен график второго уравнения полученной системы.

График прямой $t = a$ и уравнения $|x - 2|(t + 4x - 10) = (x - 2)^3$ имеют ровно $4$ общие точки при $-2 < a < 2, 2 < a < 6$.

Ответ: (-2;2);(2;6)
Показать решение
Полный курс

Задача 4

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x-4a} / {x+4}+{x-1} / {x-a}=1$ имеет единственный корень.

Решение

Преобразуем данное уравнение.

${(x - 4a)(x - a) + (x + 4)(x - 1) - (x + 4)(x - a)}/{(x + 4)(x - a)} = 0$,

${x^2 - ax - 4ax + 4a^2 + x^2 + 3x - 4 - x^2 + ax - 4x + 4a}/{(x + 4)(x - a)} = 0$,

${x^2 - x(4a + 1) + 4a^2 + 4a - 4}/{(x + 4)(x - a)} = 0$,

$\{\table\x^2 - x(4a + 1) + 4a^2 + 4a - 4 = 0; \(x + 4)(x - a) ≠ 0;$.

Решим уравнение $x^2 - x(4a + 1) + 4a^2 + 4a - 4 = 0$.

$x = {(4a + 1) ±√{-8a + 17}}/{2}$

1. При $D < 0$ уравнение корней не имеет.

2. При $D = 0, -8a + 17 = 0, a = {17}/{8}$. Уравнение имеет единственный корень $x = {4a + 1}/{2}$ при $a = {17}/{8}. x = {4 · {17}/{8} + 1}/{2} = 4.75$.

Выполнено условие $x ≠ -4, x ≠ a$.

Значит, $a = {17}/{8} = 2.125$ удовлетворяет условию задачи.

3. При $D > 0$ уравнение имеет два корня.

$x = {(4a + 1) ±√{17 - 8a}/{2}$.

Проверим при каких значениях $a$ значения $x = -4$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 - x(4a + 1) + 4a^2 + 4a - 4 = 0$.

При $x = -4$ должно выполняться равенство $16 + 4(4a + 1) + 4a^2 + 4a - 4 = 0, a^2 + 5a + 4 = 0, a = -4, a = -1$.

При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 - 4a^2 - a + 4a^2 + 4a - 4 = 0, a^2 + 3a - 4 = 0, a = 1, a = -4$.

При $a = -1, a = 1$ исходное уравнение имеет единственный корень.

При $а=-4$, $D>0$ и корни $х=-4$ и $х=а$ совпадают, поэтому это значение параметра также подходит

Ответ: -4$;$-1$;$1$;$2.125
Показать решение
Полный курс

Задача 5

Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых система неравенств $\{{\table {px⩾ 5,}; {p<√ {x-1},}; {3x⩾ p+2};}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.

Решение

ОДЗ: $x ≥ 1$. Построим следующие графики $px = 5, p = √{x - 1}$ и $3x = p + 2$ в системе координат $Opx$ при $x > 0$ и изобразим решение системы

$\{\table\p ≥ {5}/{x}; \p < √{x - 1}; \p ≤ 3x - 2;$

Из рисунка видно, что искомые значения $p$ удовлетворяют условию $p_1 ≤ p < p_2$.

Ординату точки $A$ можно найти, подставив $x = 5$ в уравнение $p = {5}/{x}; p_1 = {5}/{5} = 1$.

Ординату точки $B$ можно найти, подставив $x = 5$ в уравнение $p = √{x - 1}: p_2 = √{5 - 1} = √4 = 2$. Отсюда $p ∈ [1; 2)$.

Ответ: [1;2)
Показать решение
Полный курс

Задача 6

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2x+3)(4x^6-19x^4-x^2(5+4a)-a-17)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) $ax - 2x+3 = 0$; при $x = 0$ получим $3=0$, это не верно.

При $x ≠ 0, a = {2x - 3}/{x}, a = 2 - {3}/{x}$.

По условию числа $a$ и $x$ целые, поэтому число ${3}/{x}$ тоже целое, что возможно при $x = ±1, x = ±3$.

При $x = 1$ получим $a = -1$,

при $x = -1$ получим $a = 5$,

при $x = 3$ получим $a = 1$,

при $x = -3$ получим $a = 3$.

2) $4x^6 - 19x^4 - 5x^2 - 4ax^2 - a - 17 = 0$,

$a(4x^2 + 1) = 4x^6 - 19x^4 - 5x^2 - 17$,

$a = {4x^6 - 19x^4 - 5x^2 - 17}/{4x^2 + 1}$.

$a = x^4 -5x^2 - {17}/{4x^2 + 1}$. Так как $a$ и $x$ - целые числа, то ${17}/{4x^2 + 1}$ тоже целое число. Это возможно при $4x^2 + 1 = 1$ или $4x^2 + 1 = 17$.

$x^2 = 0, x = 0, a = 0 - 0 - 17 = -17$;

$x^2 = 4, x = ±2, a = 2^4 - 5·2^2 - {17}/{4·2^2 + 1} = -5$.

Уравнение имеет хотя бы один целый корень при значениях $a$, равных $-17; -5; -1; 1; 3; 5$.

Ответ:
Показать решение
Полный курс

Задача 7

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2-x)(3x^5+7x^3+2x+4-3x^2a-a)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) $ax - 2 - x = 0$; при $x ≠ 0$ получим $a = {2 + x}/{x} = 1 + {2}/{x}$.

Так как по условию $a$ и $x$ целые числа, то ${2}/{x}$ тоже целое число. Это возможно, если $x = ±1$ или $x = ±2$.

$x = 1; a - 2 - 1 = 0; a = 3;$

$x = -1; -a - 2 - (-1) = 0; a = -1;$

$x = 2; 2a - 2 - 2 = 0; a = 2;$

$x = -2; -2a - 2 - (-2); a = 0.$

Если $x = 0$, то $0 - 2 - 0 = 0$ не выполняется.

2) $3x^5 + 7x^3 + 2x + 4 - 3x^2a - a = 0,$

$a(3x^2 + 1) = 3x^5 + 7x^3 + 2x + 4,$

$a = {3x^5 + 7x^3 + 2x + 4}/{3x^2 + 1}$

$a = x^3 + 2x + {4}/{3x^2 + 1}$. Поскольку $a$ и $x$ - целые числа, то ${4}/{3x^2 + 1}$ также целое число. Это возможно, если $3x^2 + 1 = 4$, или $3x^2 + 1 = 2$, или $3x^2 + 1 = 1$.

Получаем $x^2 = 1$ или $3x^2 = 1$ или $x^2 = 0$.

Целые корни:

$x = 1$, тогда $a = 1^3 + 2·1 + {4}/{3·1^2 + 1} = 4$;

$x = -1$, тогда $a = (-1)^3 + 2·(-1) + {4}/{3·(-1)^2 + 1} = -2$;

$x = 0$, тогда $a = 0 + 0 + 4 = 4$.

Целые корни есть при значениях $a: -2; -1; 0; 2; 3; 4$.

Ответ: -2$;$-1$;$0$;$2$;$3$;$4
Показать решение
Полный курс

Задача 8

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

$\{\table\(x - 4)^2 + (|y| - 4)^2 = 9; \x^2 + (y - 4)^2 = a^2;$

имеет ровно $2$ решения.

Решение

Если $y ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(4; 4)$ радиуса $3$, а если $y < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(4; -4)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (0; 4)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет ровно две общие точки с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_1(1; 4)$ и $B_1(7; 4)$. То есть при $a = CA_1=1$ и $a = CB_1=7$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При $a > 7$ и $a < 1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются, при $1 < a < 7$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки.

Из точки $C$ проведём луч $CC_2$ и обозначим $A_2$ и $B_2$ точки его пересечения с окружностью $∅_2$, где $A_2$ лежит между $C$ и $C_2$. Заметим, что длина отрезка $CC_2 = √{4^2 + (4-(-4))^2} = √{80} = 4√5$.

При $a < CA_2$ или $a > CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ не пересекаются. При $CA_2 < a < CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_2 = 4√5 − 3$ или $a = CB_2 = 4√5 + 3$, окружности $∅$ и $∅_2$ касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность $∅$ с одной из окружностей $∅_1$ и $∅_2$ имеет $2$ общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как $1 < 4√5 − 3 < 7 < 4√5 + 3$, то условию задачи удовлетворяют значения $a ∈ (1; 4√5 − 3) ∪ (7; 4√5 + 3).$.

Ответ: $(1;4√5-3)∪(7;4√5+3)$
Показать решение
Полный курс

Задача 9

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

$\{\table\(|x| - 3)^2 + (y - 3)^2 = 4; \(x + 3)^2 + y^2 = a^2;$

имеет единственное решение.

Решение

Если $x ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(3; 3)$ радиуса $2$, а если $x < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(−3; 3)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (−3; 0)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Из точки $C$ проведём луч $CC_1$ и обозначим $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $∅_1$, где $A_1$ лежит между $C$ и $C_1$.

Так как $CC_1 = √{6^2 + 3^2} = √{45} = 3√5$, то $CA_1 = 3√5 − 2, CB_1 = 3√5 + 2$.

При $a < CA_1$ или $a > CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются. При $CA_1 < a < CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_1 = 3√5 − 2$ или $a = CB_1 = 3√5 + 2$, окружности $∅$ и $∅_1$ касаются.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_2(−3; 1)$ и $B_2(−3; 5)$. То есть при $a = 1$ и $a = 5$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При остальных значениях параметра $a$ окружности $∅$ и $∅_2$ либо имеют $2$ общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $∅$ касается ровно одной из двух окружностей $∅_1$ и $∅_2$ и не пересекается с другой.

Так как $1 < 3√5 − 2 < 5 < 3√5 + 2$, то условию задачи удовлетворяют только числа $a = 1$ и $a = 3√5 + 2$.

Ответ: $1;3√5+2$
Показать решение
Полный курс

Задача 10

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства ${(2√x - a)(a - x)}/ {√{3 - a^2 - x^2}}≥ 0$ содержит отрезок длины не менее $0.5$.

Решение

${(2√x - a)(a - x)}/{√{3 - a^2 - x^2}} ≥ 0$. Попробуем преобразовать неравенство к более простому виду. Заметим, что знаменатель влияет только на ОДЗ. Поэтому неравенство равносильно системе $\{\table\ (2√x - a)(a - x) ≥ 0; \ 3 - a^2 - x^2 > 0;$. Второе неравенство системы преобразуем так, чтобы получить неравенство для внутренней части круга. Первое неравенство преобразуем так, чтобы скобки выглядели симметрично $\{\table\ (2√x - a)(a - x) ≤ 0; \ a^2+x^2 < 3;$

Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.

Прямая $a = x$ пересекает окружность $x^2 + a^2 = 3$ при $a = x = {√3}/{√2}$.

1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.

2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 + x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.

Таким образом, в первом случае (то есть при $a ≤ {√3}/{√2}$) выполняется $a ≤ 2√x, a ≥ x$, следовательно, $x ∈ [{a^2}/{4}; a]$.

При $a > {√3}/{√2}$ решением является промежуток $[{a^2}/{4}; √{3 - a^2})$.

Отсюда решение содержит отрезок длиной не менее ${1}/{2}$, если

$\[\table{\{\table\ a ≤ {√3}/{√2}; \ a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5}; {\{\table\ a > {√3}/{√2}; \ √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5};$

$\[\table{\{\table\ a ≤ {√3}/{√2}; \ a^2-4a+2 ≤ 0}; {\{\table\ a > {√3}/{√2}; \ 3-a^2 > ({a^2}/{4}+{1}/{2})^2};$

Решив системы, получим: $a ∈[2-√2; {√3}/{√2}]$ или $a ∈ ({√3}/{√2}; √2)$, отсюда $a ∈ [2 - √2; √2)$.

Замечание. Задачу можно решить и другими способами, например аналитически. Получив систему, можно заметить, что первое неравенство системы при $a < 0$ не имеет решений, а при $a ≥ 0$ имеет решением промежуток $[{1}/{4}a^2; a]$ (если $a ≤ 4$) или промежуток $[a; {1}/{4}a^2]$ (если $a > 4$). Решением второго неравенства будут $x$, удовлетворяющие неравенству $x < √{3 - a^2}$. Отсюда, в частности, $a ≤ √3$, то есть случай $a > 4$ не возможен.

Несложно убедиться, что при ограничениях $0 ≤ a ≤ √3$ для решения задачи достаточно решить систему $\{\table\ a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5; \ √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5;$

Ответ: $[2-√2;√2)$
Показать решение
Полный курс

Задача 11

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $\{\table\y=√{-8-6x-x^2}; \y+ax=a+1;$ имеет единственное решение.

Решение

Построим график уравнения $y = √{−8−6x−x^2}$.

Преобразовав подкоренное выражение, получим: $y = √{1−(x^2 + 6x + 9)}, y =√{1−(x + 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 1−(x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 1$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $1$ с центром в точке $(−3;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y + ax = a + 1$ запишем в виде $y = −a(x−1) + 1$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $−a$, проходящих через точку $M(1;1)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая $MC$ касается полуокружности, поэтому $−a = a_1 = 0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом $a_2 < −a ≤ a_3$.

Найдём $a_2$ из условия, что прямая $y = a_2(x−1) + 1$ проходит через точку $A(−4;0)$.

$a_2(−4−1) + 1 = 0, a_2 ={1}/{5}$.

Найдём $a_3$ из условия, что прямая $y = a_3(x−1) + 1$ проходит через точку $B(−2;0)$.

$a_3(−2−1) + 1 = 0, a_3 ={1}/{3}$.

Имеем ${1}/{5} < −a ≤ {1}/{3}$, значит, $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$.

Следовательно, система имеет единственное решение, если $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$ и $a = 0$.

Ответ: $[-{1}/{3};-{1}/{5});0$
Показать решение
Полный курс

Задача 12

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

$\{\table\y=√{-5-6x-x^2}; \y-ax=2-3a;$

имеет ровно два решения.

Решение

Построим график уравнения $y = √{-5 - 6x - x^2}$,

Преобразовав подкоренное выражение, получим $y = √{4 - (x^2 + 6x + 9)}, y = √{2^2 - (x + 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 2^2 - (x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 2^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3; 0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y-ax = 2-3a$ запишем в виде $y = a(x-3)+2$ - семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M (3; 2)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_1 < a ≤ a_2$. Прямая $BM$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $AM$ $y = a(x - 3) + 2$ проходит через точку $A(-5; 0)$.

$a(-5 - 3) + 2 = 0, a = {1}/{4}$, значит, $a_2 = {1}/{4}$.

Следовательно, система имеет ровно два решения при $0 < a ≤ {1}/{4}$.

Ответ: $(0;{1}/{4}]$
Показать решение
Полный курс

Задача 13

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

$\{\table\(x+1)^2=(y-2)^2; \(x+1)^2+(y-a)^2=3a^2-2a+4;$

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x + 1)^2 = (y - 2)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$\[\table\ x+1=y-2; \x+1=-y+2;$ $\[\table\ y=x+3; \y=-x+1;$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x + 3$ и $y = -x + 1$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(-1; 2)$, так как система $\{\table\ y = x + 3; \ y = -x + 1;$ имеет единственное решение $(-1; 2)$.

При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x +1)^2 + (y - a)^2 = 3a^2 - 2a + 4$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(-1; a)$, лежащей на прямой $x = -1$, и радиусом $√{3a^2 - 2a + 4}$ (заметим, что $3a^2 - 2a + 4 > 0$ для любого $a$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(-1; 2)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(-1 + 1)^2 + (2 - a)^2 = 3a^2 - 2a + 4$.

Отсюда получаем: $4 - 4a + a^2 = 3a^2 - 2a + 4; 2a^2 + 2a = 0; 2a ·(a + 1) = 0; a = 0$ или $a = -1$.

Ответ: $-1:0$
Показать решение
Полный курс

Задача 14

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

$\{\table\(x-3)^2=(y-1)^2; \(x-a)^2+(y-1)^2=3a^2-8a+9;$

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x - 3)^2 = (y - 1)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$\[\table\ x-3=y-1; \x-3=-y+1;$ $\[\table\ y=x-2; \y=-x+4;$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x - 2$ и $y = -x + 4$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(3; 1)$, так как система $\{\table\ y = x - 2; \ y = -x + 4;$ имеет единственное решение $(3; 1)$.

При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 3a^2 - 8a + 9$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(a; 1)$, лежащей на прямой $y = 1$, и радиусом $√{3a^2 - 8a + 9}$ (заметим, что $3a^2 - 8a + 9 > 0$ для любого $a$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(3; 1)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(3 - a)^2 + (1 - 1)^2 = 3a^2 - 8a + 9$.

Отсюда получаем: $9 - 6a + a^2 = 3a^2 - 8a + 9; 2a^2 - 2a = 0; 2a ·(a - 1) = 0; a = 0$ или $a = 1$.

Ответ: $0;1$
Показать решение
Полный курс

Задача 15

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${3x + a - x^2 + 4a^2x - x^3}/{4a^2x - x^3} = 1$ имеет единственный корень.

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

${3x + a - x^2 + 4a^{2}x - x^3}/{4a^{2}x - x^3} = {4a^{2}x - x^3}/{4a^{2}x - x^3} + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3} = 1 + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3}$.

Тогда уравнение примет вид ${-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x - x^3} = 0$. Оно равносильно системе

$\{\table\ -x^2 + 3x + a = 0; \4a^{2}x - x^3 ≠ 0;$ $\{\table\ a = x^2 - 3x; \ x ≠ 0, x ≠ ±2a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого строим графики функций $a = x^2 - 3x$ и $a = ±{x}/{2}$.

Графиком функции $a = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы - точка $({3}/{2}; -{9}/{4})$, точки $(0; 0)$ и $(3; 0)$ принадлежат параболе. Графиками функций $a = ±{x}/{2}$ являются прямые.

Решая уравнение $x^2 - 3x = {x}/{2}$, находим точки пересечения прямой $a = {x}/{2}$ и параболы $a = x^2 - 3x: x = 0, x = {7}/{2}$, откуда $a = 0, a = {7}/{4}$. Аналогично, решая уравнение $x^2 - 3x = - {x}/{2}$, находим $x = 0, x = {5}/{2}$. Тогда $a = 0, a = - {5}/{4}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых при $a = - {9}/{4}, a = - {5}/{4}, a = 0, a = {7}/{4}$.

Ответ: $-{9}/{4};-{5}/{4};0;{7}/{4}$
Показать решение
Полный курс

Задача 16

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${x^3 + x^2 - 16a^2x - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x}= 1$ имеет единственный корень.

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

${x^3 + x^2 - 16a^2x - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = {x^3 - 16a^2x}/{x^3 - 16a^2x} + {x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = 1 + {x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x}$.

Тогда уравнение примет вид ${x^2 - 5x + a}/{x^3 - 16a^2x} = 0$.

Оно равносильно системе

$\{\table\x^2 - 5x + a = 0; \x^3 - 16a^2x ≠ 0;$ $\{\table\a = -x^2 + 5x; \x ≠ 0, x ≠±4a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого построим графики функций $a = -x^2 + 5x$ и $a =±{x}/{4}$.

Графиком функции $a = -x^2+5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы - точка $({5}/{2}; {25}/{4})$, точки (0; 0) и (5; 0) принадлежат параболе. Графиками функций $a =±{x}/{4}$ являются прямые.

Решая уравнение $-x^2 + 5x = {x}/{4}$, находим точки пересечения прямой $a ={x}/{4}$ и параболы $a = -x^2 + 5x: x = 0, x = {19}/{4}$, откуда $a = 0, a = {19}/{16}$. Аналогично, решая уравнение $-x^2 + 5x = -{x}/{4}$, находим $a = 0, a = -{21}/{16}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при $a = -{21}/{16}, a = 0, a = {19}/{16}; a = {25}/{4}$.

Ответ: $-{21}/{16};0;{19}/{16};{25}/{4}$
Показать решение
Полный курс

Задача 17

Найдите все значения параметра $а$, при которых уравнение $√{3^x-a}+{a-1}/{√{3^x-a}}=1$ имеет ровно два различных корня.

Решение

После приведения к общему знаменателю уравнение примет вид ${3x - a + a - 1}/{√{3^x - a}} = 1$ или ${3^x - 1}/{√{3^x - a}} = 1$. Пусть $3^x = t, t > 0$. Заметим, что после замены каждому положительному корню уравнения ${t - 1}/{√{t - a}} = 1$ соответствует единственный корень исходного уравнения (это следует из монотонности функции $3^x = t$). Уравнение ${t - 1}/{√{t - a}} = 1$ равносильно системе

$\{\table\t - 1=√{t - a}; \t>a;$

Возведём в квадрат обе части первого уравнения, учитывая, что $t ≥ 1$.

$\{\table\a=-t^2+3t-1; \t>a; \t ≥ 1;$

Решим систему графически в системе координат $tOa$.

Вершина параболы $a = -t^2 + 3t - 1$ - точка с координатами $({3}/{2};{5}/{4})$.

Графики функций $a = -t^2 + 3t - 1$ и $a = t$ имеют единственную общую точку $t = 1$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству $a < t$, представляет собой полуплоскость, лежащую ниже прямой $a = t$. $-t^2 + 3t - 1 = t, t^2 - 2t + 1 = 0, t = 1$.

По графику видно, что парабола $a = -t^2 +3t-1$ и прямая $a = const$ имеют ровно две общие точки при условии $t ≥ 1$, если $1 < a < {5}/{4}$, значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при этих же значениях $a$.

Ответ: $(1;{5}/{4})$
Показать решение
Полный курс

Задача 18

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x^2+ax+2}/{2}=√{4x^2+ax+1}$ имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение ${x^2 + ax + 2}/{2} = √{4x^2 + ax + 1}$ при ${x^2 + ax + 2}/{2} < 0$ не имеет корней. При $x^2 + ax + 2 ≥ 0$ обе части уравнения можно возвести в квадрат.

$(x^2 + ax + 2)^2 = 4(4x^2 + ax + 1)$,

$x^4 + ax^3 + 2x^2 + ax^3 + a^2x^2 + 2ax + 2x^2 + 2ax + 4 = 16x^2 + 4ax + 4$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 - 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 - 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 - 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x + a - √{12})(x + a + √{12}) = 0$,

$x_2 = -a + √{12}, x_3 = -a - √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_1, x_2, x_3$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^2+ax+2 ≥ 0$.

$x_2≠0$ и $x_3≠0$, если $a≠√{12}=2√3$ и $a≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 2. g(0) = 2 > 0$. Числа $x_2 = -a + 2√3$ и $x_3 = -a - 2√3$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

$\{\table\g(x_2) ≥ 0; \g(x_3) ≥ 0;$ $\{\table\(-a + 2√3)^2 + a(-a + 2√3) + 2 ≥ 0; \(-a - 2√3)^2 + a(-a - 2√3) + 2 ≥ 0;$

$\{\table\-2a√3 + 14 ≥ 0; \2a√3 + 14 ≥ 0;$ $\{\table\a≤{7}/{√3}; \a≥-{7}/{√3};$

Таким образом, $a∊[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$.

Ответ: $[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$
Показать решение
Полный курс

Задача 19

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x^2 + ax + 4 = √{20x^2 + 8ax + 16}$ имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение $x^2 + ax + 4 = √{20x^2 + 8ax + 16}$ при $x^2 + ax + 4 <0$ не имеет корней. При $x^2+ax+4≥0$ (1) можно обе части уравнения возвести в квадрат.

$(x^2 + ax + 4)^2 = 20x^2 + 8ax + 16$,

$x^4 +ax^3+4x^2+ax^3+a^2x^2 +4ax+4x^2+4ax+16 = 20x^2+8ax+16$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 - 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 - 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 - 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x + a - √{12})(x + a + √{12}) = 0$,

$x_2 = -a + √{12}, x_3 = -a - √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел $x_1, x_2, x_3$ и выполнение условия, что эти числа различны.

$x_2≠ 0$ и $x_3≠0$, если $a ≠√{12} = 2√3$ и $a ≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 4. g(x_1) = g(0) = 4 > 0$. Числа $x_2 = -a + √{12}$ и $x_3 = -a - √{12}$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

$\{\table\g(x_2) ≥ 0; \g(x_3) ≥ 0;$ $\{\table\(-a + √{12})^2 + a(-a + √{12}) + 4 ≥ 0; \(-a - √{12})^2 + a(-a - √{12}) + 4 ≥ 0;$

$\{\table\-a√{12}+16 ≥ 0; \a√{12}+16 ≥ 0;$ $\{\table\a≤{8}/{√3}; \a≥-{8}/{√3};$

Таким образом, $a∈[-{8}/{√3}; -2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$

Ответ: $[-{8}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$
Показать решение
Полный курс

Задача 20

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\{\table\(xy^2-5xy-5y+25)/{√{x+5}}=0; \y=ax;$ имеет ровно два различных решения.

Решение

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение ${xy^2 - 5xy - 5y + 25}/{√{x + 5}}= 0$ параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде ${(y - 5)(xy - 5)}/{√{x + 5}} = 0$, разложив числитель на множители.

При $x ≤ -5$ первое уравнение системы не имеет смысла. При $x > -5$ уравнение задаёт прямую $y = 5$ и гиперболу $y ={5}/{x}$.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ с прямой $y = ax$ при условии $x>-5$.

Найдём координаты точек $A, B$ и $C$.

$B$ - точка пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$, чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений $\{\table\y = 5; \y ={5}/{x};$
Получаем $B(1; 5)$.

У точек $A$ и $C$ абсцисса равна $-5$, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. $A(-5; 5)$ и $C(-5;-1)$.

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение $a$, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки $A(-5; 5)$ получаем $x = -5; y = 5; 5 = a·(-5); a = -1$. Аналогично для $B(1; 5)$ получим $a = 5$. Для $C(-5;-1)$ получим $a ={1}/{5}$.

При $x>-5$ прямая $y = ax$ пересекает прямую $y = 5$ при $a<-1$ и $a>0$, пересекает правую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>0$, пересекает левую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>{1}/{5}$. При этом прямая $y = ax$ проходит через точку пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a = 5$.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0< a ≤0.2; a = 5$.

Ответ: $(0;0.2]∪${5}
Показать решение
Полный курс
Показать еще

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе