Сократив левую часть неравенства на $1 + 3^x$, получим равносильное неравенство $3^x > {3}/{|x + a|}$ или $3^{x-1} > {1}/{|x + a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то ${1}/{3^{x-1}} < |x + a| (x ≠ -a)$ или $({1}/{3})^{x-1} < |x + a|$.

Графиком функции $y = ({1}/{3})^{x-1}$ является график функции $y = ({1}/{3})^x$ сдвинутый на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y = |x + a|$ является график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x ≠ -a$, точка $(-a; 0)$ на графиках функций $y = |x + a|$ выколота.

Множество положительных чисел будет решением этого неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдет при $a = 3$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

Сократив левую часть неравенства на $1+2^x$ и применив свойство квадратного корня $√ {m^2}=|m|$, получим равносильное неравенство ${1} / {2^x}>{4} / {|x+a|}$ или ${1} / {2^{x+2}}>{1} / {|x+a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то $2^{x+2}<|x+a|$, при условии $x≠ -a$. Графиком функции $y=2^{x+2}$ является график функции $y=2^x$, сдвинутый на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y=|x+a|$ является график функции $y=|x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x≠ -a$, точка $(-a;0)$ на графиках функций $y=|x+a|$ является выколотой (см. рис.). Множество отрицательных чисел будет решением неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдёт при $a=-4$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

$√{a-2xy}=y-x+5$

ОДЗ:$\{\table\y≥x-5; \a ≥ 2xy;$

$a-2xy=y^2+x^2+5^2-2xy+2·5y-2·5·x$

$a=x^2+y^2+10y-10x+25$

$a=(x-5)^2+(y+5)^2-25$

$(x-5)^2+(y+5)^2=a+25$ - уравнение окружности с центром в т.О(5;-5) и радиусом R; $R^2=a+25$

Уравнение имеет единственное решение на ОДЗ, если окружность будет касаться прямой $y=x-5$, в т.А(${5}/{2}; -{5}/{2}$), тогда

$OA=R; OA={5√2}/{2}; R={5√2}/{2}$

$a+25=R^2$

$a+25=({5√2}/{2})^2$

$a+25={25}/{2}$

$a={25}/{2}-25$

$a=-12.5$

Проверка: $-12.5 ≥ 2·{5}/{2}·(-{5}/{2})$

$-12.5 ≥ -12.5$