desktop/math.jpg mobile/math.jpg

Задание 3. Координаты, геометрические фигуры. ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 2 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 93.3%
Ответом к заданию 3 по математике может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Задачи для практики

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки $1× 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите квадрат расстояния от точки $A$ до прямой $BC$.

Решение

Найдём стороны $△ABC$.

Из $△AСM : AC = √{AM^2 + MC^2} = √{9+16} = √{25}=5$;

Из $△BDC : BC = √{BD^2 + DC^2} = √{16+64} = √{80}=4√5$.

$AB=5$.

Итак, $△ABC$ — равнобедренный, значит высота $AK$ является и медианой. Точка $K$ делит $BC$ пополам, $BK = {BC}/{2}=2√5$.

Из $△AKB : AK^2 = AB^2 - KB^2 = 25 - 4·5 = 5$

$AK^2 = 5$.

Ответ: 5
Показать решение
Полный курс

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён квадрат (см. рис. ) Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение

$ABCD$ по условию квадрат, центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, то есть диагональ $AC$ является её диаметром, равным 6, значит радиус этой окружности равен 3.

Ответ: 3
Показать решение
Полный курс

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {10}$ см $×$ $√ {10}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Решение

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△ABM$ $AB = √{MB^2 + AM^2} = √{(3√10)^2 + (√10)^2} = √{9 · 10 + 10} = 10$;
$AB = CD = 10$.

Из $△ADE : AD = √{AE^2 + DE^2} = √{(6√10)^2 + (2√10)^2} = √{36 · 10 + 4 · 10} = 20, BC = AD$.

Итак, периметр $P = 2(AB + AD) = 2 · (10 + 20) = 60$.

Ответ: 60
Показать решение
Полный курс

Задача 4

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ {13}$ см $×$ $√ {13}$ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Решение

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √{AM^2 + MB^2} = √{(2√13)^2 + (3√13)^2} = √{4 · 13 + 9 · 13} = 13; AB = CD = 13$.

Из $△BNC : AD = BC = √{BN^2 + NC^2} = √{(4√13)^2 + (6√13)^2} = √{16 · 13 + 36 · 13} = √{13 · 13 · 4} = 26, BC = AD = 26$.

Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Ответ: 78
Показать решение
Полный курс

Задача 5

Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ).

Решение

Четырёхугольники $ABCD$ и $MNPQ$ — квадраты, так как:

1. $AB = √{9 + 9} = √{18}, BC = √{9 + 9} = √18, CD = √{9 + 9} = √18, AD = √{9 + 9} = √18$; аналогично $MN = NP = PQ = MQ = √8$, то есть $ABCD$ и $MNPQ$ — ромбы.

2. Диагонали $BD$ и $AC$ равны и диагонали $MP$ и $QN$ равны.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей квадратов со сторонами $√18$ и $√8$.

$S = S_1 - S_2 = AB^2 - MN^2 = (√18)^2 - (√8)^2 = 18 - 8 = 10$.

Ответ: 10
Показать решение
Полный курс

Задача 6

Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной плоскости с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ).

Решение

Четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадраты, так как:

1. $AB=BC=CD=DA$ и диагонали $BD$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и равны (см. рис. ).

2. $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1$ и диагонали $B_1D_1$ и $A_1C_1$ взаимно перпендикулярны и равны.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей квадратов со сторонами

$AB=√ {9+9}=√ {18}$ и $A_1B_1=√ {1+1}=√ {2}$. $S=S_{1}-S_2=AB^2-A_1B_1^2=(√ {18})^2-(√ {2})^2=18-2=16$.

Ответ: 16
Показать решение
Полный курс

Задача 7

Найдите градусную меру дуги $AC$ окружности, на которую опирается угол $ABC$ (см. рис. ). Ответ дайте в градусах.

Решение

Из рисунка видно, что дуга $AC$ составляет ${1}/{8}$ дуги окружности. Вычислим $1/8 · 360° = 45°$.

Ответ: 45
Показать решение
Полный курс

Задача 8

На клетчатой бумаге изображены два круга (см. рис. ). Площадь внутреннего круга равна $27$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов радиусов $R = 5a$ и $r = 3a$, где $a$ — длина стороны клетки, тогда $S = πR^2 - πr^2 = π · (5a)^2 - π · (3a)^2 = 25πa^2 - 9πa^2 = 16πa^2$; но по условию площадь малого круга равна $27$, то есть $9πa^2 = 27, πa^2 = 3$. Подставим $πa^2 = 3$ в $S = 16πa^2 = 16 · 3 = 48$.

Ответ: 48
Показать решение
Полный курс

Задача 9

На клетчатой бумаге изображён круг (см. рис. ). Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна $12$?

Решение

По условию площадь заштрихованной части круга равна 12, тогда площадь круга можно найти из формулы: $S{сектора} = S_{круга}360° · 135°; S_{круга} = {360 · S_{сектора}}/{135} = {360 · 12}/{135} = 32$.

Ответ: 32
Показать решение
Полный курс

Задача 10

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображена трапеция (см. рис. ). Найдите длину средней линии трапеции.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN = {BC + AD}/{2} = {5 +7}/{2} = 6$.

Ответ: 6
Показать решение
Полный курс

Задача 11

На клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины $A$.

Решение

$AO$ — медиана, так как $BO=OC=3$ (см. рис. ). $AO$ — высота, $AO⊥ BC$, отсюда $▵ BAC$ — равнобедренный и $AO$ — биссектриса, она равна $8$

Ответ: 8
Показать решение
Полный курс

Задача 12

На клетчатой бумаге с размером клетки $√2$ см $×$ $√2$ см изображён треугольник $ABC$ (см. рис. ). Найдите длину его медианы, проведённой из вершины $B$, умноженную на $2√2$ (в сантиметрах).

Решение

Длина медианы проведённой из $B$, равна половине длины гипотенузы в $△ABC, ∠B = 90°. AC^2 = AB^2 + BC^2; AC^2 =(12√2)^2 + (5√2)^2= 288 + 50 = 338, AC = √338$.

$m_B ⋅2√2 = {{AC}/{2}} ⋅ 2√2= {{√338}/{2}} ⋅ 2√2=26$.

Ответ: 26
Показать решение
Полный курс

Задача 13

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(2;1)$, $(7;2)$, $(8;5)$, $(5;4)$ (см. рис. ).

Решение

$S_{ABCD} = S_{AKCM} - (S_{AND} + S_{NDCM}+S_{CBPK} + S_{APB}) = 6 · 4 -({1}/{2} · 3 · 3 + {3+ 6}/{2} · 1 + {1 + 4}/{2} · 1 + {1}/{2} · 5 · 1)= 24 - 14 = 10$.

Ответ: 10
Показать решение
Полный курс

Задача 14

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(2;2)$, $(8;3)$, $(9;6)$, $(6;5)$ (см. рис. ).

Решение

Рассмотрим рисунок. $S_{ABCD}=S_{AMCN}-(S_{AKD}+S_{KDCN}+S_{CMEB}+S_{ABE})=7⋅ 4-({1} / {2}⋅ 3⋅ 4+{4+7} / {2}⋅ 1+{1+4} / {2}⋅ 1+{1} / {2}⋅ 6⋅ 1)=$
$=28-(6+5{,}5+2{,}5+3)=28-17=11$

Ответ: 11
Показать решение
Полный курс

Задача 15

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(1;4)$, $(10;4)$ (см. рис. ).

Решение

$S_{AOB} = {1}/{2}·OK·AB = {1}/{2}·4·9=18$

Ответ: 18
Показать решение
Полный курс

Задача 16

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(0;0)$, $(3;8)$, $(9;5)$ (см. рис. ).

Решение

$S_{AOB} = S_{OKCD} - (S_{OKA} + S_{ACB} + S_{OBD}) = 9·8-({1}/{2}·8·3+{1}/{2}·6·3+ {1}/{2}·9·5) = 72-(12+9+22.5) = 72-43.5 = 28.5$

Ответ: 28.5
Показать решение
Полный курс

Задача 17

Найдите площадь $S$ закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см (см. рис. ). В ответе запишите ${S} / {π}$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

$S = {S_{круга}}/{360°}·135° = {π·4^2·3}/{8} = 6π$.

${S}/{π} = {6π}/{π} = 6$.

Ответ: 6
Показать решение
Полный курс
Показать еще

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе