Оставшийся угол цилиндра равен $360^° - 120^° = 240^°$. Объём оставшейся части составляет $240^°/360^°$ от полного объёма цилиндра. Полный объём цилиндра выражается как:

$V = πr^2h$, {где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.}

Используем пропорцию объёма:

$(240^°/360^°) * πr^2h = 4{,}5π$.

Подставляем $r = 1{,}5$:

$(2/3) * π * (1{,}5)^2 * h = 4{,}5π$.

Упрощаем:

$(2/3) * π * 2{,}25 * h = 4{,}5π$.

$1{,}5h = 4{,}5$.

$h = {4{,}5} / {1{,}5} = 3$.

{Ответ:} $3$.

Обозначим объём большего конуса $V_1$, а объём меньшего конуса (жидкости) $V_2$. Меньший конус подобен большему конусу с коэффициентом подобия ${1} / {5}$. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия ${V_2} / {V_1}=k^3$, то есть ${V_2} / {1500}=({1} / {5})^3$, $V_2={1} / {125}⋅1500=12$ (мл).

Объём призмы $ABDEA_1B_1D_1E_1$ найдём по формуле
$V_{п.}=S_{ABDE}⋅ AA_1$, где $S_{ABDE}$ — площадь основания, $AA_1$ — высота призмы (см. рис. $$). По условию призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, следовательно, $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром в точке $O$. По свойству правильного шестиугольника треугольник $BOC$ равносторонний и $S_{BOC}={S_{ABCDEF}} / {6}={15} / {6}={5} / {2}$. $S_{BCD}={BC⋅ CD} / {2}⋅\sin120°$, $S_{BOC}={OB⋅ OC} / {2}⋅\sin60°$. Так как $BC=CD=OB=OC$ и $\sin120°=\sin60°$, то $S_{BCD}=S_{BOC}={5} / {2}$, $▵ AFE=▵ BCD$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $S_{AFE}=S_{BOC}={5} / {2}$, $S_{AFE}+S_{BCD}=2S_{BOC}={5} / {2}⋅2=5$. $S_{ABDE}=S_{ABCDEF}-2S_{BOC}=15-5=10$,
$V_{ABDEA_1B_1D_1E_1}=10⋅4=40$.

Площадь поверхности пирамиды $S=S_{бок.}+S_{осн.}$, где $S_{бок.}$ — площадь боковой поверхности, $S_{осн.}$ — площадь основания пирамиды. По условию пирамида $SABCD$ правильная, значит, боковые рёбра равны, $ABCD$ — квадрат. $S_{бок.}={1} / {2}Ph_a$, где $P$ — периметр основания, $h_a$ — высота боковой грани (апофема) (см. рис. $$). Треугольник $ASB$ равнобедренный, $SH$ высота, тогда $SH$ — медиана и $BH=AH=8$. По теореме Пифагора в $▵ SHB$ $SB^2=SH^2+BH^2$, $SH=√ {SB^2-BH^2}=√ {17^2-8^2}=√ {225}=15$. $S_{бок.}={1} / {2}⋅4⋅16⋅15=480$, $S_{ABCD}=16^2=256$, $S=480+256=736$.

Обозначим объём большего конуса $V_1$, а объём меньшего конуса $V_2$. Меньший конус подобен большему конусу с коэффициентом подобия ${1} / {2}$. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия ${V_2} / {V_1}=k^3$, то есть ${60} / {V_1}=({1} / {2})^3$, $V_1=60⋅8=480$ (мл). Жидкости нужно долить $480-60=420$ (мл).

Площадь поверхности куба $S_{пов.}=6a^2$, где $a$ — сторона куба, $6a^2=72$, $a=√ {{72} / {6}}=√ {12}$. Диагональ куба $d=a√ 3$, $d=√ {12}⋅√ 3=√ {36}=6$.

Формула для объёма цилиндра:

$V = \π r^2 h$,

Обозначим радиус основания второго цилиндра за $r_2$, а его высоту — за $h_2$. Тогда объём второго цилиндра:

$V_2 = \π r_2^2 h_2 = 20$ м$^3$.

У первого цилиндра радиус основания $r_1$ в $2$ раза меньше, чем у второго цилиндра, то есть:

$r_1 = {r_2} / 2$.

Также высота первого цилиндра $h_1$ в $1,6$ раза больше, чем у второго цилиндра:

$h_1 = 1.6 h_2$.

Теперь найдём объём первого цилиндра:

$V_1 = \π r_1^2 h_1 = \π ({r_2} / 2)^2 (1.6 h_2)= 0.4 \π r_2^2 h_2= 0.4 * 20 = 8$.

Ответ: $8$ .

Дано два шара. Радиус первого шара в $20$ раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго шара?

Площадь поверхности шара определяется формулой $S = 4πR^2$, где $R$ — радиус шара.

Пусть радиус второго шара равен $R$, тогда радиус первого шара равен $20R$.

Площадь поверхности второго шара:

$S_2 = 4πR^2$.

Площадь поверхности первого шара:

$S_1 = 4π(20R)^2 = 4π*400R^2 = 1600πR^2$.

Отношение площадей:

$S_1 / S_2 = {1600πR^2 }/ {4πR^2 }= 1600 / 4 = 400.$

Ответ: $400$.

Обозначим $r_1$ — радиус первого шара, а $r_2$ — радиус второго шара. Составим отношение объёмов ${V_1} / {V_2}={{4} / {3}π r_1^3} / {{4} / {3}π r_2^3}={r_1^3} / {r_2^3}=27$, ${r_1} / {r_2}=√^3{27}=3$. Радиус первого шара больше радиуса второго шара в $3$ раза, тогда $r_1=3r_2$. Найдём искомое отношение ${S_1} / {S_2}={4π r_1^2} / {4π r_2^2}={(3r_2)^2} / {r^2}=9$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A, A_1$ и $C$, является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна $S = AA_1 · AC$. Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1 : BD = √{BD_1^2 - DD_1^2} = √{26^2 - 24^2} = √{(26 - 24)(26 + 24)} = 10$. Так как $BD = AC$, то $S = 24 · 10 = 240$.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора.

$AD = √{AO^2 + OD^2} = √{24^2 + 7^2} = 25$.

Площадь ромба $S_{осн} = {1}/{2}d_1 · d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S_{осн} = {1}/{2} · 48 · 14 = 336$. Пусть боковое ребро призмы равно $x$. Площадь поверхности призмы равна $S = S_{бок} + 2S_{осн} = 1232$, откуда $S_{бок} = 1232 - 672 = 560$. Так как $S_{бок} = 4 · 25 · x$, то $100x = 560$, откуда $x = 5.6$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = {1}/{3}·S_{осн}·H$, где $H = 3$ - высота пирамиды. Площадь основания равна $S_{осн} = 3{V}/{H} = {3·32}/{3} = 32$, откуда длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна $√{32} = 4√2$. Диагональ квадрата $AC = 8$.

Боковое ребро $SA$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $AOS$, где $SO$ - высота пирамиды. $AS = √{SO^2 + OA^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AC)^2} = √{3^2 + 4^2} = 5$.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 - 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.

Пусть ребро куба равно $x$. По условию объём куба равен $64$, тогда $x^3=64$, откуда $x=4$. Площадь грани куба равна $x^2=16$. Площадь поверхности куба равна $6x^2=6⋅16=96$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 6, S_{бок} = 21$, тогда $H = 21 : 6 = 3.5$.