Задание 2. Векторы и операции с ними. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 66.7%
Ответом к заданию 2 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$, ${{b}↖{→}}$ и ${{c}↖{→}}$. Найдите скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$$({{b}↖{→}}+$${{c}↖{→}})$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{4; -4\}$, ${{b}↖{→}}\{-10; -3\} и {{c}↖{→}}\{-7; 0\}$
Найдем сумму векторов ${{b}↖{→}}+$${{c}↖{→}}$= $({x_b}+{x_c};{y_b}+{y_c})=({-17};{-3})$
Найдем скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$$({{b}↖{→}}+$${{c}↖{→}})$= ${x_a}∙{x_{b+c}}+{y_a}∙{y_{b+c}}={4}∙{(-17)}+{(-4)}∙{(-3)}=-56$
Задача 2
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(3;y_a)$, ${{b}↖{→}}$$(x_b;0)$, косинус угла между которыми равен ${3}/{√13}$. Найдите $y_a$. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение
Дано: векторы ${{a}↖{→}}$ = $(3; y_a)$ и ${{b}↖{→}}$ = $(x_b; 0)$, косинус угла между которыми равен $ {3}/{√{13}}$. Необходимо найти $y_a$.
Используем формулу для косинуса угла между векторами:
$\cos∠({{a}↖{→}},{{b}↖{→}})={{{a}↖{→}}⋅ {{b}↖{→}}} / {|{{a}↖{→}}|⋅{|{{b}↖{→}}|}}$.
Скалярное произведение векторов ${{a}↖{→}} = (3, y_a)$ и ${{b}↖{→}} = (x_b, 0)$ равно:
${{a}↖{→}}⋅{{b}↖{→}} = 3⋅ x_b + y_a⋅ 0 = 3 x_b$.
Длины векторов находим по формуле: ${{|c|}↖{→}}$=$√{x^2+y^2}$
$|{{a}↖{→}}| = √{9 + y_a^2}$ и $|{{b}↖{→}}| = |x_b|$.
Подставляем это в формулу для косинуса:
${3}/{√{13}}={3 x_b} / {√{9 + y_a^2}⋅|x_b|}$.
Решаем уравнение. Для случая $x_b > 0$ получаем:
$ {√{9 + y_a^2} = {√{13}$, отсюда $y_a^2 = 4$.
Таким образом, $y_a = ± 2$. Нам нужно выбрать большее значение, то есть $y_a = 2$.
Ответ: $y_a = 2$.
Задача 3
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(-15;1)$, ${{b}↖{→}}$$(-8;2)$ и ${{c}↖{→}}$$(-3;2)$. Найдите длину вектора ${{a}↖{→}}-$${{b}↖{→}}-$${{c}↖{→}}$
Решение
1). Найдем координаты вектора ${{a}↖{→}}-$${{b}↖{→}}-$${{c}↖{→}}$= $({x_a}-{x_b}-{x_c};{y_a}-{y_b}-{y_c})=({-15}-{(-8)}-{(-3)};{1}-{2}-{2})=({-4};{-3})$
2). Найдем длину вектора по формуле: ${{|d|}↖{→}}$=$√{x^2+y^2}$=$√{(-4)^2+(-3)^2}=√{16+9}=√25=5$
Задача 4
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(-3;4)$, ${{b}↖{→}}$$(-1;-7)$ и ${{c}↖{→}}$$(5;-4)$. Найдите координаты вектора ${{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}}-$${{c}↖{→}}$. В ответ запишите сумму координат
Решение
Найдем координаты вектора ${{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}}-$${{c}↖{→}}$= $({x_a}+{x_b}-{x_c};{y_a}+{y_b}-{y_c})=({-3}+{(-1)}-{5};{4}+{(-7)}-{(-4)})=({-9};{1})$
найдем сумму координат: $-9+1=-8$
Задача 5
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$, ${{b}↖{→}}$ и ${{c}↖{→}}$. Найдите скалярное произведение $({{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}})∙$${{c}↖{→}}$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{4; 5\}$, ${{b}↖{→}}\{6; -5\} и {{c}↖{→}}\{-5; -2\}$
Найдем сумму векторов ${{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}}$= $({x_a}+{x_b};{y_a}+{y_b})=({10};{0})$
Найдем скалярное произведение $({{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}})∙$${{c}↖{→}}$= ${x_{a+b}}∙{x_c}+{y_{a+b}}∙{y_c}={10}∙{(-5)}+{0}∙{(-2)}=-50$
Задача 6
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Найдите угол между векторами ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{2; 6\}$ и ${{b}↖{→}}\{8; 4\}$
Вычислим косинус искомого угла $\cos∠({{a}↖{→}}, {{b}↖{→}})={{{a}↖{→}}⋅ {{b}↖{→}}} / {|{{a}↖{→}}|⋅{|{{b}↖{→}}|}}={2⋅8+6⋅4} / {√ {4+36}⋅√ {64+16}}={√ 2} / {2}$.
Следовательно, угол между векторами равен 45°
Задача 7
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Найдите скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{4; 7\}$ и ${{b}↖{→}}\{7; -4\}$
Найдем скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$:
${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$= ${x_a}∙{x_b}+{y_a}∙{y_b}={4}∙{7}+{7}∙{(-4)}=0$
Задача 8
Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты $(3; 2)$, $(3; 5$), $(7; 2)$, $(7; 5)$
Решение
Для того, чтобы найти диагональ прямоугольника, найдем длину и ширину:
$a=5-2=3$
$b=7-3=4$
По теореме Пифагора: (диагональ d является гипотенузой)
$d^2=a^2+b^2=3^2+4^2=25$, тогда $d=5$
Задача 9
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(2;5)$, ${{b}↖{→}}$$(3;7)$. Найдите длину вектора $8,1{{a}↖{→}}-5,9$${{b}↖{→}}$
Решение
1. Нам даны векторы ${{a}↖{→}} = (2;5)$ и ${{b}↖{→}} = (3;7)$.
2. Сначала найдём вектор $8{,}1{{a}↖{→}} - 5{,}9{{b}↖{→}}$. Для этого умножим каждый вектор на соответствующий коэффициент:
$8{,}1{{a}↖{→}} = (8{,}1⋅2;\ 8{,}1⋅5) = (16{,}2;\ 40{,}5)$
$5{,}9{{b}↖{→}} = (5{,}9⋅3;\ 5{,}9⋅7) = (17{,}7;\ 41{,}3)$
3. Вычтем из первого полученного вектора второй:
$(16{,}2 - 17{,}7;\ 40{,}5 - 41{,}3) = (-1{,}5;\ -0{,}8)$
4. Теперь найдём длину полученного вектора по формуле:
$√{(-1{,}5)^2 + (-0{,}8)^2} = √{2{,}25 + 0{,}64} = √{2{,}89} = 1{,}7$
Ответ: $1{,}7$
/p>
Задача 10
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(2;0)$, ${{b}↖{→}}$$(3;4)$. Найдите косинус угла между векторами ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$
Решение
Дано: векторы ${{a}↖{→}}$ = $(2; 0)$ и ${{b}↖{→}}$ = $(3; 4)$
Используем формулу для косинуса угла между векторами:
$\cos∠({{a}↖{→}}, {{b}↖{→}})={{{a}↖{→}}⋅ {{b}↖{→}}} / {|{{a}↖{→}}|⋅{|{{b}↖{→}}|}}$.
Скалярное произведение векторов ${{a}↖{→}} = (2; 0)$ и ${{b}↖{→}} = (3; 4)$ равно:
${{a}↖{→}}⋅{{b}↖{→}} = 2⋅ 3 + 0⋅ 4 = 6$.
Длины векторов находим по формуле: ${{|c|}↖{→}}$=$√{x^2+y^2}$
$|{{a}↖{→}}|=√{4 + 0}=2$ и $|{{b}↖{→}}|=√{9 + 16}=5$.
Подставляем это в формулу для косинуса:
$\cos∠({{a}↖{→}}, {{b}↖{→}})=6 / {2⋅5}=0,6$.
Задача 11
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(3;-4)$, ${{b}↖{→}}$$(-6;b_0)$. Найдите $b_0$ если ${{|b|}↖{→}}$=$2{{|a|}↖{→}}$. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Формула для нахождения длины вектора: ${{|c|}↖{→}}$=$√{x^2+y^2}$
1). Найдем длину вектора {a}: ${{a}↖{→}}$=$√{3^2+(-4)^2}$=$√{9+16}$=$√{25}$=5
2) Найдем длину вектора {b}: ${{b}↖{→}}$=$√{(-6)^2+(b_0)^2}$=$√{36+(b_0)^2}$
Из условия ${{|b|}↖{→}}$=$2{{|a|}↖{→}}$ составим уравнение:
$√{36+(b_0)^2}$=2∙5
$√{36+(b_0)^2}$=10
$36+(b_0)^2=100$
$(b_0)^2=64$
$b_0=±8$
Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них, значит $b_0=-8$
Задача 12
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Найдите скалярное произведение ${{a}↖{→}}$ и $2{{b}↖{→}}$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{-2; -8\}$ и ${{b}↖{→}}\{-3; -4\}$
Найдем скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$$2{{b}↖{→}}$:
${{a}↖{→}}∙$$2{{b}↖{→}}$= ${x_a}∙2{x_b}+{y_a}∙2{y_b}={-2}∙{(-6)}+{(-8)}∙{(-8)}=76$
Задача 13
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Найдите косинус угла между векторами ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{-3; 6\}$ и ${{b}↖{→}}\{8; -4\}$
Вычислим косинус искомого угла $\cos∠({{a}↖{→}},{{b}↖{→}})={{{a}↖{→}}⋅ {{b}↖{→}}} / {|{{a}↖{→}}|⋅{|{{b}↖{→}}|}}={-3⋅8+6⋅(-4)} / {√ {9+36}⋅√ {64+16}}={-48} / {60}={-0,8}$.
Задача 14
На координатной плоскости изображены векторы ${{a}↖{→}}$ и ${{b}↖{→}}$. Найдите скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$
Решение
Определим по рисунку координаты векторов.
${{a}↖{→}}\{2; 8\}$ и ${{b}↖{→}}\{10; -3\}$
Найдем скалярное произведение ${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$:
${{a}↖{→}}∙$${{b}↖{→}}$= ${x_a}∙{x_b}+{y_a}∙{y_b}={2}∙{10}+{8}∙{(-3)}=-4$
Задача 15
Найдите координаты вектора ${{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}}$, если ${{a}↖{→}}$$(-4;6)$, ${{b}↖{→}}$$(2;-7)$. В ответ запишите сумму координат вектора ${{a}↖{→}}+$${{b}↖{→}}$
Решение
Найдем координаты вектора ${{a}↖{→}}$+${{b}↖{→}}$= $({x_a}+{x_b};{y_a}+{y_b})=({-4}+{(2)};{6}+{(-7)})=({-2};{(-1)})$
найдем сумму координат: $-2+(-1)=-3$
Задача 16
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(5;-2)$, ${{b}↖{→}}$$(-1;4)$. Найдите скалярное произведение векторов $1,2{{a}↖{→}}$ и $0,3$${{b}↖{→}}$
Решение
1). Найдем координаты вектора $1,2{{a}↖{→}}$:
$1,2{{a}↖{→}}$ =$(1,2·x_{a};1,2·y_{a})=(1,2·5;1,2·(-1))=(6;-2,4)$
2). Найдем координаты вектора $0,3$${{b}↖{→}}$:
$0,3$${{b}↖{→}}$=$(0,3·x_{b};0,3·y_{b})=(0,3·(-1);0,3·4)=(-0,3;1,2)$
3). Найдем скалярное произведение $1,2{{a}↖{→}}∙$$0,3{{b}↖{→}}$:
$1,2{{a}↖{→}}∙$$0,3{{b}↖{→}}$= ${1,2x_a}∙{0,3x_b}+{1,2y_a}∙{0,3y_b}={6}∙{(-0,3)}+{(-2,4)}∙{(1,2)}=-4,68$
Задача 17
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(-4;5)$, ${{b}↖{→}}$$(3;-1)$ и ${{c}↖{→}}$$(2;c_0)$. Найдите $c_0$, если (${{a}↖{→}}$+${{b}↖{→}}$)∙${{c}↖{→}}$=0
Решение
Дано: векторы ${{a}↖{→}}$= $(-4; 5)$, ${{b}↖{→}}$ = $(3; -1)$ и ${{c}↖{→}}$ = $(2; c_0)$.
Необходимо найти $c_0$, если ($ {{a}↖{→}}$ + ${{b}↖{→}} $) ⋅ ${{c}↖{→}} $= 0.
1). Сначала найдем вектор суммы ${{a}↖{→}}$ + ${{b}↖{→}}$:
${{a}↖{→}}$ + ${{b}↖{→}}$ = $(-4 + 3; 5 + (-1)) = (-1; 4)$.
2). Теперь вычислим скалярное произведение $({{a}↖{→}} + {{b}↖{→}})⋅{{c}↖{→}}$:
$({{a}↖{→}} + {{b}↖{→}})⋅{{c}↖{→}}= (-1) ⋅ 2 + 4 ⋅c_0 = -2 + 4c_0$.
3). Из условия задачи получаем уравнение: $-2 + 4c_0 = 0$.
Решаем уравнение: $4c_0 = 2$, отсюда $c_0 = 0,5$.
Ответ: $c_0 = 0,5$.
Задача 18
Даны векторы ${{a}↖{→}}$$(1;2)$, ${{b}↖{→}}$$(-3;6)$ и ${{c}↖{→}}$$(4;-2)$. Найдите длину вектора ${{a}↖{→}}-$${{b}↖{→}}+$${{c}↖{→}}$
Решение
Даны векторы ${{a}↖{→}} = (1; 2)$, ${{b}↖{→}} = (-3; 6)$ и ${{c}↖{→}} = (4; -2)$. Найдем длину вектора ${{a}↖{→}} - {{b}↖{→}} + {{c}↖{→}}$.
Вычислим координаты результирующего вектора:
${{a}↖{→}} - {{b}↖{→}} + {{c}↖{→}} = (1; 2) - (-3; 6) + (4; -2)$.
По правилам операций над векторами:
${(1 - (-3) + 4; 2 - 6 - 2) = (1 + 3 + 4; 2 - 6 - 2) = (8; -6)}$.
Найдем длину вектора ${(8; -6)}$:
Длина вектора вычисляется по формуле ${|v| = \√{x^2 + y^2}}$, где ${x}$ и ${y}$ — координаты вектора.
Подставляем значения:
${|(8; -6)| = \√{8^2 + (-6)^2} = \√{64 + 36} = \√{100} = 10}$.
Ответ: ${10}$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь, как выглядят графики функций.
- Разберешься, как по данному графику определить, какая функция задана.
- Научишься решать все прототипы 11 задания профильной математики.
- Получишь море полезных материалов.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
Подпишись на тг-бота с лайфхаками по математике!
— Как сэкономить 20 минут в тестовой части?
— Как за 5 мин научиться забирать баллы за 12 задание?
— Как легко и правильно найти значение производной?
Залетай в бота прямо сейчас и забирай бесплатные материалы!
