1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.

2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:

$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $

3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:

$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $

4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:

$ h_2 = 12. $

Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $ABh_2$. Проведём высоту $DH$ к стороне $AB$ (см. рис.).

$∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.

По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.

Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.).

$MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.

$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO=
=360°-72°-90°- 90°=108°$.

Дано: $∠BAD=56°$

Найти: $∠BOC-?$

$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$

$∠BOD=2·56°=112°$

$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

$∪AB=98°$

Найти $∠ABC-?$

$∠ABC={1}/{2}∪AB$

$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

$∪AB=82°$

$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из

$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$

Найти $∠ABD-?$

$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;

$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

1). Пусть окружность имеет радиус $R = √{7}$. Рассмотрим два квадрата: один вписан в окружность, а второй описан около этой окружности. Необходимо найти отношение их площадей.

2). Площадь вписанного квадрата:

Для вписанного квадрата диагональ равна диаметру окружности, то есть $d = 2R$. Диагональ квадрата и его сторона $a$ связаны формулой: $d = a√{2}$,

$2R = a√{2}$,

$a = {2R}/{√{2}} = R√{2}$.

$S_{{вписанный}} = a^2 = (R√{2})^2 = 2R^2$.

$S_{{вписанный}} = 2 ⋅ (√{7})^2 = 2 ⋅ 7 = 14.$

3). Площадь описанного квадрата:

Для описанного квадрата его сторона $b$ равна диаметру окружности, то есть $b = 2R$. Следовательно, площадь описанного квадрата $S_{{описанный}}$ равна квадрату его стороны:

$S_{{описанный}} = b^2 = (2R)^2 = 4R^2.$

$S_{{описанный}} = 4 ⋅ (√{7})^2 = 4 ⋅ 7 = 28.$

4). Найдём отношение площадей квадрата, вписанного в окружность, и квадрата, описанного около окружности:

${S_{{вписанный}}}/{S_{{описанный}}} = {14}/{28} = {1}/{2}=0,5.$

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

1. Площадь треугольника можно найти двумя способами:

$S = 1 / 2 * 24 * h_1$ (если основание $24$),

$S = 1 / 2 * 9 * h_2$ (если основание $9$).

2. Приравняем площади, так как обе равны $72$:

$1 / 2 * 24 * h_1 = 72$,

$1 / 2 * 9 * h_2 = 72$.

3. Выразим каждую высоту:

$h_1 = 2 * 72 / 24 = 6$,

$h_2 = 2 * 72 / 9 = 16$.

4. Большая высота: $h_2 = 16$.

Ответ: $16$.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $1/8$ окружности. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Центральный угол равен длине дуги в градусах.

Полная окружность равна $360^°$, а дуга составляет $1/8$ от окружности. Центральный угол:

$360^° * 1/8 = 45^°$.

Вписанный угол равен половине центрального угла:

$45^° / 2 = 22{,}5^°$.

Ответ: $22{,}5^°$.