В треугольнике $MNK$ известно, что $MK=NK$, $MN=4{,}8$, $\sin M={21} / {29}$ (см. рис.). Найдите $MK$.

Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.). $MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $5$ и $1$6, а угол между ними равен $150^°$ (см. рис.).

Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.). $S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=18$, $BC=27$, $\sin ∠ C={8} / {9}$ (см. рис.). Найдите бОльшую высоту параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $ABh_2$. Проведём высоту $DH$ к стороне $AB$ (см. рис.). $∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $72^°$. $BH$ и $AM$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $HOM$. Ответ дайте в градусах.

$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO= =360°-72°-90°- 90°=108°$.

Сумма двух углов параллелограмма равна $80^°$ (см. рис.). Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.

Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$ стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $75^°$, $63^°$, $93^°$, $129^°$ (см. рис.). Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $98^°$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).

$∪AB=98°$ Найти $∠ABC-?$ $∠ABC={1}/{2}∪AB$ $∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, $O$ — центр окружности, а меньшая дуга окружности $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $82^°$. Ответ дайте в градусах.

$∪AB=82°$ $∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из $∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $AMB$ и $MAK$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $126^°$ и $22^°$ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. $∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$. $∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$. $∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника. $∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $125^°$, угол $DAC$ равен $31^°$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$ Найти $∠ABD-?$ $∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу; $∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

$AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $BAD$ равен $56°$. Найдите угол $BOC$. Ответ дайте в градусах.

Дано: $∠BAD=56°$ Найти: $∠BOC-?$ $∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$ $∠BOD=2·56°=112°$ $∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

Угол $ACO$ равен $44^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-44°=46°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

В треугольнике $MNK$ известно, что $MK=NK$, $MN=4{,}8$, $\sin M={21} / {29}$ (см. рис.). Найдите $MK$.

Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.). $MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $5$ и $1$6, а угол между ними равен $150^°$ (см. рис.).

Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.). $S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=18$, $BC=27$, $\sin ∠ C={8} / {9}$ (см. рис.). Найдите бОльшую высоту параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $ABh_2$. Проведём высоту $DH$ к стороне $AB$ (см. рис.). $∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $72^°$. $BH$ и $AM$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $HOM$. Ответ дайте в градусах.

$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO= =360°-72°-90°- 90°=108°$.

Сумма двух углов параллелограмма равна $80^°$ (см. рис.). Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.

Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$ стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $75^°$, $63^°$, $93^°$, $129^°$ (см. рис.). Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $98^°$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).

$∪AB=98°$ Найти $∠ABC-?$ $∠ABC={1}/{2}∪AB$ $∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, $O$ — центр окружности, а меньшая дуга окружности $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $82^°$. Ответ дайте в градусах.

$∪AB=82°$ $∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из $∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $AMB$ и $MAK$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $126^°$ и $22^°$ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. $∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$. $∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$. $∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника. $∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $125^°$, угол $DAC$ равен $31^°$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$ Найти $∠ABD-?$ $∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу; $∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

$AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $BAD$ равен $56°$. Найдите угол $BOC$. Ответ дайте в градусах.

Дано: $∠BAD=56°$ Найти: $∠BOC-?$ $∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$ $∠BOD=2·56°=112°$ $∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

Угол $ACO$ равен $44^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-44°=46°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Задание 1. Планиметрия. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 82%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Алгоритм решения задания 1:

Прочитать условие и выписать все данные (величины, отношения, условия равенства/параллельности/перпендикулярности, если они указаны).
Определить, какие геометрические величины требуется найти (длина, угол, площадь).
Сделать чертёж по условию или уточнить на имеющемся чертеже, какие элементы соответствуют данным и искомым.
Выделить фигуры, с которыми предстоит работать (треугольники, многоугольники, окружности и т.п.), и обозначить их элементы.
Проверить, можно ли применить соотношения для подобных фигур; при наличии условий подобия установить соответствие элементов.
Выбрать нужные факты/теоремы планиметрии и записать соотношения между элементами фигуры в виде равенств или пропорций.
Подставить известные значения в полученные соотношения и выразить искомую величину.
Выполнить вычисления и получить значение искомой величины.
Проверить, что найденная величина соответствует условию задачи (корректность вычислений, соответствие единиц, допустимость значения).
Записать ответ в требуемой форме.

Задачи для практики

Задача 1

В параллелограмме $MPKT$ известно, что $MP=15$, $MT=20$, $\sin∠ T={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите меньшую высоту параллелограмма.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Основания трапеции равны $22$ и $35$, площадь равна $228$. Найдите её высоту (см. рис.).

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $75^°$, угол $C$ равен $35^°$, $AM$ — биссектриса, $T$ — такая точка на $AC$, что $AT = AB$. Найдите угол $CMT$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Большее основание равнобедренной трапеции равно $48$. Боковая сторона равна $21$. Синус острого угла равен ${√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите меньшее основание.