1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.

2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:

$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $

3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:

$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $

4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:

$ h_2 = 12. $

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.

В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.

Воспользуемся формулой площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, $S={(a+b)⋅ h} / {2}$. Тогда $228={(22+35)⋅ h} / {2}$, $h=8$.

В трапеции $ABCD$ проведём высоты $BH$ и $CF$ (см. рис.). По условию трапеция равнобедренная, значит,
$AD= AH+FD+BC=BC+2AH$, $AD=48$ (по условию).

$\sin∠ A={√ {5}} / {3}={BH} / {AB}={BH} / {21}$, $BH=7√ {5}$. $AH=√ {AB^2-BH^2}=√ {21^2-(7√ {5})^2}=14$, $BC=AD-2AH=48-2⋅14=20$.

Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.).

$S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.

Дано: $∠BAD=56°$

Найти: $∠BOC-?$

$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$

$∠BOD=2·56°=112°$

$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

$∪AB=82°$

$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из

$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$

Найти $∠ABD-?$

$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;

$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

$∪AB=98°$

Найти $∠ABC-?$

$∠ABC={1}/{2}∪AB$

$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $1/8$ окружности. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Центральный угол равен длине дуги в градусах.

Полная окружность равна $360^°$, а дуга составляет $1/8$ от окружности. Центральный угол:

$360^° * 1/8 = 45^°$.

Вписанный угол равен половине центрального угла:

$45^° / 2 = 22{,}5^°$.

Ответ: $22{,}5^°$.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AB = 50$, $\cos B = 7 / 25$. Найдите $AC$.

1. Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае прилежащий катет — это $BC$, а гипотенуза — $AB$.

2. Используем формулу $\cos B = {{BC} / {AB}}$ и подставим известные значения:

$7 / 25 = {BC} / 50$.

3. Выразим $BC$:

$BC = 50 * 7 / 25 = 14$.

4. Найдем $AC$ с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

$50^2 = AC^2 + 14^2$.

$2500 = AC^2 + 196$.

$AC^2 = 2500 - 196 = 2304$.

$AC = √2304 = 48$.

Ответ: $AC = 48$.