В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.

Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.).

$S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.

Воспользуемся формулой площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, $S={(a+b)⋅ h} / {2}$. Тогда $228={(22+35)⋅ h} / {2}$, $h=8$.

Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.).

$MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.

Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $ABh_2$. Проведём высоту $DH$ к стороне $AB$ (см. рис.).

$∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.

1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.

2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:

$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $

3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:

$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $

4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:

$ h_2 = 12. $

$∪AB=82°$

$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из

$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$

Найти $∠ABD-?$

$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;

$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

Дано: $∠BAD=56°$

Найти: $∠BOC-?$

$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$

$∠BOD=2·56°=112°$

$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

$∪AB=98°$

Найти $∠ABC-?$

$∠ABC={1}/{2}∪AB$

$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$

$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$

$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$

Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$

Отсюда, $224 = 2x · 7x$

$224 = 14x^2$

$x^2 = {224}/{14}$

$x^2 = 16$

$x = 4$

Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$.

Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.