Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.).

$MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.

1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.

2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:

$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $

3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:

$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $

4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:

$ h_2 = 12. $

Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $ABh_2$. Проведём высоту $DH$ к стороне $AB$ (см. рис.).

$∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит, равны углы $CAB$ и $ABC$. Треугольник $ABH$ прямоугольный, по теореме Пифагора $AB^2=AH^2+BH^2$. $AH^2= (3√ {13})^2-9^2=36$, $AH=6$. $\tg∠ ABC=\tg∠ CAB={BH} / {AH}={9} / {6}=1{,}5$.

$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO=
=360°-72°-90°- 90°=108°$.

В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$

Найти $∠ABD-?$

$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;

$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

$∪AB=82°$

$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из

$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

$∪AB=98°$

Найти $∠ABC-?$

$∠ABC={1}/{2}∪AB$

$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

Дано: $∠BAD=56°$

Найти: $∠BOC-?$

$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$

$∠BOD=2·56°=112°$

$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

Для подобных многоугольников отношение их площадей равно квадрату отношения их сторон (или периметров). Отношение периметров равно $4:7$, следовательно, отношение площадей равно:

$(4 / 7)^2 = 16 / 49.$

Пусть площадь меньшего многоугольника равна $S$. Тогда:

$S / {171{,}5} = 16 / 49.$

Умножим обе стороны уравнения на $171{,}5$:

$S = 171{,}5 * (16 / 49).$

Выполним вычисления:

$S = 171{,}5 * 16 / 49 = 2744 / 49 = 56.$

Ответ: $56$.