$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO=
=360°-72°-90°- 90°=108°$.

В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.

Воспользуемся формулой площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, $S={(a+b)⋅ h} / {2}$. Тогда $228={(22+35)⋅ h} / {2}$, $h=8$.

По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит, равны углы $CAB$ и $ABC$. Треугольник $ABH$ прямоугольный, по теореме Пифагора $AB^2=AH^2+BH^2$. $AH^2= (3√ {13})^2-9^2=36$, $AH=6$. $\tg∠ ABC=\tg∠ CAB={BH} / {AH}={9} / {6}=1{,}5$.

1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.

2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:

$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $

3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:

$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $

Подставим значения:

$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $

4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:

$ h_2 = 12. $

Дано: $∠BAD=56°$

Найти: $∠BOC-?$

$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$

$∠BOD=2·56°=112°$

$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.

Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$

Найти $∠ABD-?$

$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;

$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$

$∪AB=98°$

Найти $∠ABC-?$

$∠ABC={1}/{2}∪AB$

$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$

$∪AB=82°$

$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из

$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.

$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.

Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.