Задание 1. Планиметрия. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 82%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 1:
Прочитать условие и выписать все данные (величины, отношения, условия равенства/параллельности/перпендикулярности, если они указаны).
Определить, какие геометрические величины требуется найти (длина, угол, площадь).
Сделать чертёж по условию или уточнить на имеющемся чертеже, какие элементы соответствуют данным и искомым.
Выделить фигуры, с которыми предстоит работать (треугольники, многоугольники, окружности и т.п.), и обозначить их элементы.
Проверить, можно ли применить соотношения для подобных фигур; при наличии условий подобия установить соответствие элементов.
Выбрать нужные факты/теоремы планиметрии и записать соотношения между элементами фигуры в виде равенств или пропорций.
Подставить известные значения в полученные соотношения и выразить искомую величину.
Выполнить вычисления и получить значение искомой величины.
Проверить, что найденная величина соответствует условию задачи (корректность вычислений, соответствие единиц, допустимость значения).
Записать ответ в требуемой форме.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $5$ и $1$6, а угол между ними равен $150^°$ (см. рис.).
Решение
Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.).
$S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.
Задача 2
Основания трапеции равны $22$ и $35$, площадь равна $228$. Найдите её высоту (см. рис.).
Решение
Воспользуемся формулой площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, $S={(a+b)⋅ h} / {2}$. Тогда $228={(22+35)⋅ h} / {2}$, $h=8$.
Задача 3
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $72^°$. $BH$ и $AM$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $HOM$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO=
=360°-72°-90°- 90°=108°$.
Задача 4
Большее основание равнобедренной трапеции равно $48$. Боковая сторона равна $21$. Синус острого угла равен ${√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите меньшее основание.
Решение
В трапеции $ABCD$ проведём высоты $BH$ и $CF$ (см. рис.). По условию трапеция равнобедренная, значит,
$AD= AH+FD+BC=BC+2AH$, $AD=48$ (по условию).
$\sin∠ A={√ {5}} / {3}={BH} / {AB}={BH} / {21}$, $BH=7√ {5}$. $AH=√ {AB^2-BH^2}=√ {21^2-(7√ {5})^2}=14$, $BC=AD-2AH=48-2⋅14=20$.
Задача 5
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=18$, $BC=27$, $\sin ∠ C={8} / {9}$ (см. рис.). Найдите бОльшую высоту параллелограмма.
Решение
Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $AB
$∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.
Задача 6
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$ стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $75^°$, $63^°$, $93^°$, $129^°$ (см. рис.). Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.
Задача 7
В параллелограмме $MPKT$ известно, что $MP=15$, $MT=20$, $\sin∠ T={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите меньшую высоту параллелограмма.
Решение
1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.
2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:
$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $
Подставим значения:
$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $
3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:
$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $
Подставим значения:
$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $
4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:
$ h_2 = 12. $
Задача 8
Сумма двух углов параллелограмма равна $80^°$ (см. рис.). Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.
Задача 9
В треугольнике $ABC$ известно, что ${AC=BC}$, высота $BH$ равна $9$, ${AB=3√ {13}}$ (см. рис.). Найдите $\tg ABC$.
Решение
Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит, равны углы $CAB$ и $ABC$. Треугольник $ABH$ прямоугольный, по теореме Пифагора $AB^2=AH^2+BH^2$. $AH^2= (3√ {13})^2-9^2=36$, $AH=6$. $\tg∠ ABC=\tg∠ CAB={BH} / {AH}={9} / {6}=1{,}5$.
Задача 10
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $75^°$, угол $C$ равен $35^°$, $AM$ — биссектриса, $T$ — такая точка на $AC$, что $AT = AB$. Найдите угол $CMT$. Ответ дайте в градусах.
Решение
В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.
Задача 11
В треугольнике $MNK$ известно, что $MK=NK$, $MN=4{,}8$, $\sin M={21} / {29}$ (см. рис.). Найдите $MK$.
Решение
Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.).
$MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.
Задача 12
Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $AMB$ и $MAK$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $126^°$ и $22^°$ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.
Задача 13
Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, $O$ — центр окружности, а меньшая дуга окружности $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $82^°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∪AB=82°$
$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из
$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$
Задача 14
Угол $ACO$ равен $44^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.
Задача 15
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $125^°$, угол $DAC$ равен $31^°$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).
Решение
Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$
Найти $∠ABD-?$
$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;
$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$
Задача 16
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $98^°$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).
Решение
$∪AB=98°$
Найти $∠ABC-?$
$∠ABC={1}/{2}∪AB$
$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$
Задача 17
$AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $BAD$ равен $56°$. Найдите угол $BOC$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Дано: $∠BAD=56°$
Найти: $∠BOC-?$
$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$
$∠BOD=2·56°=112°$
$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$
Задача 18
Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его большую сторону, если она на $9$ длиннее меньшей стороны.
Решение
$S_{ABCD} = AB·CB$.
Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x - 9$. Итак, $22 = x(x - 9)$
$ x^2 - 9x - 22 = 0$
$D = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$ x = {9±13}/{2}$
$ x_1 = 11$
$ x_2 = -2$ (не подходит).
Задача 19
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$
$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$
$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$
Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$
Отсюда, $224 = 2x · 7x$
$224 = 14x^2$
$x^2 = {224}/{14}$
$x^2 = 16$
$x = 4$
Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.
Задача 20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.
Рекомендуемые курсы подготовки
✅ Сможешь увеличить свой результат с нуля на 40 баллов, решишь 100+ прототипов
✅ Изучишь основные темы по профильной математике, узнаешь лайфхаки и разберёшься в структуре всего экзамена
✅ Наработаешь твердую базу и заполнишь пробелы предыдущих лет
У тебя будет:
- 1 онлайн-вебинар по 1 часу в неделю.
- Домашка после каждого веба без дедлайна (делай, когда тебе удобно).
- Скрипты, конспекты, множество полезных материалов.
- Удобный личный кабинет: расписание вебов, домашки, твой прогресс и многое другое.
- Отдельная беседа в ТГ с сокурсниками и преподавателями.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
