Задание 1. Планиметрия. ЕГЭ 2026 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 82%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 1:
Прочитать условие и выписать все данные (величины, отношения, условия равенства/параллельности/перпендикулярности, если они указаны).
Определить, какие геометрические величины требуется найти (длина, угол, площадь).
Сделать чертёж по условию или уточнить на имеющемся чертеже, какие элементы соответствуют данным и искомым.
Выделить фигуры, с которыми предстоит работать (треугольники, многоугольники, окружности и т.п.), и обозначить их элементы.
Проверить, можно ли применить соотношения для подобных фигур; при наличии условий подобия установить соответствие элементов.
Выбрать нужные факты/теоремы планиметрии и записать соотношения между элементами фигуры в виде равенств или пропорций.
Подставить известные значения в полученные соотношения и выразить искомую величину.
Выполнить вычисления и получить значение искомой величины.
Проверить, что найденная величина соответствует условию задачи (корректность вычислений, соответствие единиц, допустимость значения).
Записать ответ в требуемой форме.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Сумма двух углов параллелограмма равна $80^°$ (см. рис.). Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По свойству параллелограмма его противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют $180°$. По условию сумма двух углов параллелограмма равна $80°$, значит, это противоположные углы и каждый из них равен $80° :2=40° $. Тогда один из оставшихся углов равен $180°-40°=140°$.
Задача 2
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $5$ и $1$6, а угол между ними равен $150^°$ (см. рис.).
Решение
Пусть в треугольнике $ABC$ $ ∠ C= 150° $ (см. рис.).
$S_{ABC}={1} / {2} AC⋅ BC⋅\sin∠ ACB={1} / {2}⋅5⋅16⋅\sin150^0={1} / {2}⋅5⋅16⋅{1} / {2}=20$.
Задача 3
В параллелограмме $MPKT$ известно, что $MP=15$, $MT=20$, $\sin∠ T={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите меньшую высоту параллелограмма.
Решение
1). Высота параллелограмма проводится перпендикулярно к стороне. У параллелограмма две высоты: одна опускается на сторону $MP$, другая — на сторону $MT$. Найдём обе высоты и выберем меньшую из них.
2). Высота, опущенная на сторону $MP$, обозначим $h_1$. Она вычисляется по формуле:
$ h_1 = MT ⋅\sin∠ T. $
Подставим значения:
$ h_1 = 20 ⋅ {4}/{5}=16. $
3). Высота, опущенная на сторону $MT$, обозначим $h_2$. Она вычисляется по формуле:
$ h_2 = MP⋅ \sin∠ T. $
Подставим значения:
$ h_2 = 15⋅ {4}/{5}=12. $
4). Меньшая высота параллелограмма — это $h_2$:
$ h_2 = 12. $
Задача 4
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $75^°$, угол $C$ равен $35^°$, $AM$ — биссектриса, $T$ — такая точка на $AC$, что $AT = AB$. Найдите угол $CMT$. Ответ дайте в градусах.
Решение
В треугольнике $ABC$ $ ∠ A +∠ B+∠ C = 180°$, $ ∠ B = 180° -(∠ A +∠ C)=70°. $ По условию $AT=AB$, $AM$ — биссектриса и, значит,
$∠ TAM= ∠ BAM$, $AM$ — общая сторона, следовательно, треугольники $ATM$ и $ABM$ равны и равны соответственные углы $∠ B=70° =∠ ATM$. Углы $ATM$ и $CTM$ смежные, поэтому $∠ CTM=180° - ∠ ATM=180° - 70° =110° $.
$∠ CMT=180° -110° -35°=35°$.
Задача 5
В треугольнике $MNK$ известно, что $MK=NK$, $MN=4{,}8$, $\sin M={21} / {29}$ (см. рис.). Найдите $MK$.
Решение
Треугольник $KMN$ равнобедренный. Высота $KH$ является медианой, значит, $MH=NH={MN} / {2}=4{,}8:2=2{,}4$ (см. рис.).
$MK={MH} / {\cos∠ M} ={MH} / {√ {1-\sin^2∠ M}}={2{,}4⋅29} / {20}=3{,}48$.
Задача 6
Большее основание равнобедренной трапеции равно $48$. Боковая сторона равна $21$. Синус острого угла равен ${√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите меньшее основание.
Решение
В трапеции $ABCD$ проведём высоты $BH$ и $CF$ (см. рис.). По условию трапеция равнобедренная, значит,
$AD= AH+FD+BC=BC+2AH$, $AD=48$ (по условию).
$\sin∠ A={√ {5}} / {3}={BH} / {AB}={BH} / {21}$, $BH=7√ {5}$. $AH=√ {AB^2-BH^2}=√ {21^2-(7√ {5})^2}=14$, $BC=AD-2AH=48-2⋅14=20$.
Задача 7
Основания трапеции равны $22$ и $35$, площадь равна $228$. Найдите её высоту (см. рис.).
Решение
Воспользуемся формулой площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, $S={(a+b)⋅ h} / {2}$. Тогда $228={(22+35)⋅ h} / {2}$, $h=8$.
Задача 8
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=18$, $BC=27$, $\sin ∠ C={8} / {9}$ (см. рис.). Найдите бОльшую высоту параллелограмма.
Решение
Площадь параллелограмма равна $AB⋅ h_1=BC⋅ h_2$, где $h_1$ — высота, проведённая к стороне $AB$, $h_2$ — высота, проведённая к стороне $BC$. По условию $AB
$∠ A=∠ C$. $DH=AD\sin ∠ A=BC⋅\sin∠ C=27⋅{8} / {9}=24$.
Задача 9
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $72^°$. $BH$ и $AM$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $HOM$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$BH$ и $AM$ — высоты в треугольнике $ABC$, значит, углы $CHO$ и $CMO$ прямые. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. По условию угол $C$ равен $72°$. $∠ C+ ∠ CHO + ∠ CMO +∠ HOM =360°,$ $∠ HOM =360° -∠ C- ∠ CHO - ∠ CMO=
=360°-72°-90°- 90°=108°$.
Задача 10
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$ стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $75^°$, $63^°$, $93^°$, $129^°$ (см. рис.). Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $∠ BCA=75°:2=37{,}5° $, $∠ DCA=129°:2=64{,}5° $. $∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA =37{,}5° +64{,}5° =102°$.
Задача 11
В треугольнике $ABC$ известно, что ${AC=BC}$, высота $BH$ равна $9$, ${AB=3√ {13}}$ (см. рис.). Найдите $\tg ABC$.
Решение
Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит, равны углы $CAB$ и $ABC$. Треугольник $ABH$ прямоугольный, по теореме Пифагора $AB^2=AH^2+BH^2$. $AH^2= (3√ {13})^2-9^2=36$, $AH=6$. $\tg∠ ABC=\tg∠ CAB={BH} / {AH}={9} / {6}=1{,}5$.
Задача 12
Угол $ACO$ равен $44^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
$∠ AOC=90°-44°=46°$.
$∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=46°$.
Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-46°=134°$, так как дуга $DB=180°$.
Задача 13
Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $AMB$ и $MAK$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $126^°$ и $22^°$ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$∠ BMA=0{,}5{⌣}AB=0{,}5⋅126°=63°$.
$∠ MAK=0{,}5{⌣}MK=0{,}5⋅22°=11°$.
$∠ BMA$ — внешний к углу $M$ $▵ AMC$, значит, $∠ BMA$ равен сумме $∠ MCA$ и $∠ MAC$ этого треугольника.
$∠ C=∠ BMA-∠ MAC=63°-11°=52°$.
Задача 14
Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, $O$ — центр окружности, а меньшая дуга окружности $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $82^°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∪AB=82°$
$∠OAC=90°; ∠AOC=∠AOB=∪AB=82°,$ тогда из
$∆AOC:∠ACO=180°-(90°+82°)=180°-172°=8°$
Задача 15
$AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $BAD$ равен $56°$. Найдите угол $BOC$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Дано: $∠BAD=56°$
Найти: $∠BOC-?$
$∠BAD$ - вписанный, $∠BOD$ - соответствующий ему центральный, $∠BOD=2∠BAD$
$∠BOD=2·56°=112°$
$∠BOC$ - смежный с углом $∠BOD,$ тогда $∠BOC=180°-∠BOD=180°-112°=68°$
Задача 16
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $125^°$, угол $DAC$ равен $31^°$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).
Решение
Дано: $∠ABC=125°, ∠DAC=31°$
Найти $∠ABD-?$
$∠DAC=∠DBC=31°$ так как опираются на одну дугу;
$∠ABD=∠ABC-∠DBC=125°-31°=94°$
Задача 17
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $98^°$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$. Ответ дайте в градусах (см. рис.).
Решение
$∪AB=98°$
Найти $∠ABC-?$
$∠ABC={1}/{2}∪AB$
$∠ABC={1}/{2}·98°=49°$
Задача 18
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $108^°$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B$ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Решение
Дуга $AB$ окружности равна $108^°$. Угол между хордой и касательной в точке $B$ равен половине меры соответствующей дуги окружности.
$∠ABC = 108^° / 2 = 54^°$.
Ответ: $54^°$.
Задача 19
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.
Решение
$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.
Задача 20
Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Решение
Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
$\{{\table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$
Из первого уравнения системы: $x+y=14$
$y=14-x$.
Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:
$x(14-x)=48$
$x^2-14x+48=0$
$x_1=8$
$x_2=6$
Тогда $y_1=14-8=6$
$y_2=14-6=8$
Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Получишь все формулы, которые нужны для решения ЛЮБОЙ задачи по теории вероятностей в ЕГЭ по профилю
- Научишься решать задачи №4.5 в ЕГЭ по профилю
- Улучшить свой результат на +15 вторичных баллов
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
