Задание 26. Механика (расчетная задача высокого уровня с обоснованием). ЕГЭ 2024 по физике

Обоснование:
1) для отдельно рассматриваемых движений: движения шара до удара и движения двух шаров после удара - применим закон сохранения полной механической энергии, так как отсутствуют непотенциальные силы (силой сопротивления воздуха пренебрегаем)
2) при абсолютно неупругом ударе шаров энергия системы не сохраняется, но выполняется закон сохранения импульса системы, так как время взаимодействия шаров мало .

Дано:

$m_1=0.3$кг

$m_2=0.2$кг

$α=60°$

$β-?$

Решение:

Запишем закон сохранения энергии: $W_{п_1}=W_{к_1}$ или $m_1gh_1={m_1υ_1^2}/{2}$(2), где $h_1=l(1-cosα)$, где $l$ - длина нити. Тогда скорость первого шара перед ударом: $υ_1=√{2gl(1-cosα)}$(3). Запишем закон сохранения импульса: импульс системы остается постоянным при любых взаимодействиях внутри системы: $m_1υ_1↖{→}=(m_1+m_2)·U↖{→}$(4). В проекции на ось $X$: $m_1υ_1=(m_1+m_2)·U$(5). Тогда скорость шаров после соударения: $U={m_1υ_1}/{(m_1+m_2)}$(6). Запишем закон сохранения энергии: $W'_{к_1}=W'_{п_1}$ или ${m_1U^2}/{2}=m_1gh_2$, где $h_2=l(1-cosβ)$(7). Тогда высота $h_2$, на которую поднимутся шары после удара: $h_2={U^2}/{2g}={1}/{2g}·{m_1^2}/{(m_1+m_2)^2}·υ_1^2={1}/{2g}·{m_1^2·2gh_1}/{(m_1+m_2)^2}$ или $l-lcosβ={m_1^2·(l-l·cosα)}/{(m_1+m_2)^2}⇒l(1-cosβ)={0.09·l(1-cosα)}/{0.25}⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09cosα⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09cos60°⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09·0.5$

$0.25cosβ=0.25-0.09+0.045$

$0.25cosβ=0.205$

$cosβ={0.205}/{0.25}=0.82$

$β=arccos(0.82)$

$β=34.91°$

Обоснование: в данной задаче применим 2 закон Ньютона, так как каждый груз движется поступательно в инерциальной системе отсчёта. При этом, так как грузы соединены нерастяжимыми нитями, грузы будут двигаться с одинаковым ускорением. Силы натяжения каждой отдельно вязтой нити буут равны, так как нити невесомы.

Дано:

$m_1=m_2=m_3=m=2$кг

$m_4=5$кг

$μ=0.1$

$g=10м/с^2$

$a-?$

Решение:

Учитывая, что нити невесомые и не растяжимые, то ускорения ${a_1}↖{→}={a_2}↖{→}={a}↖{→}$ и силы натяжения нитей: $T_{12}=T_{21};T_{23}=T_{32};T_{34}=T_{43}$(1).

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:

1 груз: $Ох_1$: $ma=T_{12}-mgsinα-F_{тр_1}$, где $F_{тр_1}=μN_1$; $Oy_1$: $O=N_1-mgcosα$, откуда $N_1=mgcosα; ma=T_{12}-mgsinα-μmgcosα$(2).

2 груз: $Ох_1$: $ma=T_{23}-T_{21}-mgsinα-μmgcosα$(3); $Oy_1$: $O=N_2-mgcosα$, откуда $F_{тр_2}=μN_2=mgcosα$.

3 груз: $Ох_1$: $ma=T_{34}-T_{32}-mgsinα-μmgcosα$(4); $Oy_1$: $O=N_3-mgcosα$, откуда $F_{тр_3}=μN_3=mgcosα$.

4 груз: $Oy_2$: $m_4a=m_4g-T_{43}$(5).

Из (2) выразим $T_{12}$: $T_{12}=ma+mgsinα+μmgcosα$(6).

Подставим (6) в (3), учитывая, что $T_{12}=T_{21}$: $ma=T_{23}-ma-mgsinα-μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{23}=2ma+2mgsinα+2μmgcosα$(7).

Подставим (7) в (4), учитывая, что $T_{23}=T_{32}$: $ma=T_{34}-2ma-2mgsinα-2μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{34}=3ma+3mgsinα+3μmgcosα$(8).

Подставим (8) в (5), учитывая, что $T_{34}=T_{43}$: $m_4a=m_4g-3ma-3mgsinα-3μmgcosα; m_4a+3ma=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$.

$a(m_4+3m)=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$

$a={m_4g-3mgsinα-3μmgcosα}/{(m_4+3m)}$(9)

Подставим числовые значения в (9) и найдем ускорение $a$: $a={5·10-3·2·10·0.5-3·0.1·2·10·0.866}/{5+3·2}={50-30-5.196}/{11}={14.804}/{11}=1.345м/с^2≈1.35м/с^2$.

Обоснование:
1) рассмотрим систему отсчёта, завязанную с землёй, это инерциальная система отсчёта, значит в данной задаче применим 2 закон Ньютона
2) для движения саней справедлив закон изменения энергии, так как присутствует непотенциальная сила - сила трения-скольжения. Работа силы трения равна изменению полной механической энергии саней

Дано:

$h=10$м

$μ=0.05$

$α=30°$

$g=10м/с^2$

$S_2-?$

Решение:

1 способ: через закон изменения энергии

Сумма работ сил трения на участках $S_1$ и $S_2$ равна изменению полной механической энергии мальчика на санках:

$∆E=A_{тр1}+A_{тр2}$

$0-mgh=F_{тр1}S_1cos(a_1)+F_{тр2}S_2cos(a_2)$

$a_1$ $a_2$ - углы между силами трения и перемещениями.
$a_1=a_2=180$

$-mgh=-F_{тр1}S_1-F_{тр2}S_2$

$mgh=F_{тр1}S_1+F_{тр2}S_2$ (1)

Найдём силы трения:

2 закон Ньютона при движении по склону:
$ma↖{→}_1=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}_1+N↖{→}_1$

Проекция на ось, перпендикулярную наклонной поверхности:
$N_1-mgcosα=0$ $=>$ $N_1=mgcosα$

Путь, пройденный санками по горе $S_1$ равен: $S_1={h}/{sinα}$

$F_{тр1}=μN_1=μmgcosα$

2 закон Ньютона при движении по горизонтальной поверхности:
$ma↖{→}_2=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}_2+N↖{→}_2$

Проекция на вертикальную ось:
$N_2-mg=0$ $=>$ $N_2=mg$

$F_{тр2}=μN_2=μmg$

Подставим всё в уравнение (1):

$mgh=μmgcosα{h}/{sinα}+μmgS_2$
$h=μcosα{h}/{sinα}+μS_2$
$h-μctgα{h}=μS_2$
$S_2=h/μ(1-μctgα)=182.6$

***

2 способ: через кинематику

Запишем второй закон Ньютона: $ma↖{→}=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}+N↖{→}$(1). В проекциях на Ох: $ma=mgsinα-F_{тр}$(2), Oy: $O=N-mgcosα$(3), откуда $N=mgcosα$(4). Учитывая, что сила трения $F_{тр}=μN=μmgcosα$(5). Тогда ускорение тела из (2): $a={mgsinα-F_{тр}}/{m}={mgsinα-μmgcosα}/{m}=g(sinα-μcosα)$(6). Путь, пройденный санками по горе $S_1$ равен: $S_1={h}/{sinα}={υ^2}/{2a}$. Откуда квадрат скорости в конце спуска: $υ^2={2ah}/{sinα}={2gh(sinα-μcosα)}/{sinα}=2gh(1-μctgα)$(7). Запишем закон сохранения энергии: ${mυ^2}/{2}-0=F_{тр}·S_2$. Откуда $S_2={mυ^2}/{2F_{тр}}$(8), где $F_{тр}=μmg$. Тогда расстояние, которое санки пройдут по горизонтальному участку до полной остановки: $S_2={mυ^2}/{2F_{тр}}={m·2gh(1-μctgα)}/{2μmg}={h}/{μ}(1-μctgα)$(9).

Подставим числовые значения и найдем $S_2$: $S_2={10}/{0.05}·(1-0.05·ctg30)=200·(1-0.05·√3)=200(1-0.0866)=200(0.91339)=182.679=182.7$м.

Обоснование: 1
1) Для падения груза выполняется закон сохранения энергии, потому что если не учитывать сопротивление воздуха, на в процессе падения на груз не действуют непотенциальные силы, и систему "груз-земля" можно считать консервативной.
2) При попадании груза в песок, возникает неконсервативная сила - сила сопротивления грунта. При движении груза в грунте выполняется закон изменения энергии, согласно которому, работа неконсервативных сил равна изменению полной механической энергии системы.
3) Изменение потенциальной энергии при движении груза в песке можно считать пренебрежимо малым, так как перемещение груза в песке примерно в 100 раз меньше высоты, с которой падает груз.

Дано:

$m=1$кг

$h=240$м

$S=0.2$м

$F_c-?$

$υ_0=14$м/с

Решение:

Полная механическая энергия груза в начале падения: $E_0=mgH+{mυ_0^2}/{2}$. По Закону сохранения энергии она равна энергии груза перед попаданием в песок: $E_1=E_0$
Изменение энергии груза до значения $E_2=0$ равно работе силе сопротивления грунта: $E_2-E_1=-F_c·S; $
$-E_0=-F_c·S; $
$mgH+{mυ_0^2}/{2}=F_c·S; $
$F_c={1}/{S}(mgH+{mυ_0^2}/{2})$

$F_c={1}/{0.2}(1·10·240+{1·14^2}/{2})≈12490$H.

Дано:
$υ_0=3.13м/c$
$h-?$

Решение:

Запишем уравнения движения для 1 и 2 тела $\{\table\y=υ_0t_1-{gt_1^2}/{2}; \y=υ_0t_2-{gt_2^2}/{2};$

Также известно, что 2 тело бросили позднее по $t_1-t_2=τ$,
$τ$-время, за которое первое тело долетело до верхней точки.
В верхней точке $v=0=v_0-gτ$, значит $τ={υ_0}/{g}$.

$y=h$ - высота, на которой тела встретились.

Решим систему уравнений: (здесь представлено одно из множества возможных решений системы уравнений)
$\{\table\h=υ_0t_1-{gt_1^2}/{2}; \h=υ_0t_2-{gt_2^2}/{2};$
Вычитаем из верхнего уравнения нижнее:
$v_0(t_1-t_2)-g/2({t_1}^2-{t_2}^2)=0$
$v_0(t_1-t_2)-g/2(t_1-t_2)(t_1+t_2)=0$
$v_0-g/2(t_1+t_2)=0$
$v_0=g/2(t_2+τ+t_2)=g/2(2t_2+{υ_0}/{g})$ (учтено, что $t_1=t_2+τ$ и что $τ={υ_0}/{g}$)
$t_2={υ_0}/{2g}$
Подставим $t_2$ во второй уравнение: $h=υ_0{υ_0}/{2g}-{g/{2}({υ_0}/{2g})^2}={{υ_0}^2}/{2g}-1/{4}{{υ_0}^2}/{2g}={3}/{4}·{υ_0^2}/{2g}={3}/{4}·{{3.13}^2}/{2·10}≈0.4$м.