Задание 24. Молекулярная физика (расчетная задача высокого уровня). ЕГЭ 2025 по физике

1) Первое начало термодинамики $-Q=∆U+A$, $∆U={3}/{2}υRT$, по условию $p={α}/{V^3}⇒V={α}/{√^3{p}}$.

2) По закону Менделеева-Клайперона $pV=υRT$.

3) Определим конечную температуру: $T_2=T_1√^3{{p_2}/{p_1}}=400√{{0.5·10^5}/{4·10^5}}=200K$.

4) Таким образом $A=-Q-∆U=-1979-{3}/{2}·2·8.31(200-400)=5.5$кДж.

Дано:

$B=60%$

$T=293K$

$V=1м^3$

$P_н=10^5$Па

$M=1,2004$кг

$P_{нп}-?$

Решение:

Уравнение Менделеева-Клайперона:

$\{\table\P_1·V=υ_1·RT; \P_2V=υ_2·RT;$ $⇒P_1+P_2=(υ_1+υ_2)·8.31·293$.

$P_1+P_2=P_н; υ_1+υ_2={100000}/{2434.83}=41.6$моль.

Тогда $\{\table\υ_1·0.018+υ_1·0.029=1.2004; \υ_2=41.6-υ_1;$ $⇒υ_1=0.545$моль.

$P_1={υ_1·RT}/{V}={0.545·8.31·293}/{1}=1370$Па.

Решение:

Происходящие с газом в данной задаче процессы в координатах pV выглядят вот так:

Согласно первому закону термодинамики, общее количество теплоты Q, полученное газом в процессах 12 и 23, идёт на изменение внутренней энергии газа $∆U$ и совершение газом работы $A$: $Q=∆U+A$ (1)
$Q=Q_{12}+Q_{23}$. Так как процесс 12 адиабатный, $Q_{12}=0$, значит $Q=Q_{23}$
$∆U=U_3-U_1={3}/{2}vRT_{3}-{3}/{2}vRT_{1}={3}/{2}vR(T_{3}-T_1)=0$, т.к. $T_3=T_1$ по условию.

Ур-е (1) примет вид: $Q_{23}=A$ (2)
$A=A_{12}+A_{23}$ (3) - полная работа газа складывается из работ газа в каждом процессе.

Согласно первому закону термодинамики для изобарного процесса 23: $Q_{23}=A_{23}+∆U_{23}$ (4)
В изобарном процессе работа газа $A_{23}=p(V_3-V_2)$, а изменение внутренней энергии: $∆U_{23}=3/2p(V_3-V_2)=3/2A_{23}$.
Уравнение (4) примет вид: $Q_{23}=A_{23}+3/2А_{23}=5/2A_{23}$.
Тогда с учётом ур-я (2) $A_23=2/5Q_{23}=2/5A$

Подставим полученное выражение для $A_{23}$ в ур-е (3): $A=A_{12}+2/5A$ => $A_{12}=A-2/5A=3/5A=3/5·10кДж=6кДж$

Дано:

$E=200$мДж

$υ=10$Гц

$t=1$час

$∆t′=5°$

$η=4%$

$V_в-?$

Решение:

1) Мощность излучения $P_{изл}=W·υ$.

2) Потребляемая мощность $P_л={P_{изл}}/{η}$

3) Мощность охлаждения: $P_{охл}=P_л-P_{изл}=P_{изл}{(1-η)}/{η}$

4) $Q_{охл}=P_{охл}·t$ выразим через числовой баланс $Q_{охл}=ρ·υ·c·∆t$

5) Выразим и получим $V={W·υ·T}/{ρ·c·∆t′}·{1-η}/{η}={200·10^{-3}·10·3600}/{1000·4.2·10^3·5}·{1-0.04}/{0.04}=8.2л$

Дано:

$t_1=100°$

$t_1=0°$

$A=1.22·10^6$Дж

$λ=3.3·10^5$Дж/кг

$m-?$

Решение:

Максимально возможный КПД достигается, если тепловая машина работает по циклу Карно. Он равен: $η={T_1-T_2}/{T_1}$(1), где $T_1=(t_1+273)K=373K; T_2=(t_2+273)K=273K$. $η={373-273}/{373}=0.268$

$T_1, T_2$ - абсолютные температуры нагревателя и холодильника. С другой стороны, по определению КПД: $η={A}/{Q_{пол}}$(2), где $A=Q_{пол}-|Q_{отд}|$ - работа газа за цикл; $Q_{пол}$ - количество теплоты, полученное за цикл от нагревателя; $Q_{отд}$ - количество теплоты, отданное за цикл холодильнику. Из равенства: ${T_1-T_2}/{T_1}={Q_{пол}-|Q_{отд}|}/{Q_{пол}}$, находим, что $1-{T_2}/{T_1}=1-{Q_{отд}}/{Q_{пол}}$, откуда получаем $|Q_{отд}|=Q_{пол}·{T_2}/{T_1}$(4). Из (2): $Q_{пол}={A}/{η}$(5). Подставим (5) в (4): $|Q_{отд}|={A·T_2}/{η·T_1}$(6).

Отданная холодильнику теплота расходуется на таяние льда при температуре плавления. Следовательно, $|Q_{отд}|=mλ$(7). Приравняем (6) и (7): $mλ={A·T_2}/{η·T_1}⇒m={A·T_2}/{ηλ·T_1}$(8), где $λ$ - удельная теплота плавления льда.

Подставим числовые значения в (8): $m={1.22·10^6·273}/{0.268·3.3·10^5·373}≈10.1$кг.

Дано:

$A=25·10^3Дж$

$A′=20·10^3Дж$

${T_н}/{T_х}-?$

Решение:

КПД идеальной тепловой машины определяется выражением: $η={T_н-T_х}/{T_н}=1-{T_х}/{T_н}$(1), откуда ${T_x}/{T_н}=1-η$(2).

С другой стороны: $η={Q_н-|Q_x|}/{Q_н}={A}/{Q_н}$(3).

При изотермическом сжатии работа внешних сил равна 20кДж, значит, в этом процессе газ отдает тепло холодильнику. Согласно 1 закону термодинамики $Q_х=-A'+0$ и значит, $A′=|Q_x|$. Тогда найдем $Q_н$ - количество теплоты, полученное от нагревателя: $Q_н=A+|Q_x|=A+A′=25+20=45кДж.$

По формуле (3) найдем КПД $η$: $η={A}/{Q_н}={25·10^3}/{45·10^3}=0.55$(5)

Подставим числовые значения в (2) и найдем ${T_н}/{T_х}$:
${T_х}/{T_н}=1-0.555=0.444$

${T_н}/{T_х}={1}/{0.444}$

${T_н}/{T_х}=2.25$

Дано:

$L = 0.6м$

$V_1 = 2V_2$

$T_l = T_2$

$T_2'=2Т_2$

$T_1'=T_1$

$∆l-?$

Решение:

Приведем рисунок для решения задачи, причем условимся писать все величины, соответствующие начальному моменту времени, писать без «звездочки», а конечному — со «звездочкой».

Так как поршень и в начальный, и в конечный момент времени будет находиться в равновесии, то можно записать первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева.

$\{\table\p_1S=p_2S; \p_1V_1=υ_1RT_1; \p_2V_2=υ_2RT_2;$

Из первой строки системы видно, что давления газов равны, те. $р_1 = р_2 = р$. Зная, что по условию $V_1=2V_2$ и $T_1= T_2 = Т$, получим:

$\{\table\2pV_2=υ_1RT; pV_2=υ_2RT;$

Поделив верхнее выражение на нижнее, имеем: ${υ_1}/{υ_2}=2$.

Отлично, мы нашли отношение количества молей газов в левой и правой части сосуда. Теперь повторим то же самое и для конечного момента времени, те. опять запишем первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева:

$\{\table\p'_1S=p'_2S; \p'_1V'_1=υ_1RT'_1; \p'_2V'_2=υ_2RT'_2;$

Опять видно, что $р'_1 =р'_2 = р'$. Теперь разберемся с температурами. Так как $Т'_2 = 2Т_2 = 2Т$ и $Т'_1=Т_1=Т$, то очевидно, что их отношение равно ${Т'_2}/{Т'_1}=2$. Тогда:

$\{\table\p'_1V'_1=υ_1RT; \p'V'_2=2υ_2RT;$

Поделим нижнее выражение на верхнее: ${V'_2}/{V'_1}=2{υ_2}/{υ_1}=2·{1}/{2}=1$

Значит поршень в конце разделит сосуд на две равные части. Для того, чтобы узнать на сколько сместиться поршень, следует заметить такой факт: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}$.

В задаче считается, что поршень имеет нулевую толщину. В этой формуле $V$ — это общий объем сосуда, равный $V = V_1 + V_2$, тогда: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}={V_1+V_2}/{V_1}=1+{V_2}/{V_1}=1+{1}/{2}={3}/{2}⇒l_1={2}/{3}L$

Проделаем такие же действия для конечного момента: ${L}/{l'_1}={V}/{V'_1}={V'_1+V'_2}/{V'_1}=1+{V'_2}/{V'_1}=1+1=2⇒l'_1={1}/{2}L$

Перемещение поршня можно найти по формуле: $∆l=l_1-l'_1={2}/{3}L-{1}/{2}L={1}/{6}L; ∆l={0.6}/{6}=0.1м$.

Дано:

$i=3$

$T_2=4T_1$

$η-?$

Решение:

КПД находится как отношение работы за цикл к количеству теплоты, полученной за цикл. В данном случае, теплота получена на участке 1-2. На этом участке давление и объем прямо пропорциональны: ${p_1}/{p_2}={V_1}/{V_2}$

Из уравнения Менделеева-Клайперона: ${p_1V_1}/{T_1}={p_2V_2}/{T_2}$ следует, что $({p_1}/{p_2})^2={T_}/{T_1}$ т.е. ${p_2}/{p_1}={V_2}/{V_1}=√4=2$. $p_2=2p_1, V_2=2V_1$

Работа А за цикл равна: $A={1}/{2}(p_2-p_1)·(V_2-V_1)≈{1}/{2}(p_2V_2-p_1V_1-p_2V_1+p_1V_1)={1}/{2}(2p_1·2V_1-p_1·2V_1-2p_1V_1+p_1V_1)={1}/{2}(4p_1V_1-2p_1V_1-2p_1V_1+p_1V_1)=0.5p_1V_1$

Количество теплоты равно: $Q=A_{1,2}+∆U_{1,2}={p_1+p_2}/{2}·(V_2-V_1)+{3}/{2}(p_2V_2-p_1V_1)={3p_1}/{2}·(2V_1-V_1)+{3}/{2}(2p_1·2V_1-p_1V_1)={3p_1V_1}/{2}+{3·3p_1V_1}/{2}={12}/{2}p_1V_1=6p_1V_1$

Тогда КПД равен: $η={A·100%}/{Q_{пол}}={0.5p_1V_1}/{6p_1V_1}·100%≈8.33%$

Дано:

$t_1=900°C$

$t_2=100°C$

$υ=60км/ч≈16.66м/с$

$V=8л=8·10^{-3}м^3$

$p=700кг/м^3$

$q=44·10^6Дж/кг$

$S=100км=10^5м$

$p-?$

Решение:

Мощность, развиваемую двигателем автомобиля, можно найти по формуле: $p={A}/{t}$(1). Считая, двигатель автомобиля идеальной тепловой машиной, найдем его КПД: $η={A}/{Q_1}={T_1-T_2}/{T_1}$, откуда $A=({T_1-T_2}/{T_1})·Q_1$(2), где полученное от нагревателя количество теплоты: $Q_1=q·m=q·p·V$(3).

Учитывая, что время $t={S}/{υ}$(4), окончательно получим: $p={A}/{t}={({T_1-T_2}/{T_1})·q·p·V·υ}/{S}$(5), где $T_1=t_1+273°C=900°C+273°C=1173K; T_2=t_2+273°C=100°C+273°C=373K$

Подставим числа в (5): $p={({1173K-373K}/{1173K})·44·10^6·700·8·10^{-3}·16.66}/{10^8}=0.682·440·0.7·8·16.66=28007.956≈28кВт$

Дано:

$m_1=10$кг

$t_1=25°C$

$T_1=t_1+273=298K$

$T_2=4T_1=4·298K=1192K$

$V_1=V$

$V={V}/{1.25}$

$m_2-?$

Решение:

Давление по определению: $p={F}/{S}={mg}/{S}$, с другой стороны, давление газа из уравнения Менделеева-Клайперона: $p={υRT}/{V}$. Учитывая, что поршень уравновешен внешним и внутренним давлением, имеем для обоих случаев: $p_{внут}=p_{внеш}$(1).

${m_1g}/{S}={υRT}/{V}$(2) и ${(m_1+m_2)g}/{S}={1.25υR4T_1}/{V}$(3).

Разделим почленно (3) на (2): ${(m_1+m_2)g}/{S}:{m_1g}/{S}={5υRT_1}/{V}:{υRT_1}/{V}$.

${(m_1+m_2)g}/{S}·{S}/{m_1g}={5υRT_1}/{V}·{V}/{υRT_1}⇒{m_1+m_2}/{m_1}=5; m_1+m_2=5m_1$, откуда $m_2=5m_1-m_1=4m_1$(4)

Подставим числа в (4): $m_2=4m_1=4·10=40$кг

Дано:

$V_x=135$л

$t=40°C$

$t_1=65°C$

$t_2=15°C$

$V-?$

Решение:

Объем ванны равен сумме объемов холодной воды из водопровода $V_x$ и горячей воды из водонагревателя $V_г$: $V=V_x+V_г$(1)

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен между двумя системами: горячая вода отдает часть своей энергии холодной воде, а холодная вода принимает эту энергию: $Q_г=Q_x$(2)

Учитывая, что масса воды $m=ρ·V$(3), $V$ - объем воды; $ρ$ - плотность воды, $c$ - удельная теплоемкость воды:
$Q_г=cm_г(t_1-t)=cρV_г(t_1-t)$ - количество теплоты, которое отдает горячая вода;
$Q_х=cm_х(t-t_2)=cρV_х(t-t_2)$ - количество теплоты, которое принимает холодная вода;.

$cρV_г(t_1-t)=cρV_x(t-t_2)$

$25V_г=25V_ч⇒V_г=V_х$

Получается, что объем горячей и холодной воды одинаковы. Учитывая, что объем ванны: $V=V_x+V_г=135+135=270$л.