Задание 1. Кинематика. ЕГЭ 2021 по физике
Средний процент выполнения: 69.1%
Ответом к заданию 1 по физике может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Алгоритм решения задания 1:
- Первым делом определите, на какой вид движения задача (равномерное, равноускоренное и т.д).
- Далее посмотрите, что вам необходимо найти. Обратите внимания на ключевые слова: МОДУЛЬ, ПРОЕКЦИЯ, ПУТЬ, ПЕРЕМЩЕНИЕ. Так как именно на этих словах вас хотят подловить.
- Выбирайте наиболее подходящую для решения формулу.
Задачи для практики
Задача 1
Уравнение движения тела имеет вид x = 2t + 0,5t2. Найдите, с каким ускорением двигалось тело. Ответ выразите в (м/с2).
Решение
Дано:
$x=2t+0.5t^2$
$a-?$
Решение:
Запишем уравнение движения в общем виде и сравнив с имеющимся: $x=2t+0.5t^2; x=υ_0t+{at^2}/{2}$, тогда ${at^2}/{2}=0.5t^2; a=0.5·2$ или $a=1м/с^2$.
Задача 2
Первую четверть пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всём пути оказалась равной 40 км/ч. С какой скоростью поезд двигался на оставшейся части пути? Ответ выразите в (км/ч).
Решение
Дано:
$υ_1=60$км/ч
$S_1={1}/{4}S$
$S_2={3S}/{4}$
$υ_{ср}=40$км/ч
$υ_2-?$
Решение:
Средняя скорость определяется выражением: $υ_{ср}={S_{общ}}/{t_{общ}}$(1), где $S_{общ}=S_1+S_2={S}/{4}+{3S}/{4}={4S}/{4}=S$(2), $t_{общ}=t_1+t_2={S_1}/{υ_1}+{S_2}/{υ_2}={S}/{4υ_1}+{3S}/{4υ_2}={Sυ_2+3Sυ_1}/{4υ_1υ_2}$(3).
Подставим выражения (2) и (3) в (1), получим: $υ_{ср}={S}/{1}:{S(3υ_1+υ_2)}/{4υ_1υ_2}={S}/{1}·{4υ_1υ_2}/{S(3υ_1+υ_2)}={4υ_1υ_2}/{(3υ_1+υ_2)}$(4). Из (4) выразим скорость $υ_2$: $υ_{ср}(3υ_1+υ_2)=4υ_1υ_2⇒3υ_1υ_{ср}+υ_{ср}υ_2=4υ_1υ_2⇒4υ_1υ_2-υ_{ср}υ_2=3υ_1υ_{ср}⇒υ_2(4υ_1-υ_{ср})=3υ_1υ_{ср}⇒υ_2={3υ_1υ_{ср}}/{(4υ_1-υ_{ср})}$(5). Подставим числовые значения в (5): $υ_2={3·60·40}/{4·60-40}={7200}/{200}=36км/ч$.
Задача 3
Цирковая гимнастка массой 50 кг качается на качелях с длиной верёвок 5 м. С какой силой она давит на сиденье при прохождении положения равновесия со скоростью 6 м/с? Ответ выразите в (Н). Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с^2
Решение
Дано:
$m=50$кг
$g=10м/с^2$
$l=5$м
$υ=6$м/c
$N-?$
Решение:
При прохождении качелями среднего положения второй закон Ньютона в проекции на вертикальное направление иммет вид: $ma=N-mg$(1), здесь $a$ - ускорение гимнастики, совпадающее с центростремительным, $m$ - масса гимнастики, $N$ - сила реакции опоры (сиденья), равная по модулю, согласно третьему закону Ньютона, силе, с которой мальчик давит на сиденье. Так как центростремительное ускорение равно $a_{ц.с.}={υ^2}/{l}$(2), то сила, действующая на сиденье, равна: $N=ma+mg=m(a+g)=m({υ^2}/{l}+g)$(3). Подставим числовые значения в (3): $N=50·({36}/{5}+10)=50·17=860H$.
Задача 4
Из начала координат одновременно начинают движение две точки. Первая движется вдоль оси Ox со скоростью 3 м/с, а вторая — вдоль оси Oy со скоростью 4 м/с. (Оси перпендикулярны). С какой скоростью они будут удаляться друг от друга? Ответ выразите в (м/с).
Решение
Дано:
$υ_1=3$м/с
$υ_2=4$м/с
$υ_{отн}-?$
Решение:
Вектор относительной скорости $υ_{отн}$ есть разность векторов скоростей двух точек. По правилу вычитания векторов, вектор относительной скорости будет ижти от конца вектора скорости одной точки к концу векторая скорости другой точки. Так как скорости точек направлены перпендикулярно, длина вектора относительной скорости является гипотенузой прямоугольного треугольника и находится по теореме Пифагора: $υ_{отн}=√{υ_1^2+υ_2^2}=√{(3)^2+(4)^2}=√{9+16}=√{25}=5$м/с.
Задача 5
Тело движется по окружности равномерно. Радиус окружности 1 м. Найдите изменение вектора скорости при перемещении тела на угол 90◦. Период обращения 3,14 с. Ответ округлите до десятых. Ответ выразите в (м/с). Число ${π}$ принять равным 3,14
Решение
Дано:
$R=1$м
$α=90°$
$T=3.14$c
$∆υ-?$
Решение:
Изменение вектора скорости при перемещении тела на угол $90°$ равен по теореме Пифагора: $∆υ=√{υ^2+υ^2}=√{2υ^2}=√{2}υ$(1).
Найдем величину скорости $υ$: $υ={S}/{t}={2πR}/{T}={3.14·2·1}/{3.14}=2$м/с(2).
Подставим числовые значения в (1), получим: $∆υ=√2·υ=1.41·2=2.82=2.8$м/с.
Задача 6
Тело движется вдоль оси Ox. Чему равна проекция скорости тела vx, координата x которого меняется с течением времени по закону x = 3 − 2t, где все величины выражены в системе СИ? Ответ выразите в (м/c).
Решение
Дано:
$x=3-2t$
$υ_х-?$
Решение:
Известно, что $υ_x=x'(t)$, тогда $x'(t)=-2·1=-2$.
Задача 7
Тело движется вдоль оси Ox. Чему равно перемещение тела за 10 с, координата x которого меняется с течением времени по закону x = 3 − 2t + t2, где все величины выражены в системе СИ? Ответ выразить в (м).
Решение
Дано:
$t=10$c
$x=3-2t+t^2$
$x_0=3$
$r-?$
Решение:
$x=-20+100=80+3=83$
$r=x-x_0=83-3=80$м, т.к. изначально тело уже прошло 3м.
Задача 8
Материальная точка движется по окружности радиусом ${1.5}/{π}$ м. Найдите перемещение точки за 2 полных оборота. Ответ выразить в (м).
Решение
Дано:
$R={1.5}{π}$
Решение:
Точка делает 2 полных оборота и возвращается в начальную точку, ее перемещение равно 0.
Задача 9
Велосипедист за 30 мин проехал 4 км, затем полчаса отдыхал, а затем проехал ещё 4 км за 15 мин. Какой была его средняя скорость на всём пути? Ответ выразите в (км/ч).
Решение
Известно, $υ_{ср}={∆S}/{∆t}={4+0+4}/{30+30+15}={8}/{1.25}=6.4км/ч$.
Задача 10
Материальная точка равномерно движется по окружности. Найдите отношение пути к модулю перемещения за половину периода. Ответ округлить до сотых.
Решение
Дано:
${L}/{|S↖{→}|}-?$
$t={T}/{2}$
Решение:
1) За полпериода тело проходит половину окружности, поэтому пройденный путь равен половине дуги окружности: $L=π·R$
2) Модуль перемещения равен длине прямой, соединяющей начальную и конечную точки: $|S↖{→}|=2·R$
3) ${L}/{|S↖{→}|}={π·R}/{2·R}=1.57$
Задача 11
Два лыжника стартуют с интервалом 3 минуты. Скорость первого лыжника 2 м/с, скорость второго лыжника 2,5 м/с. Через какой интервал времени второй лыжник догонит первого? Ответ выразите в (с).
Решение
1) Найдем путь I, который прошёл первый лыжник за 3 минуты: $S'=3·60с·2м/с=360$м.
2) Относительная скорость лыжников (т.е. скорость, с которой сокращается отставание) равна $v_{12}=2,5-2=0,5$ м/с. Тогда время, через которое второй лыжник догонит первого можно посчитать как $t={S'}/{v_{12}}=360/{0,5}=720$c.
Задача 12
Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути S от времени t имеет вид: S = 6t − t2. Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? Ответ выразите в (м/с).
Решение
Дано:
$S=6·t-t^2$
$υ_1-?(t_1=2c)$
Решение:
$υ(t)=S′(t)$. Производная пути по времени равна функции скорости.
$υ(t)=6-2·t$
$υ(2)=6-2·2=2м/с$
Задача 13
Автобус везёт пассажиров по прямой дороге со скоростью 36 км/ч. Пассажир равномерно идёт по салону автобуса со скоростью 1 м/с относительно автобуса, двигаясь от кабины водителя к задней двери. Чему равен модуль скорости пассажира относительно дороги? Ответ выразите в (м/с).
Решение
Дано:
$υ_A=36км/ч={36·1000}/{3600}=10м/с$
$υ_п=1м/с$
$υ_{отн}-?$
Решение:
${υ_A}↖{→}$ - скорость автобуса относительно дороги; ${υ_п}↖{→}$ - скорость пассажира относительно автобуса.
Из рисунка видно, что скорость пассажира относительно дороги равна: $υ_{отн}=υ_A-υ_п=10-1=9м/с$
Задача 14
Чему равна угловая скорость вращения сверла, совершающего 600 оборотов в минуту? Ответ округлите до целых. Ответ выразите в рад./с.
Решение
Дано:
$t=60c$
$N=600$
$ω-?$
Решение:
Угловая скорость $ω=2πv$(1), где $v={N}/{t}$(2) - частота вращения сверла. Подставим (2) в (1), имеем: $ω={2πN}/{t}$(3).
$ω={2·3.14·600}/{60}=62.8{рад}/c≈63{рад}/c$
Задача 15
Поезд, двигаясь от остановки с постоянным ускорением, прошёл 180 м за 15 с. Какой путь он прошёл за первые 5 с от начала движения? Ответ выразите в (м).
Решение
Дано:
$S=180$м
$t=15с$
$t_1=5с$
$υ_0=0м/с$
$S_1-?$
Решение:
Перемещение при равноускоренном движении описывается уравнением: $S=υ_0t+{at^2}/{2}$(1), поскольку поезд двигается от остановки, то $υ_0=0м/с$ и выражение (1) запишем в виде: $S={at^2}/{2}$(2), откуда $a={2S}/{t^2}={2·180}/{225}=1.6м/с^2$
Тогда путь $S_1$ за первые 5с от начала движения равен: $S_1={at_1^2}/{2}={1.6·25}/{2}=20м$
Задача 16
Длина минутной стрелки равна 10 см. Какой путь пройдёт конец стрелки, совершив полный оборот? Считайте $π=3.14$. Ответ выразите в (см).
Решение
Дано:
$l=0.1$м
$π=3.14$
$S-?$
Решение:
Конец минутной стрелки, совершив полный оборот, опишет окружность, а длина окружности рассчитывается по формуле:$S=2πR$(1) - длина окружности радиуса $R=l$, тогда имеем: $S=2πl=2·3.14·0.1=0.628м=62.8см$.
Задача 17
Длина минутной стрелки равна 10 см. Какова скорость её конца? Ответ округлите до сотых. Ответ выразите в (мм/c).
Решение
Дано:
$l=0.1$м
$π=3.14$
$υ-?$
Решение:
Скорость определяется выражением: $υ={S}/{t}$(1), где $S=2πl$(2) - длина окружности радиуса $l$; $t$ - время, за которое минутная стрелка делает полный оборот.
$t=1$час$=60$минут$=60·60$секунд$=3600с$
Подставим числовые значения в (1): $υ={2πl}/{t}={2·3.14·0.1}/{3600}=1.74·10^{-4}=0.174≈0.17$мм/с.
Задача 18
Зависимость координаты x тела от времени t задаётся уравнением x = 3 − 5t + t2. Какова проекция ускорения тела на ось Ox в момент времени 2 с? Ответ выразите в (м/c2).
Решение
Дано:
$x=3-5t+t^2$
$t=2c$
$a_x(t)-?$
Решение:
Ускорение - это первая производная от скорости или вторая производная от координаты, т.е. $a_x=υ_x′=x′′$(1)
$υ_x=x′=(3-5t+t^2)′=-5+2t$(2)
$a_x=υ′_x=(-5+2t)′=2{м}/{с^2}$
Задача 19
На рисунке приведён график зависимости проекции скорости v на некоторую ось от времени t. Найдите модуль ускорения тела в интервале времени от 4 до 6 с. Ответ выразите в (м/c2).
Решение
Дано:
$t_k=6$c
$t_н=4$с
$υ_к=0{м}/{с}$
$υ_н=12{м}/{с}$
$|a↖{→}|-?$
Решение:
По определению ускорение равно: $a={∆υ}/{∆t}={υ_к-υ_н}/{t_k-t_н}$(1)
Из графика видно, что в интервале времени от 4 до 6 с, конечная скорость $υ_к=0{м}/{с}$, а начальная скорость $υ_н=12{м}/{с}$, тогда имеем: $|a↖{→}|=|a|=|{∆υ}/{∆t}|=|{υ_к-υ_н}/{t_k-t_н}|=|{0-12}/{6-4}|=|{-12}/{2}|=|-6|=6{м}/{с^2}$
Задача 20
На рисунке приведён график зависимости проекции скорости v на некоторую ось от времени t. Найдите путь, пройденный телом в интервале времени от 4 до 6 с.
Решение
Дано:
$t_н=4с$
$t_к=6с$
$υ_0=12{м}/{с}$
$υ_к=0{м}/{с}$
$S-?$
Решение:
Из графика видно, что в интервале времени от 4 до 6с движение тела равнозамедленное (т.к. график проекции скорости υ направлен вниз), тогда найдем ускорение $a$:
$a={∆υ}/{∆t}={υ_к-υ_0}/{t_к-t_н}={0-12}/{6-4}=-{12}/{2}=-6{м}/{с^2}$
Пусть при равноускоренном движении определяется формулой: $S=υ_0·∆t+{a·(∆t)^2}/{2}=12·(6-4)+{(-6)·(6-4)^2}/{2}=12·2-{6·4}/{2}=24-{24}/{2}=24-12=12м$
Примеры задач и краткая теория:
Задание 1
Чаще всего вам дан график зависимости либо координаты, либо скорости от времени, и необходимо найти: путь, перемещение, скорость, ускорение
Ниже дан скелет решения задач такого плана.
Задание 2
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке пути , и зависимость координаты x тела от времени t задаётся уравнением x = 3 − 5t + t2. Какова проекция скорости тела на ось Ox в момент времени 2 с? Ответ выразите в (м/c).
Ответ: -1 (м/c).
