Дано:
$E_{K1}=E_{П1}$;
$v_2=8$м/с;
$h_2=10$м

$h_1=?$

Решение:
$ΔE=0$ - закон сохранения энергии
$E=E_{K1}+E_{П1}=E_{K2}+E_{П2}$ (1) - полная механическая энергия
$E_{K1}$, $E_{П1}$, $E_{K2}$, $E_{П2}$ - кинетическая и потенциальная энергия камня на высотах $h_1$ и $h_2$.
Так как $E_{K1}=E_{П1}$, уравнение (1) примет вид: $2E_{П1}=E_{K2}+E_{П2}$ (2)
$E_{П1}=mgh_1$, $E_{K2}={mv_2^2}/2$, $E_{П2}=mgh_2$,
где $m$ - масса камня.
Подставим выражения для энергий в уравнение (2):
$2mgh_1={mv_2^2}/2+mgh_2$
Выразим $h_1$:

$h_1={{mv_2^2}/2+mgh_2}/{2mg}={v_2^2}/{4g}+{h_2}/2={(8м/с)^2}/{4·10м/{с^2}}+{10м/с}/2=6,6$ м.

Ответ: 6,6 м.

Уравнение движение ластика: $y=15t-(g/2)t^2=15t-5t^2$
Уравнение движения пластилина: $y=3-gt^2/2=3-5t^2$

Они столкнутся когда будут равны их координаты
$15t-5t^2=3-5t^2$
$ 15t=3$
$ t=3/15=0.2$

Запишем зависимость координаты по вертикальной направленной вверх оси y от времени t:
$y(t)=y_0+v_0sinα t-{gt^2}/2$ (начальная координата $y_0=0$)
В момент времени t_в, соответствующий верхней точке траектории, координата у принимает значение высоты полёта h:
$y(t_в)=h=v_0sinα {t_в}-{g{t_в}^2}/2$ (1)

Найдём $t_в$. В верхней точке траектории скорость тела имеет горизонтальное направление, значит вертикальная проекция скорость $v_y(t_в)=0$
$v_y(t_в)=0=v_0sinα-{g{t_в}}$, значит $t_в={v_0sinα}/g$

Подставим выражение для $t_в$ в выражение (1):
$h=v_0sinα ({{v_0sinα}/g})-g/2({{v_0sinα}/g})^2={{v_0}^2{sin}^2α}/{2g}$
$h=={{15}^2(3/5)^2}/{20}=4,05$ м

Дано:
$m = 50 кг$
$a = 2 м/с^2$ $m_2 = ?$

На Машу действует сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх. По третьему закону Ньютона, вес Маши по модулю равен $N$, поэтому будем искать именно её.
Запишем 2 закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $$ma=mg-N$$ $$N=mg-ma=m(g-a)$$ Тогда показания весов: $$m_2=N/g=m(g-a)/g={50(10-2)}/{10}=40 {кг}$$ Ответ: 40 кг

Дано:
$m=1,5 {кг}$
$α = 60^{o}$
$F = ?$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось (так как нас интересует пограничный случай, то ускорение равно 0, сила реакции опоры $N$ тоже равна 0 ): $$N + F sin α = mg$$ где $N$ - сила реакции опоры, $mg$ - сила тяжести, действующая на брусок.
Тогда: $$F={mg-N}/{sin α}={1,5 * 10-0}/{sin 60^{o}}=17,3 {Н}$$

Дано:

$υ_0=4$м/с

$h_2=3$м

$h_1-?$

Решение:

По закону сохранения энергии $E_{к_1}+E_{n_1}=E_{n_2}$.

${m·υ_0^2}/{2}+mgh_1=mgh_2$.

$h_1={h_2g-{υ_0^2}/{2}}/{g}={310-{16}/{2}}/{10}=2.2$м.

Дано:

$υ_0=0$с

$t=3$с

$g≈10{м}/{с^2}$

$m=0.1$кг

$E_к-?$

Решение:

Кинетическая энергия определяется выражением: $E_к={mυ^2}/{2}$(1), где $υ=υ_0+gt=gt$(2) - скорость тела перед ударом о землю.

Подставим (2) в (1) и найдем $E_к$: $E_к={mg^2t^2}/{2}$(3). Подставим числовые значения в (3): $E_к={0.1·100·9}/{2}=45$Дж.

Дано:

$m=9·10^{-3}кг$

$υ_1=500$м/с

$l=3·10^{-2}$м

$υ_2=100$м/с

$F_x-?$

Решение:

Работа средней силы сопротивления доски равна изменению кинетической энергии пули: $A_2=∆E_к$(1), или $F_x·l={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}={m}/{2}(υ_2^2-υ_1^2)$, тогда $F_x={m}/{2l}(υ_2^2-υ_1^2)$(2). Подставим числа в выражение (2): $F_x={9·10^{-3}}/{2·3·10^{-2}}:(10^4-25·10^4)=-36000H=-36кН$
$|F| = 36 кН$

Дано:

$t=8$c

$υ_{п.б.}=88$м/с

Найти: $υ_0-?$

Решение:

Зависимость скорости брелока от времени t: $υ(t)=v_{п.б.}=υ_0+g{t};$
$υ_0=υ_{п.б.}-gt=88-10*8=8$м/с.

Начальная скорость брелока и есть скорость парашутиста $υ_0=8$м/с.

Дано:

$υ_{ср}-?$

$t_1≠{t}/{2}≠t_2$

$υ_1=70км/ч$

$υ_2=30км/ч$

${S_1}/{2}={S_2}/{2}=S$

Решение:

$υ_{ср}={∆S}/{∆t}$.

$υ_{ср}={S_1+S_2}/{t_1+t_2}$.

$S=υ·t$.

$υ_{ср}={S}/{{S}/{2·70}+{S}/{2·30}}={S}/{{60S+140S}/{8400}}$.

$υ_{ср}={8400}/{200}=42{км}/ч$.

1 способ

Условие равновесия стержня через моменты сил относительно края стола: $mg·l_1-Mg·l_2=0$
$l_1=$25 см, $l_2={120см}/2-25=$35 см
$M=m{l_1}/{l_2}=1,43$ кг (Сила тяжести стержня приложена к его центру, так как стержень однородный)

2 способ

Решение:

$0.95$м лежит на столе, центр тяжести этой части по середине $0.475$м. Востанавливающий момент равен $m_1·g·0.475$. Опрокидывающий момент создается другой частью бруска ${0.25}/{2}=0.125$м и от груза момент $M·g·0.25$ или $20·0.25=Б$

Уравнение равновесия $m_1·g·0.475=(m-m_1)·g·0.125+5$, но т.к. стержень однородный ${m_1}/{m_2}={S_{осн}·e_1·p_0}/{S_{осн}·e_2·p_0}={0.95}/{0.25}$. Тогда ${0.95·m_2}/{0.25}·g·0.475=m_2·g·0.125+5; m_2·18.05=1.25m_2+5; m_2=0.2976; m_1=1.131$кг. $m=m_1+m_2=1.43$кг.

Решение:

Запишем равенство моментов от силы тяжести и от приложенной силы. Момент силы тяжести $mg√{R^2-(R-h)^2}$, а от действующей силы $F(R-h)$, тогда $mg√{R^2-(R-h)^2}=F(R-h)$, помним, что $F=mg$.

$R^2-(R-h)^2=(R-h)^2⇒R=√2(R-h)⇒1.41h=0.41R$.

$h={0.41}/{1.41}·R=0.293·R$

Дано:

$h=250$м

$υ_г=81{м}/{с}$

$g≈10{м}/{с^2}$

$υ_в-?$

Решение:

По закону сохранения механической энергии полная энергия системы в точке 1 равна полной энергии системы в точке 2: $E_1=E_2$(1), где $E_1=mgh+{mυ_в^2}/{2}$(2), $E_2={mυ_г^2}/{2}$(3).

Подставим (2) и (3) в (1) $mgh+{mυ_в^2}/{2}={mυ_г^2}/{2}⇒{υ_в^2}/{2}={υ_г^2}/{2}-gh/·2$.

$υ_в^2=υ_г^2-2gh⇒υ_в=√{υ_г^2-2gh}$(4).

Подставим числовые значения в (4): $υ_в=√{(81)^2-2·10·250}=√{6561-5000}=√{1561}≈39.5{м}/{с}$

Дано:

$m=0.8$кг

$υ=10$м/с

$Q-?$

Решение:

По закону сохранения импульса:${mυ_0}={mυ_1 + mυ_2}$

Запишем закон сохранения энергии ${mυ_0^2}/{2}={mυ_1^2}/{2}+ {mυ_2^2}/{2}+Q$

$Q={m}/{2}·( {υ_0^2}-{υ_1^2}-{υ_2^2})=19.2$Дж

Дано:

$m=9·10^{-3}кг$

$υ_1=500$м/с

$l=3·10^{-2}$м

$υ_2=100$м/с

${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%-?$

Решение:

Работа средней силы сопротивления доски равна изменению кинетической энергии: $A=∆E_к$(1), или $‹F›·l={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}$(2), где $‹F›$ - средняя сила сопротивления доски. Найдем долю кинетической энергии, которая пошла на преодоление силы сопротивления, поскольку при вылете из доски, кинетическая энергия пули уменьшилась, тогда имеем: ${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%={({mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2})·100%}/{{mυ_1^2}/{2}}={{m}/{2}(υ_1^2-υ_2^2)·100%}/{{m}/{2}υ_1^2}={(υ_1^2-υ_2^2)·100%}/{υ_1^2}$(3)

Подставим числа в (3): ${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%={(25·10^4-10^4)·100%}/{25·10^4}={24·10^4·100%}/{25·10^4}=0.96·100%=96%$