Дано:
$E_{K1}=E_{П1}$;
$v_2=8$м/с;
$h_2=10$м

$h_1=?$

Решение:
$ΔE=0$ - закон сохранения энергии
$E=E_{K1}+E_{П1}=E_{K2}+E_{П2}$ (1) - полная механическая энергия
$E_{K1}$, $E_{П1}$, $E_{K2}$, $E_{П2}$ - кинетическая и потенциальная энергия камня на высотах $h_1$ и $h_2$.
Так как $E_{K1}=E_{П1}$, уравнение (1) примет вид: $2E_{П1}=E_{K2}+E_{П2}$ (2)
$E_{П1}=mgh_1$, $E_{K2}={mv_2^2}/2$, $E_{П2}=mgh_2$,
где $m$ - масса камня.
Подставим выражения для энергий в уравнение (2):
$2mgh_1={mv_2^2}/2+mgh_2$
Выразим $h_1$:

$h_1={{mv_2^2}/2+mgh_2}/{2mg}={v_2^2}/{4g}+{h_2}/2={(8м/с)^2}/{4·10м/{с^2}}+{10м/с}/2=6,6$ м.

Ответ: 6,6 м.

Дано:

$a=2 м/{с^2}$
$k=100 Н/м$
$m=0,5 кг$

Найти: $∆l$

Решение:

Запишем 2 закон Ньютона для груза:
$mg↖{-}+{F↖{-}}_{упр}=ma↖{-}$

${F}_{упр}=k∆l$

Проекция 2 закона Ньютона на вертикальную ось, направленную вверх:
$-mg+k∆l=ma$
$k∆l=m(a+g)$
$∆l={m(a+g)}/k=$ 0,06 м = 6 см

Дано:
$υ_{0x}=20$ м/с
$ ∆t=5$с
$∆υ=5$ м/с
$υ_{к}=0$ м/с
$S-?$

Решение:
Пусть поезд двигается вдоль горизонтальной оси X, тогда координата поезда: $x=x_0+υ_{0x}t+{a_xt^2}/{2}$,
где $x_0=0$ - начальная координата, $a_x$ - проекция ускорения на ось X.
$t$ - время торможения, тогда тормозной путь $S=x-x_0=υ_{0x}t+{a_xt^2}/{2}$
Определим проекцию ускорения: $a_x={∆υ_x}/{∆t}={-∆υ}/{∆t}={-5м/с}/{5с}=-1 м/{c^2}$
Изменение проекции скорость ${∆υ_x}={-∆υ}=-5м/с$, так как за время $∆t$ скорость поезда уменьшилась на $∆υ=$5 м/с.

Найдём время торможения:
По определению проекция ускорения: $a_x={υ_к-υ_{0x}}/t$,
тогда $t={υ_к-v_{0x}}/{a_x}={0-20}/{-1}=20$с.
Тормозной путь: $S=υ_{0x}t+{a_xt^2}/{2}=20м/с·20с+{-1м/{с^2}·(20c)^2}/{2}=200$м
Ответ: 200м.

Запишем 2 закон Ньютона.

$mg↖{-}+N↖{-}+F↖{-}=ma↖{-}$

Сила, с которой брусок действует на поверхность называется вес. Согласно 3 закону Ньютона вес бруска по модулю равен силе реакции опоры N: $P=N$

Проекция 2 закона Ньютона на вертикальную ось, направленную вверх: $-mg+N+Fsinα=0$, тогда $N+=mg-Fsinα$

$P=N=mg-Fsinα=2кг·10м/{c^2}-3·{1}/2=18,5$

Дано:
$m=1,5 {кг}$
$α = 60^{o}$
$F = ?$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось (так как нас интересует пограничный случай, то ускорение равно 0, сила реакции опоры $N$ тоже равна 0 ): $$N + F sin α = mg$$ где $N$ - сила реакции опоры, $mg$ - сила тяжести, действующая на брусок.
Тогда: $$F={mg-N}/{sin α}={1,5 * 10-0}/{sin 60^{o}}=17,3 {Н}$$

$m_1=3$ кг, $m_2=2$ кг
Груз 1 тянет нить вниз, в результате оба груза движутся с ускорением $a$, которое для груза 1 направлено вниз, а для груза 2 - вверх.
Второй закон Ньютона для первого груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:
$m_{1}a=m_1g-T$
для второго в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:
$m_{2}a=T-m_2g$

Сложим первое и второе уравнения
$(m_1+m_2)a=(m_1-m_2)g$
$a={(m_1-m_2)g}/(m_1+m_2)=2$ $м/{с^2}$

Уравнение движение ластика: $y=15t-(g/2)t^2=15t-5t^2$
Уравнение движения пластилина: $y=3-gt^2/2=3-5t^2$

Они столкнутся когда будут равны их координаты
$15t-5t^2=3-5t^2$
$ 15t=3$
$ t=3/15=0.2$

На фантик действует только ускорение свободного падения $g$, которое направлено вниз. Введём декартову систему координат. Тогда движение вдоль оси у будет с ускорением (причем $a_y=g_y=-10 м/с^2$), а движение вдоль оси оХ будет равномерным.
пусть $L=27 м$, $ H = 45 м $, $y(t) = y_0 + v_0_y t +a_y t^2/2$, $x(t) = x_0 + v_{0x} t$
Подставляем всё, что дано в уравнения зависимости координат от времени
$0 = H -gt^2/2$, $L=v_{0x} t$
Получаем, что $t^2= 2H/g $, тогда $t=3c$
Подставляем в выражение для L и получаем, что $27 = 3v_{0x} $, тогда $v_{0x}=9 м/с^ 2$

Запишем зависимость координаты по вертикальной направленной вверх оси y от времени t:
$y(t)=y_0+v_0sinα t-{gt^2}/2$ (начальная координата $y_0=0$)
В момент времени t_в, соответствующий верхней точке траектории, координата у принимает значение высоты полёта h:
$y(t_в)=h=v_0sinα {t_в}-{g{t_в}^2}/2$ (1)

Найдём $t_в$. В верхней точке траектории скорость тела имеет горизонтальное направление, значит вертикальная проекция скорость $v_y(t_в)=0$
$v_y(t_в)=0=v_0sinα-{g{t_в}}$, значит $t_в={v_0sinα}/g$

Подставим выражение для $t_в$ в выражение (1):
$h=v_0sinα ({{v_0sinα}/g})-g/2({{v_0sinα}/g})^2={{v_0}^2{sin}^2α}/{2g}$
$h=={{15}^2(3/5)^2}/{20}=4,05$ м

Дано:
$m = 50 кг$
$a = 2 м/с^2$ $m_2 = ?$

На Машу действует сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх. По третьему закону Ньютона, вес Маши по модулю равен $N$, поэтому будем искать именно её.
Запишем 2 закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $$ma=mg-N$$ $$N=mg-ma=m(g-a)$$ Тогда показания весов: $$m_2=N/g=m(g-a)/g={50(10-2)}/{10}=40 {кг}$$ Ответ: 40 кг

Дано:

$h=250$м

$υ_г=81{м}/{с}$

$g≈10{м}/{с^2}$

$υ_в-?$

Решение:

По закону сохранения механической энергии полная энергия системы в точке 1 равна полной энергии системы в точке 2: $E_1=E_2$(1), где $E_1=mgh+{mυ_в^2}/{2}$(2), $E_2={mυ_г^2}/{2}$(3).

Подставим (2) и (3) в (1) $mgh+{mυ_в^2}/{2}={mυ_г^2}/{2}⇒{υ_в^2}/{2}={υ_г^2}/{2}-gh/·2$.

$υ_в^2=υ_г^2-2gh⇒υ_в=√{υ_г^2-2gh}$(4).

Подставим числовые значения в (4): $υ_в=√{(81)^2-2·10·250}=√{6561-5000}=√{1561}≈39.5{м}/{с}$

1 способ

Условие равновесия стержня через моменты сил относительно края стола: $mg·l_1-Mg·l_2=0$
$l_1=$25 см, $l_2={120см}/2-25=$35 см
$M=m{l_1}/{l_2}=1,43$ кг (Сила тяжести стержня приложена к его центру, так как стержень однородный)

2 способ

Решение:

$0.95$м лежит на столе, центр тяжести этой части по середине $0.475$м. Востанавливающий момент равен $m_1·g·0.475$. Опрокидывающий момент создается другой частью бруска ${0.25}/{2}=0.125$м и от груза момент $M·g·0.25$ или $20·0.25=Б$

Уравнение равновесия $m_1·g·0.475=(m-m_1)·g·0.125+5$, но т.к. стержень однородный ${m_1}/{m_2}={S_{осн}·e_1·p_0}/{S_{осн}·e_2·p_0}={0.95}/{0.25}$. Тогда ${0.95·m_2}/{0.25}·g·0.475=m_2·g·0.125+5; m_2·18.05=1.25m_2+5; m_2=0.2976; m_1=1.131$кг. $m=m_1+m_2=1.43$кг.

Решение:

Запишем равенство моментов от силы тяжести и от приложенной силы. Момент силы тяжести $mg√{R^2-(R-h)^2}$, а от действующей силы $F(R-h)$, тогда $mg√{R^2-(R-h)^2}=F(R-h)$, помним, что $F=mg$.

$R^2-(R-h)^2=(R-h)^2⇒R=√2(R-h)⇒1.41h=0.41R$.

$h={0.41}/{1.41}·R=0.293·R$

Дано:

$υ_{ср}-?$

$t_1≠{t}/{2}≠t_2$

$υ_1=70км/ч$

$υ_2=30км/ч$

${S_1}/{2}={S_2}/{2}=S$

Решение:

$υ_{ср}={∆S}/{∆t}$.

$υ_{ср}={S_1+S_2}/{t_1+t_2}$.

$S=υ·t$.

$υ_{ср}={S}/{{S}/{2·70}+{S}/{2·30}}={S}/{{60S+140S}/{8400}}$.

$υ_{ср}={8400}/{200}=42{км}/ч$.

Дано:

$α=45°$

$μ=0.1$

Решение:

Составим уравнение по 2-му закону Ньютона: $ma=mgsinα-μmgcosα$

$a=10·{√2}/{2}-0.1·10·{√2}/{2}=6.36м/с^2=6м/с^2$.