Бесплатный интенсив по физике
3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и
многое другое.
Курс стартует 27 января.
Подробнее об интенсиве
Задание 22. Механика (расчётная задача). ЕГЭ 2025 по физике
Средний процент выполнения: 42.8%
Ответом к заданию 22 по физике может быть последовательность цифр, чисел или слов. Порядок записи имеет значение.
Задачи для практики
Задача 1
Камень бросили в горизонтальном направлении с некоторой высоты. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 30◦ к горизонту. Определите начальную скорость камня. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ округлите до десятых.
Решение
Дано:
$t=3$с
$α=30°$
$g=10м/с^2$
$υ_0-?$
Решение:
Движение тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью $υ_0↖{→}$ с высоты $h$ рассматривают как комбинацию двух движений:
- горизонтальное (равномерное) со скоростью $υ_0↖{→}$;
- вертикальное свободное падение (равноускоренное с ускорением свободного падения $g=10м/с^2$).
Значит $υ_y=g·t$(1), $υ_х=υ_0$ (2)
(горизонтальная составляющая скорости не меняется и равна $v_0$, так как она была направлена горизонтально).
Если спустя t = 3с скорость направлена под углом α, то проекции скоростей в это время определяются так:
$υ_x=υ·cosα$, $υ_y=υ·sinα$.
Тогда отношение ${υ_y}/{υ_x}={υ·sinα}/{υ·cosα}=tgα$ (3)
С учетом (1) и (2) уравнение (3) можно переписать так:
${g·t}/{υ_0}=tgα$
Тогда $υ_0={gt}/{tgα}$(3).
Подставим числовые значения в (3):
$υ_0={10·3}/{tg30°}={30}/{{1}/{√3}}={30}/{1}:{1}/{√3}=30·√3=30·1.732=51.9$м/с.
Задача 2
Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Определите промежуток времени между последовательными положениями тела на высоте 5 м. Ускорение свободного падения принять равным 10 $м/с^2$. Ответ представить в с, округлив до десятых
Решение
Дано:
$υ_0=20м/с$
$g=10м/с^2$
$h=5$м
$∆t-?$
Решение:
Найдем время полета тела, учтем, что перемещение в этом случае $S=0$м: $0=υ_0t-{gt^2}/{2}$, откуда ${gt^2}/{2}=υ_0t$ или $t={2υ_0}/{g}={2·20}/{10}=4c$(1).
Найдем время $t'$, за которое тело поднимется на высоту $h$: $h=υ_0t'-{gt'^2}/{2}⇒{gt'^2}/{2}-υ_0t'+h=0$(2). Подставим числа в (2) для простоты расчетов: ${10t'^2}/{2}-20t'+5=0$ или $5t'_2-20t'+5=0|:5$
$t'_2-4t'+1=0$
$D=b^2-4ac=16-4·1·1=16-4=12$
$t'_{1,2}={-b±√D}/{2a}={4±√12}/{2}; t'_1={4-√12}/{2}={4-3.4641}/{2}=0.268c; t'_2={4+√12}/{2}$ - не удовлетворяет условию задачи.
Учтем, что время подъема тела на высоту $h$ и время падения тела с высоты $h$ одинаковы, тогда промежуток времени между двумя последовательными положениями тела на высоте 5м равно: $∆t=t-2t'=4-2·0.268=4-0.5358=3.464=3.5$с.
Задача 3
Парашютист опускается вниз с постоянной скоростью. В некоторый момент времени у него из кармана выпадает брелок. Определите скорость парашютиста, если известно, что брелок упал на землю через 8 с, его скорость в момент падения на землю составила 88 м/с. Ответ выразите в (м/с). Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с$^2$
Решение
Дано:
$t=8$c
$υ_{п.б.}=88$м/с
Найти: $υ_0-?$
Решение:
Зависимость скорости брелока от времени t: $υ(t)=v_{п.б.}=υ_0+g{t};$
$υ_0=υ_{п.б.}-gt=88-10*8=8$м/с.
Начальная скорость брелока и есть скорость парашутиста $υ_0=8$м/с.
Задача 4
С некоторой высоты вертикально вниз бросают мяч со скоростью 4 м/с. Абсолютно упруго отразившись от горизонтальной поверхности, мяч поднимается обратно вверх на высоту 3 м. Найдите, с какой высоты тело было сброшено первоначально. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ выразите в (м).
Решение
Дано:
$υ_0=4$м/с
$h_2=3$м
$h_1-?$
Решение:
По закону сохранения энергии $E_{к_1}+E_{n_1}=E_{n_2}$.
${m·υ_0^2}/{2}+mgh_1=mgh_2$.
$h_1={h_2g-{υ_0^2}/{2}}/{g}={310-{16}/{2}}/{10}=2.2$м.
Задача 5
Пустой стакан с вертикальными стенками плавает в кастрюле с водой. Найдите массу грузика, который нужно положить в стакан, чтобы он погрузился ещё на 3 см. Площадь сечения стакана на уровне воды равна 20 см2. Ответ выразите в (г).
Решение
Дано:
$S=20см^2$
$∆h=3см$
$m-?$
Решение:
Запишем 2 условия равновесия для стакана (без груза и с грузом): $\{\table\Mg=F_{A1}; \(M+m)g=F_{A2};$;
$M$ - масса стакана
$F_{A1}$, $F_{A2}$ - сила Архимеда, действующая на стакан без груза и с грузом
$F_{A1}=ρ_в·g·V_1=ρ_в·g·h_1S$
$F_{A2}=ρ_в·g·V_2=ρ_в·g·(h_1+∆h)S$
Учтено, что объём погруженной части стакана без груза и с грузом: $V_1=h_1S$, $V_2=(h_1+∆h)S$, так как стакан имеет форму цилиндра. ( $h_1$ - глубина погружения стакана без грузика)
Система уравнений примет вид:
$\{\table\Mg=ρ_в·g·h_1S; \(M+m)g=ρ_в·g·(h_1+∆h)S;$;
Для решения системы уравнения вычтем из нижнего уравнения верхнее и получим:
$mg=ρ_в·g·∆hS$, следовательно
$m=ρ_в·∆hS=1000·3·10^{-2}·20·10^{-4}=6·10^{-2}кг=60г$
Задача 6
Сплошной кубик плотностью 960 кг/м3 плавает на границе раздела воды и керосина, погружаясь в воду на 5 см. Слой керосина располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите длину ребра кубика.
Ответ дайте в сантиметрах.Решение
Дано:
$h_в=0.05$м
$ρ_в=1000{кг}/{м^3}$
$ρ_к=800{кг}/{м^3}$
$ρ_{куб}=960{кг}/{м^3}$
$h_{куб}-?$
Решение:
По 2-му закону Ньютона $mg=F_{A_1}+F_{A_2}; F_{A_1}=ρ_в·g·V_в$ и $V_в=h_в·S$ - объем в воде.
$F_{A_2}=ρ_к·g·V_к$ и $V_к=h_к·S$ - объем в керосине.
Тогда условия плавания кубика: $ρ_{куб}·g·h_{куб}·S=ρ_в·g·h_в·S+ρ_к·g·h_в·S$
$h_к=h_{куб}-h_в$, тогда $ρ_{куб}·g·h_{куб}·S=ρ_в·g·h_в·S+ρ_к·g·h_к·S-ρ_к·g·h_к·S=(ρ_в-ρ_к)h_в$
$h_{куб}={h_в(ρ_в-ρ_к)}/{ρ_{куб}-ρ_к}={0.05(1000-800)}/{960-800}=6.25$см.
Задача 7
Две гири с массами 3 кг и 1 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найдите модуль ускорения $a$, с которым движутся гири. Трением в блоке пренебречь. Ответ выразите в (м/с2).
Решение
Дано:
$m_1=3$кг
$m_2=1$кг
$a-?$
Решение:
Так как грузы связаны нерастяжимой нитью, они двигаются с одинаковым по модулю ускорением $a$
Для груза массой $m_1$ 2-й закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз:
$m_{1}a=m_{1}g-T$
T - сила натяжения нити (одинакова на обоих концах нити, так как нить невесома)
Для груза массой $m_2$ 2-й закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз:
$
m_{2}a=T-m_{2}g$
сложим два уравнения:
$(m_1+m_2)a=m_1·g-m_2·g$.
$a={30-10}/{1+3}=5м/с^2$
Задача 8
Чему равна средняя скорость движения автомобиля на всём пути, если первую половину пути он двигался со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 30 км/ч? Ответ выразите в (км/ч).
Решение
Дано:
$υ_{ср}-?$
$t_1≠{t}/{2}≠t_2$
$υ_1=70км/ч$
$υ_2=30км/ч$
${S_1}/{2}={S_2}/{2}=S$
Решение:
$υ_{ср}={∆S}/{∆t}$.
$υ_{ср}={S_1+S_2}/{t_1+t_2}$.
$S=υ·t$.
$υ_{ср}={S}/{{S}/{2·70}+{S}/{2·30}}={S}/{{60S+140S}/{8400}}$.
$υ_{ср}={8400}/{200}=42{км}/ч$.
Задача 9
В центр катка радиусом R приложена сила, равная его силе тяжести. Какой максимально должна быть высота порожка hmax, чтобы каток можно было закатить на порожек?
Решение
Решение:
Запишем равенство моментов от силы тяжести и от приложенной силы. Момент силы тяжести $mg√{R^2-(R-h)^2}$, а от действующей силы $F(R-h)$, тогда $mg√{R^2-(R-h)^2}=F(R-h)$, помним, что $F=mg$.
$R^2-(R-h)^2=(R-h)^2⇒R=√2(R-h)⇒1.41h=0.41R$.
$h={0.41}/{1.41}·R=0.293·R$
Задача 10
Маятник массой m отклонён на угол α от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия?
Решение
Дано:
$m$ - масса
$α$ - угол
$T-?$
Решение:
1) Пусть $l$ - длина нити маятника. Определим начальную высоту шарика относительно положению равновесия $h=l-l·cosα=l(1-cosα)$.
2) По 2 закону Ньютона для груза маятника в момент прохождения им положения равновесия: $T↖{→}+mg↖{→}=ma↖{→}$ $a= {υ^2}/{l}$ - центростремительное ускорение. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $T-mg=m{υ^2}/{l}$ → $T=mg+m{υ^2}/{l}$ (1)
3) По закону сохранения энергии $mgh={mυ^2}/{2}$, $mg(l-l·cosα)={mυ^2}/{2}$
4) Тогда уравнение (1) примет вид $T=mg+2mg{(l-l·cosα)}/{l}=mg+2mg({l(1-cosα)}/{l})=mg(3-2cosα)$
Задача 11
Тело массой 1 кг совершает гармонические колебания по закону x = 0,5 cos(4t − π/4). Определите максимальную кинетическую энергию тела. Ответ выразите в (Дж).
Решение
Дано:
$x=0.5cos(4t-{π}/{4})$
$m=1$кг
$E_{к}max-?$
Решение:
$υ(t)=x'(t)=-2·sin(4t-{π}/{4})$.
$E_{к}max={m·υ^2}/{2}={1·4}/{2}=2$Дж. Так как скорость производная пути.
Задача 12
Чему равно ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты, радиус которой равен радиусу Земли, но средняя плотность в 1,5 раза больше средней плотности Земли? Ускорение на Земле принять равным 10 $м/{c^2}$.
Решение
Если радиусы планет равны, то их объёмы тоже равны
Ускорение на Земле:$g_3=G{M_3}/{R_3}=G{ρ_3V}/{R_3}$
Ускорение на другой планете: $g_п=G{M_п}/{R_3}=G{1,5ρ_3V}/{R_3}$
$g_3=1,5g_п=15м/{c^2}$
Задача 13
Груз массой m, начиная движение из состояния покоя, поднимается вертикально вверх под действием постоянной силы на высоту 10 м за время 2 с. Найдите массу груза, если работа этой силы по подъёму груза равна 7,5 кДж. Ответ выразите в (кг).
Решение
Дано:
$S=10$м
$t=2$c
$F=const$
$A_0=7.5·10^3$Дж
$m-?$
Решение:
1) Груз движется равноускоренно $(F=const) a={2S}/{t^2}={2·10}/{4}=5м/с^2$.
2) Работа силы $F$ равна $A=FS$, тогда $F=A/S=750$ Н.
3) По второму закону Ньютона: $ma=F-mg$
$m=F/{a+g}={750}/{5+10}=50$кг.
Задача 14
Ядро, летевшее с некоторой скоростью, разрывается на две части. Первый осколок летит под углом 90◦ к первоначальному направлению со скоростью 20 м/с, а второй — под углом 30◦ со скоростью 80 м/с. Чему равно отношение массы первого осколка к массе второго осколка?
Решение
Дано:
$α_1=90°; υ_1=20м/с$
$α_2=30°; υ_2=80м/с$
${m_1}/{m_2}-?$
Решение:
Закон сохранения импульса говорит о том, что импульс ядра до взрыва должен быть равен сумме импульсов осколков после взрыва (это справедливо для векторов). Найдем проекции векторов на ось, перпендикулярную движению ядра: $0=p_1-p_2·sin30$
$m_1·υ_1=m_2·υ_2·sin30$
${m_1}/{m_2}={υ_2·sin30}/{υ_1}={80·0.5}/{20}=2$
Задача 15
Мяч бросили с начальной скоростью 20 м/с под углом 60◦ к горизонту. Скорость мяча будет направлена под углом 45◦ к горизонту дважды за время полёта. На каком расстоянии от места броска это произойдёт в первый раз? Ответ округлите до десятых. Ответ выразите в (м).
Решение
Дано:
$υ_0=20м/с$
$α=60°$
$β=45°$
$S-?$
Решение:
Скорость будет направлена под углом 45°, когда модули составляющих скорости вдоль осей $x$ и $y$ равны: $υ_x=υ_y$(1).
В момент броска: $υ_x=υ_0·cos60°; υ_y=υ_0·sin60°$(2)
$υ_x$ не меняется со временем, а $υ_y$ меняется во времени по закону: $υ_y=υ_0·sin60°-gt$(3). Подставим (2) и (3) в (1) и найдем время $t$: $υ_0·cos60°=υ_0·sin60°-gt⇒t={υ_0(sin60°-cos60°)}/{g}$(4). Подставим числовые значения в (4): $t={20·({√3}/{2}-{1}/{2})}/{10}=0.732c$
К этому моменту времени тело будет на высоте: $h=υ_yt-{gt^2}/{2}$(5) и на расстоянии $S=(υ_0·cosα)·t=(20·cos60°)·0.732=20·{1}/{2}·0.732=7.32м≈7.3м$
Задача 16
Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 500 м/с, пробивает доску толщиной 3 см и вылетает со скоростью 100 м/с. Какая доля кинетической энергии пошла на преодоление силы сопротивления? Ответ выразите в (%).
Решение
Дано:
$m=9·10^{-3}кг$
$υ_1=500$м/с
$l=3·10^{-2}$м
$υ_2=100$м/с
${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%-?$
Решение:
Работа средней силы сопротивления доски равна изменению кинетической энергии: $A=∆E_к$(1), или $‹F›·l={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}$(2), где $‹F›$ - средняя сила сопротивления доски. Найдем долю кинетической энергии, которая пошла на преодоление силы сопротивления, поскольку при вылете из доски, кинетическая энергия пули уменьшилась, тогда имеем: ${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%={({mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2})·100%}/{{mυ_1^2}/{2}}={{m}/{2}(υ_1^2-υ_2^2)·100%}/{{m}/{2}υ_1^2}={(υ_1^2-υ_2^2)·100%}/{υ_1^2}$(3)
Подставим числа в (3): ${E_{к_1}-E_{к_2}}/{E_{к_1}}·100%={(25·10^4-10^4)·100%}/{25·10^4}={24·10^4·100%}/{25·10^4}=0.96·100%=96%$
Задача 17
Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 500 м/с, пробивает доску толщиной 3 см и вылетает со скоростью 100 м/с. Чему равен модуль средней силы сопротивления доски? Ответ выразите в (кH).
Решение
Дано:
$m=9·10^{-3}кг$
$υ_1=500$м/с
$l=3·10^{-2}$м
$υ_2=100$м/с
$F_x-?$
Решение:
Работа средней силы сопротивления доски равна изменению кинетической энергии пули: $A_2=∆E_к$(1), или $F_x·l={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}={m}/{2}(υ_2^2-υ_1^2)$, тогда $F_x={m}/{2l}(υ_2^2-υ_1^2)$(2). Подставим числа в выражение (2): $F_x={9·10^{-3}}/{2·3·10^{-2}}:(10^4-25·10^4)=-36000H=-36кН$
$|F| = 36 кН$
Задача 18
Какой угол образует с вертикалью конический маятник, если за 2 с он совершает один полный оборот по окружности радиусом 10 см?
Решение
Дано:
$R=0.1$м
$t=2$c
$g≈10{м}/{с^2}$
$α-?$
Решение:
На маятник действуют сила тяжести $m{g}↖{→}$, сила напряжения нити $T↖{→}$.
Второй закон Ньютона для груза маятника: $m{g}↖{→}+T↖{→}=m{a}↖{→}$, где $a={υ^2}/{R}$ (1) - центростремительное ускорение.
$υ$ - линейная скорость груза маятника: $υ={2πR}/t$ (2)
Из рисунка видно, что в проекции на оси Ох и Оу имеем.$Ох: T·sinα=ma$ (3)$Оy: T·cosα-mg=0$ (4)
Выразим силу натяжения нити $T$ из (4): $T={mg}/{cosα}$. Подставим её в уравнение (3): ${mg}/{cosα}·sinα=ma$, с учётом выражения (1) и (2) получим: ${mg}/{cosα}·sinα=m{υ^2}/{R}$; ${g·sinα}/{cosα}={({2πR})^2}/{t^2R}$; ${sinα}/{cosα}={({2π})^2R}/{g·t^2}$; ${tgα}={({2π})^2R}/{g·t^2}$ $⇒α=arctg({4π^2R}/{gt^2})$. Тогда, $α=arctg({4·9.8596·0.1}/{10·4})≈5.6°$
Задача 19
Какая сила трения действует на тело массой 300 г, соскальзывающее с наклонной плоскости с углом наклона, равным 60◦? Коэффициент трения тела о плоскость равен 0,2. Ответ выразите в (H).
Решение
Дано:
$α=60°$
$g≈10{м}/{с^2}$
$m=0.3$кг
$μ=0.2$
$F_{тр}-?$
Решение:
Запишем II закон Ньютона: $m{a}↖{→}=N↖{→}+mg↖{→}+{F_{тр}}↖{→}$(1).
В проекциях на оси Ох и Оу:
$Ox: ma=mg·sinα-F_{тр}$(2),
$Oy: O=N-mg·cosα$(3)$⇒N=mg·cosα$(4).
При скольжении с наклонной плоскости, сила трения определяется выражением: $F_{тр}=μN$(5), с учетом (4), имеем $F_{тр}=μN=μmg·cosα$(6). Подставим числовые значения в (6): $F_{тр}=0.2·0.3·10·cos60°=0.6·{1}/{2}=0.3H$
Задача 20
Каков радиус окружности, описываемой коническим маятником, если он с вертикалью образует угол 15◦? Период обращения маятника составляет 2 с.
Решение
Дано:
$α=15°$
$t=2$c
$R-?$
Решение:
Из рисунка видно, что в проекции на оси Ох и Оу имеем: $a_{ц.б.}={υ^2}/{R}$(1).
$Ох: O=ma_{ц.б.}-T·cos(90°-α)$(2)
$Оy: O=mg-T·cosα$(3)
Учитывая, что $cos(90°-α)=sinα$, выразим силу натяжения нити $T$ и приравняем друг к другу: Из (2): $T={ma_{ц.б.}}/{sinα}={mυ^2}/{R·sinα}$(4)
Из (3): $T={mg}/{cosα}$(5). Приравняем (4) и (5): ${mυ^2}/{R·sinα}={mg}/{cosα}⇒υ^2={gR·sinα}/{cosα}⇒υ=√{gR·tgα}$(6)
Период колебаний $T={2πR}/{υ}$(7). Подставим (6) в (7): $T={2πR}/{√{gR·tgα}}⇒T^2={4π^2R^2}/{gR·tgα}⇒R={gT^2·tgα}/{4π^2}={10·4·0.268}/{4·9.8596}=0.27м$
