Пусть ребро куба равно $x$. По условию объём куба равен $27$, тогда $x^3 = 27$, откуда $x = 3$. Площадь грани куба равна $x^2 = 9$. Площадь поверхности куба равна $6x^2 = 6 · 9 = 54$.

$V_{цилиндра}=S_{осн}⋅ H$, $V_{конуса}={1} / {3} S_{осн}⋅ H$. По условию конус
и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит,
$V_{цилиндра}=3V_{конуса}=21$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A, A_1$ и $C$, является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна $S = AA_1 · AC$. Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1 : BD = √{BD_1^2 - DD_1^2} = √{26^2 - 24^2} = √{(26 - 24)(26 + 24)} = 10$. Так как $BD = AC$, то $S = 24 · 10 = 240$.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$.

$OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора.

$AD = √{AO^2 + OD^2} = √{24^2 + 7^2} = 25$.

Площадь ромба $S_{осн} = {1}/{2}d_1 · d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S_{осн} = {1}/{2} · 48 · 14 = 336$. Пусть боковое ребро призмы равно $x$. Площадь поверхности призмы равна $S = S_{бок} + 2S_{осн} = 1232$, откуда $S_{бок} = 1232 - 672 = 560$. Так как $S_{бок} = 4 · 25 · x$, то $100x = 560$, откуда $x = 5.6$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 4, H = 1$, тогда $S = 4·1 = 4$.

Дано:

• Диагонали ромба: d₁ = 24, d₂ = 10.
• Боковое ребро (высота призмы): h = 4.

1. Найдем площадь основания (ромба):

Площадь ромба вычисляется по формуле:

S_осн = (d₁ * d₂) / 2

S_осн = (24 * 10) / 2 = 120

2. Найдем периметр основания:

Сторона ромба (c) вычисляется по диагоналям:

c = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)

c = √((24/2)² + (10/2)²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13

P_осн = 4c = 4 * 13 = 52

3. Найдем площадь боковой поверхности:

S_бок = P_осн * h = 52 * 4 = 208

4. Найдем полную площадь поверхности призмы:

S_пол = S_бок + 2S_осн

S_пол = 208 + 240 = 448

Ответ:

Площадь поверхности призмы составляет: 448.

$V_{цилиндра} = S_{осн} · H, V_{конуса} = {1}/{3}S_{осн} · H$. По условию конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит, $V_{цилиндра} = 3V_{конуса} = 33$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $R = 3, H = 2$, значит, $S = 2π·3·2$, тогда ${S}/{π} = 12$.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности — $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 - 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.

Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна $4$, боковой поверхности призмы, площадь которой равна $1.6$, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна $1^2 - 0.4^2 = 0.84$. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна $4 + 1.6 + 2 · 0.84 = 7.28$.

Пусть ребро куба равно $x$. По условию объём куба равен $64$, тогда $x^3=64$, откуда $x=4$. Площадь грани куба равна $x^2=16$. Площадь поверхности куба равна $6x^2=6⋅16=96$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 8, S_{бок} = 20$, тогда $H = 20 : 8 = 2.5$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = {1}/{3}·S_{осн}·H$, где $H = 3$ - высота пирамиды. Площадь основания равна $S_{осн} = 3{V}/{H} = {3·32}/{3} = 32$, откуда длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна $√{32} = 4√2$. Диагональ квадрата $AC = 8$.

Боковое ребро $SA$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $AOS$, где $SO$ - высота пирамиды. $AS = √{SO^2 + OA^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AC)^2} = √{3^2 + 4^2} = 5$.

Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна 4, боковой поверхности призмы, площадь которой равна 2.8, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна 12 - 0.72 = 0.51. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна 4 + 2.8 + 2 · 0.51 = 7.82.