Дано:

• Диагонали ромба: d₁ = 24, d₂ = 10.
• Боковое ребро (высота призмы): h = 4.

1. Найдем площадь основания (ромба):

Площадь ромба вычисляется по формуле:

S_осн = (d₁ * d₂) / 2

S_осн = (24 * 10) / 2 = 120

2. Найдем периметр основания:

Сторона ромба (c) вычисляется по диагоналям:

c = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)

c = √((24/2)² + (10/2)²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13

P_осн = 4c = 4 * 13 = 52

3. Найдем площадь боковой поверхности:

S_бок = P_осн * h = 52 * 4 = 208

4. Найдем полную площадь поверхности призмы:

S_пол = S_бок + 2S_осн

S_пол = 208 + 240 = 448

Ответ:

Площадь поверхности призмы составляет: 448.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности — $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 - 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора.

$AD = √{AO^2 + OD^2} = √{24^2 + 10^2} = 26$.

Площадь ромба $S_{осн} = {1}/{2}d_1 · d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S_{осн} = {1}/{2} · 48 · 20 = 480$. Пусть боковое ребро призмы равно $x$. Площадь поверхности призмы равна $S = S_{бок} + 2S_{осн} = 1272$, откуда $S_{бок} = 1272 - 960 = 312$. Так как $S_{бок} = 4 · 26 · x$, то $104x = 312$, откуда $x = 3$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$,
является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна
$S= AA_1⋅ AC$ (см. рис.). Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1$: $BD=√ {BD_1^2-{DD_1}^2}=√ {26^2-10^2}=√ {(26-10)(26+10)}=4⋅6=24$. Так как $BD=AC$, то $S=10⋅24=240$.

Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна 4, боковой поверхности призмы, площадь которой равна 2.8, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна 12 - 0.72 = 0.51. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна 4 + 2.8 + 2 · 0.51 = 7.82.

$V_{цилиндра}=S_{осн}⋅ H$, $V_{конуса}={1} / {3} S_{осн}⋅ H$. По условию конус
и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит,
$V_{цилиндра}=3V_{конуса}=21$.

Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 1.5√3$ — радиус шара. Тогда $√3a = 3√3, a = 3$. Объём куба равен $a^3 = 27$.

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема.

$S_{осн} = AB^2 = 576, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{5^2 + 12^2} = 13$.

$S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·24·13 = 4·156=624. S = 576 + 624 = 1200$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A, A_1$ и $C$, является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна $S = AA_1 · AC$. Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1 : BD = √{BD_1^2 - DD_1^2} = √{26^2 - 24^2} = √{(26 - 24)(26 + 24)} = 10$. Так как $BD = AC$, то $S = 24 · 10 = 240$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 5, H = 2$, тогда $S = 5·2 = 10$.

$V_{цилиндра} = S_{осн} · H, V_{конуса} = {1}/{3}S_{осн} · H$. По условию конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит, $V_{цилиндра} = 3V_{конуса} = 33$.

Пусть ребро куба равно $x$. По условию объём куба равен $64$, тогда $x^3=64$, откуда $x=4$. Площадь грани куба равна $x^2=16$. Площадь поверхности куба равна $6x^2=6⋅16=96$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 8, S_{бок} = 20$, тогда $H = 20 : 8 = 2.5$.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$.

$OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 7, OC = 21$, значит, $BC = 28$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{4}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{16}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $16$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $64 : 16 = 4$.

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема.

$S_{осн} = AB^2 = 64, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{3^2 + 4^2} = 5$.

$S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·8·5 = 80. S = 64 + 80 = 144$.