Длина окружности основания цилиндра равна $6$. Площадь боковой поверхности равна $21$. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 6, S_{бок} = 21$, тогда $H = 21 : 6 = 3.5$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен $11$.

$V_{цилиндра} = S_{осн} · H, V_{конуса} = {1}/{3}S_{осн} · H$. По условию конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит, $V_{цилиндра} = 3V_{конуса} = 33$.

Куб вписан в шар радиуса $2√ 3$. Найдите объём куба.

Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 2√3$ — радиус шара. Тогда $a√3 = 4√3, a = 4$. Объём куба равен $a^3 = 64$.

Площадь основания конуса равна $64$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $7$ и $21$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$. $OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 7, OC = 21$, значит, $BC = 28$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{4}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{16}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $16$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $64 : 16 = 4$.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $9$, объём равен $864$ (cм. рис.). Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = {1}/{3}·S_{осн}·H$, где $H = 9$ - высота пирамиды. Площадь основания равна $S_{осн} = 3{V}/{H} = {3·864}/{9} = 288$, откуда длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна $√{288} = 12√2$. Диагональ квадрата $AC = 24$. Боковое ребро $SA$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $AOS$, где $SO$ - высота пирамиды. $AS = √{SO^2 + OA^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AC)^2} = √{9^2 + 12^2} = 15$.

Куб вписан в шар радиуса $1{,}5√ 3$. Найдите объём куба.

Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 1.5√3$ — радиус шара. Тогда $√3a = 3√3, a = 3$. Объём куба равен $a^3 = 27$.

Длина окружности основания цилиндра равна $8$. Площадь боковой поверхности равна $20$. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 8, S_{бок} = 20$, тогда $H = 20 : 8 = 2.5$.

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $0{,}7$ и боковым ребром $1$. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры (cм. рис.).

Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна 4, боковой поверхности призмы, площадь которой равна 2.8, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна 12 - 0.72 = 0.51. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна 4 + 2.8 + 2 · 0.51 = 7.82.

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными $14$ и $48$ (см. рис.). Площадь её поверхности равна $1232$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора. $AD = √{AO^2 + OD^2} = √{24^2 + 7^2} = 25$. Площадь ромба $S_{осн} = {1}/{2}d_1 · d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S_{осн} = {1}/{2} · 48 · 14 = 336$. Пусть боковое ребро призмы равно $x$. Площадь поверхности призмы равна $S = S_{бок} + 2S_{осн} = 1232$, откуда $S_{бок} = 1232 - 672 = 560$. Так как $S_{бок} = 4 · 25 · x$, то $100x = 560$, откуда $x = 5.6$.

Если каждое ребро куба увеличить на $1$ (см. рис.), то площадь его поверхности увеличится на $42$. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности — $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 - 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.

Если каждое ребро куба увеличить на $2$ (см. рис.), то площадь его поверхности увеличится на $96$. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $2$, то оно станет равным $(x+2)$, а площадь поверхности — $6(x+2)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $96$, то $6(x+2)^2-6x^2=96$, откуда $24x+24=96$, $24x=72$, $x=3$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ ребро $AA_1$ равно $24$, а диагональ $BD_1$ равна $26$ (см. рис.). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A, A_1$ и $C$, является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна $S = AA_1 · AC$. Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1 : BD = √{BD_1^2 - DD_1^2} = √{26^2 - 24^2} = √{(26 - 24)(26 + 24)} = 10$. Так как $BD = AC$, то $S = 24 · 10 = 240$.

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $8$ и высота равна $3$ (см. рис.).

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема. $S_{осн} = AB^2 = 64, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{3^2 + 4^2} = 5$. $S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·8·5 = 80. S = 64 + 80 = 144$.

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $24$ и высота равна $5$ (см. рис.).

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема. $S_{осн} = AB^2 = 576, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{5^2 + 12^2} = 13$. $S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·24·13 = 4·156=624. S = 576 + 624 = 1200$.

Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$. $OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.

Длина окружности основания цилиндра равна $6$. Площадь боковой поверхности равна $21$. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 6, S_{бок} = 21$, тогда $H = 21 : 6 = 3.5$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен $11$.

$V_{цилиндра} = S_{осн} · H, V_{конуса} = {1}/{3}S_{осн} · H$. По условию конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, значит, $V_{цилиндра} = 3V_{конуса} = 33$.

Куб вписан в шар радиуса $2√ 3$. Найдите объём куба.

Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 2√3$ — радиус шара. Тогда $a√3 = 4√3, a = 4$. Объём куба равен $a^3 = 64$.

Площадь основания конуса равна $64$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $7$ и $21$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$. $OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 7, OC = 21$, значит, $BC = 28$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{4}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{16}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $16$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $64 : 16 = 4$.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $9$, объём равен $864$ (cм. рис.). Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = {1}/{3}·S_{осн}·H$, где $H = 9$ - высота пирамиды. Площадь основания равна $S_{осн} = 3{V}/{H} = {3·864}/{9} = 288$, откуда длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна $√{288} = 12√2$. Диагональ квадрата $AC = 24$. Боковое ребро $SA$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $AOS$, где $SO$ - высота пирамиды. $AS = √{SO^2 + OA^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AC)^2} = √{9^2 + 12^2} = 15$.

Куб вписан в шар радиуса $1{,}5√ 3$. Найдите объём куба.

Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 1.5√3$ — радиус шара. Тогда $√3a = 3√3, a = 3$. Объём куба равен $a^3 = 27$.

Длина окружности основания цилиндра равна $8$. Площадь боковой поверхности равна $20$. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2πRH$, где $R$ - радиус основания, $H$ - высота цилиндра. По условию $2πR = 8, S_{бок} = 20$, тогда $H = 20 : 8 = 2.5$.

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $0{,}7$ и боковым ребром $1$. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры (cм. рис.).

Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна 4, боковой поверхности призмы, площадь которой равна 2.8, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна 12 - 0.72 = 0.51. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна 4 + 2.8 + 2 · 0.51 = 7.82.

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными $14$ и $48$ (см. рис.). Площадь её поверхности равна $1232$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора. $AD = √{AO^2 + OD^2} = √{24^2 + 7^2} = 25$. Площадь ромба $S_{осн} = {1}/{2}d_1 · d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S_{осн} = {1}/{2} · 48 · 14 = 336$. Пусть боковое ребро призмы равно $x$. Площадь поверхности призмы равна $S = S_{бок} + 2S_{осн} = 1232$, откуда $S_{бок} = 1232 - 672 = 560$. Так как $S_{бок} = 4 · 25 · x$, то $100x = 560$, откуда $x = 5.6$.

Если каждое ребро куба увеличить на $1$ (см. рис.), то площадь его поверхности увеличится на $42$. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности — $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 - 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.

Если каждое ребро куба увеличить на $2$ (см. рис.), то площадь его поверхности увеличится на $96$. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $2$, то оно станет равным $(x+2)$, а площадь поверхности — $6(x+2)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $96$, то $6(x+2)^2-6x^2=96$, откуда $24x+24=96$, $24x=72$, $x=3$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ ребро $AA_1$ равно $24$, а диагональ $BD_1$ равна $26$ (см. рис.). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через точки $A, A_1$ и $C$, является прямоугольник $AA_1C_1C$, площадь которого равна $S = AA_1 · AC$. Выразим катет $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD_1 : BD = √{BD_1^2 - DD_1^2} = √{26^2 - 24^2} = √{(26 - 24)(26 + 24)} = 10$. Так как $BD = AC$, то $S = 24 · 10 = 240$.

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $8$ и высота равна $3$ (см. рис.).

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема. $S_{осн} = AB^2 = 64, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{3^2 + 4^2} = 5$. $S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·8·5 = 80. S = 64 + 80 = 144$.

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $24$ и высота равна $5$ (см. рис.).

Площадь $S$ поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}: S = S_{осн} + S_{бок} = AB^2 + 4S_{SBC}. SM$ - апофема. $S_{осн} = AB^2 = 576, SM$ найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника $SOM: SM = √{SO^2 + OM^2} = √{SO^2 + ({1}/{2}AB)^2 = √{5^2 + 12^2} = 13$. $S_{бок} = 4S_{SBC} = 4·{1}/{2}·24·13 = 4·156=624. S = 576 + 624 = 1200$.

Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Пусть $CA = R$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $OD = r$. $OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ - общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.

Задание 13. Задачи по стереометрии. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 59.3%

Алгоритм решения задания 13:

Проанализируйте описание пространственной фигуры и определите её основные элементы.

Установите, какие плоские фигуры входят в состав данной пространственной конфигурации.

Используйте планиметрические соотношения для работы с гранями, сечениями или основаниями.

Свяжите найденные плоские величины с искомыми пространственными величинами.

Проверьте согласованность вычислений с геометрическим смыслом задачи.

Задачи для практики

Задача 1

Объём куба равен $64$ (см. рис.). Найдите площадь его поверхности.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $3$, объём равен $32$ (cм. рис.). Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $0{,}4$ и боковым ребром $1$. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры (cм. рис.).

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Объём куба равен 27 (см. рис.). Найдите площадь его поверхности.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ ребро $AA_1$ равно $10$, а диагональ $BD_1$ равна $26$ (см. рис.). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$.