Задание 12. Планиметрия. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.
Решение
На рисунке изображены смежные углы, а значит их сумма равна 180 градусам: $а+b=180°$. Так как по условию угол b равен 5а, значит в наше уравнение вместо b подставляем 5а. Получаем: $а+5а=180°$ $6а=180°$ $а=30°$. Мы нашли угол а, но в задаче нужно найти угол b: $b=5·30°$ $b=150$
Задача 2
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1. Назовем его углом 3. Помним, что вертикальные углы равны. Углы 2 и 3 внутренние односторонние, а значит их сумма равна 180 градусам. Получаем: $112°+x=180°$, $x=68°$
Задача 3
Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть $∠ A+∠ C=80°$. Обозначим $∠ A=2x$, $∠ C=3x$. $2x+3x=80$, $5x=80$, $x=16$. $∠ C=3x=3⋅ 16=48°$ — наибольший из углов $A$ и $C$.
Задача 4
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1, затем вертикальный угол для угла 3. Помним, что вертикальные углы равны. Найденные углы находятся внутри образовавшегося треугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Отсюда составляем уравнение и решаем его: $70°+71°+x=180°$, $x=39°$
Задача 5
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?
Решение
Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.).
$S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.
Задача 6
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$
и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Решение
$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$.
Найдём $AC$ из $△ACK$:
$AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$.
$S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.
Задача 7
Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Решение
Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
$\{{\table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$ Из первого уравнения системы: $x+y=14$; $y=14-x$. Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:
$x(14-x)=48$; $x^2-14x+48=0$; $x_1=8$, $x_2=6$. Тогда $y_1=14-8=6$, $y_2=14-6=8$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.
Задача 8
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $\sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB \sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.
Задача 9
Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент-
ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.
Задача 10
Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 
2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то
$∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.
Задача 11
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD. AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB; S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$.
Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$. Отсюда, $224 = 2x · 7x; 224 = 14x^2; x^2 = {224}/{14}; x^2 = 16, x = 4$. Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.
Задача 12
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.
Задача 13
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.
Задача 14
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.
Задача 15
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.
Решение
$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$.
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$.
$P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.
Задача 16
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.
Задача 17
Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.
Задача 18
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.
$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.
Задача 19
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.
Решение
$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.
Задача 20
Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ - высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {15 - 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
