Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда $48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и $AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда $48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и $AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Задачи для практики

Задача 1

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив