Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\cos A={6} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\cos A={AC} / {AB}$, $AB={AC} / {\cos A}={12} / {{6} / {7}}={12⋅ 7} / {6}=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.

$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$. $P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $3√ {7}$ и $12√ {7}$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·3√7·12√7 = 18·7=126$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $\tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$. Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$; $AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\cos A={6} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\cos A={AC} / {AB}$, $AB={AC} / {\cos A}={12} / {{6} / {7}}={12⋅ 7} / {6}=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.

$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$. $P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $3√ {7}$ и $12√ {7}$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·3√7·12√7 = 18·7=126$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $\tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$. Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$; $AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Задачи для практики

Задача 1

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив