Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 74.1%
Алгоритм решения задания 12:
Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.
Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.
Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.
Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.
Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1. Назовем его углом 3. Помним, что вертикальные углы равны. Углы 2 и 3 внутренние односторонние, а значит их сумма равна 180 градусам. Получаем: $112°+x=180°$, $x=68°$
Задача 2
По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.
Решение
На рисунке изображены смежные углы, а значит их сумма равна 180 градусам: $а+b=180°$. Так как по условию угол b равен 5а, значит в наше уравнение вместо b подставляем 5а. Получаем: $а+5а=180°$ $6а=180°$ $а=30°$. Мы нашли угол а, но в задаче нужно найти угол b: $b=5·30°$ $b=150$
Задача 3
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1, затем вертикальный угол для угла 3. Помним, что вертикальные углы равны. Найденные углы находятся внутри образовавшегося треугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Отсюда составляем уравнение и решаем его: $70°+71°+x=180°$, $x=39°$
Задача 4
Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть $∠ A+∠ C=80°$. Обозначим $∠ A=2x$, $∠ C=3x$. $2x+3x=80$, $5x=80$, $x=16$. $∠ C=3x=3⋅ 16=48°$ — наибольший из углов $A$ и $C$.
Задача 5
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$
(см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Решение
$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$.
Найдём $AC$ из $△ACM$:
$AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$.
$S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.
Задача 6
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}$.
$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$.
${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.
Задача 7
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.
Решение
Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм.
$S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$.
$S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию).
Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию).
$sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.
Задача 8
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $\sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB \sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.
Задача 9
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$
и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Решение
$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$.
Найдём $AC$ из $△ACK$:
$AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$.
$S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.
Задача 10
Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 
2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то
$∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.
Задача 11
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $3√ {7}$ и $12√ {7}$.
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$.
$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.
$S_{ABCD} = {1}/{2}·3√7·12√7 = 18·7=126$.
Задача 12
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.
Задача 13
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника:
$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.
Задача 14
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $\tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$.
Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$;
$AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.
Задача 15
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.
Решение
$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$.
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$.
$P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.
Задача 16
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.
Задача 17
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$.
$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.
$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.
Задача 18
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.
$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.
Задача 19
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.
Решение
$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.
Задача 20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
- Научишься быстро анализировать графики функций
- Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
- Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
- Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
