Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Задачи для практики

Задача 1

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Показать решение

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:

Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
Научишься быстро анализировать графики функций
Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

1. Найдем высоту CH:

2. Теперь найдем длину отрезка BH:

Ответ:

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (базовой)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)