В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$. $S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=6$, $\sin A={5} / {9}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {6}/{{5}/{9}} = {6· 9}/{5} = {54}/{5} = 10.8$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $\sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB \sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$. $S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=6$, $\sin A={5} / {9}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {6}/{{5}/{9}} = {6· 9}/{5} = {54}/{5} = 10.8$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $\sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB \sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Задачи для практики

Задача 1

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив