Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=6$, $\sin A={5} / {9}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {6}/{{5}/{9}} = {6· 9}/{5} = {54}/{5} = 10.8$.

Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ - высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {15 - 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений: $\{{\table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$ Из первого уравнения системы: $x+y=14$; $y=14-x$. Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим: $x(14-x)=48$; $x^2-14x+48=0$; $x_1=8$, $x_2=6$. Тогда $y_1=14-8=6$, $y_2=14-6=8$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается боковой стороны в точке $K$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что периметр треугольника равен $36$ и основание $AB$ равно 10.

$△ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = CB$. $P_{ABC} = AC+CB+AB, 36=2·BC+10; BC = 13$. $AB=2DB, DB={10}/{2}=5$ Но $DB = KB$ (отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны). $KB = 5, CK = BC - KB = 13 - 5 = 8$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=6$, $\sin A={5} / {9}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {6}/{{5}/{9}} = {6· 9}/{5} = {54}/{5} = 10.8$.

Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ - высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {15 - 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений: $\{{\table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$ Из первого уравнения системы: $x+y=14$; $y=14-x$. Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим: $x(14-x)=48$; $x^2-14x+48=0$; $x_1=8$, $x_2=6$. Тогда $y_1=14-8=6$, $y_2=14-6=8$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Задачи для практики

Задача 1

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив