Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.

$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $\cos A={3} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {9}/{25}} = {4}/{5}$. ${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC=9$, $\sin A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sinA = {BC}/{AB}, cosA ={AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA}$. Из основного тригонометрического тождества $cosA = √{1 - sin^2 A} = √{1 -{16}/{25}} = {3}/{5}$. $AB = {9}/{{3}/{5}} = {9·5}/{3} = 15$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$. $S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.

$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\tg A={BC} / {AC}$, ${√ {3}} / {2}={BC} / {4√ {7}}$, $BC=2√ {21}$. $AB^2=AC^2+BC^2$; $AB^2=16⋅ 7+4⋅ 21$, $AB^2=112+84=196$, $AB=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $\cos A={3} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {9}/{25}} = {4}/{5}$. ${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC=9$, $\sin A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sinA = {BC}/{AB}, cosA ={AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA}$. Из основного тригонометрического тождества $cosA = √{1 - sin^2 A} = √{1 -{16}/{25}} = {3}/{5}$. $AB = {9}/{{3}/{5}} = {9·5}/{3} = 15$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$. $S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Задачи для практики

Задача 1

Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Бесплатный интенсив