Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $\sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB \sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его б'ольшую сторону, если она на $9$ больше меньшей стороны.

$S_{ABCD} = AB·CB$. Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x - 9$. Итак, $22 = x(x - 9), x^2 - 9x - 22 = 0, D = 81 + 88 = 169 = 13^2. x = {9±13}/{2}, x_1 = 11, x_2 = -2$ (не подходит).

Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ - высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {15 - 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$. $tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD - BC}/{2} = {14 - 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ \sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ \sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $3√ {7}$ и $12√ {7}$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. $S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба. $S_{ABCD} = {1}/{2}·3√7·12√7 = 18·7=126$.

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент- ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.