Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD. AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB; S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$. Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$. Отсюда, $224 = 2x · 7x; 224 = 14x^2; x^2 = {224}/{14}; x^2 = 16, x = 4$. Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда $48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и $AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.

$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$. $P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $\cos A={3} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {9}/{25}} = {4}/{5}$. ${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD. AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB; S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$. Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$. Отсюда, $224 = 2x · 7x; 224 = 14x^2; x^2 = {224}/{14}; x^2 = 16, x = 4$. Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда $48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и $AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию (см. рис.). Найдите периметр треугольника.

$BC = 6 + 4 = 10, △ABC$ - равнобедренный, значит, $AC = BC = 10$. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то есть $KB = BD = 4, AB = 2BD = 2·4 = 8$. $P_{ABC} = 10 + 10 + 8 = 28$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $\cos A={3} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {9}/{25}} = {4}/{5}$. ${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.

Дано: Угол C равен 90°. Сторона BC равна 14. Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°). 1. Найдем высоту CH: CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7. 2. Теперь найдем длину отрезка BH: BH + CH = BC. BH + 7 = 14. BH = 14 - 7 = 7. Ответ: BH равно 7.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $\sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$. Из $△AHB: HB = √{AB^2 - AH^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$.

Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

1) Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$, то $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-48°-64°=68°$ (см. рис.). 2) Так как сумма углов четырёхугольника $CFOH$ равна $360°$, то $∠ FOH=360°-∠ C-90°-90°=360°-68°-180°=112°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%

Алгоритм решения задания 12:

Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.

Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.

Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.

Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.

Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:

Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
Научишься быстро анализировать графики функций
Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

Алгоритм решения задания 12:

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

1. Найдем высоту CH:

2. Теперь найдем длину отрезка BH:

Ответ:

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (базовой)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)