Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.

$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\cos A={6} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\cos A={AC} / {AB}$, $AB={AC} / {\cos A}={12} / {{6} / {7}}={12⋅ 7} / {6}=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Площадь треугольника равна $72$, две его стороны равны $9$ и $24$. Найдите большую высоту этого треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, используем формулу площади: $$ S = 1/2 ∙ a ∙ h $$ Где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание, $h$ - высота к этому основанию. Рассмотрим две стороны: пусть $9$ будет основанием. Тогда: $$ 72 = 1/2 ∙ 9 ∙ h_1 $$ Решим уравнение для $h_1$: $$ 72 = 9/2 ∙ h_1 => h_1 = 72 ∙ 2/{9} = 16 $$ Теперь найдем высоту, соответствующую стороне $24$. Пусть это будет $h_2$: $$ 72 = 1/2 ∙ 24 ∙ h_2 $$ Решим уравнение для $h_2$: $$ 72 = 12 ∙ h_2 => h_2 = 72/12 = 6 $$ Таким образом, большая высота треугольника равна $16$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$. Найдём $AC$ из $△ACM$: $AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$. $S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм. $S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$. $S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию). Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию). $sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AMB = 180°$, а $︶MB = 180° - 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.

$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.

Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника: $\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\cos A={6} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$\cos A={AC} / {AB}$, $AB={AC} / {\cos A}={12} / {{6} / {7}}={12⋅ 7} / {6}=14$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.

$tgA = {BC}/{AC}, BC = AC·tgA, BC = 12·0.7 = 8.4$.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$. Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.

$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$. Найдём $AC$ из $△ACK$: $AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$. $S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

$sin A = {BC}/{AB}$. $sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$. ${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм (см. рис.). $S_{MNPQ}={1} / {√ {2}} S_{ABCD}$, $S_{MNPQ}=MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ$. $S_{ABCD}=AB⋅ AD$, но $MN=AD$, $AB=MQ$ (по условию). Тогда $MN⋅ MQ⋅ \sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}} MN⋅ MQ$ (по условию). $\sin ∠ NMQ={1} / {√ {2}}$, $∠ NMQ=45°$.

Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 8 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 74.1%