Задание 12. Задачи по планиметрии. ЕГЭ 2027 по математике (базовой)
Средний процент выполнения: 74.1%
Алгоритм решения задания 12:
Определите, какие плоские геометрические фигуры рассматриваются в условии задачи.
Установите взаимное расположение элементов фигуры и их основные свойства.
Подберите подходящие теоремы или свойства планиметрии, применимые к данной ситуации.
Выразите искомые величины через известные, используя геометрические соотношения.
Оцените полученный результат с точки зрения размеров и формы фигуры.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $112°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1. Назовем его углом 3. Помним, что вертикальные углы равны. Углы 2 и 3 внутренние односторонние, а значит их сумма равна 180 градусам. Получаем: $112°+x=180°$, $x=68°$
Задача 2
По рисунку найдите угол b, если известно, что угол $b = 5a$.
Решение
На рисунке изображены смежные углы, а значит их сумма равна 180 градусам: $а+b=180°$. Так как по условию угол b равен 5а, значит в наше уравнение вместо b подставляем 5а. Получаем: $а+5а=180°$ $6а=180°$ $а=30°$. Мы нашли угол а, но в задаче нужно найти угол b: $b=5·30°$ $b=150$
Задача 3
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен $70°$, а угол 3 равен $71°$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сначала найдем вертикальный угол для угла 1, затем вертикальный угол для угла 3. Помним, что вертикальные углы равны. Найденные углы находятся внутри образовавшегося треугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Отсюда составляем уравнение и решаем его: $70°+71°+x=180°$, $x=39°$
Задача 4
Один из внешних углов треугольника равен $80^°$. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как $2:3$ (см. рис.). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть $∠ A+∠ C=80°$. Обозначим $∠ A=2x$, $∠ C=3x$. $2x+3x=80$, $5x=80$, $x=16$. $∠ C=3x=3⋅ 16=48°$ — наибольший из углов $A$ и $C$.
Задача 5
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $\sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.
Задача 6
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$
и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Решение
$tg ∠BAC = {CK}/{AK}, AK = {15}/{2}, CK = AK · tg ∠BAC={15}/{2}, {15}/{2}· {2√5}/{5} = 3√5$.
Найдём $AC$ из $△ACK$:
$AC = √{CK^2 + AK^2} = √{9·5+{225}/{4}} = √{{180+225}/{4}} = {9√5}/{2}; AC = BC$ (по условию), $BC = {9√5}/{2}$.
$S_{ABC} = {AB ·CK}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · CK = CB · AH , AH = {AB·CK}/{CB} = {15 · 3√5 · 2}/{9√5} = 10$.
Задача 7
Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.
Задача 8
Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с цент-
ром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.
Задача 9
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Угол $CAB$ равен $54^°$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠CAB = {1}/{2}︶ AB$. Дуга $AB$ равна $108° (54° · 2 = 108°). ∠AOB$ — центральный и измеряется дугой $AB$, следовательно $∠AOB = 108°$.
Задача 10
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.
Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° - 48° = 132°$.
Задача 11
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $24$, а отношение соседних сторон равно $2 : 3$.
Решение
$S_{ABCD} = 24, AB : BC = 2 : 3. AB·BC = 24$. Пусть $AB = 2x, BC = 3x$, тогда $24 = 2x·3x; 6x^2 = 24, x^2 = 4, x = 2$. Отсюда, $AB = 4, BC = 6, P_{ABCD} = (6 + 4)·2 = 20$.
Задача 12
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $67^°$, а углы $B$ и $C$ — острые. $BD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$ (см. рис.). Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырёхугольнике $ADOE$ по условию $∠D = ∠E = 90°$, так как $BD$ и $CE$ высоты треугольника $ABC$, а $∠A = 67°$. Таким образом $∠DOE = 360° - 90° · 2 - 67° = 113°$.
Задача 13
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=9$, $\cos A={3} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$cosA = {AC}/{AB}, AB = {AC}/{cosA} = {9}/{{3}/{7}} = {9 · 7}/{3} = 21$.
Задача 14
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}$.
$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 - {16}/{25}} = {3}/{5}$.
${3}/{5} = {3}/{AB}, AB = 5$.
Задача 15
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$
(см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Решение
$tg ∠BAC = {CM}/{AM}, AM = 6, CM = AM · tg ∠BAC, CM = 6 · {3√7}/{7} = {18√7}/{7}$.
Найдём $AC$ из $△ACM$:
$AC = √{CM^2 + AM^2} = √{({18√7}/{7})^2 + 36} = √{{324}/{7} + 36} = {√24}/{7}; AC = BC$ (по условию), $BC = {√24}/{7}$.
$S_{ABC} = {AB ·CM}/{2}, S_{ABC} = {CB· AH}/{2} ; AB · C M = C B · AH , AH = {AB·C M}/{CB} = {12 · 18√7 · √7}/{7 · 24} = {12 · 18}/{24} = 9$.
Задача 16
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A= 0{,}5$. Найдите $BH$.
Решение
Дано:
- Угол C равен 90°.
- Сторона BC равна 14.
- Sинус угла A равен 0,5 (A равен 30°).
1. Найдем высоту CH:
CH = BC * sin A = 14 * 0,5 = 7.
2. Теперь найдем длину отрезка BH:
BH + CH = BC.
BH + 7 = 14.
BH = 14 - 7 = 7.
Ответ:
BH равно 7.
Задача 17
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.
Решение
Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $MNPQ$ — параллелограмм.
$S_{MNPQ} = {√3}/{2}S_{ABCD}, S_{MNPQ} = MN · MQ · sin ∠NMQ$.
$S_{ABCD} = AB · AD$, но $MN = AD, AB = MQ$ (по условию).
Тогда $MN · MQ · sin ∠NMQ = {√3}/{2} MN · MQ$ (по условию).
$sin ∠NMQ = {√3}/{2}, ∠NMQ = 60°$.
Задача 18
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.
Задача 19
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Решение
Тангенс можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Запишем данное знание в рамках нашего треугольника:
$\tg A={BC} / {AC}$, $BC=AC⋅ \tg A$, $BC=10⋅ 0{,}3=3$.
Задача 20
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$.
$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.
$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
