Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник, необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 6 м, длины стен дома равны 16 и 20 м. Найдите, сколько рубероида (в квадратных метрах) нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши равны.

Определение длины основания одного ската: Для стены длиной 16 м: bA = lA/2 = 16/2 = 8 м. Вычисление длины ската: Для стены длиной 16 м: sA = √(h² + bA²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 м. Определение площади одного ската: SA= 10 * 20 = 200 м² . Общая площадь крыши: S{общая}= SA*2=(200)*2=400 м². Ответ: Для покрытия двускатной крыши потребуется 400 квадратных метров рубероида.

Здание имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 140 м, а высота - 88 м. Сторона основания макета, который является точной копией здания, равна 14 см. Найдите высоту макета. Ответ дайте в сантиметрах.

$a_1=140_{a}$; $h_1=88$м; $a_2=14$см; $h_2-?$ ${a_1}/{h_1}={a_2}/{h_2}$ , $h_2={a_2h_1}/a_1={14·88}/{140}=8.8$(см)

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 324 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

$m=pv;$ $m_1=p_1v_1=p_1·4/3πR_1^3$ $p_1=p_2$ $m_2=p_2v_2=p_2·4/3πR_1^3$ ${m_1}/{m_2}={p_1·4/3πR_1^3}/{p_2·4/3πR_2^3}$ ${m_1}/{m_2}={R_1^3}/{R_2^3};$ $m_2={m_1·R_2^3}/{R_1^3}$ $m_2={324·2^3}/{3^3}={324·8}/{27}=12·8=96$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ${1}/{4}$ высоты. Объём сосуда равен $640$ мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Шаг 1: Формула объема конуса Объем конуса рассчитывается по формуле: V = (1/3) * π * r² * h Шаг 2: Объем жидкости в сосуде Когда уровень жидкости достигает 1/4 высоты, объем налитой жидкости будет равен: Vжидкости = V * (h'/h)3 где h' = 1/4 * h Шаг 3: Вычисление объема налитой жидкости Vжидкости = 640 * (1/4)3 = 640 * (1/64) = 10 мл Ответ: Объем налитой жидкости равен: 10 мл.

Однородный шар диаметром 1 см имеет массу 63 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

$d_1=1$см ; $m_1=63$гр ; $p_1=p_2$ $d_2=2$см ; $m_2-?$ ${m_1}/{m_2}={p_1·v_1}/{p_2·v_2}={v_1}/{v_2}={4/3πR_1^3}/{4/3πR_2^3}={({R_1}/{R_2})}^3={({d_1}/{d_2})}^3=(1/2)^3=1/8$ $m_2=8m_1=8·63=504$ (гр)

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

Пусть радиус основания первой кружки равен $R$, а её высота равна $H$. Первая кружка вдвое выше второй, значит высота второй кружки равна $H/2$. Вторая кружка в полтора раза шире первой. Так как ширина — это диаметр, то радиус второй кружки в полтора раза больше радиуса первой: $1.5 ⋅ R$. Объём цилиндра: $V = π R^2 H$. Объём первой кружки: $V_1 = π ⋅ R^2 ⋅ H$. Объём второй кружки: $V_2 = π ⋅ (1.5 ⋅ R)^2 ⋅ (H/2) = π ⋅ 2.25 ⋅ R^2 ⋅ H/2 = π ⋅ R^2 ⋅ H ⋅ (2.25/2) = π ⋅ R^2 ⋅ H ⋅ 1.125$. Значит, $V_2 = 1.125 ⋅ V_1$. Объём первой кружки меньше объёма второй в 1,125 раза. Ответ: 1.125

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ${1} / {3}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

$V_{ж_1}=70; h_ж={1}/{3}h_k$ $V_{ж_2}-? V_{ж_1}+V_{ж_1]2}=V_{конуса}$ $OA=R_{конуса}; O_1A_1=R_1$ $∆SA_1O_1∼∆SAO; {AO}/{A_1O_1}={OS}/{O_1S}=3$ $R_k=AO=3A_1O_1=3R_1; V_{конуса}={1}/{3}πR_k^2·h_k={1}/{3}π·(3R_1)^2·3h_ж=$ $=27·{1}/{3}πR_1^2h_ж=27V_{ж_1}=27·70=1890$ $V_{ж_2}=V_k-V_{ж_1}=1890-70=1820$

Найдите расстояние между вершинами $A_1$ и $E$ многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника — прямые.

т.к.$AA_1⊥(ABC),$ то $AA_1⊥AE, ∆AEA_1$ - прямоугольный, $∠A_1AE=90°$ Рассмотрим $∆AFE:∠AFE=90°, AF=6+5=11; FE=4+6=10;$ по теореме Пифагора $AE^2=AF^2+FE^2=11^2+10^2=121+100=221$ по теореме Пифагора из $∆AA_1E:A_1E=√{AA_1^2+AE^2}=√{2^2+221}=√{225}=15$

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые)

Рассмотрим многогранник как призму основанием восьмиугольник. $S_{пов.}=S_{бок.пов.}+2S_{осн.}=P_{осн.}·h+2·S_{осн.}$ $S_{бок.пов.}=(8+4)·2·5+2·(8·2+4·2)=12·10+2·(16+8)=120+48=168$

Найдите квадрат расстояния между вершинами $A_1$ и $C_2$ многогранника, изображённого на рисунке.

Найти $A_1C_2^2$ $A_1H=D_1C_2=1$ из $∆HD_2C_2(∠HD_2C_2)=90°$ по теореме Пифагора: $HC_2^2=HD_2^2+D_2C_2^2$ $HC_2^2=7^2+2^2=49+4=53$ $A_1C_2^2=A_1H^2+HC_2^2=1^2+53=1+53=54$

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник, необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 6 м, длины стен дома равны 16 и 20 м. Найдите, сколько рубероида (в квадратных метрах) нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши равны.

Определение длины основания одного ската: Для стены длиной 16 м: bA = lA/2 = 16/2 = 8 м. Вычисление длины ската: Для стены длиной 16 м: sA = √(h² + bA²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 м. Определение площади одного ската: SA= 10 * 20 = 200 м² . Общая площадь крыши: S{общая}= SA*2=(200)*2=400 м². Ответ: Для покрытия двускатной крыши потребуется 400 квадратных метров рубероида.

Здание имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 140 м, а высота - 88 м. Сторона основания макета, который является точной копией здания, равна 14 см. Найдите высоту макета. Ответ дайте в сантиметрах.

$a_1=140_{a}$; $h_1=88$м; $a_2=14$см; $h_2-?$ ${a_1}/{h_1}={a_2}/{h_2}$ , $h_2={a_2h_1}/a_1={14·88}/{140}=8.8$(см)

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 324 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

$m=pv;$ $m_1=p_1v_1=p_1·4/3πR_1^3$ $p_1=p_2$ $m_2=p_2v_2=p_2·4/3πR_1^3$ ${m_1}/{m_2}={p_1·4/3πR_1^3}/{p_2·4/3πR_2^3}$ ${m_1}/{m_2}={R_1^3}/{R_2^3};$ $m_2={m_1·R_2^3}/{R_1^3}$ $m_2={324·2^3}/{3^3}={324·8}/{27}=12·8=96$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ${1}/{4}$ высоты. Объём сосуда равен $640$ мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Шаг 1: Формула объема конуса Объем конуса рассчитывается по формуле: V = (1/3) * π * r² * h Шаг 2: Объем жидкости в сосуде Когда уровень жидкости достигает 1/4 высоты, объем налитой жидкости будет равен: Vжидкости = V * (h'/h)3 где h' = 1/4 * h Шаг 3: Вычисление объема налитой жидкости Vжидкости = 640 * (1/4)3 = 640 * (1/64) = 10 мл Ответ: Объем налитой жидкости равен: 10 мл.

Однородный шар диаметром 1 см имеет массу 63 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

$d_1=1$см ; $m_1=63$гр ; $p_1=p_2$ $d_2=2$см ; $m_2-?$ ${m_1}/{m_2}={p_1·v_1}/{p_2·v_2}={v_1}/{v_2}={4/3πR_1^3}/{4/3πR_2^3}={({R_1}/{R_2})}^3={({d_1}/{d_2})}^3=(1/2)^3=1/8$ $m_2=8m_1=8·63=504$ (гр)

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

Пусть радиус основания первой кружки равен $R$, а её высота равна $H$. Первая кружка вдвое выше второй, значит высота второй кружки равна $H/2$. Вторая кружка в полтора раза шире первой. Так как ширина — это диаметр, то радиус второй кружки в полтора раза больше радиуса первой: $1.5 ⋅ R$. Объём цилиндра: $V = π R^2 H$. Объём первой кружки: $V_1 = π ⋅ R^2 ⋅ H$. Объём второй кружки: $V_2 = π ⋅ (1.5 ⋅ R)^2 ⋅ (H/2) = π ⋅ 2.25 ⋅ R^2 ⋅ H/2 = π ⋅ R^2 ⋅ H ⋅ (2.25/2) = π ⋅ R^2 ⋅ H ⋅ 1.125$. Значит, $V_2 = 1.125 ⋅ V_1$. Объём первой кружки меньше объёма второй в 1,125 раза. Ответ: 1.125

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ${1} / {3}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

$V_{ж_1}=70; h_ж={1}/{3}h_k$ $V_{ж_2}-? V_{ж_1}+V_{ж_1]2}=V_{конуса}$ $OA=R_{конуса}; O_1A_1=R_1$ $∆SA_1O_1∼∆SAO; {AO}/{A_1O_1}={OS}/{O_1S}=3$ $R_k=AO=3A_1O_1=3R_1; V_{конуса}={1}/{3}πR_k^2·h_k={1}/{3}π·(3R_1)^2·3h_ж=$ $=27·{1}/{3}πR_1^2h_ж=27V_{ж_1}=27·70=1890$ $V_{ж_2}=V_k-V_{ж_1}=1890-70=1820$

Найдите расстояние между вершинами $A_1$ и $E$ многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника — прямые.

т.к.$AA_1⊥(ABC),$ то $AA_1⊥AE, ∆AEA_1$ - прямоугольный, $∠A_1AE=90°$ Рассмотрим $∆AFE:∠AFE=90°, AF=6+5=11; FE=4+6=10;$ по теореме Пифагора $AE^2=AF^2+FE^2=11^2+10^2=121+100=221$ по теореме Пифагора из $∆AA_1E:A_1E=√{AA_1^2+AE^2}=√{2^2+221}=√{225}=15$

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые)

Рассмотрим многогранник как призму основанием восьмиугольник. $S_{пов.}=S_{бок.пов.}+2S_{осн.}=P_{осн.}·h+2·S_{осн.}$ $S_{бок.пов.}=(8+4)·2·5+2·(8·2+4·2)=12·10+2·(16+8)=120+48=168$

Найдите квадрат расстояния между вершинами $A_1$ и $C_2$ многогранника, изображённого на рисунке.

Найти $A_1C_2^2$ $A_1H=D_1C_2=1$ из $∆HD_2C_2(∠HD_2C_2)=90°$ по теореме Пифагора: $HC_2^2=HD_2^2+D_2C_2^2$ $HC_2^2=7^2+2^2=49+4=53$ $A_1C_2^2=A_1H^2+HC_2^2=1^2+53=1+53=54$

Задание 11. Прикладная стереометрия. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 11 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 81.7%

Алгоритм решения задания 11:

Определите, какое пространственное тело или фигура описаны в условии задачи.

Выясните, какие элементы фигуры заданы и какие геометрические величины требуется найти.

Рассмотрите плоские сечения или грани фигуры и установите, какие планиметрические факты к ним применимы.

Используйте известные формулы и соотношения для вычисления длин, площадей или других величин.

Проверьте, что полученные значения соответствуют геометрическому смыслу задачи.

Бесплатный интенсив

Задача 8

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 12

К призме, основание которой квадрат со стороной 3, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду с ребром 3 так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?

Показать решение

Бесплатный интенсив

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)

На бесплатном демо-курсе ты:

Повторишь теорию по линейной и квадратичной функции
Научишься быстро анализировать графики функций
Узнаешь секреты производной в базовом ЕГЭ
Сразу на вебинаре решишь все типы 7 задания
Научишься применять теорию на практике и с легкостью будешь расправляться с №7 в ЕГЭ

Оставь заявку и займи место
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ

Нажимая на кнопку «Отправить», вы принимаете положение об обработке персональных данных.

Задание 11. Прикладная стереометрия. ЕГЭ 2026 по математике (базовой)

Алгоритм решения задания 11:

Подпишись на суперполезные материалы

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Ответ:

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

1. Площадь поверхности всего параллелепипеда:

2. Площадь поверхности вырезанного куска:

3. Корректировка площади поверхности:

Итоговая площадь поверхности:

Ответ:

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Шаг 1: Формула объема конуса

Шаг 2: Объем жидкости в сосуде

Шаг 3: Вычисление объема налитой жидкости

Ответ:

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Ответ:

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Популярные материалы

ЕГЭ 2026: бесплатный курс по математике (базовой)

ЕГЭ 2026: бесплатный курс
по математике (базовой)