Приведём решение на Python

import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

import math

# Общее количество букв
n = 7

# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2

# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

def is_valid_septenary(septenary_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(septenary_num) - 1):
        if (int(septenary_num[i]) + int(septenary_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_zeros(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд нулей
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '000' in binary_representation


def to_septenary(num):
    # Преобразование числа в семеричную систему
    septenary_digits = ''
    while num > 0:
        septenary_digits = str(num % 7) + septenary_digits
        num //= 7
    return septenary_digits


count = 0

# Перебираем все числа от 2401 до 16806
for num in range(2401, 16807):
    septenary_num = to_septenary(num)  # Получаем семеричное представление

    # Проверяем, что семеричная запись содержит ровно 5 цифр
    if len(septenary_num) == 5 and is_valid_septenary(septenary_num) and not has_three_consecutive_zeros(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ

Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.

Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122

Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 5⁰ + 2 * 5¹ + 1 * 5² + 0 * 5³ + 2 * 5⁴ = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287

Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется

Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.

«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.

Согласно условию задачи возможны три варианта расположения букв Р и О:

1) РО**

2) *О*Р

3) РО*Р

На местах, обозначенных звёздочкой может стоять одна из букв А, Б, С или Т. Причём каждая из этих букв может встречаться в слове любое количество раз. Таким образом нам нужно определить количество 2-буквенных слов, состоящих из четырёх букв.

Если M - количество символов в некотором алфавите (мощность алфавита), K - количество всех возможных "слов" (символьных цепочек) длиной N, то $K = M^N$.

Следовательно, количество 2-буквенных слов, состоящих из четырёх букв, равно $4^2 = 16$. А значит, такое же количество 4-буквенных слов, соответствующих расположениям 1 и 2.

В случае 3, количество различных слов равно 4 (вместо звёздочки может стоять одна из четырёх букв).

То есть всего искомых слов 2 · 16 + 4 = 36.

Ответ: 36.

В первых цоколь дядя Валера может вкрутить лампочку тремя способами: красную/жёлтую/зелёную. Аналогично, во второй и третий цоколь остаётся всё также по 3 варианта (лампочек бесконечное количество, поэтому можно вкручивать несколько одного цвета). Общее количество вариантов: 3 х 3 х 3 = 27 вариантов сборки светофора.

Ответ: 27.

В качестве верхней полоски можно использовать один из 11 вариантов. На вторую полоску останется уже 10 вариантов, т.к. один из цветов использовали для первой полоски. Для третьей полоски останется 9 вариантов. Итого: 11 х 10 х 9 = 990 вариантов.

В первых цоколь дядя Валера может вкрутить лампочку четырьмя способами: красную/жёлтую/зелёную/бело-лунную. Аналогично, во второй, третий, четвёртый и пятый цоколь остаётся всё также по 4 варианта (лампочек бесконечное количество, поэтому можно вкручивать несколько одного цвета). Общее количество вариантов: 4 х 4 х 4 х 4 х 4 = 1024 вариантов сборки светофора.

Ответ: 1024.

Существует три варианта размещения красной лампочки:

1) К??

2) ?К?

1) ??К

Вместо вопроса может стоять лампочка либо жёлтого, либо зелёного цвета. Тогда в первом случае количество вариантов: 1 х 2 х 2 = 4 варианта. Аналогично и в двух оставшихся случаях. Итого получается 4 х 3 = 12 вариантов сборки светофора.

Ответ: 12.

В качестве первого ингредиента можно выбрать 7 вариантов. В качестве второго уже 6 варианта, а в качестве третьего - 5. Также нужно учесть, что порядок размещения ингредиентов неважен. Банан-яблоко-клубника и Яблоко-клубника-банан - это один и тот же смуззи. Посчитаем количество перестановок: 3 х 2 х 1 = 6 вариантов. Итоговое количество вариантов: 7 х 6 х 5 / 6 = 35 вариантов.

В качестве первого цвета в флаге можно выбрать любой из 5 данных цветов, в качестве второго цвета в флаге можно использовать любой из четырех цветов, а в качестве третьего цвета в флаге можно выбрать любой из оставшихся трех цветов. Следовательно, всего вариантов: 5х4х3=60.