Приведём решение на Python

def is_valid_septenary(septenary_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(septenary_num) - 1):
        if (int(septenary_num[i]) + int(septenary_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_zeros(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд нулей
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '000' in binary_representation


def to_septenary(num):
    # Преобразование числа в семеричную систему
    septenary_digits = ''
    while num > 0:
        septenary_digits = str(num % 7) + septenary_digits
        num //= 7
    return septenary_digits


count = 0

# Перебираем все числа от 2401 до 16806
for num in range(2401, 16807):
    septenary_num = to_septenary(num)  # Получаем семеричное представление

    # Проверяем, что семеричная запись содержит ровно 5 цифр
    if len(septenary_num) == 5 and is_valid_septenary(septenary_num) and not has_three_consecutive_zeros(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Приведём решение на Python

import math

# Общее количество букв
n = 7

# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2

# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

def is_valid_octal(octal_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(octal_num) - 1):
        if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_ones(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '111' in binary_representation


count = 0

# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
    octal_num = oct(num)[2:]  # Получаем восьмеричное представление без '0o'

    # Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
    if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Приведём решение на Python

import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ

Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.

Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122

Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 5⁰ + 2 * 5¹ + 1 * 5² + 0 * 5³ + 2 * 5⁴ = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287

Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется

«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.

Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.

Согласно условию задачи возможны три варианта расположения букв Р и О:

1) РО**

2) *О*Р

3) РО*Р

На местах, обозначенных звёздочкой может стоять одна из букв А, Б, С или Т. Причём каждая из этих букв может встречаться в слове любое количество раз. Таким образом нам нужно определить количество 2-буквенных слов, состоящих из четырёх букв.

Если M - количество символов в некотором алфавите (мощность алфавита), K - количество всех возможных "слов" (символьных цепочек) длиной N, то $K = M^N$.

Следовательно, количество 2-буквенных слов, состоящих из четырёх букв, равно $4^2 = 16$. А значит, такое же количество 4-буквенных слов, соответствующих расположениям 1 и 2.

В случае 3, количество различных слов равно 4 (вместо звёздочки может стоять одна из четырёх букв).

То есть всего искомых слов 2 · 16 + 4 = 36.

Ответ: 36.

Возможно два варианта расположения цифр: Ч_Н_Ч_Н_Ч_Н и Н_Ч_Н_Ч_Н_Ч. Рассмотрим оба варианта:

1. На первом месте может стоять любая чётная цифра, кроме нуля (числа не начинаются с 0), на третьем месте может стоять любая чётная цифра, кроме той, что стояла на первом месте (4 варианта). На пятом месте может стоять любая чётная цифра, кроме тех, что стояли на 1-ом и 3-ем месте (3 варианта). Аналогично, на втором месте любая нечётная цифра (5 вариантов), на четвёртом месте любая нечётная, кроме той, что стояла на втором месте (4 варианта), на шестом месте любая нечётная из оставшихся 3 вариантов.

4 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 = 2880

2. На первом месте любая нечётная цифра (5 вариантов), на третьем любая нечётная из оставшихся (4 варианта), на пятом месте любая нечётная из оставшихся (3 варианта). На втором месте любая чётная цифра (5 вариантов), на четвёртом любая чётная из оставшихся (4 варианта), на шестом месте любая чётная из оставшихся (3 варианта).

5 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 = 3600

Итого вариантов: 2880 + 3600 = 6480

Ответ: 6480.

В качестве первого ингредиента можно выбрать 5 вариантов. В качестве второго уже 4 варианта, а в качестве третьего - 3. Также нужно учесть, что порядок размещения ингредиентов неважен. Банан-яблоко-клубника и Яблоко-клубника-банан - это один и тот же смуззи. Посчитаем количество перестановок: 3 х 2 х 1 = 6 вариантов. Итоговое количество вариантов: 5 х 4 х 3 / 6 = 10 вариантов.

В шестеричной системе счисления существует 6 цифр.

На первое место можно поставить любую цифру, кроме нуля (числа не начинаются с цифры 0) - 5 вариантов.

На второе место можно поставить любую цифру, кроме той, что стояла на первом месте - 5 вариантов.

На третье место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом и втором местах - 4 варианта.

На четвёртом место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом, втором и третьем местах - 3 варианта.

И т.д.

Всего чисел: 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600.

Ответ: 600.