Приведём решение на Python

def is_valid_octal(octal_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(octal_num) - 1):
        if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_ones(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '111' in binary_representation


count = 0

# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
    octal_num = oct(num)[2:]  # Получаем восьмеричное представление без '0o'

    # Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
    if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Приведём решение на Python

import math

# Общее количество букв
n = 7

# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2

# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ

Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.

Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122

Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 5⁰ + 2 * 5¹ + 1 * 5² + 0 * 5³ + 2 * 5⁴ = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287

Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется

Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.

«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.

Пусть буква А стоит в слове на первом месте. Тогда на оставшихся 4 местах может стоять одна из букв - Б, В, Г, Д, Е. Причём каждая из этих букв может встречаться в слове любое количество раз. Таким образом, нам нужно определить количество 4-буквенных слов, состоящих из пяти букв.

Если M - количество символов в некотором алфавите (мощность алфавита), K - количество всех возможных слов (символьных цепочек) длиной N, то $K = M^N$.

Следовательно, количество 4-буквенных слов, состоящих из пяти букв, равно $5^4 = 625$. А значит, такое же количество 5-буквенных слов, в которых на первом месте стоит буква А, а на остальных местах - буквы Б, В, Г, Д, Е (возможно, с повтором).

Рассуждая аналогичным образом, мы получим, что такое же количество букв в 5-буквенных словах, в которых буква А стоит на втором, третьем, четвёртом или пятом месте.

Получаем, что всего искомых слов 625 · 5 = 3125.

Ответ: 3125.

В восьмеричной системе счисления существует 8 цифр.

На первое место можно поставить любую цифру, кроме нуля (числа не начинаются с цифры 0) - 7 вариантов.

На второе место можно поставить любую цифру, кроме той, что стояла на первом месте - 7 вариантов.

На третье место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом и втором местах - 6 вариантов.

На четвёртом место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом, втором и третьем местах - 5 вариантов.

И т.д.

Всего чисел: 7 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 35280.

Ответ: 35280.

Разобьём задачу на два случая:

1. На первых трёх местах стоят любые цифры, кроме единицы, на последнем месте стоит единица.

Тогда на первом месте стоит любая цифра, кроме 0 и 1 (8 вариантов), на втором и третьем местах стоят любые цифры, кроме 1 (по 9 вариантов):

8 · 9 · 9 · 1 = 648.

2. На первых двух местах стоят любые цифры, кроме единицы, на третьем и четвёртом местах стоит единица.

Тогда на первом месте стоит любая цифра, кроме 0 и 1 (8 вариантов), на втором месте стоит любая цифра, кроме 1 (9 вариантов):

8 · 9 · 1 · 1 = 72.

Всего вариантов: 648 + 72 = 720.

Ответ: 720.

Разобьём все варианты на два случая: число оканчивается на 5 и число оканчивается на 7.

Первый вариант:

На последнем месте цифра 5, на первом месте любая цифра, кроме нуля (15 вариантов), на втором месте любая цифра (16 вариантов).

Тогда всего чисел: 15 · 16 · 1 = 240 чисел.

Второй вариант:

На последнем месте цифра 7, на первом месте любая цифра, кроме нуля (15 вариантов), на втором месте любая цифра (16 вариантов).

Тогда всего чисел: 15 · 16 · 1 = 240 чисел.

Всего вариантов: 240 + 240 = 480.

Ответ: 480.

Считаем буквенные варианты: 12 х 12 х 12 = 1728 вариантов.

Считаем цифровые варианты: 10 х 10 х 10 = 1000 вариантов. 000 - не используется, остаётся 999 вариантов.

Итого: 1728 х 999 = 1728 х 1000 - 1728 = 1728000 - 1728 = 1726272.

В первых цоколь дядя Валера может вкрутить лампочку четырьмя способами: красную/жёлтую/зелёную/бело-лунную. Аналогично, во второй, третий, четвёртый и пятый цоколь остаётся всё также по 4 варианта (лампочек бесконечное количество, поэтому можно вкручивать несколько одного цвета). Общее количество вариантов: 4 х 4 х 4 х 4 х 4 = 1024 вариантов сборки светофора.

Ответ: 1024.

В качестве первого ингредиента можно выбрать 5 вариантов. В качестве второго уже 4 варианта, а в качестве третьего - 3. Также нужно учесть, что порядок размещения ингредиентов неважен. Банан-яблоко-клубника и Яблоко-клубника-банан - это один и тот же смуззи. Посчитаем количество перестановок: 3 х 2 х 1 = 6 вариантов. Итоговое количество вариантов: 5 х 4 х 3 / 6 = 10 вариантов.