Задание 8. Системы счисления и комбинаторика. ЕГЭ 2026 по информатике
Средний процент выполнения: 85.3%
Ответом к заданию 8 по информатике может быть цифра (число) или слово.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Саша составляет слова, переставляя буквы из слова «КАЛИНКА». Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует различных слов, которые может написать Саша?
Решение
Приведём решение на Python
import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))
print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)
Задача 2
Саша составляет шестизначные числа, оканчивающиеся на 34, причём цифры в числе не могут повторяться, и каждое число содержит или ровно три чётные цифры, или ровно две нечётные цифры. Сколько различных чисел может составить Саша?
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456789'
for let1 in '123456789':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in '3':
for let6 in '4':
word = let1 + let2 + let3 + let4 + let5 + let6
cnt_4et = cnt_ne4et = 0
for i in word:
if int(i) % 2 == 0:
cnt_4et += 1
else:
cnt_ne4et += 1
if word.count('0') <= 1 and word.count('1') <= 1 and word.count('2') <= 1 and word.count(
'3') <= 1 and word.count('4') <= 1 and word.count('5') <= 1 and word.count(
'6') <= 1 and word.count('7') <= 1 and word.count('8') <= 1 and word.count('9') <= 1:
if (cnt_4et == 3 or cnt_ne4et == 2):
cnt += 1
print(cnt)
Задача 3
Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих одновременно всем следующим условиям:
- Семеричная запись числа содержит ровно 5 цифр;
- Сумма любых двух соседних цифр в семеричной записи числа является нечётной;
- Двоичная запись числа не содержит трёх идущих подряд нулей.
Решение
Приведём решение на Python
def is_valid_septenary(septenary_num):
# Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
for i in range(len(septenary_num) - 1):
if (int(septenary_num[i]) + int(septenary_num[i + 1])) % 2 == 0:
return False
return True
def has_three_consecutive_zeros(n):
# Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд нулей
binary_representation = bin(n)[2:] # Получаем двоичное представление без '0b'
return '000' in binary_representation
def to_septenary(num):
# Преобразование числа в семеричную систему
septenary_digits = ''
while num > 0:
septenary_digits = str(num % 7) + septenary_digits
num //= 7
return septenary_digits
count = 0
# Перебираем все числа от 2401 до 16806
for num in range(2401, 16807):
septenary_num = to_septenary(num) # Получаем семеричное представление
# Проверяем, что семеричная запись содержит ровно 5 цифр
if len(septenary_num) == 5 and is_valid_septenary(septenary_num) and not has_three_consecutive_zeros(num):
count += 1
print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)
Задача 4
Определите количество шестизначных чисел, записанных в семеричной системе счисления, которые не начинаются с нечётных цифр, не оканчиваются чётными цифрами, а также содержат в своей записи не более одной цифры 5.
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456'
for let1 in '246':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in '135':
word = let1+let2+let3+let4+let5+let6
if word.count('5') <= 1:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 5
Саша составляет слова, переставляя буквы из слова «ИДИЛЛИЯ». Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует различных слов, которые может написать Саша?
Решение
Приведём решение на Python
import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))
print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)
Задача 6
Определите количество пятизначных чисел, записанных в семеричной системе счисления, в записи которых только одна цифра 4, при этом ни одна нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 4.
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456'
wrong = ["41", "43", "45", "14", "34", "54"]
for let1 in '123456':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
word = let1+let2+let3+let4+let5
Flag = True
for i in wrong:
if word.count(i) >= 1:
Flag = False
if word.count('4') == 1 and Flag:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 7
Дима составляет пятибуквенные слова, в которых есть только буквы А, Б, В, Г, Д, Е, причём в каждом слове буква Г используется ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может составить Дима?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'АБВГДЕ'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
word = let1 + let2 + let3 + let4 + let5
if word.count('Г') == 2:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 8
Все шестибуквенные слова, составленные из букв Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Ниже приведено начало списка:
- ЕЕЕЕЕЕ
- ЕЕЕЕЕК
- ЕЕЕЕЕО
- ЕЕЕЕЕР
- ЕЕЕЕКЕ
- ЕЕЕЕКК
...
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается на О и в котором буквы Е не стоят рядом?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'ЕКОР'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in alphabet:
cnt += 1
word = let1 + let2 + let3 + let4+ let5+ let6
if word[0] == 'О' and word.count('ЕЕ') == 0:
print(cnt)
print(cnt)
Задача 9
Все шестибуквенные слова, составленные из букв Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Ниже приведено начало списка:
- ЕЕЕЕЕЕ
- ЕЕЕЕЕК
- ЕЕЕЕЕО
- ЕЕЕЕЕР
- ЕЕЕЕКЕ
- ЕЕЕЕКК
...
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается на К и в котором буквы Р не стоят рядом?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'ЕКОР'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in alphabet:
cnt += 1
word = let1 + let2 + let3 + let4+ let5+ let6
if word[0] == 'К' and word.count('РР') == 0:
print(cnt)
print(cnt)
Задача 10
Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих одновременно всем следующим условиям:
- Восьмеричная запись числа содержит ровно 4 цифры;
- Сумма любых двух соседних цифр в восьмеричной записи числа нечётна;
- Двоичная запись числа не содержит трёх идущих подряд единиц.
Решение
Приведём решение на Python
def is_valid_octal(octal_num):
# Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
for i in range(len(octal_num) - 1):
if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
return False
return True
def has_three_consecutive_ones(n):
# Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
binary_representation = bin(n)[2:] # Получаем двоичное представление без '0b'
return '111' in binary_representation
count = 0
# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
octal_num = oct(num)[2:] # Получаем восьмеричное представление без '0o'
# Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
count += 1
print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)
Задача 11
ДЛЯ 2022
Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Л, Е, М, У, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 0.
Ниже приведено начало списка.
0. ЕЕЕЕЕ
1. ЕЕЕЕЛ
2. ЕЕЕЕМ
3. ЕЕЕЕР
4. ЕЕЕЕУ
5. ЕЕЕЛЕ
…
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы М и содержит ровно 1 букву Е и 1 букву Л?
Решение
Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ
Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.
Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122
Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 50 + 2 * 51 + 1 * 52 + 0 * 53 + 2 * 54 = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287
Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется
Задача 12
Борислав составляет 7-буквенные коды из букв Б, О, Р, И, С, Л, А, В. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные, при условии, что на первом месте не может стоять гласная буква. Сколько различных кодов может составить Борислав?
Решение
Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.
Задача 13
Леонид составляет 6-буквенные слова из букв Л, Е, О, Н, И, Д. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных слов может составить Леонид? Слова не обязательно должны быть осмысленными.
Решение
«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.
Задача 14
Сколько существует четырёхзначных чисел в шестеричной системе счисления?
Решение
На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (5 вариантов). На 2-ом, 3-ем и 4-ом местах любая цифра (6 вариантов).
Итого: 5 · 6 · 6 · 6 = 1080 чисел
Ответ: 1080.
Задача 15
Электрик дядя Валера собирает светофор. Перед ним корпус с тремя цоколями под лампочки, а также ключи от склада с бесконечным запасом лампочек красного, жёлтого и зелёного цветов. Сколько разных вариантов сборки светофора есть у дяди Валеры, если обязательно нужно поставить все 3 лампочки, а о ГОСТах на светофоры и ПДД электрик дядя Валера ни разу не слышал.
Решение
В первых цоколь дядя Валера может вкрутить лампочку тремя способами: красную/жёлтую/зелёную. Аналогично, во второй и третий цоколь остаётся всё также по 3 варианта (лампочек бесконечное количество, поэтому можно вкручивать несколько одного цвета). Общее количество вариантов: 3 х 3 х 3 = 27 вариантов сборки светофора.
Ответ: 27.
Задача 16
Формат номерного знака в РФ: БЦЦЦББ, где Б - буква из 12-ти символьного набора, Ц - цифра от 0 до 9. Бизнесмен Егор хочет купить себе "блатной" номерной знак. Егор считает "блатным" номерной знак, если в нём 3 одинаковые цифры. Сколько всего существует "блатных" номерных знаков, если числа 000 в номерах быть не может?
Решение
Всего вариантов букв в номерах: 12 х 12 х 12 = 1728.
Всего вариантов цифровых наборов, которые устраивают Егора: 9 (111, 222, 333... 999).
Итого: 9 х 1728 = 15552.
Задача 17
Формат номерного знака в РФ: БЦЦЦББ, где Б - буква из 12-ти символьного набора, Ц - цифра от 0 до 9. Бизнесмен Егор хочет купить себе "блатной" номерной знак. Егор считает "блатным" номерной знак, если в нём 3 одинаковые буквы или 3 одинаковые цифры. Сколько всего существует "блатных" номерных знаков, если числа 000 в номерах быть не может?
Решение
Рассмотрим 2 ситуации:
1. В номере одинаковые цифры, любые буквы.
Всего вариантов букв в номерах: 12 х 12 х 12 = 1728.
Всего вариантов цифровых наборов, которые устраивают Егора: 9 (111, 222, 333... 999).
Итого: 9 х 1728 = 15552.
2. В номере одинаковые буквы, любые цифры.
Всего вариантов цифр в номерах: 10 х 10 х 10 = 1000. Один вариант не используется (000), поэтому 1000 - 1 = 999.
Всего вариантов буквенных наборов, которые устраивают Егора: 12.
Итого: 12 х 999 = 11988.
Суммарно: 15552 + 11988 = 27540 вариантов.
Важный момент: ситуацию, в которой и буквы, и цифры одинаковы мы учли дважды - в первом и во втором случае. Один раз эти варианты нужно вычесть.
Всего вариантов букв в номерах, когда все буквы одинаковые: 12.
Всего вариантов цифр в номерах, когда все цифры одинаковые: 9 (111, 222, 333... 999).
Итого: 9 х 12 = 108.
27540 - 108 = 27432 варианта.
Задача 18
Сколько существует шестизначных чисел в шестеричной системе счисления, в которых ни одна цифра не повторяется?
Решение
В шестеричной системе счисления существует 6 цифр.
На первое место можно поставить любую цифру, кроме нуля (числа не начинаются с цифры 0) - 5 вариантов.
На второе место можно поставить любую цифру, кроме той, что стояла на первом месте - 5 вариантов.
На третье место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом и втором местах - 4 варианта.
На четвёртом место можно поставить любую цифру, кроме тех, что стояли на первом, втором и третьем местах - 3 варианта.
И т.д.
Всего чисел: 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600.
Ответ: 600.
Задача 19
Президент Игорь пытается придумать флаг для своей страны. Он хочет сделать флаг с тремя горизонтальными полосками разных цветов. В палитре у Игоря есть 11 разных цветов. Сколько различных вариантов флага может составить президент Игорь?
Решение
В качестве верхней полоски можно использовать один из 11 вариантов. На вторую полоску останется уже 10 вариантов, т.к. один из цветов использовали для первой полоски. Для третьей полоски останется 9 вариантов. Итого: 11 х 10 х 9 = 990 вариантов.
Задача 20
Сколько существует шестизначных чисел, в которых нет рядом стоящих чётных и рядом стоящих нечётных цифр, а также ни одна цифра не повторяется?
Решение
Возможно два варианта расположения цифр: Ч_Н_Ч_Н_Ч_Н и Н_Ч_Н_Ч_Н_Ч. Рассмотрим оба варианта:
1. На первом месте может стоять любая чётная цифра, кроме нуля (числа не начинаются с 0), на третьем месте может стоять любая чётная цифра, кроме той, что стояла на первом месте (4 варианта). На пятом месте может стоять любая чётная цифра, кроме тех, что стояли на 1-ом и 3-ем месте (3 варианта). Аналогично, на втором месте любая нечётная цифра (5 вариантов), на четвёртом месте любая нечётная, кроме той, что стояла на втором месте (4 варианта), на шестом месте любая нечётная из оставшихся 3 вариантов.
4 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 = 2880
2. На первом месте любая нечётная цифра (5 вариантов), на третьем любая нечётная из оставшихся (4 варианта), на пятом месте любая нечётная из оставшихся (3 варианта). На втором месте любая чётная цифра (5 вариантов), на четвёртом любая чётная из оставшихся (4 варианта), на шестом месте любая чётная из оставшихся (3 варианта).
5 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 = 3600
Итого вариантов: 2880 + 3600 = 6480
Ответ: 6480.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь всё про кодирование: что это такое и как происходит
- Познакомишься с Условием Фано: как оно примняется и почему важно
- Научишься считать колиечтсво информации и сколько под неё нужно выделить памяти
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
