Задание 8. Системы счисления и комбинаторика. ЕГЭ 2026 по информатике
Средний процент выполнения: 47%
Ответом к заданию 8 по информатике может быть цифра (число) или слово.
Алгоритм решения задания 8:
- Прочитай условие и определи, какой способ измерения информации требуется использовать.
- Выясни, какие данные заданы: мощность алфавита, количество символов, вероятность событий или объём сообщения.
- Выбери соответствующую формулу для вычисления количества информации.
- Подставь данные из условия в формулу и выполни вычисления.
- При необходимости переведи результат в нужные единицы измерения.
- Проверь, что использован правильный метод измерения информации.
- Запиши ответ в требуемом формате.
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих одновременно всем следующим условиям:
- Семеричная запись числа содержит ровно 5 цифр;
- Сумма любых двух соседних цифр в семеричной записи числа является нечётной;
- Двоичная запись числа не содержит трёх идущих подряд нулей.
Решение
Приведём решение на Python
def is_valid_septenary(septenary_num):
# Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
for i in range(len(septenary_num) - 1):
if (int(septenary_num[i]) + int(septenary_num[i + 1])) % 2 == 0:
return False
return True
def has_three_consecutive_zeros(n):
# Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд нулей
binary_representation = bin(n)[2:] # Получаем двоичное представление без '0b'
return '000' in binary_representation
def to_septenary(num):
# Преобразование числа в семеричную систему
septenary_digits = ''
while num > 0:
septenary_digits = str(num % 7) + septenary_digits
num //= 7
return septenary_digits
count = 0
# Перебираем все числа от 2401 до 16806
for num in range(2401, 16807):
septenary_num = to_septenary(num) # Получаем семеричное представление
# Проверяем, что семеричная запись содержит ровно 5 цифр
if len(septenary_num) == 5 and is_valid_septenary(septenary_num) and not has_three_consecutive_zeros(num):
count += 1
print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)
Задача 2
Саша составляет шестизначные числа, оканчивающиеся на 34, причём цифры в числе не могут повторяться, и каждое число содержит или ровно три чётные цифры, или ровно две нечётные цифры. Сколько различных чисел может составить Саша?
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456789'
for let1 in '123456789':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in '3':
for let6 in '4':
word = let1 + let2 + let3 + let4 + let5 + let6
cnt_4et = cnt_ne4et = 0
for i in word:
if int(i) % 2 == 0:
cnt_4et += 1
else:
cnt_ne4et += 1
if word.count('0') <= 1 and word.count('1') <= 1 and word.count('2') <= 1 and word.count(
'3') <= 1 and word.count('4') <= 1 and word.count('5') <= 1 and word.count(
'6') <= 1 and word.count('7') <= 1 and word.count('8') <= 1 and word.count('9') <= 1:
if (cnt_4et == 3 or cnt_ne4et == 2):
cnt += 1
print(cnt)
Задача 3
Саша составляет слова, переставляя буквы из слова «ИДИЛЛИЯ». Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует различных слов, которые может написать Саша?
Решение
Приведём решение на Python
import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))
print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)
Задача 4
Все шестибуквенные слова, составленные из букв Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Ниже приведено начало списка:
- ЕЕЕЕЕЕ
- ЕЕЕЕЕК
- ЕЕЕЕЕО
- ЕЕЕЕЕР
- ЕЕЕЕКЕ
- ЕЕЕЕКК
...
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается на К и в котором буквы Р не стоят рядом?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'ЕКОР'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in alphabet:
cnt += 1
word = let1 + let2 + let3 + let4+ let5+ let6
if word[0] == 'К' and word.count('РР') == 0:
print(cnt)
print(cnt)
Задача 5
Все шестибуквенные слова, составленные из букв Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Ниже приведено начало списка:
- ЕЕЕЕЕЕ
- ЕЕЕЕЕК
- ЕЕЕЕЕО
- ЕЕЕЕЕР
- ЕЕЕЕКЕ
- ЕЕЕЕКК
...
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается на О и в котором буквы Е не стоят рядом?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'ЕКОР'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in alphabet:
cnt += 1
word = let1 + let2 + let3 + let4+ let5+ let6
if word[0] == 'О' and word.count('ЕЕ') == 0:
print(cnt)
print(cnt)
Задача 6
Определите количество шестизначных чисел, записанных в семеричной системе счисления, которые не начинаются с нечётных цифр, не оканчиваются чётными цифрами, а также содержат в своей записи не более одной цифры 5.
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456'
for let1 in '246':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
for let6 in '135':
word = let1+let2+let3+let4+let5+let6
if word.count('5') <= 1:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 7
Дима составляет пятибуквенные слова, в которых есть только буквы А, Б, В, Г, Д, Е, причём в каждом слове буква Г используется ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может составить Дима?
Решение
cnt = 0
alphabet = 'АБВГДЕ'
for let1 in alphabet:
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
word = let1 + let2 + let3 + let4 + let5
if word.count('Г') == 2:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 8
Определите количество пятизначных чисел, записанных в семеричной системе счисления, в записи которых только одна цифра 4, при этом ни одна нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 4.
Решение
cnt = 0
alphabet = '0123456'
wrong = ["41", "43", "45", "14", "34", "54"]
for let1 in '123456':
for let2 in alphabet:
for let3 in alphabet:
for let4 in alphabet:
for let5 in alphabet:
word = let1+let2+let3+let4+let5
Flag = True
for i in wrong:
if word.count(i) >= 1:
Flag = False
if word.count('4') == 1 and Flag:
cnt += 1
print(cnt)
Задача 9
Саша составляет слова, переставляя буквы из слова «КАЛИНКА». Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует различных слов, которые может написать Саша?
Решение
Приведём решение на Python
import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))
print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)
Задача 10
Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих одновременно всем следующим условиям:
- Восьмеричная запись числа содержит ровно 4 цифры;
- Сумма любых двух соседних цифр в восьмеричной записи числа нечётна;
- Двоичная запись числа не содержит трёх идущих подряд единиц.
Решение
Приведём решение на Python
def is_valid_octal(octal_num):
# Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
for i in range(len(octal_num) - 1):
if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
return False
return True
def has_three_consecutive_ones(n):
# Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
binary_representation = bin(n)[2:] # Получаем двоичное представление без '0b'
return '111' in binary_representation
count = 0
# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
octal_num = oct(num)[2:] # Получаем восьмеричное представление без '0o'
# Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
count += 1
print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)
Задача 11
ДЛЯ 2022
Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Л, Е, М, У, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 0.
Ниже приведено начало списка.
0. ЕЕЕЕЕ
1. ЕЕЕЕЛ
2. ЕЕЕЕМ
3. ЕЕЕЕР
4. ЕЕЕЕУ
5. ЕЕЕЛЕ
…
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы М и содержит ровно 1 букву Е и 1 букву Л?
Решение
Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ
Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.
Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122
Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 50 + 2 * 51 + 1 * 52 + 0 * 53 + 2 * 54 = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287
Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется
Задача 12
Борислав составляет 7-буквенные коды из букв Б, О, Р, И, С, Л, А, В. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные, при условии, что на первом месте не может стоять гласная буква. Сколько различных кодов может составить Борислав?
Решение
Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.
Задача 13
Леонид составляет 6-буквенные слова из букв Л, Е, О, Н, И, Д. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных слов может составить Леонид? Слова не обязательно должны быть осмысленными.
Решение
«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.
Задача 14
Бармен Фёдор готовит смуззи из фруктов и ягод. У него есть бананы, яблоки, апельсины, клубника, черешня, ежевика и черника. Сколько разных рецептов смуззи может составить бармен Фёдор из трёх ингредиентов?
Решение
В качестве первого ингредиента можно выбрать 7 вариантов. В качестве второго уже 6 варианта, а в качестве третьего - 5. Также нужно учесть, что порядок размещения ингредиентов неважен. Банан-яблоко-клубника и Яблоко-клубника-банан - это один и тот же смуззи. Посчитаем количество перестановок: 3 х 2 х 1 = 6 вариантов. Итоговое количество вариантов: 7 х 6 х 5 / 6 = 35 вариантов.
Задача 15
Бармен Фёдор готовит смуззи из фруктов и ягод. У него есть бананы, яблоки, апельсины, клубника, черешня, ежевика и черника. Сколько разных рецептов смуззи может составить бармен Фёдор из двух ингредиентов?
Решение
В качестве первого ингредиента можно выбрать 7 вариантов. В качестве второго уже 6 варианта. Также нужно учесть, что порядок размещения ингредиентов неважен. Банан-яблоко и Яблоко-банан - это один и тот же смуззи. Посчитаем количество перестановок: 2 х 1 = 2 варианта. Итоговое количество вариантов: 7 х 6 / 2 = 21 вариант.
Задача 16
Сколько существует пятизначных чисел, кратных пяти, в которых ни одна цифра не повторяется?
Решение
Разобьём все варианты на два случая: число оканчивается на 0 и число оканчивается на 5.
Первый вариант:
На пятом месте 0 (1 вариант), на первом месте любая цифра, кроме нуля (9 вариантов), на втором месте любая цифра, кроме той, что стояла на первом месте и нуля (8 вариантов), на третьем месте любая цифра, кроме нуля и двух уже использованных цифр (7 вариантов), на четвёртом месте любая цифра, кроме нуля и трёх уже использованных цифр (6 вариантов).
Тогда всего чисел: 9 · 8 · 7 · 6 · 1 = 3024 числа.
На пятом месте цифра 5 (1 вариант), на первом месте любая цифра, кроме нуля и пяти, т.к. числа не начинаются с нуля (8 вариантов), на втором месте любая цифра, кроме той, что стояла на первом месте и пятёрки (8 вариантов), на третьем месте любая цифра, кроме пятёрки и двух уже использованных цифр (7 вариантов), на четвёртом месте любая цифра, кроме пятёрки и трёх уже использованных цифр (6 вариантов).
Тогда всего чисел: 8 · 8 · 7 · 6 · 1 = 2688 чисел.
Всего вариантов: 3024 + 2688 = 5712.
Ответ: 5712.
Задача 17
Формат номерного знака в РФ: БЦЦЦББ, где Б - буква из 12-ти символьного набора, Ц - цифра от 0 до 9. Сколько существует различных вариантов номерных знаков, если числа 000 в знаке быть не может?
Решение
Считаем буквенные варианты: 12 х 12 х 12 = 1728 вариантов.
Считаем цифровые варианты: 10 х 10 х 10 = 1000 вариантов. 000 - не используется, остаётся 999 вариантов.
Итого: 1728 х 999 = 1728 х 1000 - 1728 = 1728000 - 1728 = 1726272.
Задача 18
Сколько возможно различных исходов при одновременном подбрасывании 4 игральных костей?
Решение
При одном подбрасывании игральной кости возможны 6 различных исходов (числа от 1 до 6 на гранях кубика). В условии задачи подбрасываются 4 игральные кости. Исходы на каждом кубике могут быть одинаковыми (в задаче нет ограничения на это условие), следовательно различных исходов всего: 6х6х6х6=64=1296.
Задача 19
Сколько существует четырёхзначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления, начинающихся с цифры 1 или 2?
Решение
Разобьём все варианты на два случая: число начинается на 1 и число начинается на 2.
Первый вариант:
На первом месте цифра 1, на оставшихся трёх местах любая из 16 цифр.
Тогда всего чисел: 1 · 16 · 16 · 16 = 4096 чисел.
Второй вариант:
На первом месте цифра 2, на оставшихся трёх местах любая из 16 цифр.
Тогда всего чисел: 1 · 16 · 16 · 16 = 4096 чисел.
Всего вариантов: 4096 + 4096 = 8192.
Ответ: 8192.
Задача 20
Сколько существует трёхзначных чисел в восьмеричной системе счисления?
Решение
На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (7 вариантов). На 2-ом и 3-ем местах любая цифра (8 вариантов).
Итого: 7 · 8 · 8 = 448 чисел
Ответ: 448.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Узнаешь как кодируется изображение
- Поймешь как решать 7 номер ЕГЭ
- Разберешься с паролями
- Потренируешь 11 и 4 номер ЕГЭ
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
