Приведём решение на Python

import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

def is_valid_octal(octal_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(octal_num) - 1):
        if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_ones(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '111' in binary_representation


count = 0

# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
    octal_num = oct(num)[2:]  # Получаем восьмеричное представление без '0o'

    # Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
    if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ

Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.

Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122

Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 5⁰ + 2 * 5¹ + 1 * 5² + 0 * 5³ + 2 * 5⁴ = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287

Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется

Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.

«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.

Для составления слов используется 4 различные буквы. Поставим в соответствие каждой из букв цифры системы счисления с основанием 4 (с учётом порядка их следования в алфавите): А - 0, М - 1, О - 2, Р - 3.

Тогда упорядоченной по алфавиту последовательности слов

1. AAAААA

2. АААААМ

3. АААААО

4. АААААР

5. ААААМА

. . .

будут соответствовать числа в системе счисления с основанием 4:

1. $000000_4 = 0_{10}$

2. $000001_4 = 1_{10}$

3. $000002_4 = 2_{10}$

4. $000003_4 = 3_{10}$

5. $000010_4 = 4_{10}$

. . .

Первым словом, начинающимся на РО, является РОАААА, и ему соответствует число

$320000_4 = 3 · 4^5 + 2 · 4_{10}^4$.

Последним словом, оканчивающимся на РО, является РРРРРО, и ему соответствует число

$333332_4 = 3 · 4^5 + 3 · 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4_{10}^0$.

Количество слов расположенное между словами РОАААА и РРРРРО (включая эти слова) равно

$3 · 4^5 + 3 · 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4^0 - (3 · 4^5 + 2 · 4^4) + 1 = 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4^0 + 1 = 2 · 4^4 - 1 = 511$.

Ответ: 511.

В качестве фона можно использовать один из 8 вариантов. На крест останется уже 7 вариантов, т.к. один из цветов использовали для фона. Для окантовки креста останется 6 вариантов. Итого: 8 х 7 х 6 = 336 вариантов.

Для начала заменим в списке буквы А, Б, В, К, У на 0, 1, 2, 3, 4 соответственно. Получается:

Слово БУКВА - это последовательность цифр 14320 - это число в системе счисления по основанию 5. Если перевести его в десятичную, то получим: 1×5⁴+4×5³+3×5²+2×5¹+0×5⁰=625+500+75+10+0=1210. Так как первое слово составлено из нулей, к получившемуся числу следует прибавить единицу. Конечный ответ: 1211.

На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (3 варианта). На 2-ом, 3-ем, 4-ом и 5-ом местах любая цифра (4 варианта).

Итого: 3 · 4 · 4 · 4 · 4 = 768 чисел

Ответ: 768.

На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (7 вариантов). На 2-ом месте любая цифра, кроме той, что стояла на первом месте (7 вариантов), на 3-ем месте любая из 6 оставшихся цифр.

Итого: 7 · 7 · 6 = 294 числа.

Ответ: 294.

На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (6 вариантов). На втором месте любая цифра, кроме той, что стояла на первом месте (6 вариантов), на 3-ем месте любая из 5 оставшихся цифр, на четвертом месте любая из 4 цифр.

Итого: 6 · 6 · 5 · 4= 720 чисел.

Ответ: 720.

Разобьём все варианты на два случая: число начинается на 1 и число начинается на 2.

Первый вариант:

На первом месте цифра 1, на оставшихся трёх местах любая из 16 цифр.

Тогда всего чисел: 1 · 16 · 16 · 16 = 4096 чисел.

Второй вариант:

На первом месте цифра 2, на оставшихся трёх местах любая из 16 цифр.

Тогда всего чисел: 1 · 16 · 16 · 16 = 4096 чисел.

Всего вариантов: 4096 + 4096 = 8192.

Ответ: 8192.