Приведём решение на Python

def is_valid_octal(octal_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(octal_num) - 1):
        if (int(octal_num[i]) + int(octal_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_ones(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд единиц
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '111' in binary_representation


count = 0

# Перебираем все числа от 512 до 4095
for num in range(512, 4096):
    octal_num = oct(num)[2:]  # Получаем восьмеричное представление без '0o'

    # Проверяем, что восьмеричная запись содержит ровно 4 цифры
    if len(octal_num) == 4 and is_valid_octal(octal_num) and not has_three_consecutive_ones(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Приведём решение на Python

import math

# Общее количество букв
n = 7

# Факториалы для повторяющихся букв
count_I = 3
count_L = 2

# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_I) * math.factorial(count_L))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

import math
# Общее количество букв
n = 7
# Факториалы для повторяющихся букв
count_K = 2
count_A = 2
# Количество различных слов
distinct_words = math.factorial(n) // (math.factorial(count_K) * math.factorial(count_A))

print("Количество различных слов, которые может написать Саша:", distinct_words)

Приведём решение на Python

def is_valid_septenary(septenary_num):
    # Проверка условия 2: сумма любых двух соседних цифр нечётна
    for i in range(len(septenary_num) - 1):
        if (int(septenary_num[i]) + int(septenary_num[i + 1])) % 2 == 0:
            return False
    return True


def has_three_consecutive_zeros(n):
    # Проверка условия 3: двоичная запись не содержит трех идущих подряд нулей
    binary_representation = bin(n)[2:]  # Получаем двоичное представление без '0b'
    return '000' in binary_representation


def to_septenary(num):
    # Преобразование числа в семеричную систему
    septenary_digits = ''
    while num > 0:
        septenary_digits = str(num % 7) + septenary_digits
        num //= 7
    return septenary_digits


count = 0

# Перебираем все числа от 2401 до 16806
for num in range(2401, 16807):
    septenary_num = to_septenary(num)  # Получаем семеричное представление

    # Проверяем, что семеричная запись содержит ровно 5 цифр
    if len(septenary_num) == 5 and is_valid_septenary(septenary_num) and not has_three_consecutive_zeros(num):
        count += 1

print("Количество натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям:", count)

Для начала нужно определить, что это за слово такое. Начинается с буквы М, должно быть первым в алфавитном порядке и содержать по одной Е и Л. Буквы Е и Л идут раньше других в алфавите, значит после М будет Е и Л. МЕЛ. Следующая в алфавитном порядке буква М. Тогда получим слово: МЕЛММ

Обратим внимание, что наши буквы напоминаю 5ричную систему счисления. Тогда можно сделать следующие замены: Е - 0, Л - 1, М - 2, Р - 3, У - 4.

Заменим наше слово МЕЛММ на полученные цифры: 20122

Переведём в десятичную систему: 20122 = 2 * 5⁰ + 2 * 5¹ + 1 * 5² + 0 * 5³ + 2 * 5⁴ = 2 + 10 + 25 + 1250 = 1287

Обрати внимание, что нумерация с нуля, поэтому сдвиг не требуется

Если на первом месте не может стоять гласная буква, значит код может начинаться только на согласную букву.
«Виселица» из 7 букв _ _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Б, Р, С, Л, В - 5 букв
Гласные буквы: О, И, А - 3 буквы
Рассмотрим коды, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 5 букв: 5 _ _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 5 3 _ _ _ _ _
На третей позиции 4 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 5 3 4 _ _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 5 3 4 2 3 1 2. Итого получаем 5*3*4*2*3*1*2 = 720 кодов, начинающихся с согласной буквы.

«Виселица» из 6 букв _ _ _ _ _ _
Согласные буквы: Л, Н, Д - 3 буквы
Гласные буквы: Е, О, И- 3 буквы
Рассмотрим слова, начинающиеся с согласной буквы: на первом месте может стоять одна из 3 букв: 3 _ _ _ _ _
На второй позиции мы можем поставить только гласную букву, чтобы выполнялось условие задачи, одну из трёх букв: 3 3 _ _ _ _
На третей позиции 2 из оставшихся согласных букв, поскольку не должны повторяться: 3 3 2 _ _ _
И так далее чередуем согласные и гласные буквы: 3 3 2 2 1 1. Итого получаем 3*3*2*2*1*1 = 36 слов, начинающихся с согласной буквы.
Аналогичным образом считаем слова, начинающиеся на гласную букву и получаем также 36 слов.
Итого 36+36=72 слова.

В качестве фона можно использовать один из 6 вариантов. На крест останется уже 5 вариантов, т.к. один из цветов использовали для фона. Для окантовки креста останется 4 варианта. Итого: 6 х 5 х 4 = 120 вариантов.

На первом месте может стоять любая цифра, кроме нуля (7 вариантов). На 2-ом и 3-ем местах любая цифра (8 вариантов).

Итого: 7 · 8 · 8 = 448 чисел

Ответ: 448.

Для составления слов используется 4 различные буквы. Поставим в соответствие каждой из букв цифры системы счисления с основанием 4 (с учётом порядка их следования в алфавите): А - 0, М - 1, О - 2, Р - 3.

Тогда упорядоченной по алфавиту последовательности слов

1. AAAААA

2. АААААМ

3. АААААО

4. АААААР

5. ААААМА

. . .

будут соответствовать числа в системе счисления с основанием 4:

1. $000000_4 = 0_{10}$

2. $000001_4 = 1_{10}$

3. $000002_4 = 2_{10}$

4. $000003_4 = 3_{10}$

5. $000010_4 = 4_{10}$

. . .

Первым словом, начинающимся на РО, является РОАААА, и ему соответствует число

$320000_4 = 3 · 4^5 + 2 · 4_{10}^4$.

Последним словом, оканчивающимся на РО, является РРРРРО, и ему соответствует число

$333332_4 = 3 · 4^5 + 3 · 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4_{10}^0$.

Количество слов расположенное между словами РОАААА и РРРРРО (включая эти слова) равно

$3 · 4^5 + 3 · 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4^0 - (3 · 4^5 + 2 · 4^4) + 1 = 4^4 + 3 · 4^3 + 3 · 4^2 + 3 · 4^1 + 2 · 4^0 + 1 = 2 · 4^4 - 1 = 511$.

Ответ: 511.

Разобьём все варианты на четыре случая: цифра 7 стоит на 3-м и 4-м месте, цифра 7 стоит только на 3-м месте, цифра 7 стоит только на 4-м месте, цифры 7 в числе нет.

Первый вариант:

Цифра 7 стоит на 3-м и 4-м месте, на первом месте любая цифра, кроме нуля и семи (6 вариантов), на втором месте любая цифра, кроме семи (7 вариантов).

Тогда всего чисел: 6 · 7 · 1 · 1 = 42 числа.

Второй вариант:

Цифра 7 стоит на 3-м месте, на первом месте любая цифра, кроме нуля и семи (6 вариантов), на втором и четвёртом местах любая цифра, кроме семи (7 вариантов).

Тогда всего чисел: 6 · 7 · 1 · 7 = 294 числа.

Третий вариант:

Цифра 7 стоит на 4-м месте, на первом месте любая цифра, кроме нуля и семи (6 вариантов), на втором и третьем местах любая цифра, кроме семи (7 вариантов).

Тогда всего чисел: 6 · 7 · 7 · 1 = 294 числа.

Четвёртый вариант:

Цифра 7 отсутствует в числе, на первом месте любая цифра, кроме нуля и семи (6 вариантов), на втором, третьем и четвёртом местах любая цифра, кроме семи (7 вариантов).

Тогда всего чисел: 6 · 7 · 7 · 7 = 2058 чисел.

Всего вариантов: 42 + 294 + 294 + 2058 = 2688.

Ответ: 2688.