Задание 2. Алгебра логики. Таблицы истинности. ЕГЭ 2024 по информатике

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 65.9%
Ответом к заданию 2 по информатике может быть цифра (число) или слово.

Теория к 2 заданию: читать

Разбор сложных заданий в тг-канале

Посмотреть

Задачи для практики

Задача 1

Дано логическое выражение, зависящее от 6 логических переменных:

¬(A → F) ∧ B ∧ ¬C ∧ (D → E).

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

Решение

Заметим, что все скобки и выражения связаны конъюнкцией, для которой сложно получить единицу. Поэтому будет решать от обратного. Посчитаем количество наборов, когда выражение истинно, тогда:

¬(A → F) = 1, тогда $A → F = 0$, следовательно, A = 1, F = 0.

B = 1.

¬C = 1, значит C = 0.

(D → E) = 1, тогда возможно 3 варианта: D = 0, E = 0; D = 0, E = 1; D = 1, E = 1.

Перемножим количество подходящих значений для каждой переменной: A, B, C, F - по одному набору, D и E - 3 набора. Итого:

1 х 3 = 3 набора, для которых вся функция истинна. Но нам нужно, чтобы функция была ложна. Найдём общее количество наборов по формуле $k = 2^N$, где N - количество переменных. У нас 6 переменных, значит всего наборов 64. Из них 3 нам не подходят. Тогда количество подходящих (ложных) наборов:

64 - 3 = 61.

Или при помощи программы на С++:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>

using namespace std;

bool f(int A, int B, int C, int D, int E, int F){
    return (!(!A || F) && B && !C && (!D || E));
}

int main() {
    int count = 0;
    for (int A = 0; A <= 1; ++A)
        for (int B = 0; B <= 1; ++B)
            for (int C = 0; C <= 1; ++C)
                for (int D = 0; D <= 1; ++D)
                    for (int E = 0; E <= 1; ++E)
                        for (int F = 0; F <= 1; ++F)
                            if (f(A, B, C, D, E, F) == false)
                                count++;
    cout << count;
    return 0;
}

Ответ: 61.

Ответ: 61

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

$(A ∨ ¬B) ∧ (¬C ∨ D ∨ ¬E)$.

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬D ∧ ¬E).

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Логическая функция F задаётся выражением ((x∧z)∨¬x)∧¬w∧y. Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F является истиной. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

				F
1	0	0	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	0	1

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала букву, соответствующую 1-му столбцу; затем букву, соответствующую 2-му столбцу; затем букву, соответствующую 3-му столбцу; затем букву, соответствующую последнему столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

Логическая функция F задаётся выражением (y → w) ∨ (¬x ∧ z). Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F ложно. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

				F
0	0	0	1	0
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала букву, соответствующую 1-му столбцу; затем букву, соответствующую 2-му столбцу; затем букву, соответствующую 3-му столбцу; затем букву, соответствующую последнему столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 6

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1

Сколько строк таблицы удовлетворяют выражению: F = (x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ x4 ∧ (x5 ∨ x6 ∨ x7) ∧ x8?

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 7

Логическая функция F задаётся выражением (¬x → y) ∧ (z → y). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

Переменная 1 ???	Переменная 2 ???	Переменная 3 ???	Функция F
0	0	0	0
1	0	0	0
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	0	1
1	1	0	0
0	1	1	1
1	1	1	1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая 1-му столбцу; затем — буква, соответствующая 2-му столбцу; затем — буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x ∨ ¬y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:

Переменная 1 ???	Переменная 2 ???	Функция F
1	0	0
0	1	1
0	0	1
0	1	1

Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Решение

Преобразуем исходное выражение.

(¬x → y) ∧ (z → y) = (x ∨ y) ∧ (¬z ∨ y) = y ∨ (x ∧ ¬z).

Так как дизъюнкция ложна только в том случае, когда ложны оба высказывания, входящие в неё, то переменной y должен соответствовать тот столбец, в котором значение 0 стоит в тех же строках, что и в столбце F. Следовательно, переменной y соответствует третий столбец.

Рассмотрим строку, в которой значение функции отличается от значения переменной y. Такой строкой является четвёртая снизу. Здесь переменная y = 0, а значение функции F = 1. Это означает, что x ∧ ¬z = 1. В рассматриваемой строке значение первого столбца 0, а второго 1. Пусть x = 0, z = 1. При этих значениях логическое выражение x ∧ ¬z ложно, что не соответствует табличному значению функции F = 1. Следовательно, x = 1, z = 0. Значит, первый столбец соответствует переменной z, а второй—x.

Или при помощи программы на С++:
Выводим только ложные наборы, потому что их меньше

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>

using namespace std;

bool f(int x, int y, int z){
    return ((x || y) && (!z || y));
}

int main() {
    cout << "x y z F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                    if (f(x, y, z) == false)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << f(x, y, z) << endl;
    return 0;
}

Ответ: zxy

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 8

Логическая функция F задаётся выражением ((¬z∨¬x)∧z)∨w∨¬y. Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F ложно. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

				F
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

Пример. Пусть задано выражение x∨¬y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности

		F
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 9

Логическая функция F задаётся выражением (y ∧ (w → x)) → g. Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F ложно. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, w, g.

				F
0	0	0	1	0
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0

В ответе напишите буквы x, y, w, g в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала букву, соответствующую 1-му столбцу; затем букву, соответствующую 2-му столбцу; затем букву, соответствующую 3-му столбцу; затем букву, соответствующую последнему столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x∨¬y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности

		F
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 10

Логическая функция F задаётся выражением (x → y) → (w → g). Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F ложно. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, w, g.

				F
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0

Пример. Пусть задано выражение x∨¬y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности

		F
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 11

Логическая функция F задаётся выражением (x = y) ∨ ¬(y → w) ∨ z. Ниже приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

				F
1	1	0		0
1			1	0
		0	1	0

Пример. Если бы функция F была задана выражением x ∨ ¬y, зависящим от двух переменных x и y, а фрагмент таблицы истинности имел бы вид:

		F
1	0	0

тогда 1-му столбцу соответствовала бы переменная y, а 2-му столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 12

Логическая функция F задаётся выражением (x = y)∨(x∧w)∨¬z. Ниже приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

				F
1		0		0
	0		0	0
	0	1		0

		F
1	0	0

Показать решение

Бесплатный интенсив

Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по информатике: разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий + авторские конспекты

Теория для 2 задания ЕГЭ по информатике

Основная тема задания №2 — алгебра логики. С неё и начнём. Для успешного решения номера вам важно знать 3 теоретических момента:

Основные логические операции
Порядок логических операций
Законы логики

Основные логические операции

1. Инверсия «НЕ»
Логическое отрицание
Обозначения: ¬А, Ā
Меняет значение на противоположное

Таблица истинности для инверсии

2. Конъюнкция «И»
Логическое умножение
Обозначения: А∧В, А & В, А и В, AB
Принимает значение «истина», когда все значения единицы.
Хотя бы один 0 обнуляет всё.

Таблица истинности для конъюнкции

3. Дизъюнкция «ИЛИ»
Логическое сложение
Обозначения: А∨В, А | В, А или В
Принимает значение «истина», когда хотя бы одна единица. «Ложь», когда все нули.

Таблица истинности для дизъюнкции

4. Импликация "Если, то"
Следование
Обозначения: А→В, А => В
Из истины следует истина, из лжи что угодно

Таблица истинности для импликации

5. Эквивалентность «Равны»
Тождество
Обозначения: А≡В, А <=> В
Иcтина, когда значения одинаковы. Ложь, когда различны

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок логических операций

Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквивалентность

Законы логики

Законов логики существует огромное количество, но именно для ЕГЭ достаточно знать 10 законов из данной таблицы. Некоторые из них очевидные, некоторые придётся выучить.

Законы логики

Практика

Основных вариантов решения два: логические рассуждения, либо построение таблицы истинности. Иногда проще решать первым методом, иногда вторым.

Первый метод. Логические рассуждения.

Пример:

Логическая функция F задаётся выражением y ∧ (x → z) ∧ ¬w. Во фрагменте таблицы истинности приведены все строки, при которых значение функции F истинно.Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

Статистика выполнения задания 13 ЕГЭ по профилю по годам

Решение:

Итоговая функция всегда истинна для нашей таблицы (единички в значениях F). Заметим, что в последнюю очередь выполняются две конъюнкции, значение которых будет = 1 только тогда, когда значение каждого выражение равно 1.

Вывод:
y = 1
(x → z) = 1
¬w = 1,а значит w = 0

y всегда 1, такой столбик лишь один: y — переменная 4
w всегда 0, такой столбик лишь один: w — переменная 2

Для x и z остаётся переменная 1 и переменная 3. Осталось определится с порядком.
(x → z) = 1, значит не может быть набора, когда x = 1, а z = 0.
Во второй строчке перем1 = 1, а перем3 = 0. Следовательно, z — переменная 1, x — переменная 3.

z — переменная 1
w — переменная 2
x — переменная 3
y — переменная 4
Ответ: zwxy

Второй метод. Таблица истинности

Пример:

Решение:

Итоговая функция всегда равна нулю. Между скобками дизъюнкция, значит обе скобки должны быть ложными. Рассмотрим каждую скобку отдельно:

y → w = 0

¬x ∧ z = 0

Объединяем все переменные в одну таблицу:

Соотносим её с таблицей из условия:
y — переменная 4
w — переменная 2
x — переменная 1
z — переменная 3
Ответ: xwzy

Задание 2. Алгебра логики. Таблицы истинности. ЕГЭ 2024 по информатике

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Теория для 2 задания ЕГЭ по информатике

Основные логические операции

Порядок логических операций

Законы логики

Практика

Популярные материалы

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1

Бесплатный интенсив по информатике

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое. Курс стартует 25 марта.

Задание 2. Алгебра логики. Таблицы истинности. ЕГЭ 2024 по информатике

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Теория для 2 задания ЕГЭ по информатике

Основные логические операции

Порядок логических операций

Законы логики

Практика

Популярные материалы

Бесплатный интенсив по информатике

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое. Курс стартует 25 марта.

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.
Курс стартует 25 марта.

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.
Курс стартует 25 марта.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1