Задание 1. Системы счисления. Математические операции. ЕГЭ 2020 по информатике

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 1 минуты. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 86.2%
Ответом к заданию 1 по информатике может быть цифра (число) или слово.

Задачи для практики

Задача 1

Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 227+214+27+1?

Решение

$2^{27}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 27 нулей.

$2^{14}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 14 нулей.

$2^{7}_{10}=10000000_2$.

$1_{10}=1_2$.

$2^{27}_{10}+2^{14}_{10}+1_2+10000000_2=100...00100...0010000001_2$ – в итоговом числе нули будут стоять с 27-ой до 16-ой, с 14-ой до 9-ой и с 7-ой до 2-ой позиции справа. Единицы находятся на 28-ой, 15-ой, 8-ой и 1-ой позиции. Таким образом, всего нулей 24.

Ответ: 24
Показать решение

Задача 2

Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 224 +218 +26+3?

Решение

$2^{24}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 24 нулей.

$2^{18}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 18 нулей.

$2^{6}_{10}=1000000_2$.

$3_{10}=11_2$.

$2^{24}_{10}+2^{18}_{10}+11_2+1000000_2=100...00100...001000011_2$ – в итоговом числе нули будут стоять с 24-ой до 20-ой, с 18-ой до 8-ой и с 6-ой до 3-ей позиции справа. Единицы находятся на 25-ой, 19-ой, 7-ой, 2-ой и 1-ой позиции. Таким образом, всего нулей 20.

Ответ: 20
Показать решение

Задача 3

Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 216 + 210 + 5?

Решение

$2^{16}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 16 нулей.

$2^{10}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 10 нулей.

$5_{10}=101_2$.

$2^{16}_{10}+2^{10}_{10}+101_2=100...00100...0101_2$ – в итоговом числе нули будут стоять с 16-ой до 12-ой, с 10-ой до 4-ой и на 2-ой позиции справа. Единицы находятся на 17-ой, 11-ой, 3-ей и 1-ой позиции. Таким образом, всего нулей 13.

Ответ: 13
Показать решение

Задача 4

Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 214 + 28 + 7?

Решение

Из формулы представления числа в двоичной системе счисления следует, что имеет место следующее равенство

Учитывая, что 710 = 1112, получаем, 214 + 28 + 710 = 1+ 1000000002 + 1112 = 11000001112.

Следовательно, в двоичной записи заданного числа 5 единиц.

Всего в числе 15 цифр. (Количество цифр в двоичной записи десятичного числа легко определить по наибольшей степени числа 2, входящего в разложение десятичного числа по степеням двойки. Это количество на 1 больше наибольшей степени числа 2.)

Следовательно, количество нулей в искомом числе равно 15 − 5 = 10.

Ответ: 10
Показать решение

Задача 5

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 215 + 29 + 25 + 22 + 2?

Решение

$2^{15}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 15 нулей.

$2^{9}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 9 нулей.

$2^{5}_{10}=100000_2$.

$2^{2}_{10}=100_2$.

$1_{10}=1_2$.

$1_2+100_2+100000_2=100101_2$.

$2^{15}_{10}+2^{9}_{10}+100101_2=1000001000100101_2$.

Таким образом, всего единиц 5.

Ответ: 5
Показать решение

Задача 6

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 215 + 27 + 2 + 1?

Решение

$2^{15}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 15 нулей.

$2^{7}_{10}=100...00_2$ – в числе содержится 7 нулей.

$2_{10}=10_2$.

$1_{10}=1_2$.

$1_2+10_2=11_2$.

$2^{15}_{10}+2^{7}_{10}+11_2=100...00100...011_2$ – в итоговом числе нули будут стоять с 15-ой до 9-ой и с 7-ой до 3-ей позиции справа. Единицы находятся на 16-ой, 8-ой, 2-ей и 1-ой позиции. Таким образом, всего единиц 4.

Ответ: 4
Показать решение

Задача 7

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 212 + 23 + 1?

Решение

Любое число в двоичной системе счисления может быть представлено в виде N = akak−1 . . . a1a0, где ai принимает значения либо 0, либо 1. Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

N = ak2k + ak−12k−1 + . . . a121 + a020.

Отсюда следует, что в двоичной записи десятичного числа 212+23+110 в 12, 3 и 0 позициях стоит 1, а в остальных позициях 0. То есть в двоичной записи заданного числа 3 единицы.

Ответ: 3
Показать решение

Задача 8

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 462910?

Решение

При переводе числа из десятичной системы счисления в двоичную необходимо делить это число на 2, сохраняя остатки от деления, до тех пор, пока от числа не останется единица, также сохраняемая в качестве последнего остатка. Затем, записывая остатки в обратном порядке, получаем двоичную запись исходного числа. Таким образом, $4629_{10}=1001000010101_2$. Количество единиц в этом числе – 5.

Ответ: 5
Показать решение

Задача 9

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 251810?

Решение

При переводе числа из десятичной системы счисления в двоичную необходимо делить это число на 2, сохраняя остатки от деления, до тех пор, пока от числа не останется единица, также сохраняемая в качестве последнего остатка. Затем, записывая остатки в обратном порядке, получаем двоичную запись исходного числа. Таким образом, $2518_{10}=100111010110_2$. Количество единиц в этом числе – 7.

Ответ: 7
Показать решение

Задача 10

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 102610?

Решение

При переводе числа из десятичной системы счисления в двоичную необходимо делить это число на 2, сохраняя остатки от деления, до тех пор, пока от числа не останется единица, также сохраняемая в качестве последнего остатка. Затем, записывая остатки в обратном порядке, получаем двоичную запись исходного числа. Таким образом, $1026_{10}=10000000010_2$. Количество единиц в этом числе – 2.

Ответ: 2
Показать решение

Задача 11

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 102310?

Решение

Переведём число 1023 из десятичной системы в двоичную.

Способ 1. Выполним последовательное деление заданного десятичного числа и затем получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим в качестве частного число, меньшее делителя.

Полученные остатки от деления, записанные в обратном порядке (начиная с последнего), и есть искомое двоичное число.

102310 = 11111111112. В полученном числе 10 единиц.

Способ 2. Заметим, что 102310 = 1024 − 1 = 210 − 1.

Десятичное число 210 в двоичной системе счисления представимо в виде 1 единицы и 10 нулей.

210 = 100000000002. Разность 100000000002 − 12 = 11111111112.

Следовательно, 102310 = 1024 − 1 = 210 − 110 = 100000000002 − 12 = 11111111112.

В полученном числе 10 единиц.

Ответ: 10
Показать решение

Задача 12

Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 70538?

Решение

В восьмеричной записи числа каждый разряд может быть записан как три разряда в двоичной записи этого числа. Таким образом, достаточно перевести каждую цифру из восьмеричной системы счисления в двоичную, чтобы получить верную запись этого числа. Таким образом, $7053_8=111 000 101 011=111000101011_2$. Количество единиц в полученном числе – 7.

Ответ: 7
Показать решение

Задача 13

Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 53128?

Решение

В восьмеричной записи числа каждый разряд может быть записан как три разряда в двоичной записи этого числа. Таким образом, достаточно перевести каждую цифру из восьмеричной системы счисления в двоичную, чтобы получить верную запись этого числа. Таким образом, $5312_8=101 011 001 010=101011001010_2$. Количество единиц в полученном числе – 6.

Ответ: 6
Показать решение

Задача 14

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 7C4F16?

Решение

В шестнадцатеричной записи числа каждый разряд может быть записан как четыре разряда в двоичной записи этого числа. Таким образом, достаточно перевести каждую цифру из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, чтобы получить верную запись этого числа. Таким образом, $7C4F_{16}=0111 1100 0100 1111=111110001001111_2$. Количество единиц в полученном числе – 10.

Ответ: 10
Показать решение

Задача 15

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа F1E416?

Решение

В шестнадцатеричной записи числа каждый разряд может быть записан как четыре разряда в двоичной записи этого числа. Таким образом, достаточно перевести каждую цифру из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, чтобы получить верную запись этого числа. Таким образом, $F1E4_{16}=1111 0001 1110 0100=1111000111100100_2$. Количество единиц в полученном числе – 9.

Ответ: 9
Показать решение

Задача 16

Сколько нулей в восьмеричной записи десятичного числа 8150 + 825 + 9?

Решение

$8^{150}_{10}=100...00_8$ – в числе содержится 150 нулей.

$8^{25}_{10}=100...00_8$ – в числе содержится 25 нулей.

$9_{10}=11_8$.

$8^{150}_{10}+8^{25}_{10}+11_8=100...00100...011_8$ – в итоговом числе нули будут стоять с 150-ой до 27-ой и с 25-ой до 3-ей позиции справа. Единицы находятся на 151-ой, 26-ой, 2-ой и 1-ой позиции. Таким образом, всего нулей 147.

Ответ: 147
Показать решение

Задача 17

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа B7F316?

Решение

Переведём число B7F316 из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Для этого следует заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа соответствующим четырёхразрядным двоичным числом (тетрадой), при этом отбрасывают незначащие нули в старших разрядах.

B7F316 = 10110111111100112. В полученном двоичном числе 12 единиц.

Ответ: 12
Показать решение

Задача 18

Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству 3048 $≤$ x $≤$ D816.

Решение

Переведём оба числа в десятичную систему счисления. $D8_{16}=8·1+13·16=216_{10}$; $304_8=4·1+3·64=196_{10}$. Тогда неравенству будут удовлетворять все натуральные числа от 196 до 216 включительно. Всего таких чисел 21.

Ответ: 21
Показать решение

Задача 19

Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству 110011002 < x $≤$ E316.

Решение

Переведём оба числа в десятичную систему счисления. $Е3_{16}=3·1+14·16=227_{10}$; $11001100_2=1·4+1·8+1·64+1·128=204_{10}$. Тогда неравенству будут удовлетворять все натуральные числа от 205 до 227 включительно. Всего таких чисел 23.

Ответ: 23
Показать решение

Задача 20

Укажите количество решений неравенства 100101002 < x < 2328. x - целое число

Решение

Переведём число 100101002 из двоичной системы счисления в десятичную.

100101002 = 27 + 24 + 22 = 128 + 16 + 4 = 148.

Переведём число 2328 из восьмеричной системы счисления в десятичную.

2328 = 2 · 82 + 3 · 81 + 2 · 80 = 154.

Так как равенство строгое, находим, что между 148 и 154 находится 154 − 148 − 1 = 5 чисел.

Ответ: 5
Показать решение
Показать еще

Готовим к ЕГЭ на 85+ баллов и побеждаем лень

Каждый месяц 12 онлайн-занятий в дружелюбной атмосфере + 16 домашних работ с жесткими сроками.
Не готовишься — вылетаешь.

Подробнее о курсе