Задание 8. Алгебраические выражения. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения ${1}/{2+√3}+{1}/{2-√3}$.
Решение
Приведём дроби к общему знаменателю:
${1}/{2+√3}+{1}/{2-√3}={(2-√3)+(2+√3)}/{(2+√3)(2-√3)}$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов:
$(2+√3)(2-√3)=2^2-(√3)^2=4-3=1$.
Тогда:
${4}/{1}=4$.
Ответ: 4.
Задача 2
Найдите значение выражения ${(3√2)^2}/{180}$.
Решение
Используем свойство квадрата произведения:
$(3√2)^2=3^2·(√2)^2=9·2=18$.
Тогда выражение примет вид:
${18}/{180}=0,1$.
Ответ: 0,1.
Задача 3
Найдите значение выражения ${(3·10)^8}/{3^6·10^7}$.
Решение
Используем свойство степени произведения:
$(3·10)^8=3^8·10^8$.
Тогда выражение примет вид:
${3^8·10^8}/{3^6·10^7}$.
Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$3^{8-6}·10^{8-7}=3^2·10^1=9·10=90$.
Ответ: 90.
Задача 4
Найдите значение выражения ${1}/{5^{-8}}·{1}/{5^6}$.
Решение
Используем свойство степени с отрицательным показателем:
${1}/{5^{-8}}=5^8$.
Тогда выражение примет вид:
$5^8·{1}/{5^6}$.
Представим вторую дробь как степень:
${1}/{5^6}=5^{-6}$.
Получаем:
$5^8·5^{-6}=5^{8-6}=5^2=25$.
Ответ: 25.
Задача 5
Найдите значение выражения $√{{1}/{9}·x^2y^6}$ при $x=7$ и $y=3$.
Решение
Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов:
$√{{1}/{9}·x^2y^6}=√{({1}/{3})^2·x^2·(y^3)^2)}$.
Тогда:
$√{({1}/{3})^2·x^2·(y^3)^2)}={1}/{3}·x·y^3$.
Подставим значения $x=7$ и $y=3$:
${1}/{3}·7·3^3={1}/{3}·7·27=63$.
Ответ: 63.
Задача 6
Найдите значение выражения $(√125+√5)·√5$.
Решение
Представим первый корень в более удобном виде:
$√125=√(25·5)=5√5$.
Тогда:
$(5√5+√5)·√5=6√5·√5=6·5=30$.
Ответ: 30.
Задача 7
Найдите значение выражения $(√5+9)^2-18√5$.
Решение
Используем формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Тогда:
$(√5+9)^2=(√5)^2+2·√5·9+9^2=5+18√5+81=86+18√5$.
Подставим в исходное выражение:
$86+18√5-18√5=86$.
Ответ: 86.
Задача 8
Найдите значение выражения ${a^{16}·a^{-7}}/{a^6}$ при $a=3$.
Решение
Используем свойства степеней.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
$a^{16}·a^{-7}=a^{16+(-7)}=a^9$.
Теперь разделим степени с одинаковым основанием:
${a^9}/{a^6}=a^{9-6}=a^3$.
Подставим значение $a=3$:
$3^3=27$.
Ответ: 27.
Задача 9
Найдите значение выражения $√{a^2-6ab+9b^2}$ при $a=3$ и $b=6$.
Решение
Заметим, что подкоренное выражение является квадратом разности:
$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$.
Тогда:
$√{a^2-6ab+9b^2}=|a-3b|$.
Подставим значения:
$|3-3·6|=|3-18|=15$.
Ответ: 15.
Задача 10
Найдите значение выражения $√{{25a^{15}}/{a^9}}$ при $a=2$.
Решение
Упростим выражение под знаком корня:
${25a^{15}}/{a^9}=25a^{15-9}=25a^6$.
Тогда:
$√{25a^6}=5a^3$.
Подставим значение $a=2$:
$5·2^3=5·8=40$.
Ответ: 40.
Задача 11
Найдите значение выражения ${(8^3)^{-7}}/{8^{-23}}$.
Решение
Используем свойство степени степени:
$(8^3)^{-7}=8^{3·(-7)}=8^{-21}$.
Тогда выражение примет вид:
${8^{-21}}/{8^{-23}}=8^{-21-(-23)}=8^2=64$.
Ответ: 64.
Задача 12
Найдите значение выражения $4√17·5√2·√34$.
Решение
Сначала перемножим коэффициенты:
$4·5=20$.
Объединим корни:
$√17·√2·√34=√(17·2·34)$.
Так как $34=17·2$, получаем:
$√(17·2·17·2)=√((17·2)^2)=17·2=34$.
Тогда значение выражения равно:
$20·34=680$.
Ответ: 680.
Задача 13
Найдите значение выражения ${4^4}/{64}$.
Решение
Представим число 64 в виде степени с основанием 4:
$64=4^3$.
Тогда выражение примет вид:
${4^4}/{4^3}=4^{4-3}=4^1=4$.
Ответ: 4.
Задача 14
Найдите значение выражения $(√19-√2)(√19+√2)$.
Решение
Используем формулу разности квадратов:
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Тогда:
$(√19-√2)(√19+√2)=(√19)^2-(√2)^2=19-2=17$.
Ответ: 17.
Задача 15
Найдите значение выражения ${5^9·9^6}/{45^6}$.
Решение
Представим число 45 в виде произведения:
$45=5·9$.
Тогда:
$45^6=(5·9)^6=5^6·9^6$.
Подставим в выражение:
${5^9·9^6}/{5^6·9^6}=5^{9-6}·9^{6-6}=5^3·9^0=125·1=125$.
Ответ: 125.
Задача 16
Найдите значение выражения ${√8·√192}/{√24}$.
Решение
Объединим корни, используя свойства квадратных корней:
${√8·√192}/{√24}=√{{8·192}/{24}}$.
Вычислим значение подкоренного выражения:
${8·192}/{24}=64$.
Тогда:
$√64=8$.
Ответ: 8.
Задача 17
Найдите значение выражения $√{{16x^4}/{y^{10}}}$ при $x=8$ и $y=2$.
Решение
Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов:
$√{{16x^4}/{y^{10}}}=√{{4^2·(x^2)^2}/{(y^5)^2}}$.
Тогда:
$√{{4^2·(x^2)^2}/{(y^5)^2} }={4·x^2}/{y^5}$.
Подставим значения $x=8$ и $y=2$:
${4·8^2}/{2^5}={4·64}/{32}=8$.
Ответ: 8.
Задача 18
Найдите значение выражения $(√32-√2)·√2$.
Решение
Представим первый корень в более удобном виде:
$√32=√(16·2)=4√2$.
Тогда:
$(4√2-√2)·√2=3√2·√2=3·2=6$.
Ответ: 6.
Задача 19
Найдите значение выражения $7^{-6}·(7^2)^4$.
Решение
Используем свойство степени степени:
$(7^2)^4=7^{2·4}=7^8$.
Тогда выражение примет вид:
$7^{-6}·7^8=7^{-6+8}=7^2=49$.
Ответ: 49.
Задача 20
Найдите значение выражения $√{a^2+8ab+16b^2}$ при $a=3$ и $b=-4$.
Решение
Заметим, что подкоренное выражение является квадратом суммы:
$a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2$.
Тогда:
$√{a^2+8ab+16b^2}=|a+4b|$.
Подставим значения:
$|3+4·(-4)|=|3-16|=13$.
Ответ: 13.
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
