Задание 8. Алгебраические выражения. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения ${11^{-3}·11^{12}}/{11^8}$
Решение
Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^x⋅a^y =a^{x+y}$ :
${11^{-3}·11^{12}}/{11^8}={11^{-3+12}}/{11^8}={11^9}/{11^8}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ${a^x}/ {a^y} = a^{x−y}$ :
${11^9}/{11^8}=11^{9-8}=11^1=11$
Задача 2
Найдите значение выражения ${(4⋅5)^7}/{4^5⋅5^7}$
Решение
Воспользуемся свойством степени $(a⋅b)^x=a^x⋅b^x $:
${(4⋅5)^7}/{4^5⋅5^7}={4^7⋅5^7}/{4^5⋅5^7}={4^7}/{4^5}⋅{5^7}/{5^7}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ${a^x}/ {a^y} = a^{x−y}$ :
${4^7}/{4^5}⋅{5^7}/{5^7} = 4^{7-5}⋅5^{7-7}=4^2=16$
Задача 3
Найдите значение выражения $ {15^{8}}/ {3^{6}⋅5^{7}}$
Решение
$ {15^{8}}/ {3^{6}⋅5^{7}} = {(3 ⋅ 5)^{8}} / {3^{6}⋅5^{7}} = {3^{8} ⋅ 5^{8}} / {3^{6}⋅5^{7}} = 3^{8-6} ⋅ 5^{8-7} = 3^{2} ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 $
1) Представить 15, как произведение 3 на 5
Задача 4
Найдите значение выражения $ √{a^{2} + 4ab+4b^{2}}$ при $ a=2 , b= -4 $
Решение
$ √{a^{2} + 4ab+4b^{2}} = √{(a+2b)^{2}} = a+2b = 2 + 2⋅(-4) = 2-8=-6 $
1) Cвернуть выражение под корнем по формуле квадрата суммы: $ (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} $
2) Квадрат убирает корень
3) Подставить значения a и b
Задача 5
Найдите значение выражения $ (√{11} - 7)^{2} + 14√{11} $
Решение
$ (√{11} - 7)^{2} + 14√{11} = √{11^{2}} - 2 ⋅ 7 ⋅ √{11} + 7^{2} + 14√{11} = 11-14√{11}+49 +14√{11} = 11+49 = 60 $
1) Раскрыть выражение в скобках по формуле квадрата разности: $ (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2} $
2) Привести подобные слагаемые
Задача 6
Найдите значение выражения $ {(a^{7})^{3} ⋅ a^{10}}/ {a^{28}}$ при a=4
Решение
$ {(a^{7})^{3} ⋅ a^{10}}/ {a^{28}} = {a^{7⋅3} ⋅ a^{10}}/ {a^{28}} = {a^{21} ⋅ a^{10}}/ {a^{28}} = {a^{21+10}} / {a^{28}} = {a^{31}} / {a^{28}} = a^{31-28} = a^{3} = 4^{3} = 64 $
1) При возведении степени еще в степень, показатели степеней перемножаются
2) При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются
3) При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются
Задача 7
Найдите значение выражения $ {a^{17} ⋅ a^{-6}}/ {a^{9}}$ при a=4
Решение
$ {a^{17} ⋅ a^{-6}}/ {a^{9}} = {a^{17+(-6)}} /{a^{9}} = {a^{11}}/{a^{9}} = a^{11-9}=a^{2} = 4^{2} = 16$
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются
Задача 8
Найдите значение выражения $ (√{3} + 8)^{2} - 16√{3} $
Решение
$ (√{3} + 8)^{2} - 16√{3} = √{3^{2}} + 2 ⋅ 8 ⋅ √{3} + 8^{2} - 16√{3} = 3+16√{3}+64 -16√{3} = 3+64 = 67 $
1) Раскрыть выражение в скобках по формуле квадрата суммы: $ (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} $
2) Привести подобные слагаемые
Задача 9
Найдите значение выражения $ (√{7} - √{5}) (√{7} + √{5}) $
Решение
$ (√{7} - √{5}) (√{7} + √{5}) = √{7^{2}} - √{5^{2}} = 7-5 = 2 $
1) Свернуть выражение под корнем по формуле разности квадратов: $ a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) $
2) Избавиться от корня
Задача 10
Найдите значение выражения ${(6^2)^{-9}}/{6^{-20}}$
Решение
Воспользуемся свойством степени $(a^x)^y = a^{x⋅y}$:
${(6^2)^{-9}}/{6^{-20}} = {6^{2⋅(-9)}}/{6^{-20}}={6^{-18}}/{6^{-20}}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ${a^x}/ {a^y} = a^{x−y}$ :
${6^{-18}}/{6^{-20}}=6^{-18-(-20)}=6^{-18+20}=6^2=36$
Задача 11
Найдите значение выражения $ (√{19} - √{2}) (√{19} + √{2}) $
Решение
$ (√{19} - √{2}) (√{19} + √{2}) = √{19^{2}} - √{2^{2}} = 19-2 = 17 $
1) Свернуть выражение под корнем по формуле разности квадратов: $ a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) $
2) Избавиться от корня
Задача 12
Найдите значение выражения $ √{16a^{2} + 8ab+b^{2}}$ при $ a={3}/{11} , b=5 {10} /{11}$
Решение
$ √{16a^{2} + 8ab+b^{2}} = √{(4a+b)^{2}} = 4a+b = {4} /{1} ⋅ {3} /{11}+5 {10} /{11} = {12} /{11}+ {65} /{11} = {77} /{11} = 7 $
1) Cвернуть выражение под корнем по формуле квадрата суммы: $ (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} $
2) Квадрат убирает корень
3) Подставить значения a и b
Задача 13
Найдите значение выражения $√ {{105} / {4}}⋅√ {{4} / {15}}⋅√ 7$.
Решение
$√ {{105} / {4}⋅{{4} / {15}}$ ⋅ $√ 7$=$√7⋅ √ 7 = 7$.
Задача 14
Найдите значение выражения $ {(5⋅ 10^{-2})}^3⋅ (2⋅10^{4})$.
Решение
Задача 15
Найдите значение выражения ${p^2+20p+100} / {p-10}:(p+10) $ при $p=-40 $.
Решение
${p^2+20p+100} / {p-10}:(p+10)={(p+10)^2}/{p-10}⋅1/{p+10}={p+10}/{p-10} $
При $p=-40$: $ {-40+10}/{-40-10}={-30}/{-50}=0,6$ .
Задача 16
Найдите значение выражения ${1{,}4⋅ 10^{-5}} / {2⋅10^{-6}}$.
Решение
${1{,}4⋅ 10^{-5}} / {2⋅10^{-6}}=0.7⋅(10)^(-5-(-6))=0.7⋅10^(-5+6)=0.7⋅10=7$.
Задача 17
Найдите значение выражения ${480} / {(8√ 5)^2}$.
Решение
${480} / {(8√ 5)^2}=480/{64*5}=60/{8*5}=15/{2*5}=15/10=1,5$.
1) Когда произведение возводится в степень - возводится в эту степень каждый из множителей
2) Сокращаем дроби
Задача 18
Найдите значение выражения $ 6p+{4q-6p^2} / {p}$ при $p=-80, q=5 $.
Решение
$ 6p+{4q-6p^2} / {p}={6p⋅p}/{p}+{4q-6p^2} / {p}={6p^2+(4q-6p^2)}/p={6p^2+4q-6p^2}/p={4q}/p$.
При $p=-80, q=5 $: ${4⋅5}/{-80}=-1/4=-0,25$ .
Задача 19
Найдите значение выражения $ {(3⋅ 10^3)}^2⋅ (4⋅10^{-5})$.
Решение
$ {(3⋅ 10^3)}^2⋅ (4⋅10^{-5})=3^2⋅10^6⋅4⋅10^{-5}=9⋅4⋅10^{6+(-5)}=36⋅10=360$
Задача 20
Найдите значение выражения $5√ {2}⋅ √ {80} ⋅ 3√ {10}$.
Решение
$5√ {2}⋅ √ {80} ⋅ 3√ {10}=5⋅3⋅√ {2⋅80⋅10}=15√ {1600}=15⋅40=600$.
1) Перемножаем отдельно корни с корнями, числа с числами
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
