Задание 21. Текстовые задачи. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные – 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?
Решение
В 6 кг высушенных фруктов воды 30%, а сухого вещества: $100 – 30 = 70%$
Масса (для обоих видов фруктов она одинакова) сухого вещества в 6 кг высушенных фруктов: $6·0,7 = 4,2 кг$
Свежие фрукты содержат 88% воды, а сухого вещества: $100 – 88 = 12%$
Если получившаяся масса сухого вещества из свежих абрикосов 4,2 кг и это 12%, то 1% равен: $4,2:12 = 0,35 кг$
Изначально свежих фруктов было 100% – это: $0,35·100 = 35 кг$
Задача 2
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?
Решение
Пусть пропускная способность первой трубы $х$ л/мин, тогда второй $х + 15$ л/мин. Время первой ${100}/{x}$ минут, а второй ${100}/{x+15}$ минут. Зная, что первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше составим уравнение:
${100}/{x+15} + 6 = {100}/{x}$
Приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, делим все уравнение на 3 и получим квадратное уравнение:
$x^2+15x-250=0$
Решаем через дискриминант и получим корни:
$x_1=-25$ - не удовлетворяет условию задачи
$x_2=10 $
Ответ: 10
Задача 3
Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение
Пусть второй рабочий делает за час $х$ деталей, тогда первый рабочий $х + 6$ деталей. Второй рабочий выполнит заказ за ${140}/{x}$ часов, а первый за ${140}/{x+6}$ часов. Зная, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй, составим уравнение:
${140}/{x+6} + 3 = {140}/{x}$
Приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, делим все уравнение на 3 и получим квадратное уравнение:
$x^2+6x-280=0$
Решаем через дискриминант и получим корни:
$x_1=-20$ - не удовлетворяет условию задачи
$x_2=14 $
Второй рабочий делает 14 деталей в час, тогда первый рабочий делает на 6 деталей больше:
$14 + 6 = 20$ деталей в час
Ответ: 20
Задача 4
Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные – 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
Решение
В 222 кг свежих фруктов воды 72%, а сухого вещества: $100 – 72 = 28%$
Масса (для обоих видов фруктов она одинакова) сухого вещества в 222 кг высушенных фруктов: $222·0,28 = 62,16 кг$
Сухие фрукты содержат 26% воды, а сухого вещества: $100 – 26 = 74%$
Если масса сухого вещества в сухих фруктов 62,16 кг и это 74%, то 1% равен: $62,16:74 = 0,84 кг$
Изначально сухих фруктов было 100% – это: $0,84·100 = 84 кг$
Задача 5
Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй – 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение
Обозначим за х кислотность первого раствора, а за у второго.
Масса кислоты первого будет 40х, а второго 25у, сложив их получим новый раствор (1+2) с массой кислоты $65·0,3$.
Если смешать растворы одинаковой массы, возьмём по 25 кг (что бы сократилась переменная y в системе уравнений), то получим раствор (3) с массой кислоты $50·0,36$. Составим систему уравнений:
$\{{\table {40x+25y=65⋅0,3{,}}; {25x+25y=50⋅0,36}.}$
Вычтем из первого уравнения второе:
$40х + 25у – 25х – 25у = 65·0,3 – 50·0,36$
$15х = 65·0,3 – 50·0,36$
$15х = 1,5$
$x=0,1$
Найдём cколько процентов кислоты содержится в первом сосуде:
$0,1·100% = 10%$
Задача 6
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй. Поэтому он выполняет заказ из 200 деталей на 2 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение
Пусть второй рабочий делает за час $х$ деталей, тогда первый рабочий $х + 5$ деталей. Второй рабочий выполнит заказ за ${200}/{x}$ часов, а первый за ${200}/{x+5}$ часов. Зная, что первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее, чем второй, составим уравнение:
${200}/{x+5} + 2 = {200}/{x}$
Приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:
$x^2+5x-500=0$
Решаем через дискриминант и получим корни:
$x_1=-25$ - не удовлетворяет условию задачи
$x_2=20 $
Второй рабочий делает 20 деталей в час, а первый рабочий делает на 5 деталей больше:
$20 + 5 = 25$ деталей в час
Ответ: 25
Задача 7
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 90 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть $x$ км/ч - скорость первого теплохода, тогда $x+1$ км/ч - скорость второго. Выразим время.
${90}/{x}$ - время первого теплохода, ${90}/{x+1}$ - время второго теплохода. Составим и решим уравнение c учетом того, что второй выехал на час позже:
${90}/{x}$=${90}/{x+1}+1$
Приводим к общему знаменателю и отбрасываем знаменатель, получаем квадратное уравнение:$x^2+x-90=0$
Решаем дискриминант, получаем корни:
$x_1=-10$ - не удовлетворяет условию задачи, скорость не может быть отрицательной
$x_2=9$ - скорость первого теплохода
Найдем скорость второго теплохода: $9+1=10$ км/ч (так как скорость второго на 1 км/ч больше)
Задача 8
Свежая свёкла содержит $75%$ воды, а сушёная — $8%$. Сколько требуется свежей свёклы для приготовления $8$ кг высушенной?
Решение
Задача 9
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $108$ км/ч, проезжает мимо придорожного столба за $11$ секунд. Найдите длину поезда в метрах
Решение
Задача 10
Дорога между пунктами $A$ и $B$ через горный перевал состоит из подъёма и спуска, а её длина равна $91$ км. Велосипедист проехал из $A$ в $B$ за $4$ часа, из которых спуск занял $2,5$ часа. С какой скоростью велосипедист ехал на подъёме, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на $14$ км/ч?
Решение
Задача 11
Первые $42$ км теплоход шёл со скоростью $12$ км/ч, следующие $325$ км — со скоростью $26$ км/ч, а последние $128$ км — со скоростью $32$ км/ч. Найдите среднюю скорость теплохода на протяжении всего пути.
Решение
Задача 12
Туристы на катамаране в $9$ часов утра отправились от пристани против течения реки. Через некоторое время катамаран остановился у острова, где пробыл $3$ часа, и вернулся обратно в $14$ часов того же дня. На какое расстояние от пристани отплыл катамаран, если скорость течения реки равна $1$ км/ч, а собственная скорость катамарана равна $10$ км/ч?
Решение
Задача 13
Из городов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали трактор и велосипедист. Трактор приехал в $B$ на $2$ часа раньше, чем велосипедист приехал в $A$, а встретились они через $2$ часа $24$ минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из $B$ в $A$ велосипедист?
Решение
Задача 14
Дорога между отелем и водопадом состоит из подъёма и спуска, а её длина равна $15$ км. Турист прошёл путь от отеля до водопада за $4$ часа, из которых спуск занял $1$ час. С какой скоростью турист шёл на подъёме, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на $3$ км/ч?
Решение
Задача 15
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно $68$ км/ч и $44$ км/ч. Длина товарного поезда равна $500$ метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно $2$ минутам. Ответ дайте в метрах.
Решение
Задача 16
Яхта прошла против течения $45$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $1,5$ часа меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения равна $4$ км/ч.
Решение
Задача 17
Первая бригада за день делает на $15$ приборов больше, чем вторая, и заканчивает работу над заказом, состоящим из $270$ приборов, на $3$ дня раньше, чем вторая бригада, выполняющая такой же заказ. Сколько приборов в день делает вторая бригада?
Решение
Задача 18
Две яхты одновременно отправляются на $96$-километровую регату. Первая идёт со скоростью, на $8$ км/ч большей, чем вторая, и прибывает к финишу на $1$ час раньше второй. Найдите скорость яхты, пришедшей к финишу второй. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Задача 19
Из $A$ в $B$ одновременно выехали два мотоциклиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на $15$ км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $90$ км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым мотоциклистом. Найдите скорость первого мотоциклиста, если известно, что она больше $50$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Задача 20
Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью $70$ км/ч, вторую — со скоростью $56$ км/ч, а третью — со скоростью $80$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
