Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 4
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 5
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 6
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 7
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 8
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 11
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 12
В квадратном уравнении $3x^2-8x+5m=0$ один из корней равен $5/3$. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=5/3$ в уравнение:
$3*(5/3)^2-8*(5/3)+5m=0$
$3*(25/9)-8*(5/3)+5m=0$
$25/3-40/3+5m=0$
$-15/3+5m=0$
$-5+5m=0$
$5m=5$
$m=1$
Подставим $m=1$ в исходное уравнение: $3x^2-8x+5=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=5/3; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен $x=5/3$, в ответ записываем второй корень $x=1$
Задача 13
Решить уравнение: $(3x-1)^2(x-3)=(3x-1)(x-3)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(3x-1)^2(x-3)-(3x-1)(x-3)^2=0$
$(3x-1)(x-3)·(3x-1-(x-3))=0$
$(3x-1)(x-3)·(3x-1-x+3)=0$
$(3x-1)(x-3)(2x+2)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$3x-1=0 ⇒ x=1/3$
$x-3=0 ⇒ x=3$
$2x+2=0 ⇒ x=-1$
Наибольший корень: $x=3$
Задача 14
Решить уравнение: $x^2-x^3+3-3x=0$.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(1-x)+3(1-x)=0$
$(1-x)(x^2+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \1-x=0; \x^2+3=0;$
$[\table \x=1; \x=\text"корней нет";$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 15
Решить уравнение: $x^4-6x^2+8=0$. В ответ запишите наибольший целый корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-6x^2+8=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-6t+8=0$
Корни уравнения: $t_1=2, t_2=4$
Обратная замена:
$x^2=2 ⇒$ $x=±√2$
$x^2=4 ⇒$ $x=±2$
По условию необходимо записать наибольший целый корень, то есть $x=2$
Задача 16
Решить уравнение: $x^6=(x+2)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(x+2)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=x+2$
$x^2-x-2=0 ⇒ x_1=-1, x_2=2$
Наибольший корень: $x=2$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 17
Решить уравнение: $x^2+2x+√(2-x)=√(2-x)+15$
Решение
Ограничение: $2-x≥0 \text' '⇒\text' 'x≤2$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+2x-15=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-5, x_2=3$
Поскольку $x≤2$, единственный корень уравнения $x=-5$
Задача 18
Решить уравнение: $(x-1)^4-29(x-1)^2+100=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-1)^2)^2-29(x-1)^2+100=0$
Замена: $(x-1)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-29t+100=0$
Корни уравнения: $t_1=4, t_2=25$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-1)^2=4 ⇒x^2-2x-3=0⇒x_1=-1, x_2=3$
$(x-1)^2=25 ⇒x^2-2x-24=0⇒x_1=-4, x_2=6$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=-4$
Задача 19
Решить уравнение: $(x-8)^2=(1-x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(x-8)^2-(1-x)^2=0$
$(x-8-(1-x))(x-8+(1-x))=0$
$(x-8-1+x)(x-8+1-x)=0$
$(2x-9)·(-7)=0$
$2x-9=0$
$x=4,5$
Задача 20
Решить уравнение: $(x-5)(x-6)(x-8)=(x-6)(x-8)(x-9)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-5)(x-6)(x-8)-(x-6)(x-8)(x-9)=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-(x-9))=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-x+9)=0$
$(x-6)(x-8)·4=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-6=0 \text' '⇒\text' 'x=6$
$x-8=0 \text' '⇒\text' 'x=8$
В ответ необходимо записать наибольший корень, то есть $x=8$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ОГЭ
