Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 3
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 4
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 6
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 7
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 8
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $x^6=(12-x)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(12-x)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=12-x$
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
Наибольший корень: $x=3$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 13
Решить уравнение: $1/(x-1)^2+1/(x-1)-12=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Замена: $1/(x-1)=t$
$t^2+t-12=0 ⇒ t_1=-4, t_2=3$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-1≠0 ⇒ x≠1$)
$1/(x-1)=-4 ⇒ x=3/4$
$1/(x-1)=3 ⇒ x=4/3$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=3/4=0,75$
Задача 14
Решить уравнение: $5/(x-1)^2-3/(x-1)-2=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x-1)=t$
$5t^2-3t-2=0 ⇒ t_1=-2/5, t_2=1$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-1≠0 ⇒ x≠1$)
$1/(x-1)=-2/5 ⇒ x=-1,5$
$1/(x-1)=1 ⇒ x=2$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=2$
Задача 15
Решить уравнение: ${2x^2+5x-88}/{x^2-64}=1$
Решение
Ограничение: $x^2-64≠0 ⇒ x≠±8$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-1=0$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-{x^2-64}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-(x^2-64)}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-x^2+64}/{x^2-64}=0$
${x^2+5x-24}/{x^2-64}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±8$)
$x^2+5x-24=0 ⇒ x_1=-8 \text ' (не подходит) ', x_2=3 ⇒ x=3$
Задача 16
Решить уравнение: $6x^2+3x-5=(x+1)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$6x^2+3x-5=x^2+2x+1$
$6x^2+3x-5-x^2-2x-1=0$
$5x^2+x-6=0$
$x_1=-6/5, x_2=1$
Наибольший корень уравнения: $x=1$
Задача 17
Решить уравнение: $(4x-1)^2=(3-4x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(4x-1)^2-(3-4x)^2=0$
$(4x-1-(3-4x))(4x-1+(3-4x))=0$
$(4x-1-3+4x)(4x-1+3-4x)=0$
$(8x-4)·2=0$
$8x-4=0$
$x=0,5$
Задача 18
Решить уравнение: $8x^3-4x^2-72x+36=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(8x-4)-9(8x-4)=0$
$(8x-4)(x^2-9)=0$
$(8x-4)(x-3)(x+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \8x-4=0; \x-3=0; \x+3=0$
$[\table \x=0,5; \x=3; \x=-3$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-3$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 19
Решить уравнение: $(x-1)(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)(x-4)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-1)(x-2)(x-3)-(x-2)(x-3)(x-4)=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-(x-4))=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-x+4)=0$
$(x-2)(x-3)·3=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-2=0 \text' '⇒\text' 'x=2$
$x-3=0 \text' '⇒\text' 'x=3$
В ответ необходимо записать набольший корень, то есть $x=3$
Задача 20
В квадратном уравнении $8x^2-10x+m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$8-10+m=0$
$-2+m=0$
$m=2$
Подставим $m=2$ в исходное уравнение: $8x^2-10x+2=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=0,25; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=0,25$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
