Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 4
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 5
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 7
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 8
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 9
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 11
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $(x-5)(x-6)(x-8)=(x-6)(x-8)(x-9)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-5)(x-6)(x-8)-(x-6)(x-8)(x-9)=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-(x-9))=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-x+9)=0$
$(x-6)(x-8)·4=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-6=0 \text' '⇒\text' 'x=6$
$x-8=0 \text' '⇒\text' 'x=8$
В ответ необходимо записать наибольший корень, то есть $x=8$
Задача 13
Решить уравнение: $(x^2-16)^2+(x^2-x-20)^2=0$
Решение
Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-16=0}; {x^2-x-20=0};}$
$\{{\table {x_1=-4, x_2=4}; {x_1=-4, x_2=5};}$
Решение системы: $x=-4$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.
Задача 14
Решить уравнение: $(x-4)^4+4(x-4)^2-32=0$.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$
Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
Задача 15
Решить уравнение: $(4x-1)^2=(3-4x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(4x-1)^2-(3-4x)^2=0$
$(4x-1-(3-4x))(4x-1+(3-4x))=0$
$(4x-1-3+4x)(4x-1+3-4x)=0$
$(8x-4)·2=0$
$8x-4=0$
$x=0,5$
Задача 16
Решить уравнение: ${2x^2+x-16}/{x^2-4}=1$. В ответ запишите сумму получившихся корней.
Решение
Ограничение: $x^2-4≠0 ⇒ x≠±2$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-1=0$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-{x^2-4}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-(x^2-4)}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-x^2+4}/{x^2-4}=0$
${x^2+x-12}/{x^2-4}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±2$)
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
По условию необходимо записать в ответ сумму корней, то есть $x_1+x_2=-4+3=-1$
Задача 17
Решить уравнение: $(x-5)^4-22(x-5)^2-75=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-5)^2)^2-22(x-5)^2-75=0$
Замена: $(x-5)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-22t-75=0$
Корни уравнения: $t_1=-3 \text ' (не подходит)', t_2=25$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-5)^2=25 ⇒x^2-10x=0⇒x_1=0, x_2=10$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=0$
Задача 18
Решить уравнение: $8x^3-4x^2-72x+36=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(8x-4)-9(8x-4)=0$
$(8x-4)(x^2-9)=0$
$(8x-4)(x-3)(x+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \8x-4=0; \x-3=0; \x+3=0$
$[\table \x=0,5; \x=3; \x=-3$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-3$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 19
Решить уравнение: ${2x^2+5x-88}/{x^2-64}=1$
Решение
Ограничение: $x^2-64≠0 ⇒ x≠±8$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-1=0$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-{x^2-64}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-(x^2-64)}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-x^2+64}/{x^2-64}=0$
${x^2+5x-24}/{x^2-64}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±8$)
$x^2+5x-24=0 ⇒ x_1=-8 \text ' (не подходит) ', x_2=3 ⇒ x=3$
Задача 20
Решить уравнение: $x^4-17x^2+16=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-17x^2+16=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-17t+16=0$
Корни уравнения: $t_1=1, t_2=16$
Обратная замена:
$x^2=1 ⇒$ $x=±1$
$x^2=16 ⇒$ $x=±4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=4$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
