Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 3
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 4
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 5
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 7
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 8
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $x^4+8x^2-9=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2+8x^2-9=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+8t-9=0$
Корни уравнения: $t_1=-9 \text ' (не подходит)', t_2=1$
Обратная замена:
$x^2=1 ⇒$ $x=±1$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=1$
Задача 13
Решить уравнение: $7x^3-7x^2-63x+63=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(7x-7)-9(7x-7)=0$
$(7x-7)(x^2-9)=0$
$(7x-7)(x-3)(x+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \7x-7=0; \x-3=0; \x+3=0$
$[\table \x=1; \x=3; \x=-3$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-3$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 14
Решить уравнение: $31x^2-24x-3=(3-x)^2$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$31x^2-24x-3=9-6x+x^2$
$31x^2-24x-3-9+6x-x^2=0$
$30x^2-18x-12=0$
$x_1=-2/5, x_2=1$
Наименьший корень уравнения: $x=-2/5=-0,4$
Задача 15
Решить уравнение: ${3x^2-11x+8}/{x^2-1}=1$.
Решение
Ограничение: $x^2-1≠0 ⇒ x≠±1$
${3x^2-11x+8}/{x^2-1}-1=0$
${3x^2-11x+8}/{x^2-1}-{x^2-1}/{x^2-1}=0$
${3x^2-11x+8-(x^2-1)}/{x^2-1}=0$
${3x^2-11x+8-x^2+1}/{x^2-1}=0$
${2x^2-11x+9}/{x^2-1}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±1$)
$2x^2-11x+9=0 ⇒ x_1=1 \text ' (не подходит) ', x_2=4,5 ⇒ x=4,5$
Задача 16
Решить уравнение: $x^4=(12-x)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(12-x)^2$
$(x^2)^2-(12-x)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(12-x))(x^2+(12-x))=0$
$(x^2+x-12)(x^2-x+12)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
$x^2-x+12=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=3$
Задача 17
В квадратном уравнении $8x^2-10x+m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$8-10+m=0$
$-2+m=0$
$m=2$
Подставим $m=2$ в исходное уравнение: $8x^2-10x+2=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=0,25; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=0,25$
Задача 18
Решить уравнение: $1/(x-3)^2-1/(x-3)-2=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Замена: $1/(x-3)=t$
$t^2-t-2=0 ⇒ t_1=-1, t_2=2$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-3≠0 ⇒ x≠3$)
$1/(x-3)=-1 ⇒ x=2$
$1/(x-3)=2 ⇒ x=3,5$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=2$
Задача 19
Решить уравнение: $(3x-4)^2=(8-3x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(3x-4)^2-(8-3x)^2=0$
$(3x-4-(8-3x))(3x-4+(8-3x))=0$
$(3x-4-8+3x)(3x-4+8-3x)=0$
$(6x-12)4=0$
$6x-12=0$
$x=2$
Задача 20
Решить уравнение: $(x-4)^4+4(x-4)^2-32=0$.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$
Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
