Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите уравнение $x^4=(2x-3)^2$. Если корней несколько, в ответ запишите меньший из них.
Решение
Перенесём всё в одну сторону:
$x^4-(2x-3)^2=0$.
Применим формулу разности квадратов:
$(x^2-(2x-3))·(x^2+(2x-3))=0$.
Получим:
$(x^2-2x+3)·(x^2+2x-3)=0$.
Решим первое уравнение:
$x^2-2x+3=0$.
$D=(-2)^2-4·1·3=-8<0$.
Корней нет.
Решим второе уравнение:
$x^2+2x-3=0$.
$D=2^2-4·1·(-3)=16$.
$x_1={-2-4}/{2}$=-3.
$x_2={-2+4}/{2}$=1.
По условию необходимо записать меньший из найденных корней.
Ответ: -3.
Задача 2
Решите систему уравнений: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Задача 3
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 5
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 6
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 7
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 8
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 12
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 13
Решить уравнение: $x^2+6x+√(x-1)=√(x-1)+7$
Решение
Ограничение: $x-1≥0 \text' '⇒\text' 'x≥1$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+6x-7=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-7, x_2=1$
Поскольку $x≥1$, единственный корень уравнения $x=1$
Задача 14
Решить уравнение: $(1-x)(2-x)(3-x)=(2-x)(3-x)(4-x)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(1-x)(2-x)(3-x)-(2-x)(3-x)(4-x)=0$
$(2-x)(3-x)(1-x-(4-x))=0$
$(2-x)(3-x)(1-x-4+x)=0$
$(2-x)(3-x)·(-3)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$2-x=0 \text' '⇒\text' 'x=2$
$3-x=0 \text' '⇒\text' 'x=3$
В ответ необходимо записать наибольший корень, то есть $x=3$
Задача 15
Решить уравнение: $x^4=(x+42)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(x+42^2$
$(x^2)^2-(x+42)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(x+42))(x^2+(x+42)=0$
$(x^2-x-42)(x^2+x+42)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2-x-42=0 ⇒ x_1=-6, x_2=7$
$x^2+x+42=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=7$
Задача 16
Решить уравнение: $5/(x-1)^2-3/(x-1)-2=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x-1)=t$
$5t^2-3t-2=0 ⇒ t_1=-2/5, t_2=1$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-1≠0 ⇒ x≠1$)
$1/(x-1)=-2/5 ⇒ x=-1,5$
$1/(x-1)=1 ⇒ x=2$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=2$
Задача 17
Решить уравнение: $(x-5)^4-22(x-5)^2-75=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-5)^2)^2-22(x-5)^2-75=0$
Замена: $(x-5)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-22t-75=0$
Корни уравнения: $t_1=-3 \text ' (не подходит)', t_2=25$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-5)^2=25 ⇒x^2-10x=0⇒x_1=0, x_2=10$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=0$
Задача 18
Решить уравнение: $(x-4)^4+4(x-4)^2-32=0$.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$
Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
Задача 19
Решить уравнение: $(3x-4)^2=13x^2-27x+15$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$9x^2-24x+16-13x^2+27x-15=0$
$-4x^2+3x+1=0 \text ' ' |:(-1)$
$4x^2-3x-1=0$
$x_1=-1/4, x_2=1$
Наименьший корень уравнения: $x=-1/4=-0,25$
Задача 20
Решить уравнение: $6x^2+3x-5=(x+1)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$6x^2+3x-5=x^2+2x+1$
$6x^2+3x-5-x^2-2x-1=0$
$5x^2+x-6=0$
$x_1=-6/5, x_2=1$
Наибольший корень уравнения: $x=1$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
