Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 3
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 4
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 5
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 6
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 7
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 8
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 10
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 11
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $x^4-17x^2+16=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-17x^2+16=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-17t+16=0$
Корни уравнения: $t_1=1, t_2=16$
Обратная замена:
$x^2=1 ⇒$ $x=±1$
$x^2=16 ⇒$ $x=±4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=4$
Задача 13
Решить уравнение: $(4x-5)^2(x-1)=(4x-5)(x-1)^2$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(4x-5)^2(x-1)-(4x-5)(x-1)^2=0$
$(4x-5)(x-1)·(4x-5-(x-1))=0$
$(4x-5)(x-1)·(4x-5-x+1)=0$
$(4x-5)(x-1)(3x-4)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$4x-5=0 ⇒ x=5/4$
$x-1=0 ⇒ x=1$
$3x-4=0 ⇒ x=4/3$
Наименьший корень: $x=1$
Задача 14
Решить уравнение: $x^4-x^2-12=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-x^2-12=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-t-12=0$
Корни уравнения: $t_1=-3 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена:
$x^2=4 ⇒$ $x=±2$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=2$
Задача 15
Решить уравнение: $(x-5)(x-6)(x-8)=(x-6)(x-8)(x-9)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-5)(x-6)(x-8)-(x-6)(x-8)(x-9)=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-(x-9))=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-x+9)=0$
$(x-6)(x-8)·4=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-6=0 \text' '⇒\text' 'x=6$
$x-8=0 \text' '⇒\text' 'x=8$
В ответ необходимо записать наибольший корень, то есть $x=8$
Задача 16
Решить уравнение: $x^4-26x^2+25=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-26x^2+25=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-26t+25=0$
Корни уравнения: $t_1=1, t_2=25$
Обратная замена:
$x^2=1 ⇒$ $x=±1$
$x^2=25 ⇒$ $x=±5$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=5$
Задача 17
Решить уравнение: $(x-1)^4-13(x-1)^2+36=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-1)^2)^2-13(x-1)^2+36=0$
Замена: $(x-1)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-13t+36=0$
Корни уравнения: $t_1=4, t_2=9$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-1)^2=4 ⇒x^2-2x-3=0⇒x_1=-1, x_2=3$
$(x-1)^2=9 ⇒x^2-2x-8=0⇒x_1=-2, x_2=4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=4$
Задача 18
Решить уравнение: $1/(x+1)^2-5/{x+1}+6=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x+1)=t$
$t^2-5t+6=0 ⇒ t_1=2, t_2=3$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x+1≠0 ⇒ x≠-1$)
$1/(x+1)=2 ⇒ x=-1/2$
$1/(x+1)=3 ⇒ x=-2/3$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=-1/2=-0,5$
Задача 19
Решить уравнение: $x^2+6x+√(x-1)=√(x-1)+7$
Решение
Ограничение: $x-1≥0 \text' '⇒\text' 'x≥1$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+6x-7=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-7, x_2=1$
Поскольку $x≥1$, единственный корень уравнения $x=1$
Задача 20
Решить уравнение: $(x^2-81)^2+(x^2-20x+99)^2=0$
Решение
Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-81=0}; {x^2-20x+99=0};}$
$\{{\table {x_1=-9, x_2=9}; {x_1=9, x_2=11};}$
Решение системы: $x=9$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
