Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 3
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 4
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 5
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 6
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 7
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 8
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 9
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 11
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $(x^2-25)^2+(x^2-5x-50)^2=0$
Решение
Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-25=0}; {x^2-5x-50=0};}$
$\{{\table {x_1=-5, x_2=5}; {x_1=-5, x_2=10};}$
Решение системы: $x=-5$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.
Задача 13
Решить уравнение: $x^4=(2x+15)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(2x+15)^2$
$(x^2)^2-(2x+15)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(2x+15)(x^2+(2x+15))=0$
$(x^2-2x-15)(x^2+2x+15)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2-2x-15=0 ⇒ x_1=-3, x_2=5$
$x^2+2x+15=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=5$
Задача 14
Решить уравнение: $x^2+6x+√(x-1)=√(x-1)+7$
Решение
Ограничение: $x-1≥0 \text' '⇒\text' 'x≥1$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+6x-7=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-7, x_2=1$
Поскольку $x≥1$, единственный корень уравнения $x=1$
Задача 15
Решить уравнение: ${8x^2-15x+7}/{x^2-1}=1$. В ответ запишите корень уравнения, умноженный на 7.
Решение
Ограничение: $x^2-1≠0 ⇒ x≠±1$
${8x^2-15x+7}/{x^2-1}-1=0$
${8x^2-15x+7}/{x^2-1}-{x^2-1}/{x^2-1}=0$
${8x^2-15x+7-(x^2-1)}/{x^2-1}=0$
${8x^2-15x+7-x^2+1}/{x^2-1}=0$
${7x^2-15x+8}/{x^2-1}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±1$)
$7x^2-15x+8=0 ⇒ x_1=1 \text ' (не подходит) ', x_2=8/7 ⇒ x=8/7$
По условию необходимо записать в ответ корень, умноженный на 7, то есть $x=8/7·7=8$
Задача 16
В квадратном уравнении $3x^2-8x+5m=0$ один из корней равен $5/3$. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=5/3$ в уравнение:
$3*(5/3)^2-8*(5/3)+5m=0$
$3*(25/9)-8*(5/3)+5m=0$
$25/3-40/3+5m=0$
$-15/3+5m=0$
$-5+5m=0$
$5m=5$
$m=1$
Подставим $m=1$ в исходное уравнение: $3x^2-8x+5=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=5/3; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен $x=5/3$, в ответ записываем второй корень $x=1$
Задача 17
Решить уравнение: $(x-1)^2(x-2)=(x-1)(x-2)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-1)^2(x-2)-(x-1)(x-2)^2=0$
$(x-1)(x-2)·(x-1-(x-2))=0$
$(x-1)(x-2)·(x-1-x+2)=0$
$(x-1)(x-2)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$x-2=0 ⇒ x=2$
Наибольший корень: $x=2$
Задача 18
Решить уравнение: $1/(x+1)^2-5/{x+1}+6=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x+1)=t$
$t^2-5t+6=0 ⇒ t_1=2, t_2=3$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x+1≠0 ⇒ x≠-1$)
$1/(x+1)=2 ⇒ x=-1/2$
$1/(x+1)=3 ⇒ x=-2/3$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=-1/2=-0,5$
Задача 19
Решить уравнение: $(x-8)^2=(1-x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(x-8)^2-(1-x)^2=0$
$(x-8-(1-x))(x-8+(1-x))=0$
$(x-8-1+x)(x-8+1-x)=0$
$(2x-9)·(-7)=0$
$2x-9=0$
$x=4,5$
Задача 20
В квадратном уравнении $4x^2-3x-2m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$4-3-2m=0$
$1-2m=0$
$2m=1$
$m=0,5$
Подставим $m=0,5$ в исходное уравнение: $4x^2-3x-1=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=-0,25; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=-0,25$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ОГЭ
