Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 4
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 5
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 6
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 9
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 11
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $(x-4)^4+4(x-4)^2-32=0$.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$
Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
Задача 13
Решить уравнение: $x^4=(12-x)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(12-x)^2$
$(x^2)^2-(12-x)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(12-x))(x^2+(12-x))=0$
$(x^2+x-12)(x^2-x+12)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
$x^2-x+12=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=3$
Задача 14
Решить уравнение: $6x^2+3x-5=(x+1)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$6x^2+3x-5=x^2+2x+1$
$6x^2+3x-5-x^2-2x-1=0$
$5x^2+x-6=0$
$x_1=-6/5, x_2=1$
Наибольший корень уравнения: $x=1$
Задача 15
Решить уравнение: $1/(x-3)^2-1/(x-3)-2=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Замена: $1/(x-3)=t$
$t^2-t-2=0 ⇒ t_1=-1, t_2=2$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-3≠0 ⇒ x≠3$)
$1/(x-3)=-1 ⇒ x=2$
$1/(x-3)=2 ⇒ x=3,5$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=2$
Задача 16
Решить уравнение: $(3x-4)^2=13x^2-27x+15$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$9x^2-24x+16-13x^2+27x-15=0$
$-4x^2+3x+1=0 \text ' ' |:(-1)$
$4x^2-3x-1=0$
$x_1=-1/4, x_2=1$
Наименьший корень уравнения: $x=-1/4=-0,25$
Задача 17
Решить уравнение: $(x-1)^2(x-2)=(x-1)(x-2)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-1)^2(x-2)-(x-1)(x-2)^2=0$
$(x-1)(x-2)·(x-1-(x-2))=0$
$(x-1)(x-2)·(x-1-x+2)=0$
$(x-1)(x-2)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$x-2=0 ⇒ x=2$
Наибольший корень: $x=2$
Задача 18
Решить уравнение: $x^6=(11x-28)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(11x-28)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=11x-28$
$x^2-11x+28=0 ⇒ x_1=4, x_2=7$
Наибольший корень: $x=7$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 19
Решить уравнение: ${2x^2+x-16}/{x^2-4}=1$. В ответ запишите сумму получившихся корней.
Решение
Ограничение: $x^2-4≠0 ⇒ x≠±2$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-1=0$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-{x^2-4}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-(x^2-4)}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-x^2+4}/{x^2-4}=0$
${x^2+x-12}/{x^2-4}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±2$)
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
По условию необходимо записать в ответ сумму корней, то есть $x_1+x_2=-4+3=-1$
Задача 20
Решить уравнение: $(2x+1)^2(x+1)=(2x+1)(x+1)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(2x+1)^2(x+1)-(2x+1)(x+1)^2=0$
$(2x+1)(x+1)·(2x+1-(x+1))=0$
$(2x+1)(x+1)·(2x+1-x-1)=0$
$(2x+1)(x+1)x=0$
$x(2x+1)(x+1)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$x=0$
$2x+1=0 ⇒ x=-1/2$
$x+1=0 ⇒ x=-1$
Наибольший корень: $x=0$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
