Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 4
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 5
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 6
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 7
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 8
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 9
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 10
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 11
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $x^2-2x+√(x-8)=√(x-8)+80$
Решение
Ограничение: $x-8≥0 \text' '⇒\text' 'x≥8$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2-2x-80=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-8, x_2=10$
Поскольку $x≥8$, единственный корень уравнения $x=10$
Задача 13
Решить уравнение: $8x^3-4x^2-72x+36=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(8x-4)-9(8x-4)=0$
$(8x-4)(x^2-9)=0$
$(8x-4)(x-3)(x+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \8x-4=0; \x-3=0; \x+3=0$
$[\table \x=0,5; \x=3; \x=-3$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-3$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 14
Решить уравнение: $x^6=(40-3x)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(40-3x)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=40-3x$
$x^2+3x-40=0 ⇒ x_1=-8, x_2=5$
Наибольший корень: $x=5$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 15
Решить уравнение: $x^2-x+√(3-x)=√(3-x)+20$
Решение
Ограничение: $3-x≥0 \text' '⇒\text' 'x≤3$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2-x-20=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-4, x_2=5$
Поскольку $x≤3$, единственный корень уравнения $x=-4$
Задача 16
Решить уравнение: $(x-8)^4+3(x-8)^2-4=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-8)^2)^2+3(x-8)^2-4=0$
Замена: $(x-8)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+3t-4=0$
Корни уравнения: $t_1=-4 \text ' (не подходит)', t_2=1$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-8)^2=1 ⇒x^2-16x+63=0⇒x_1=7, x_2=9$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=9$
Задача 17
Решить уравнение: $x^4-6x^2+8=0$. В ответ запишите наибольший целый корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-6x^2+8=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-6t+8=0$
Корни уравнения: $t_1=2, t_2=4$
Обратная замена:
$x^2=2 ⇒$ $x=±√2$
$x^2=4 ⇒$ $x=±2$
По условию необходимо записать наибольший целый корень, то есть $x=2$
Задача 18
В квадратном уравнении $10x^2-7x-3m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$10-7-3m=0$
$3-3m=0$
$3m=3$
$m=1$
Подставим $m=1$ в исходное уравнение: $10x^2-7x-3=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=-0,3; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=-0,3$
Задача 19
Решить уравнение: ${2x^2+x-16}/{x^2-4}=1$. В ответ запишите сумму получившихся корней.
Решение
Ограничение: $x^2-4≠0 ⇒ x≠±2$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-1=0$
${2x^2+x-16}/{x^2-4}-{x^2-4}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-(x^2-4)}/{x^2-4}=0$
${2x^2+x-16-x^2+4}/{x^2-4}=0$
${x^2+x-12}/{x^2-4}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±2$)
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
По условию необходимо записать в ответ сумму корней, то есть $x_1+x_2=-4+3=-1$
Задача 20
Решить уравнение: $x^4=(x+42)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(x+42^2$
$(x^2)^2-(x+42)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(x+42))(x^2+(x+42)=0$
$(x^2-x-42)(x^2+x+42)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2-x-42=0 ⇒ x_1=-6, x_2=7$
$x^2+x+42=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=7$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
