Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 4
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 5
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 6
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 7
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 8
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 9
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 11
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $(x-8)^2=(1-x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(x-8)^2-(1-x)^2=0$
$(x-8-(1-x))(x-8+(1-x))=0$
$(x-8-1+x)(x-8+1-x)=0$
$(2x-9)·(-7)=0$
$2x-9=0$
$x=4,5$
Задача 13
Решить уравнение: $x^4=(2x+15)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(2x+15)^2$
$(x^2)^2-(2x+15)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(2x+15)(x^2+(2x+15))=0$
$(x^2-2x-15)(x^2+2x+15)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2-2x-15=0 ⇒ x_1=-3, x_2=5$
$x^2+2x+15=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=5$
Задача 14
Решить уравнение: $(x-4)^4+4(x-4)^2-32=0$.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$
Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
Задача 15
В квадратном уравнении $4x^2-3x-2m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$4-3-2m=0$
$1-2m=0$
$2m=1$
$m=0,5$
Подставим $m=0,5$ в исходное уравнение: $4x^2-3x-1=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=-0,25; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=-0,25$
Задача 16
Решить уравнение: $(4x-1)^2=(3-4x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(4x-1)^2-(3-4x)^2=0$
$(4x-1-(3-4x))(4x-1+(3-4x))=0$
$(4x-1-3+4x)(4x-1+3-4x)=0$
$(8x-4)·2=0$
$8x-4=0$
$x=0,5$
Задача 17
Решить уравнение: ${2x^2+5x-88}/{x^2-64}=1$
Решение
Ограничение: $x^2-64≠0 ⇒ x≠±8$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-1=0$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-{x^2-64}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-(x^2-64)}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-x^2+64}/{x^2-64}=0$
${x^2+5x-24}/{x^2-64}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±8$)
$x^2+5x-24=0 ⇒ x_1=-8 \text ' (не подходит) ', x_2=3 ⇒ x=3$
Задача 18
Решить уравнение: $(x-1)(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)(x-4)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-1)(x-2)(x-3)-(x-2)(x-3)(x-4)=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-(x-4))=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-x+4)=0$
$(x-2)(x-3)·3=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-2=0 \text' '⇒\text' 'x=2$
$x-3=0 \text' '⇒\text' 'x=3$
В ответ необходимо записать набольший корень, то есть $x=3$
Задача 19
Решить уравнение: $1/(x-3)^2-1/(x-3)-2=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Замена: $1/(x-3)=t$
$t^2-t-2=0 ⇒ t_1=-1, t_2=2$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-3≠0 ⇒ x≠3$)
$1/(x-3)=-1 ⇒ x=2$
$1/(x-3)=2 ⇒ x=3,5$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=2$
Задача 20
Решить уравнение: $(x-5)(x-6)(x-8)=(x-6)(x-8)(x-9)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-5)(x-6)(x-8)-(x-6)(x-8)(x-9)=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-(x-9))=0$
$(x-6)(x-8)(x-5-x+9)=0$
$(x-6)(x-8)·4=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-6=0 \text' '⇒\text' 'x=6$
$x-8=0 \text' '⇒\text' 'x=8$
В ответ необходимо записать наибольший корень, то есть $x=8$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ОГЭ
