Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 4
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 6
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 7
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 8
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 9
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 11
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $(3x-4)^2=(8-3x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(3x-4)^2-(8-3x)^2=0$
$(3x-4-(8-3x))(3x-4+(8-3x))=0$
$(3x-4-8+3x)(3x-4+8-3x)=0$
$(6x-12)4=0$
$6x-12=0$
$x=2$
Задача 13
Решить уравнение: $(4x-1)^2=(3-4x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(4x-1)^2-(3-4x)^2=0$
$(4x-1-(3-4x))(4x-1+(3-4x))=0$
$(4x-1-3+4x)(4x-1+3-4x)=0$
$(8x-4)·2=0$
$8x-4=0$
$x=0,5$
Задача 14
В квадратном уравнении $4x^2-3x-2m=0$ один из корней равен 1. Найдите второй корень.
Решение
Подставим известный корень $x=1$ в уравнение:
$4-3-2m=0$
$1-2m=0$
$2m=1$
$m=0,5$
Подставим $m=0,5$ в исходное уравнение: $4x^2-3x-1=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=-0,25; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен 1, в ответ записываем второй корень $x=-0,25$
Задача 15
Решить уравнение: $(x-8)^2=(1-x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(x-8)^2-(1-x)^2=0$
$(x-8-(1-x))(x-8+(1-x))=0$
$(x-8-1+x)(x-8+1-x)=0$
$(2x-9)·(-7)=0$
$2x-9=0$
$x=4,5$
Задача 16
Решить уравнение: $1/(x+3)^2-5/(x+3)+4=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x+3)=t$
$t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x+3≠0 ⇒ x≠-3$)
$1/(x+3)=1 ⇒ x=-2$
$1/(x+3)=4 ⇒ x=-11/4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=-2$
Задача 17
Решить уравнение: $7x^3-7x^2-63x+63=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(7x-7)-9(7x-7)=0$
$(7x-7)(x^2-9)=0$
$(7x-7)(x-3)(x+3)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \7x-7=0; \x-3=0; \x+3=0$
$[\table \x=1; \x=3; \x=-3$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-3$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 18
Решить уравнение: $x^2+2x+√(2-x)=√(2-x)+15$
Решение
Ограничение: $2-x≥0 \text' '⇒\text' 'x≤2$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+2x-15=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-5, x_2=3$
Поскольку $x≤2$, единственный корень уравнения $x=-5$
Задача 19
Решить уравнение: $(x-1)(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)(x-4)$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(x-1)(x-2)(x-3)-(x-2)(x-3)(x-4)=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-(x-4))=0$
$(x-2)(x-3)(x-1-x+4)=0$
$(x-2)(x-3)·3=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-2=0 \text' '⇒\text' 'x=2$
$x-3=0 \text' '⇒\text' 'x=3$
В ответ необходимо записать набольший корень, то есть $x=3$
Задача 20
Решить уравнение: $x^6=(11x-28)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(11x-28)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=11x-28$
$x^2-11x+28=0 ⇒ x_1=4, x_2=7$
Наибольший корень: $x=7$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
