Перенесем все в левую часть и разложим на множители:
$(3x-1)^2(x-3)-(3x-1)(x-3)^2=0$
$(3x-1)(x-3)·(3x-1-(x-3))=0$
$(3x-1)(x-3)·(3x-1-x+3)=0$
$(3x-1)(x-3)(2x+2)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителе равен нулю:
$3x-1=0 ⇒ x=1/3$
$x-3=0 ⇒ x=3$
$2x+2=0 ⇒ x=-1$
Наибольший корень: $x=3$

Представим уравнение в виде: $((x-4)^2)^2+4(x-4)^2-32=0$

Замена: $(x-4)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2+4t-32=0$
Корни уравнения: $t_1=-8 \text ' (не подходит)', t_2=4$

Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-4)^2=4 ⇒x^2-8x+12=0⇒x_1=2, x_2=6$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=6$

Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(12-x)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=12-x$
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
Наибольший корень: $x=3$

Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).

Подставим известный корень $x=5/3$ в уравнение:
$3*(5/3)^2-8*(5/3)+5m=0$
$3*(25/9)-8*(5/3)+5m=0$
$25/3-40/3+5m=0$
$-15/3+5m=0$
$-5+5m=0$
$5m=5$
$m=1$

Подставим $m=1$ в исходное уравнение: $3x^2-8x+5=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=5/3; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен $x=5/3$, в ответ записываем второй корень $x=1$

Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^3-4x^2-5x+20=0$
$x^2(x-4)-5(x-4)=0$
$(x-4)(x^2-5)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \x-4=0; \x^2-5=0;$
$[\table \x=4; \x_1=-√5; x_2=√5;$
По условию необходимо записать в ответ наибольший корень, то есть $x=4$

Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!

Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(5x-4)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=5x-4$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=-1, x_2=4$
Наибольший корень: $x=4$

Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).

Представим уравнение в виде: $((x-5)^2)^2-22(x-5)^2-75=0$

Замена: $(x-5)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-22t-75=0$
Корни уравнения: $t_1=-3 \text ' (не подходит)', t_2=25$

Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-5)^2=25 ⇒x^2-10x=0⇒x_1=0, x_2=10$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=0$

Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-6x^2+8=0$

Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-6t+8=0$
Корни уравнения: $t_1=2, t_2=4$

Обратная замена:
$x^2=2 ⇒$ $x=±√2$
$x^2=4 ⇒$ $x=±2$

По условию необходимо записать наибольший целый корень, то есть $x=2$

Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(12-x)^2$
$(x^2)^2-(12-x)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(12-x))(x^2+(12-x))=0$
$(x^2+x-12)(x^2-x+12)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
$x^2-x+12=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=3$