Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 2
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 3
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 4
Решите уравнение ${2x^2-3x-14}/{x^2-4}=1$
Решение
Задача 5
Решите уравнение ${2x^2-13x-24}/{x^2-64}=1$
Решение
Задача 6
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 7
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 8
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 9
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 10
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 11
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $5/(x-1)^2-3/(x-1)-2=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x-1)=t$
$5t^2-3t-2=0 ⇒ t_1=-2/5, t_2=1$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-1≠0 ⇒ x≠1$)
$1/(x-1)=-2/5 ⇒ x=-1,5$
$1/(x-1)=1 ⇒ x=2$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=2$
Задача 13
Решить уравнение: $x^2+6x+√(x-1)=√(x-1)+7$
Решение
Ограничение: $x-1≥0 \text' '⇒\text' 'x≥1$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2+6x-7=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-7, x_2=1$
Поскольку $x≥1$, единственный корень уравнения $x=1$
Задача 14
Решить уравнение: $x^2-x+√(3-x)=√(3-x)+20$
Решение
Ограничение: $3-x≥0 \text' '⇒\text' 'x≤3$
Перенесем все в левую часть, корни сократятся, получим уравнение:
$x^2-x-20=0 \text' '⇒\text' ' x_1=-4, x_2=5$
Поскольку $x≤3$, единственный корень уравнения $x=-4$
Задача 15
Решить уравнение: $(x^2-81)^2+(x^2-20x+99)^2=0$
Решение
Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-81=0}; {x^2-20x+99=0};}$
$\{{\table {x_1=-9, x_2=9}; {x_1=9, x_2=11};}$
Решение системы: $x=9$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.
Задача 16
Решить уравнение: $x^6=(12-x)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(12-x)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=12-x$
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
Наибольший корень: $x=3$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 17
Решить уравнение: $1/(x+3)^2-5/(x+3)+4=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Замена: $1/(x+3)=t$
$t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x+3≠0 ⇒ x≠-3$)
$1/(x+3)=1 ⇒ x=-2$
$1/(x+3)=4 ⇒ x=-11/4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=-2$
Задача 18
Решить уравнение: ${2x^2+5x-88}/{x^2-64}=1$
Решение
Ограничение: $x^2-64≠0 ⇒ x≠±8$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-1=0$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-{x^2-64}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-(x^2-64)}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-x^2+64}/{x^2-64}=0$
${x^2+5x-24}/{x^2-64}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±8$)
$x^2+5x-24=0 ⇒ x_1=-8 \text ' (не подходит) ', x_2=3 ⇒ x=3$
Задача 19
Решить уравнение: $x^4=(40-3x)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(40-3x)^2$
$(x^2)^2-(40-3x)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(40-3x))(x^2+(40-3x))=0$
$(x^2+3x-40)(x^2-3x+40)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+3x-40=0 ⇒ x_1=-8, x_2=5$
$x^2-3x+40=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=5$
Задача 20
Решить уравнение: ${3x^2-11x+8}/{x^2-1}=1$.
Решение
Ограничение: $x^2-1≠0 ⇒ x≠±1$
${3x^2-11x+8}/{x^2-1}-1=0$
${3x^2-11x+8}/{x^2-1}-{x^2-1}/{x^2-1}=0$
${3x^2-11x+8-(x^2-1)}/{x^2-1}=0$
${3x^2-11x+8-x^2+1}/{x^2-1}=0$
${2x^2-11x+9}/{x^2-1}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±1$)
$2x^2-11x+9=0 ⇒ x_1=1 \text ' (не подходит) ', x_2=4,5 ⇒ x=4,5$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
