Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Решите систему уравнений и запишите в ответ полученное наименьшее значение переменной y: $\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
Решение
$\{{\table {5x^2+y^2=61{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.}$
$\{{\table {y^2=61-5x^2{,}}; {15x^2+3y^2=61x}.$
Подставим полученное выражение вместо $y^2$ во второе уравнение:
$15x^2+3(61-5x^2)=61x$
$15x^2+183-15x^2=61x$
$61x=183$
$x=3$
Подставим полученное значение x в первое уравнение системы:
$y^2=61-5·3^2$
$y^2=16$
$x_1=3, y_1=4$
$x_2=3, y_2=-4$
Ответ: -4
Задача 2
Решить уравнение: $x(x^2+10x+25)=6(x+5)$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители, предварительно свернув скобку в формулу сокращенного умножения:
$x(x^2+10x+25)-6(x+5)=0$
$x(x+5)^2-6(x+5)=0$
$(x+5)(x(x+5)-6)=0$
$(x+5)(x^2+5x-6)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x+5=0$ ИЛИ $x^2+5x-6=0$
$x_1=-5$, а второе уравнение решаем дискриминантом, получаем:
$x_2=1$ и $x_3=-6$
По условию необходимо записать в ответ наименьший корень, то есть $x=-6$
Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!
Задача 3
Сократите дробь ${120^{n+8}}/{2^{3n+23} · 3^{n+8}· 5^{n+6}}$
Решение
Задача 5
Найдите значение выражения ${25x − 4y}/{5√{x}-2√{y}} - 3√{x}$ при $√{x} +√{y} = 17$
Решение
Задача 6
Сократите дробь ${(5y)^4·y^{-7}}/{y^{-12}·50y^9}$
Решение
Задача 7
Сократите дробь ${(12y)^2·y^{-10}}/{y^{-13}·30y^5}$
Решение
Задача 8
Решите уравнение $(5x + 3)^2 + 24(5x^2 − 2x − 3)^2 = 0$
Решение
Задача 10
Найдите значение выражения $(8√{a}+3√{b})(8√{a}-3√{b}) -4a +69b$ при $a + b = 62$
Решение
Задача 11
Решите уравнение $2x^2 +√{13 − 3x} = 15x +√{13 − 3x} − 27$
Решение
Задача 12
Решить уравнение: $x^4=(x+42)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(x+42^2$
$(x^2)^2-(x+42)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(x+42))(x^2+(x+42)=0$
$(x^2-x-42)(x^2+x+42)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2-x-42=0 ⇒ x_1=-6, x_2=7$
$x^2+x+42=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=7$
Задача 13
Решить уравнение: $x^4-17x^2+16=0$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^2-17x^2+16=0$
Замена: $x^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-17t+16=0$
Корни уравнения: $t_1=1, t_2=16$
Обратная замена:
$x^2=1 ⇒$ $x=±1$
$x^2=16 ⇒$ $x=±4$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=4$
Задача 14
Решить уравнение: $6x^2+3x-5=(x+1)^2$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$6x^2+3x-5=x^2+2x+1$
$6x^2+3x-5-x^2-2x-1=0$
$5x^2+x-6=0$
$x_1=-6/5, x_2=1$
Наибольший корень уравнения: $x=1$
Задача 15
Решить уравнение: ${2x^2+5x-88}/{x^2-64}=1$
Решение
Ограничение: $x^2-64≠0 ⇒ x≠±8$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-1=0$
${2x^2+5x-88}/{x^2-64}-{x^2-64}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-(x^2-64)}/{x^2-64}=0$
${2x^2+5x-88-x^2+64}/{x^2-64}=0$
${x^2+5x-24}/{x^2-64}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен (ограничение: $x≠±8$)
$x^2+5x-24=0 ⇒ x_1=-8 \text ' (не подходит) ', x_2=3 ⇒ x=3$
Задача 16
Решить уравнение: $(3x-4)^2=(8-3x)^2$.
Решение
Соберем все в левой части и разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения (2 способ решения - раскрыть скобки, привести подобные, решить через дискриминант):
$(3x-4)^2-(8-3x)^2=0$
$(3x-4-(8-3x))(3x-4+(8-3x))=0$
$(3x-4-8+3x)(3x-4+8-3x)=0$
$(6x-12)4=0$
$6x-12=0$
$x=2$
Задача 17
Решить уравнение: $(x^2-9)^2+(x-3)^2=0$
Решение
Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-9=0}; {x-3=0};}$
$\{{\table {x_1=-3, x_2=3}; {x=3};}$
Решение системы: $x=3$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.
Задача 18
Решить уравнение: $1/(x-3)^2-1/(x-3)-2=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Замена: $1/(x-3)=t$
$t^2-t-2=0 ⇒ t_1=-1, t_2=2$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-3≠0 ⇒ x≠3$)
$1/(x-3)=-1 ⇒ x=2$
$1/(x-3)=2 ⇒ x=3,5$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=2$
Задача 19
Решить уравнение: $x^6=(11x-28)^3$. В ответ запишите наибольший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(11x-28)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=11x-28$
$x^2-11x+28=0 ⇒ x_1=4, x_2=7$
Наибольший корень: $x=7$
Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).
Задача 20
Решить уравнение: $(x-1)^4-29(x-1)^2+100=0$. В ответ запишите наименьший корень.
Решение
Представим уравнение в виде: $((x-1)^2)^2-29(x-1)^2+100=0$
Замена: $(x-1)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-29t+100=0$
Корни уравнения: $t_1=4, t_2=25$
Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-1)^2=4 ⇒x^2-2x-3=0⇒x_1=-1, x_2=3$
$(x-1)^2=25 ⇒x^2-2x-24=0⇒x_1=-4, x_2=6$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=-4$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
