Раскроем формулу сокращенного умножения в правой части, перенесем в левую и приведем подобные слагаемые:
$31x^2-24x-3=9-6x+x^2$
$31x^2-24x-3-9+6x-x^2=0$
$30x^2-18x-12=0$
$x_1=-2/5, x_2=1$
Наименьший корень уравнения: $x=-2/5=-0,4$

Замена: $1/(x-1)=t$
$5t^2-3t-2=0 ⇒ t_1=-2/5, t_2=1$
Обратная замена: (уравнения решаются с помощью пропорции, важно не забыть про ограничение знаменателя: $x-1≠0 ⇒ x≠1$)
$1/(x-1)=-2/5 ⇒ x=-1,5$
$1/(x-1)=1 ⇒ x=2$
По условию необходимо записать наибольший корень, то есть $x=2$

Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(x+2)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=x+2$
$x^2-x-2=0 ⇒ x_1=-1, x_2=2$
Наибольший корень: $x=2$

Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).

Заметим, что сумма квадратов двух чисел равна нулю, когда каждое число равно нулю, поэтому необходимо решить систему уравнений:
$\{{\table {x^2-25=0}; {x^2-5x-50=0};}$
$\{{\table {x_1=-5, x_2=5}; {x_1=-5, x_2=10};}$
Решение системы: $x=-5$, то есть только при данном значении каждая скобка исходного уравнения будет равна нулю, а значит и сумма чисел равна нулю.

Подставим известный корень $x=5/3$ в уравнение:
$3*(5/3)^2-8*(5/3)+5m=0$
$3*(25/9)-8*(5/3)+5m=0$
$25/3-40/3+5m=0$
$-15/3+5m=0$
$-5+5m=0$
$5m=5$
$m=1$

Подставим $m=1$ в исходное уравнение: $3x^2-8x+5=0$
Корни данного уравнения можно найти с помощью дискриминанта: $x_1=5/3; x_2=1$
Поскольку по условию один из корней равен $x=5/3$, в ответ записываем второй корень $x=1$

Представим уравнение в виде: $(x^2)^3=(5x-4)^3$
Поскольку внешние показатели степеней в обоих частях уравнения равны 3, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, тем самым избавимся от кубов: $x^2=5x-4$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=-1, x_2=4$
Наибольший корень: $x=4$

Примечание: Такой способ применим только для извлечения корней нечетной степени (например, с показателем степени 2 такой способ уже не сработает).

Представим уравнение в виде: $(x^2)^2=(12-x)^2$
$(x^2)^2-(12-x)^2=0$
Разложим на множители с помощью формулы сокращенного умножения:
$(x^2-(12-x))(x^2+(12-x))=0$
$(x^2+x-12)(x^2-x+12)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+x-12=0 ⇒ x_1=-4, x_2=3$
$x^2-x+12=0 ⇒ \text 'корней нет, так как ' D<0$
Наибольший корень: $x=3$

Решим уравнение, воспользовавшись разложением выражения на множители способом группировки:
$x^2(3x+1)+7(3x+1)=0$
$(3x+1)(x^2+7)=0$
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$[\table \3x+1=0; \x^2+7=0;$
$[\table \x=-1/3; \x=корней нет;$
По условию необходимо записать в ответ наибольший корень уравнения, умноженный на 3, то есть $-1/3*3=-1$

Примечание: На экзамене данное задание решается на бланке, который проверяет эксперт, поэтому в ответ обязательно записываем все корни!

Представим уравнение в виде: $((x-1)^2)^2-29(x-1)^2+100=0$

Замена: $(x-1)^2=t$, при чем $t≥0$
$t^2-29t+100=0$
Корни уравнения: $t_1=4, t_2=25$

Обратная замена: (уравнения решаются через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых)
$(x-1)^2=4 ⇒x^2-2x-3=0⇒x_1=-1, x_2=3$
$(x-1)^2=25 ⇒x^2-2x-24=0⇒x_1=-4, x_2=6$
По условию необходимо записать наименьший корень, то есть $x=-4$