Задание 19. Анализ геометрических высказываний. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) В любой ромб можно вписать окружность.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все высоты имеют одинаковую длину.
2) Неверно. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу.
3) Верно. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы длин его противоположных сторон равны.
Ответ: 13 или 31.
Задача 2
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других, поэтому гипотенуза меньше суммы катетов.
2) Верно. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
3) Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, но не обязательно ромбом.
Ответ: 12 или 21.
Задача 3
Укажите номера верных утверждений.
- Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
- Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой.
- Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника
Решение
Задача 4
Укажите номера верных утверждений.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов больше $90^°$
- Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
- Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна полусумме оснований.
Решение
Задача 5
Укажите номера верных утверждений.
- Биссектриса равностороннего треугольника является и его медианой.
- Если угол тупой, то смежный с ним угол также тупой.
- Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
Решение
Задача 6
Укажите номера верных утверждений.
- Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон.
Решение
Задача 7
Укажите номера верных утверждений.
- Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна $180^°$, то прямые параллельны.
- Угол между биссектрисами смежных углов равен $100^°$
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Решение
Задача 8
Укажите номера неверных утверждений.
- Средняя линия трапеции проводится через середины оснований трапеции.
- Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — ромб.
Решение
Задача 9
Укажите номера верных утверждений.
- Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.
- Если в параллелограмме угол равен $60^°$, то и противоположный угол тоже равен $60^°$
- Через заданную точку плоскости можно провести множество прямых.
Решение
Задача 10
Укажите номера неверных утверждений.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
- Параллелограмм, у которого все углы равны, является квадратом.
- Площадь треугольника равна произведению стороны на высоту, к ней проведённую.
Решение
Задача 11
Укажите номера верных утверждений.
- В ромбе диагонали равны.
- Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
- Около любого квадрата можно описать окружность.
Решение
1) В ромбе диагонали равны.Неверно. Диагонали равны только у прямоугольника и квадрата. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, но равны они только в том случае, если ромб является квадратом.
2) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.Верно. Это формулировка признака равенства треугольников по трем сторонам (III признак).
3) Около любого квадрата можно описать окружность.Верно. Около любого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$. У квадрата все углы прямые $90°$, поэтому сумма противоположных углов равна $90°+90°=180°$. Центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей.
Задача 12
Укажите номера верных утверждений.
- Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- Точка пересечения биссектрис треугольника является центром описанной окружности.
Решение
Задача 13
Укажите номера верных утверждений.
- Отношение сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
- Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения высот треугольника.
Решение
Задача 14
Укажите номера верных утверждений.
- У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.
- Если в ромбе один угол прямой, то этот ромб — квадрат.
- Центр окружности, описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Решение
Задача 15
Укажите номера верных утверждений.
- Диагонали ромба равны.
- Основания любой трапеции параллельны.
- Если один из углов треугольника равен $90^°$, то сумма остальных углов также равна $90^°$.
Решение
Задача 16
Укажите номера верных утверждений .
- Угол, вписанный в окружность, равен половине длины дуги окружности, на которую он опирается.
- Существует параллелограмм, который является трапецией.
- Смежные углы в сумме составляют $90^°$
Решение
Задача 17
Укажите номера верных утверждений.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
- Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Решение
Задача 18
Укажите номера верных утверждений.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.
- Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований.
- Диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов параллелограмма.
Решение
Задача 19
Укажите номера верных утверждений.
- Сумма двух сторон треугольника меньше третьей стороны треугольника.
- Отношения площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны.
Решение
Задача 20
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
- Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — это середина гипотенузы.
- Любые два прямоугольных треугольников подобны
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
