Задание 19. Анализ геометрических высказываний. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) В любой ромб можно вписать окружность.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все высоты имеют одинаковую длину.
2) Неверно. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу.
3) Верно. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы длин его противоположных сторон равны.
Ответ: 13 или 31.
Задача 2
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других, поэтому гипотенуза меньше суммы катетов.
2) Верно. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
3) Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, но не обязательно ромбом.
Ответ: 12 или 21.
Задача 3
Укажите номера верных утверждений.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.
- Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований.
- Диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов параллелограмма.
Решение
Задача 4
Укажите номера верных утверждений.
- Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
- Длина окружности радиуса $R$ равна $2πR$.
- Через любые две точки может проходить более одной прямой.
Решение
Задача 5
Укажите номера верных утверждений.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Решение
Задача 6
Укажите номера верных утверждений.
- Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- Точка пересечения биссектрис треугольника является центром описанной окружности.
Решение
Задача 7
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
- Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — это середина гипотенузы.
- Любые два прямоугольных треугольников подобны
Решение
Задача 8
Укажите номера верных утверждений.
- Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон.
Решение
Задача 9
Укажите номера верных утверждений.
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Из двух хорд окружности больше та, которая более удалена от центра.
- Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
Решение
Задача 10
Укажите номера верных утверждений.
- У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.
- Если в ромбе один угол прямой, то этот ромб — квадрат.
- Центр окружности, описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Решение
Задача 11
Укажите номера верных утверждений.
- Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна $180^°$, то прямые параллельны.
- Угол между биссектрисами смежных углов равен $100^°$
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Решение
Задача 12
Укажите номера верных утверждений.
- Трапеция является равнобедренной, если два угла, прилежащих к боковой стороне, равны.
- Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $180^°·(n−2)$.
- Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Решение
Задача 13
Укажите номера верных утверждений.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов больше $90^°$
- Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
- Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна полусумме оснований.
Решение
Задача 14
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат не имеет центра симметрии.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
- Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
Решение
Задача 15
Укажите номера верных утверждений.
- Диагонали ромба равны.
- Основания любой трапеции параллельны.
- Если один из углов треугольника равен $90^°$, то сумма остальных углов также равна $90^°$.
Решение
Задача 16
Укажите номера неверных утверждений.
- Внешний угол треугольника равен равен сумме двух внутренних углов.
- Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой хордой.
- В любую трапецию можно вписать окружность.
Решение
Задача 17
Укажите номера верных утверждений.
- Биссектриса равностороннего треугольника является и его медианой.
- Если угол тупой, то смежный с ним угол также тупой.
- Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
Решение
Задача 18
Укажите номера неверных утверждений.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
- Параллелограмм, у которого все углы равны, является квадратом.
- Площадь треугольника равна произведению стороны на высоту, к ней проведённую.
Решение
Задача 19
Укажите номера верных утверждений.
- Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
- Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен $40^°$, то другой угол, прилежащий к этой же стороне, равен $50^°$
- Около всякого треугольника можно описать окружность.
Решение
Задача 20
Укажите номера верных утверждений.
- Площадь круга радиуса $R$ равна $πR^2$
- Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
- Существует треугольник со сторонами $4$, $5$ и $9$.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
