Задание 19. Анализ геометрических высказываний. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других, поэтому гипотенуза меньше суммы катетов.
2) Верно. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
3) Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, но не обязательно ромбом.
Ответ: 12 или 21.
Задача 2
Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) В любой ромб можно вписать окружность.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все высоты имеют одинаковую длину.
2) Неверно. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу.
3) Верно. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы длин его противоположных сторон равны.
Ответ: 13 или 31.
Задача 3
Укажите номера верных утверждений.
- Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- Точка пересечения биссектрис треугольника является центром описанной окружности.
Решение
Задача 4
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат не имеет центра симметрии.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
- Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
Решение
Задача 5
Укажите номера верных утверждений.
- Площадь круга радиуса $R$ равна $πR^2$
- Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
- Существует треугольник со сторонами $4$, $5$ и $9$.
Решение
Задача 6
Укажите номера верных утверждений.
- Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
- Существует прямоугольник, у которого диагонали не равны.
- Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной, проведённой к окружности из одной точки с секущей.
Решение
Задача 7
Укажите номера верных утверждений.
- Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
- Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен $40^°$, то другой угол, прилежащий к этой же стороне, равен $50^°$
- Около всякого треугольника можно описать окружность.
Решение
Задача 8
Укажите номера верных утверждений.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов больше $90^°$
- Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
- Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна полусумме оснований.
Решение
Задача 9
Укажите номера верных утверждений.
- Из двух хорд окружности меньше та, середина которой находится ближе к центру окружности.
- Треугольник равносторонний, если у него два угла равны.
- В параллелограмме противоположные углы равны.
Решение
Задача 10
Укажите номера верных утверждений .
- Угол, вписанный в окружность, равен половине длины дуги окружности, на которую он опирается.
- Существует параллелограмм, который является трапецией.
- Смежные углы в сумме составляют $90^°$
Решение
Задача 11
Укажите номера верных утверждений.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Решение
Задача 12
Укажите номера верных утверждений.
- Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна ${a^2√ {3}}/{4}$
- Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
- Около любого ромба можно описать окружность.
Решение
Задача 13
Укажите номера верных утверждений.
- Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
- Сумма углов любого треугольника равна $180^°$.
- Через любые три точки плоскости проходит только одна прямая.
Решение
Задача 14
Укажите номера верных утверждений.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.
- Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований.
- Диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов параллелограмма.
Решение
Задача 15
Укажите номера верных утверждений.
- Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
- Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении $3:1$, считая от вершины.
Решение
Задача 16
Укажите номера верных утверждений.
- Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон.
Решение
Задача 17
Укажите номера верных утверждений.
- Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна $180^°$, то прямые параллельны.
- Угол между биссектрисами смежных углов равен $100^°$
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Решение
Задача 18
Укажите номера верных утверждений.
- У равностороннего треугольника три оси симметрии.
- Если при пересечении двух прямых третьей односторонние углы в сумме составляют $180^°$, то прямые параллельны.
- Сумма внутренних углов треугольника меньше $180^°$.
Решение
Задача 19
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
- Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — это середина гипотенузы.
- Любые два прямоугольных треугольников подобны
Решение
Задача 20
Укажите номера верных утверждений.
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Из двух хорд окружности больше та, которая более удалена от центра.
- Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
