Задание 19. Анализ геометрических высказываний. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) В любой ромб можно вписать окружность.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все высоты имеют одинаковую длину.
2) Неверно. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу.
3) Верно. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы длин его противоположных сторон равны.
Ответ: 13 или 31.
Задача 2
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других, поэтому гипотенуза меньше суммы катетов.
2) Верно. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
3) Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником, но не обязательно ромбом.
Ответ: 12 или 21.
Задача 3
Укажите номера верных утверждений.
- Квадрат не имеет центра симметрии.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
- Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
Решение
Задача 4
Укажите номера неверных утверждений.
- Средняя линия трапеции проводится через середины оснований трапеции.
- Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — ромб.
Решение
Задача 5
Укажите номера верных утверждений.
- Сумма двух сторон треугольника меньше третьей стороны треугольника.
- Отношения площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны.
Решение
Задача 6
Укажите номера верных утверждений.
- Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
- Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой.
- Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника
Решение
Задача 7
Укажите номера верных утверждений.
- Для точки, являющейся точкой касания прямой и окружности, расстояние от центра окружности до этой точки равно радиусу окружности.
- Все биссектрисы равностороннего треугольника равны.
- В равнобедренном треугольнике все высоты равны.
Решение
Задача 8
Укажите номера верных утверждений.
- Биссектриса равностороннего треугольника является и его медианой.
- Если угол тупой, то смежный с ним угол также тупой.
- Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
Решение
Задача 9
Укажите номера верных утверждений.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.
- Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований.
- Диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов параллелограмма.
Решение
Задача 10
Укажите номера неверных утверждений.
- Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
- Биссектриса угла в треугольнике делит сторону пополам.
- Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Решение
Задача 11
Укажите номера верных утверждений.
- Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон угла.
- Если в треугольнике есть один тупой угол, то этот треугольник тупоугольный.
- Около любого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение
Задача 12
Укажите номера верных утверждений.
- Отношение сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
- Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения высот треугольника.
Решение
Задача 13
Укажите номера верных утверждений.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов больше $90^°$
- Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
- Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна полусумме оснований.
Решение
Задача 14
Укажите номера верных утверждений.
- Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
- Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен $40^°$, то другой угол, прилежащий к этой же стороне, равен $50^°$
- Около всякого треугольника можно описать окружность.
Решение
Задача 15
Укажите номера верных утверждений.
- Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон.
Решение
Задача 16
Укажите номера верных утверждений.
- Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
- Сумма углов любого треугольника равна $180^°$.
- Через любые три точки плоскости проходит только одна прямая.
Решение
Задача 17
Укажите номера верных утверждений.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
- Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
- Сумма внешних углов $n$-угольника больше $360^°$
Решение
Задача 18
Укажите номера верных утверждений.
- Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
- Длина окружности радиуса $R$ равна $2πR$.
- Через любые две точки может проходить более одной прямой.
Решение
Задача 19
Укажите номера верных утверждений.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Решение
Задача 20
Укажите номера верных утверждений.
- Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
- Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении $3:1$, считая от вершины.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
